Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 TSI 2023 (page 2/2 : Partie III)

Dans le vide dépourvu de charges et de courants, les densités volumiques de charge et de courant sont nulles :

Les quatre équations de Maxwell locales s'écrivent alors :

• Équation de Maxwell-Gauss (MG) :

  \boxed{\operatorname{div} \vec{E} = 0}

• Équation de Maxwell-Thomson (ou conservation du flux magnétique) (MT) :

  \boxed{\operatorname{div} \vec{B} = 0}

• Équation de Maxwell-Faraday (MF) :

  \boxed{\vec{\operatorname{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

• Équation de Maxwell-Ampère (MA) :

  \boxed{\vec{\operatorname{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

  avec c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} la vitesse de la lumière dans le vide.

Partons de l'équation de Maxwell-Faraday dans le vide rappelée en Q20 :

Prenons le rotationnel de cette relation :

D'une part, en utilisant l'identité vectorielle du formulaire :

Comme le milieu est le vide dépourvu de charges électriques (\rho = 0), l'équation de Maxwell-Gauss impose \operatorname{div}\vec{E} = 0. Il vient :

D'autre part, les opérateurs spatiaux et temporels commutent selon le théorème de Schwarz :

En injectant l'équation de Maxwell-Ampère dans le vide (\vec{\jmath} = \vec{0}) :

où la vitesse de la lumière dans le vide est définie par c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}. On obtient alors :

Soit finalement l'équation de d'Alembert vérifiée par \vec{E} :

L'onde plane progressive sinusoïdale se propageant selon \vec{u}_x est représentée en notation complexe par :

Cette onde vérifie l'équation de propagation établie à la question Q21 :

Le champ électrique ne dépendant que de la variable d'espace x, le laplacien vectoriel se réduit à :

La dérivée temporelle seconde s'écrit :

En injectant ces dérivées dans l'équation d'onde, on obtient :

Cette égalité étant vérifiée à tout instant et en tout point avec une amplitude non nulle (E_0 \neq 0), il vient :

Pour une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants avec \omega > 0, la norme du vecteur d'onde k est positive, ce qui conduit à la relation de dispersion :

D'après l'équation de d'Alembert obtenue à la question Q21, le champ électrique dans le vide vérifie :

En régime harmonique et dans le milieu isolant non chargé considéré, les équations de Maxwell sont modifiées en substituant \varepsilon_0 \underline{\varepsilon}_r à \varepsilon_0. Le champ électrique complexe \underline{\vec{E}} satisfait ainsi à l'équation de propagation :

En utilisant la relation définissant la vitesse de la lumière dans le vide c^2 = \frac{1}{\varepsilon_0 \mu_0}, cette équation s'écrit :

Le champ électrique s'écrit sous forme d'une onde plane progressive sinusoïdale se propageant selon +x :

Le champ ne dépendant spatialement que de la coordonnée x, le laplacien vectoriel se réduit à :

Par ailleurs, la dérivée temporelle seconde en régime harmonique s'exprime par :

En reportant ces dérivées dans l'équation de propagation, on obtient :

Comme cette relation doit être vérifiée pour tout x et tout t (le champ n'étant pas identiquement nul), on en déduit la relation de dispersion :

L'onde se propage selon la direction \vec{u}_x. En substituant l'écriture complexe \underline{k} = k' - \mathrm{j}k'' dans l'expression du champ électrique complexe \underline{\vec{E}}, on obtient :

Le champ électrique réel associé s'écrit donc :

Comme k' > 0, l'onde se propage dans le sens des x croissants. Puisque k'' > 0, l'amplitude du champ électrique E(x) = E_0 \mathrm{e}^{-k'' x} décroît exponentiellement avec la distance de propagation x. On parle d'atténuation de l'onde, caractérisée par une profondeur de pénétration \delta = \frac{1}{k''}.

