Feuille d'entraînement : Diffusion thermique et diffusion de particules

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q29

   Considérons comme système la plaque d'acier de masse m = \rho_a V = \rho_a a b e. La pression extérieure étant constante et la température de la plaque étant supposée spatio-temporellement uniforme à chaque instant t, la variation d'enthalpie du système entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

   \mathrm{d}H = m \, c_{m,a} \, \mathrm{d}T_{\text{plaque}} = \rho_a a b e \, c_{m,a} \, \mathrm{d}T_{\text{plaque}}

   Pendant cette durée \mathrm{d}t, les seuls échanges thermiques avec l'extérieur se font avec l'air ambiant. D'après le résultat simplifié de la question Q28 (R_{\mathrm{th}} \approx \frac{1}{2hab}), le transfert thermique reçu par la plaque s'exprime par :

   \delta Q = - \frac{T_{\text{plaque}}(t) - T_{\text{air}}}{R_{\mathrm{th}}} \, \mathrm{d}t = - 2 h a b \left(T_{\text{plaque}}(t) - T_{\text{air}}\right) \mathrm{d}t

   En appliquant le premier principe de la thermodynamique \mathrm{d}H = \delta Q, on obtient :

   \rho_a a b e \, c_{m,a} \, \frac{\mathrm{d}T_{\text{plaque}}}{\mathrm{d}t}(t) = - 2 h a b \left(T_{\text{plaque}}(t) - T_{\text{air}}\right)

   Les facteurs géométriques a et b se simplifient, ce qui conduit à l'équation différentielle du premier ordre :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}T_{\text{plaque}}}{\mathrm{d}t}(t) + \frac{1}{\tau} T_{\text{plaque}}(t) = \frac{1}{\tau} T_{\text{air}}}

   où le temps caractéristique \tau d'évolution thermique de la plaque est défini par :

   \boxed{\tau = \frac{\rho_a \, c_{m,a} \, e}{2h}}

   Application numérique : Avec \rho_a = 7{,}8 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, c_{m,a} = 450\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}, e = 5 \times 10^{-3}\text{ m} et h = 30\text{ W}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{m}^{-2} :

   \begin{aligned} \tau &= \frac{7{,}8 \times 10^3 \times 450 \times 5 \times 10^{-3}}{2 \times 30} \\ \tau &= 292{,}5\text{ s} \approx 2{,}9 \times 10^2\text{ s} \quad (\text{soit environ } 4\text{ min } 53\text{ s}) \end{aligned}

   \boxed{\tau \approx 2{,}9 \times 10^2\text{ s}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{T}_{\text{plaque}}}{\mathrm{d}t}(t)+\frac{1}{\tau }{T}_{\text{plaque}}(t)=\frac{1}{\tau }{T}_{\text{air}}$$

   $$\tau =\frac{{\rho }_a{c}_{m,a}e}{2h}$$

   $$\tau \approx 2,9\times 10^2\text{ s}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie TSI 2024, Q17

   L'équation de la diffusion thermique s'écrit :

   \frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \quad \text{avec} \quad D = \frac{\lambda}{\rho c} > 0

   Effectuons le changement de variable temporel traduisant un renversement du temps, t' = -t :

   \begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial t'} &= -\frac{\partial T}{\partial t} \\ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} &\text{ reste inchangée.} \end{aligned}

   L'équation satisfaite par la fonction renversée dans le temps s'écrirait :

   -\frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}

   Cette équation est différente de l'équation initiale (présence d'un signe moins) : l'équation de diffusion thermique n'est pas invariante par renversement du temps (t \to -t).

   Interprétation qualitative :

   • Au voisinage d'un maximum local de température (bosse thermique), \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2} < 0, donc \dfrac{\partial T}{\partial t} < 0 : la température diminue.
   • Au voisinage d'un minimum local (creux thermique), \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2} > 0, donc \dfrac{\partial T}{\partial t} > 0 : la température augmente.

