Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2023 (page 2/4 : Partie I (questions 21 à 40))

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, l'impédance complexe d'un condensateur de capacité C s'écrit :

Pour une association de dipôles passifs branchés en série, l'impédance complexe équivalente est la somme des impédances de chaque dipôle. On en déduit :

En utilisant la relation \frac{1}{j} = -j, on peut également écrire :

La tension délivrée par le générateur s'écrit dans le domaine temporel réel :

Sa phase à l'origine étant nulle, la grandeur complexe associée est :

L'intensité du courant dans le circuit s'écrit sous forme réelle :

Sa grandeur complexe associée s'exprime donc sous la forme :

D'après la loi d'Ohm en régime sinusoïdal forcé, la tension et l'intensité complexes sont reliées par l'impédance équivalente du dipôle RLC série :

En prenant le module de chaque membre, sachant que |\underline{e}(t)| = E et |\underline{i}(t)| = I d'après la question Q22, on obtient :

L'impédance équivalente établie à la question Q21 s'écrit :

Son module vaut ainsi :

On en déduit l'expression de l'amplitude I de l'intensité :

D'après l'expression établie à la question Q23, l'amplitude de l'intensité s'écrit :

L'amplitude E et les composants R, L, C étant fixés, I(\omega) est maximale lorsque son dénominateur est minimal. Or :

Ce terme quadratique s'annule pour :

La fréquence d'oscillation correspondante, notée f_{\text{max}} (ou f_0), s'exprime donc par :

À cette fréquence de résonance, l'impédance équivalente est purement résistive (\underline{Z_{\text{eq}}} = R), et l'amplitude maximale de l'intensité vaut :

Les ondes radio sont des ondes électromagnétiques qui se propagent dans le vide à la célérité c = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

La durée \tau mise par le signal pour parcourir la distance D s'écrit :

Avec D = 300\text{ millions de km} = 3{,}0 \cdot 10^8\text{ km} = 3{,}0 \cdot 10^{11}\text{ m} :

En convertissant en minutes :

Conclusion : La durée de transmission aller-simple étant d'environ 17 minutes (et plus de 33 minutes pour un aller-retour), aucun téléguidage en temps réel du rover depuis la Terre n'est envisageable. Le rover doit impérativement être autonome dans ses prises de décision, notamment pour la navigation, la détection d'obstacles et les phases critiques telles que l'atterrissage (les fameuses « sept minutes de terreur »).

D'après l'énoncé, une image 4K est approximée par une matrice de dimensions :

Chaque pixel étant codé sur 32 bits et un octet étant constitué de 8 bits, le codage d'un pixel nécessite :

La taille (ou le « poids ») en octets de l'image vaut donc :

Avec la convention indiquée par l'énoncé, 1\text{ Mo} = 10^6\text{ octets} :

Une vidéo de durée t_{\text{vidéo}} = 1\text{ s} à la cadence de 24\text{ images}\cdot\text{s}^{-1} est constituée de N = 24\text{ images}.

D'après le résultat de la question Q26, le poids d'une image 4K est de \mathcal{T} = 32\text{ Mo}. Le volume total de données à transférer est donc :

Le débit moyen de transmission étant D = 0{,}25\text{ Moctet}\cdot\text{s}^{-1} = 0{,}25\text{ Mo}\cdot\text{s}^{-1}, la durée de transfert (d'émission) de ces données vaut :

Pour obtenir l'intégralité de la vidéo sur Terre, il faut compter la durée de transfert ainsi que le temps de propagation du signal radio déterminé à la question Q25 (\tau \approx 1\,000\text{ s} \approx 17\text{ min} à distance maximale) :

Commentaire : Il faut près d'une heure (environ 51 minutes de téléversement seul, et plus d'une heure au total) pour recevoir seulement une unique seconde de vidéo 4K brute non compressée. Ce résultat explique parfaitement pourquoi la NASA n'a pas installé de caméra vidéo 4K à transmission continue brute : le débit radio interplanétaire est extrêmement restreint. Pour transmettre des images et vidéos, les missions spatiales doivent impérativement recourir à des algorithmes de compression très performants, réduire la définition ou la cadence des prises de vue, et privilégier le relais via les orbiteurs martiens.