Conséquence énergétique : La densité volumique d'énergie électromagnétique et le flux d'énergie (vecteur de Poynting) étant proportionnels au carré de l'amplitude du champ électrique, l'énergie transportée par l'onde diminue au cours de la propagation selon la loi de Beer-Lambert en \mathrm{e}^{-2k'' x}.

L'onde cède donc continûment de la puissance électromagnétique au milieu traversé : le milieu est absorbant (ou dissipatif) et l'énergie électromagnétique absorbée est convertie sous une autre forme (ici principalement en énergie thermique).

D'après le résultat de la question Q23, la relation de dispersion s'écrit :

En développant avec la forme complexe imposée \underline{k} = k' - \mathrm{j}k'' (où k', k'' \in \mathbb{R}) :

Si la permittivité relative est un réel strictement positif (\underline{\varepsilon}_r = \varepsilon_r \in \mathbb{R}^+), le membre de droite \varepsilon_r \frac{\omega^2}{c^2} est purement réel :

L'énoncé précisant que k' > 0, il vient immédiatement :

Il en découle que le vecteur d'onde est purement réel, avec k = k' = \sqrt{\varepsilon_r}\,\frac{\omega}{c}.

L'onde plane s'écrit alors :

L'amplitude du champ électromagnétique reste constante au cours de la propagation : l'onde ne subit aucune atténuation. Le milieu se comporte comme un milieu transparent (non absorbant, ou diélectrique parfait sans pertes).

Pour effacer le tatouage sans endommager les tissus cutanés sus-jacents, l'onde laser doit être très peu absorbée par la peau lors de sa traversée, tout en étant fortement absorbée par le pigment noir, dont le coefficient est k''_{\text{pigment}} = 5 \times 10^4\text{ m}^{-1} = 500\text{ cm}^{-1} quelle que soit la longueur d'onde. Il faut donc se placer dans un domaine spectral où le coefficient k'' des constituants de la peau est minimal :

• Mélanine : son absorption décroît continûment avec la longueur d'onde, passant de plus de 100\text{ cm}^{-1} dans le proche UV et le visible à moins de 10\text{ cm}^{-1} au-delà de 700\text{ nm}.
• Oxyhémoglobine : elle présente une absorption très marquée pour \lambda < 600\text{ nm} (k'' \in [10, 100]\text{ cm}^{-1}), mais devient très faiblement absorbante (k'' \lesssim 1\text{ à }10\text{ cm}^{-1}) pour \lambda \in [650\text{ nm}, 1100\text{ nm}].
• Eau : elle est particulièrement transparente pour \lambda < 900\text{ nm} (k'' < 0{,}1\text{ cm}^{-1}), mais son absorption augmente sensiblement au-delà de 1100\text{ nm} pour atteindre plusieurs dizaines de \text{cm}^{-1} à 1400\text{ nm}.

L'intersection des domaines de faible absorption de ces trois composants définit une « fenêtre thérapeutique » (ou fenêtre optique de la peau) située approximativement entre 650\text{ nm} et 1100\text{ nm}. Dans cet intervalle, l'atténuation cutanée globale reste inférieure à 10\text{ cm}^{-1}, soit au moins 50 fois plus faible que celle du pigment noir.

• Jeu de courbes (a) : L'absorption est maximale dans la bande [400\text{ nm}, 500\text{ nm}], correspondant au violet et au bleu, tandis qu'elle est quasiment nulle pour \lambda > 550\text{ nm} (vert, jaune, rouge). La couleur perçue étant complémentaire du bleu absorbé, il s'agit d'encres de couleur jaune (à jaune-orangé).
  Remarque : La nomenclature standard des pigments confirme ce résultat (P.Y. pour Pigment Yellow, P.O. pour Pigment Orange).
• Jeu de courbes (b) : L'absorption est très élevée pour toutes les longueurs d'onde inférieures à 600\text{ nm} (violet, bleu, vert), puis chute brutalement dans le rouge (\lambda > 600\text{ nm}). Ces pigments ne transmettent et ne diffusent que la partie rouge du spectre visible : il s'agit d'encres de couleur rouge.
  Remarque : Les codes indiquent P.R. pour Pigment Red.
• Jeu de courbes (c) : L'absorption présente un plateau élevé dans la zone [600\text{ nm}, 800\text{ nm}] (orange, rouge) et un minimum d'absorption marqué dans la zone [450\text{ nm}, 550\text{ nm}]. Ces pigments diffusent préférentiellement les rayonnements bleu et vert : il s'agit d'encres de couleur bleue ou verte (cyan, bleu-vert).
  Remarque : Les codes confirment la présence de P.B. (Pigment Blue), P.G. (Pigment Green) et P.V. (Pigment Violet).