   La diffusion thermique conduit spontanément au lissage des gradients thermiques et à l'homogénéisation de la température. Le processus inverse, au cours duquel des écarts de température apparaîtraient spontanément dans un milieu homogène, est impossible : le phénomène est donc intrinsèquement irréversible.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie TSI 2024, Q47

   Dans un problème unidimensionnel le long de l'axe (Ox), la loi de Fourier s'écrit :

   \boxed{\vec{\jmath}_{\mathrm{th}}(x, t) = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x}(x, t)\,\vec{u}_x}

   où :

   • \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} est le vecteur densité de flux thermique (en \text{W}\cdot\text{m}^{-2}) ;
   • \lambda est la conductivité thermique du milieu (en \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, ici le verre) ;
   • \frac{\partial T}{\partial x} est le gradient de température selon la direction x (en \text{K}\cdot\text{m}^{-1}).

   D'après les données de l'énoncé, la température initiale du vin est T_i = 8{,}0\,^\circ\text{C} et celle de l'air ambiant est T_A = 22\,^\circ\text{C}. En l'absence de convection superficielle, la température de surface extérieure est T_S = T_A = 22\,^\circ\text{C}.

   On a donc T_S > T_i. Le transfert thermique s'effectuant spontanément du milieu le plus chaud vers le milieu le plus froid :

   \boxed{\text{Le vecteur densité de flux thermique } \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} \text{ est orienté de l'extérieur vers l'intérieur (vers les } x \text{ décroissants, sens de } -\vec{u}_x\text{).}}

   Résultat

   $${\vec{ȷ}}_{\mathrm{th}}(x,t)=-\lambda \frac{\partial T}{\partial x}(x,t){\vec{u}}_x$$

   $$\text{Le vecteur densiteˊ de flux thermique }{\vec{ȷ}}_{\mathrm{th}}\text{ est orienteˊ de l’exteˊrieur vers l’inteˊrieur (vers les }x\text{ deˊcroissants, sens de }-{\vec{u}}_x\text{).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie TSI 2024, Q48

   L'analogie électrothermique repose sur l'équivalence formelle entre la conduction électrique régie par la loi d'Ohm et le transfert conductif régi par la loi de Fourier en régime stationnaire.

   Les correspondances entre les grandeurs thermiques et les grandeurs électriques sont :

   • la température T (exprimée en \mathrm{K} ou en ^\circ\mathrm{C}) est l'analogue du potentiel électrique V (en \mathrm{V}) ; une différence de température \Delta T = T_1 - T_2 correspond ainsi à une tension électrique U = V_1 - V_2 ;
   • le flux thermique \varphi (débit d'énergie thermique, en \mathrm{W} ou \mathrm{J}\cdot\mathrm{s}^{-1}) est l'analogue de l'intensité du courant électrique I (débit de charges électriques, en \mathrm{A} ou \mathrm{C}\cdot\mathrm{s}^{-1}) ;
   • la résistance thermique R_{\mathrm{th}} (en \mathrm{K}\cdot\mathrm{W}^{-1}) est l'analogue de la résistance électrique R (en \Omega).

   Ces correspondances se résument par l'analogie entre la relation thermique et la loi d'Ohm :

   \boxed{ \begin{aligned} T &\longleftrightarrow V \quad (\text{ou } \Delta T \longleftrightarrow U) \\ \varphi &\longleftrightarrow I \\ R_{\mathrm{th}} &\longleftrightarrow R \end{aligned} }

   associées aux lois respectives \Delta T = R_{\mathrm{th}}\,\varphi et U = R\,I.

   Résultat

   $$\begin{array}{rl}T& ⟷V(\text{ou }\Delta T⟷U)\\ \phi & ⟷I\\ R_{\mathrm{th}}& ⟷R\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2024, Q24

   L'épaisseur de la paroi de verre vaut e_v = 1,0\text{ cm} = 1,0 \times 10^{-2}\text{ m}, tandis que les dimensions transverses selon l'axe (Oy) vertical et l'axe (Oz) horizontal sont de l'ordre de la taille de l'aquarium, soit a = 1,0\text{ m}.