Dans le vide, en l'absence de charge (\rho = 0) et de courant (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations de Maxwell s'écrivent sous forme locale :

• Équation de Maxwell-Gauss (M-G) :

  \boxed{\mathrm{div}\,\vec{E} = 0}

• Équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

  \boxed{\mathrm{div}\,\vec{B} = 0}

• Équation de Maxwell-Faraday (M-F) :

  \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

• Équation de Maxwell-Ampère (M-A) :

  \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

Partons de l'équation de Maxwell-Faraday dans le vide (établie à la question Q28) :

Prenons le rotationnel de cette relation :

En utilisant l'équation de Maxwell-Ampère dans le vide sans courant (\vec{\jmath} = \vec{0}) :

il vient :

D'après l'identité d'analyse vectorielle donnée en formulaire :

Or, en l'absence de charges (\rho = 0), l'équation de Maxwell-Gauss donne \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, d'où \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}) = \vec{0}. On en déduit :

soit finalement :

Cette équation de propagation porte le nom d'équation de d'Alembert (ou équation des ondes).

Comme exemple d'ondes non électromagnétiques obéissant à cette équation, on peut citer :

• les ondes sonores (ou acoustiques) se propageant dans un fluide parfait (non visqueux et non conducteur thermique), pour lesquelles la surpression acoustique p(M,t) vérifie l'équation de d'Alembert dans l'approximation acoustique linéaire :

  \Delta p - \frac{1}{c_s^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0
• les ondes mécaniques transversales le long d'une corde vibrante tendue sans dissipation (modèle de la corde de Melde), où le déplacement transversal y(x,t) vérifie l'équation de d'Alembert à une dimension.

Le champ électrique s'écrit \vec{E}(y,t) = E_0 \cos(\omega t - ky)\,\vec{u}_x.

Calculons ses dérivées partielles :

• Dérivée temporelle seconde :

  \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = -\omega E_0 \sin(\omega t - ky)\,\vec{u}_x \implies \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = -\omega^2 E_0 \cos(\omega t - ky)\,\vec{u}_x = -\omega^2 \vec{E}

• Laplacien vectoriel (le champ ne dépendant spatialement que de la coordonnée y) :

  \Delta \vec{E} = \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial y^2} = -(-k)^2 E_0 \cos(\omega t - ky)\,\vec{u}_x = -k^2 \vec{E}

D'après la question Q29, le champ électrique vérifie dans le vide l'équation d'onde :

Cette relation étant vraie à tout instant et en tout point, on en déduit :

Par identification avec l'équation de d'Alembert sous sa forme standard \Delta \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}, la célérité c de l'onde dans le vide s'exprime par :

Puisque k > 0, \omega > 0 et c > 0, il vient directement :

Le champ électrique s'écrit sous la forme :

en utilisant la relation de dispersion k = \frac{\omega}{c} établie à la question Q31.

• Caractère progressif : La dépendance spatiotemporelle est de la forme f(t - y/c) et ne présente pas de factorisation de la forme g(y) \cdot h(t) caractéristique d'une onde stationnaire. Le profil d'onde se propage donc sans déformation dans l'espace au cours du temps : cette onde est bien progressive.
• Direction de propagation : Le champ ne dépend spatialement que de la coordonnée y, l'onde se propage selon la direction de l'axe (Oy).

• Sens de propagation : En suivant un point de phase constante \varphi(y,t) = \omega t - ky = \text{C}^{\text{te}}, on obtient par dérivation par rapport au temps :

  \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{\omega}{k} = c > 0

  La phase se déplace donc dans le sens des y croissants (sens du vecteur unitaire \vec{u}_y).

Le vecteur d'onde \vec{k} est colinéaire à la direction de propagation et orienté dans le sens de celle-ci. D'après la question Q32, l'onde se propage selon l'axe (Oy) dans le sens des y croissants, donc :

Par ailleurs, la norme du vecteur d'onde (ou pulsation spatiale) k est reliée à la longueur d'onde spatiale \lambda par la relation fondamentale :

On en déduit l'expression vectorielle de \vec{k} dans la base cartésienne (\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) :

Une onde est dite plane si, à tout instant t, les grandeurs qui la caractérisent (amplitude, phase, direction) sont uniformes sur tout plan perpendiculaire à la direction de propagation.

Ici, la propagation s'effectue selon la direction de l'axe (Oy) (vecteur \vec{u}_y). Le champ électrique s'écrit :

Il ne dépend dans l'espace que de la seule coordonnée y et est indépendant des coordonnées transverses x et z. Par conséquent, à chaque instant t, le champ est identique en tout point d'un plan défini par y = \text{cte}, qui est bien orthogonal à la direction de propagation.

La polarisation d'une onde électromagnétique caractérise l'évolution temporelle de la direction du champ électrique \vec{E} en un point donné de l'espace.