En résumé :

Pour effacer efficacement un pigment par effet photothermique ou photomécanique sans léser la peau environnante, il faut remplir simultanément deux conditions :

1. le laser doit émettre à une longueur d'onde fortement absorbée par le pigment ciblé (k'' élevé pour ce pigment) ;
2. le rayonnement doit se situer dans une gamme où les constituants naturels de la peau (mélanine, oxyhémoglobine, eau) absorbent peu (fenêtre thérapeutique, typiquement entre 650\text{ nm} et 1100\text{ nm}).

Comme le montrent les spectres de la figure 6, chaque famille de pigments colorés possède des bandes d'absorption propres et disjointes :

• une encre rouge absorbe principalement dans le vert et le bleu (\lambda \sim 500\text{ nm}) ;
• une encre jaune/orange absorbe dans le bleu et le proche UV (\lambda < 500\text{ nm}) ;
• une encre bleue ou verte absorbe dans le rouge et le proche infrarouge (\lambda \sim 600\text{ à }800\text{ nm}).

Par conséquent, un laser monochromatique unique ne peut pas fragmenter l'ensemble des couleurs : une longueur d'onde optimale pour un pigment sera quasiment transmise (non absorbée) par un autre.

De plus, certaines teintes (comme le jaune ou l'orange) n'absorbent que dans des domaines de longueurs d'onde où l'hémoglobine et la mélanine absorbent également fortement, ce qui rend le ciblage sélectif très délicat et majore le risque de brûlures cutanées.

D'après l'énoncé, la relation de structure s'écrit en représentation complexe :

avec :

Sachant que \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z, il vient :

En développant l'exponentielle complexe via la formule d'Euler :

on obtient :

car -\mathrm{j}^2 = +1.

Le champ magnétique réel correspond à la partie réelle du champ complexe :

On retrouve bien l'expression demandée :

avec :

D'après l'énoncé, le vecteur de Poynting s'écrit avec les notations réelles sous la forme :

D'après les résultats des questions Q24 et Q29, les champs électrique et magnétique s'écrivent :

Sachant que \vec{u}_y \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_x, le produit vectoriel donne :

Prenons la moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega}. En utilisant l'identité \cos(u)\sin(u) = \frac{1}{2}\sin(2u) :

On en déduit la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting :

Considérons une tranche cylindrique élémentaire d'axe (Ox), de section droite transversale S (perpendiculaire à l'axe (Ox)), comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x. Le volume de cette tranche est :

L'onde plane se propageant selon \vec{u}_x, le vecteur de Poynting est dirigé selon \vec{u}_x : il n'y a aucun flux électromagnétique à travers la surface latérale du cylindre.