   Puisque e_v \ll a, on peut négliger les effets de bord loin des arêtes et modéliser la vitre comme une paroi plane infinie dans les directions (Oy) et (Oz). Les conditions aux limites thermiques (eau à T_{e,i} en x = 0 et air à T_a en x = e_v) étant uniformes sur ces surfaces, la température ne dépend ni de y ni de z par invariance par translation :

   T = T(x, t)

   D'après la loi de Fourier, dans un milieu isotrope de conductivité thermique \lambda_v, le vecteur densité de courant thermique s'écrit :

   \vec{\jmath}_{th} = -\lambda_v \vec{\nabla} T = -\lambda_v \left( \frac{\partial T}{\partial x}\vec{u}_x + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{u}_y + \frac{\partial T}{\partial z}\vec{u}_z \right)

   Comme \frac{\partial T}{\partial y} = 0 et \frac{\partial T}{\partial z} = 0, on obtient bien :

   \boxed{\vec{\jmath}_{th}(x, t) = -\lambda_v \frac{\partial T}{\partial x}(x, t)\,\vec{u}_x = j_{th}(x, t)\,\vec{u}_x}

   Le flux thermique est donc unidimensionnel selon l'axe (Ox) et sa densité ne dépend spatialement que de x.

   Résultat

   $${\vec{ȷ}}_{th}(x,t)=-{\lambda }_v\frac{\partial T}{\partial x}(x,t){\vec{u}}_x=j_{th}(x,t){\vec{u}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2024, Q25

   L'équation différentielle fournie par l'énoncé peut s'écrire sous la forme classique de l'équation de la diffusion thermique à une dimension (équation de la chaleur sans source) :

   \frac{\partial T}{\partial t} = a_v \, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \quad \text{avec} \quad a_v = \frac{\lambda_v}{\rho_v c_v}

   Le coefficient a_v = \frac{\lambda_v}{\rho_v c_v} est appelé la diffusivité thermique du verre.

   D'après l'équation de diffusion, l'analyse dimensionnelle donne :

   [a_v] = \frac{[x]^2}{[t]} = \mathrm{L^2 \cdot T^{-1}}

   Le coefficient s'exprime donc en mètres carrés par seconde (\mathrm{m^2 \cdot s^{-1}}).

   \boxed{\text{Diffusivité thermique, exprimée en }\mathrm{m^2 \cdot s^{-1}}}

   Résultat

   $$\text{Diffusiviteˊ thermique, exprimeˊe en }{\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2024, Q26

   L'équation de la diffusion thermique unidimensionnelle établie pour la paroi s'écrit :

   \frac{\partial T}{\partial t} = a_v \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \quad \text{avec} \quad a_v = \frac{\lambda_v}{\rho_v c_v}

   En estimant les ordres de grandeur spatio-temporels des dérivées partielles au sein de la vitre d'épaisseur e_v :

   \frac{\partial T}{\partial t} \sim \frac{\Delta T}{\tau} \quad \text{et} \quad \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \sim \frac{\Delta T}{e_v^2}

   où \Delta T est l'écart de température caractéristique entre les deux faces et \tau le temps caractéristique nécessaire à l'établissement du régime stationnaire. Il vient :

   \frac{\Delta T}{\tau} \sim a_v \frac{\Delta T}{e_v^2}

   On en déduit l'expression de la durée caractéristique \tau :

   \boxed{\tau = \frac{e_v^2}{a_v} = \frac{\rho_v c_v e_v^2}{\lambda_v}}

   Application numérique :

   • \rho_v = 2,5 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
   • c_v = 720\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}
   • e_v = 1,0\text{ cm} = 1,0 \times 10^{-2}\text{ m}
   • \lambda_v = 1,1\text{ W}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{m}^{-1}

   \begin{aligned} a_v &= \frac{1,1}{2,5 \times 10^3 \times 720} \approx 6,11 \times 10^{-7}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} \\ \tau &= \frac{(1,0 \times 10^{-2})^2}{6,11 \times 10^{-7}} \approx 1,6 \times 10^2\text{ s} \end{aligned}