D'après l'expression fournie :

le champ électrique ne possède qu'une composante non nulle, portée en tout point et à tout instant par la direction fixe du vecteur unitaire \vec{u}_x.

Il s'agit donc d'une onde à polarisation rectiligne :

L'équation de Maxwell-Faraday dans le vide s'écrit :

Pour une onde plane progressive harmonique dépendant du temps et de l'espace par le facteur \exp[j(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})], les opérateurs différentiels spatiaux et temporels se traduisent en notation complexe par :

L'équation de Maxwell-Faraday devient alors :

En repassant aux grandeurs réelles :

Analysons les propriétés géométriques de cette relation :

• Par définition du produit vectoriel, \vec{B} est orthogonal à la fois à \vec{k} et à \vec{E} (\vec{B}\perp\vec{k} et \vec{B}\perp\vec{E}).

• L'onde est ici polarisée selon \vec{u}_x et se propage selon \vec{u}_y (\vec{k} = k\,\vec{u}_y), on a donc immédiatement :

  \vec{k}\cdot\vec{E} = 0 \quad (\vec{k}\perp\vec{E})

  ce qui découle également de l'équation de Maxwell-Gauss dans le vide (\mathrm{div}\,\vec{E}=0 \implies \vec{k}\cdot\underline{\vec{E}}=0).

• Comme \omega > 0, le scalaire \frac{1}{\omega} est strictement positif, de sorte que le produit vectoriel \vec{k}\wedge\vec{E} est directement colinéaire et de même sens que \vec{B}.

Les trois vecteurs étant deux à deux orthogonaux et vérifiant \vec{B} \propto \vec{k}\wedge\vec{E} avec un coefficient positif :

D'après la question Q36, pour une onde plane progressive harmonique, le champ magnétique est relié au champ électrique par :

Les expressions des vecteurs sont :

Dans la base orthonormée directe (\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z), le produit vectoriel des vecteurs unitaires vaut :

En injectant ces expressions dans la relation de structure :

En utilisant la relation de dispersion k = \frac{\omega}{c} (question Q31), soit \frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}, on retrouve bien :

Le vecteur de Poynting \vec{\pi} représente la densité volumique de flux d'énergie (ou vecteur densité de courant d'énergie électromagnétique) : son flux à travers une surface orientée fermée ou ouverte représente la puissance électromagnétique instantanée traversant cette surface. Il indique la direction et le sens de propagation de l'énergie électromagnétique.

La norme du vecteur de Poynting s'exprime en watt par mètre carré (\mathrm{W\cdot m^{-2}}).

Par définition, dans le vide, le vecteur de Poynting s'écrit :

En utilisant les expressions des champs établies aux questions Q31 et Q37 :

Sachant que \vec{u}_x \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_y, le produit vectoriel s'écrit :

On en déduit l'expression du vecteur de Poynting :

D'après la relation (1) fournie par l'énoncé, la puissance reçue s'exprime par :

En remplaçant la surface S par son expression S = 4\pi d^2, il vient :

Les grandeurs P_e, G_e et S_r = \dfrac{\lambda^2}{4\pi} G_r ne dépendent que des caractéristiques des antennes et de l'onde radio émise, et sont donc totalement indépendantes de la distance de transmission d.

On en déduit immédiatement :

La puissance reçue P_r décroît donc bien en 1/d^2.

La longueur d'onde du signal émis à la fréquence f = 8{,}0\text{ GHz} vaut :

D'après la formule de transmission établie à la question Q39 :

Avec la distance Terre-Mars au plus près d = 56 \cdot 10^6\text{ km} = 5{,}6 \cdot 10^{10}\text{ m} :

Comme P_e = 10\text{ W}, G_e = 1\,000 = 10^3 et G_r = 1\,000 = 10^3, le préfacteur vaut P_e \, G_e \, G_r = 10^7\text{ W}. On en déduit :

Commentaire : Cette puissance reçue est extrêmement faible (quelques dizaines d'attowatts). Cela met en évidence :

• la nécessité d'utiliser sur Terre d'immenses antennes réceptrices paraboliques à très fort gain (comme les paraboles de 34 à 70 mètres du Deep Space Network de la NASA) couplées à des amplificateurs cryogéniques à très faible bruit ;
• l'intérêt d'utiliser les sondes orbitales (orbiters) martiennes comme relais de télécommunication, réduisant considérablement la distance de transmission directe pour le rover et préservant son bilan énergétique.