En régime périodique établi, l'énergie électromagnétique moyenne stockée dans le volume \mathrm{d}V est constante dans le temps (\frac{\mathrm{d}\langle U_{\text{em}}\rangle}{\mathrm{d}t} = 0). Le principe de conservation de l'énergie en moyenne temporelle stipule donc que la puissance moyenne cédée par l'onde électromagnétique au milieu matériel au sein du volume \mathrm{d}V, notée \mathrm{d}\langle P_{\text{cédée}} \rangle = p_v(x)\,\mathrm{d}V, est égale au flux net entrant du vecteur de Poynting moyen à travers la frontière du cylindre :

avec :

Au premier ordre en \mathrm{d}x, on a :

d'où :

D'après le résultat de la question Q30, la composante suivant \vec{u}_x du vecteur de Poynting moyen s'écrit :

En dérivant par rapport à x :

On en déduit directement :

D'après le résultat de la question Q31, la puissance volumique moyenne cédée localement par le faisceau laser au pigment s'écrit :

L'atténuation spatiale de la puissance volumique sur l'épaisseur du pigment, de longueur L_p = 1\,\mu\text{m} = 10^{-6}\text{ m}, est gouvernée par le facteur sans dimension 2k''L_p.

D'après les données de l'énoncé, pour un laser Nd:Yag (\lambda = 1064\text{ nm}), le coefficient d'atténuation vaut k'' = 5\times 10^4\text{ m}^{-1}. On a donc :

De manière équivalente, la longueur caractéristique d'atténuation en puissance :

est nettement supérieure à la taille du pigment : L_p \ll \delta_p.

Par conséquent, pour tout x \in [0, L_p], on a 2k''x \le 0{,}10, ce qui permet d'effectuer un développement limité à l'ordre zéro :

L'écart relatif maximal de p_v sur toute la traversée du pigment est d'environ :

La loi phénoménologique de Fourier relie le vecteur densité de flux thermique au gradient de température dans le milieu conducteur :

Compte tenu de la géométrie unidimensionnelle du problème où la température ne dépend spatialement que de l'abscisse x, elle s'écrit selon l'axe (Ox) :

Les grandeurs intervenant dans cette loi sont :

• \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} : le vecteur densité de flux thermique (ou densité de courant thermique), exprimé en watt par mètre carré (\mathrm{W\cdot m^{-2}}) ;
• \lambda_p : la conductivité thermique du milieu (ici le pigment noir), exprimée en watt par mètre par kelvin (\mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}) ;
• T : la température thermodynamique, exprimée en kelvin (\mathrm{K}) ;
• \vec{\operatorname{grad}} T : le gradient de température, exprimé en kelvin par mètre (\mathrm{K\cdot m^{-1}}).

Considérons le système fermé constitué par la tranche de pigment située entre x et x + \mathrm{d}x, de section droite d'aire S = \pi r_p^2 et de volume élémentaire \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x, entre les instants t et t + \mathrm{d}t.

Le pigment étant modélisé par une phase condensée indéformable et incompressible de masse volumique \rho_p et de capacité thermique massique c_p, le travail des forces de pression est nul. La variation d'énergie interne du système s'écrit :

Pendant la durée \mathrm{d}t, les échanges énergétiques du système avec l'extérieur sont les suivants :

• Le transfert thermique conductif net à travers les deux sections transversales en x et x + \mathrm{d}x orientées selon \vec{u}_x (le transfert thermique latéral étant négligé) :

  \begin{aligned} \delta Q_{\text{cond}} &= \Phi_{\mathrm{th}}(x,t)\,\mathrm{d}t - \Phi_{\mathrm{th}}(x+\mathrm{d}x,t)\,\mathrm{d}t \\ &= \left[ j_{\mathrm{th}}(x,t) - j_{\mathrm{th}}(x+\mathrm{d}x,t) \right] S\,\mathrm{d}t \\ &= -\frac{\partial j_{\mathrm{th}}}{\partial x}\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \end{aligned}

  D'après la loi de Fourier établie à la question Q33, \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = -\lambda_p\,\dfrac{\partial T}{\partial x}\vec{u}_x, d'où :

  -\frac{\partial j_{\mathrm{th}}}{\partial x} = \lambda_p\,\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}

• L'énergie thermique apportée par l'absorption du faisceau laser (terme source volumique p_v) :

  \delta Q_{\text{source}} = p_v\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t = p_v\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

D'après le premier principe de la thermodynamique :

En remplaçant par les expressions obtenues :

En divisant par le volume élémentaire S\,\mathrm{d}x et par la durée \mathrm{d}t, on obtient l'équation de la chaleur unidimensionnelle :

Une fois l'impulsion laser terminée, la puissance volumique apportée s'annule (p_v = 0). L'équation de diffusion thermique établie à la question Q34 s'écrit alors :

où D_p = \dfrac{\lambda_p}{\rho_p c_p} désigne la diffusivité thermique du pigment.

En notant L une dimension spatiale caractéristique du pigment (telle que sa longueur L_p ou son rayon r_p) et \tau le temps caractéristique de diffusion, l'estimation des ordres de grandeur des dérivées partielles donne :

En injectant ces estimations dans l'équation de diffusion thermique :

On en déduit l'expression du temps caractéristique de diffusion :

Application numérique : Pour le pigment noir considéré, la longueur et le rayon valent L \sim 1\;\mu\text{m} = 10^{-6}\;\text{m}. Avec \rho_p = 1\times 10^3\;\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}, c_p = 2{,}5\times 10^3\;\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et \lambda_p = 50\;\text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, la diffusivité thermique vaut :

Le temps caractéristique est donc :

La durée d'une impulsion laser est de l'ordre de :

D'après l'estimation menée à la question Q35, le temps caractéristique de diffusion thermique au sein du pigment est de l'ordre de :

On constate ainsi que :

Pendant la durée de l'impulsion laser, le transfert d'énergie thermique par conduction n'a donc pas le temps de s'établir. On formule l'hypothèse suivante :

Le terme conductif \lambda_p \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2} peut ainsi être négligé dans le bilan d'énergie au cours du tir.

D'après la question Q36, la diffusion thermique est négligeable devant l'apport d'énergie apporté par le laser pendant la durée de l'impulsion. On peut donc négliger le terme de diffusion conductive devant le terme source volumique dans l'équation de la chaleur établie en Q34 :

L'équation différentielle régissant l'évolution de la température T(x,t) se simplifie alors sous la forme :

Puisque la puissance volumique p_v est considérée comme uniforme dans le pigment (d'après la question Q32) et que la température initiale est uniforme, le champ de température T ne dépend plus de la position x pendant le tir. L'équation différentielle peut donc également s'écrire sous forme scalaire ordinaire :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q37 traduisant le régime de confinement thermique pendant l'impulsion laser :

En intégrant entre le début de l'impulsion (t = 0) et sa fin (t = \Delta t), on obtient l'élévation de température :

D'après les questions Q30 à Q32, la puissance volumique absorbée au niveau du pigment est quasi uniforme et vaut :

où \Pi_0 = \langle \Pi(0) \rangle est la puissance surfacique incidente du faisceau laser. La fluence F étant l'énergie par unité de surface reçue au cours de l'impulsion :

Il vient ainsi :

On en déduit l'expression littérale de l'élévation de température :

soit pour la température finale :

Application numérique :

• T_i = 30\text{ }^\circ\text{C}
• k'' = 5 \times 10^4\text{ m}^{-1}
• F = 5\text{ J}\cdot\text{cm}^{-2} = 5 \times 10^4\text{ J}\cdot\text{m}^{-2}
• \rho_p = 1 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• c_p = 2{,}5\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} = 2{,}5 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

On obtient :

Commentaires :

• L'élévation de température est gigantesque (\approx 2\,000\text{ }^\circ\text{C}). Dans ces conditions, l'hypothèse de caractéristiques thermiques et optiques constantes est une approximation très idéalisée : le pigment subit d'importantes contraintes thermomécaniques, une vaporisation partielle et une fragmentation brutale (principe de la photothermolyse sélective).
• Cette très forte concentration d'énergie dans un volume nanométrique favorise également le claquage diélectrique, la création d'un plasma et une onde de choc mécanique destructrice, comme le précise la suite du texte.