   \boxed{\tau \approx 1,6 \times 10^2\text{ s} \approx 2,7\text{ min}}

   Résultat

   $$\tau =\frac{e_v^2}{a_v}=\frac{{\rho }_v{c}_v{e}_v^2}{{\lambda }_v}$$

   $$\tau \approx 1,6\times 10^2\text{ s}\approx 2,7\text{ min}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2023, Q24

   Considérons le système fermé \Sigma_0 constitué de la tranche de polycarbonate comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section S = Ll et de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x, entre les instants t et t + \mathrm{d}t.

   La masse de ce système s'écrit :

   \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V = \rho\,S\,\mathrm{d}x

   Le polycarbonate étant une phase condensée indéformable, il ne fournit ni ne reçoit aucun travail mécanique (\delta W = 0). Le premier principe de la thermodynamique appliqué à \Sigma_0 pendant la durée \mathrm{d}t s'énonce :

   \mathrm{d}U = \delta Q

   1. Variation d'énergie interne :
   Pour une phase condensée indéformable de capacité thermique massique c, la variation d'énergie interne pendant \mathrm{d}t est :

   \mathrm{d}U = \mathrm{d}m\,c\,\mathrm{d}T = \rho\,c\,S\,\mathrm{d}x\,\left[T(x, t+\mathrm{d}t) - T(x, t)\right] = \rho\,c\,S\,\mathrm{d}x\,\frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t

   2. Bilan des transferts thermiques :
   L'écoulement thermique étant unidimensionnel suivant l'axe (Ox), le flux thermique à travers les surfaces latérales (parallèles à \vec{e}_x) est nul. Le transfert thermique élémentaire reçu par le système provient donc uniquement des faces situées en x et en x+\mathrm{d}x :

   • flux thermique entrant en x à travers la surface S : \Phi(x, t) = j(x, t)\,S ;
   • flux thermique sortant en x+\mathrm{d}x à travers la surface S : \Phi(x+\mathrm{d}x, t) = j(x+\mathrm{d}x, t)\,S.

   Le transfert thermique net reçu par \Sigma_0 pendant la durée \mathrm{d}t s'écrit alors :

   \begin{aligned} \delta Q &= \left[\Phi(x, t) - \Phi(x+\mathrm{d}x, t)\right]\mathrm{d}t \\ &= \left[j(x, t) - j(x+\mathrm{d}x, t)\right] S\,\mathrm{d}t \\ &= -\frac{\partial j}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,S\,\mathrm{d}t \end{aligned}

   3. Application du premier principe :
   En égalant \mathrm{d}U et \delta Q, il vient :

   \rho\,c\,S\,\mathrm{d}x\,\frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t = -\frac{\partial j}{\partial x}\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

   En simplifiant par la quantité non nulle S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, on obtient :

   \boxed{\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{\rho c} \frac{\partial j}{\partial x}}

   Résultat

   $$\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{1}{\rho c}\frac{\partial j}{\partial x}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2023, Q26

   Dans le cadre de l'étude unidimensionnelle selon l'axe (Ox), le champ de température dépend uniquement de la coordonnée spatiale x et du temps t : T = T(x, t). Le gradient de température s'écrit alors :

   \overrightarrow{\operatorname{grad}}\,T = \frac{\partial T}{\partial x}\,\vec{e}_x

   En projetant la loi phénoménologique de Fourier \vec{\jmath} = -\lambda\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,T sur la base associée à l'axe (Ox), avec \vec{\jmath}(x,t) = j(x,t)\,\vec{e}_x, on obtient sous forme vectorielle :

   \vec{\jmath}(x, t) = -\lambda\,\frac{\partial T}{\partial x}(x, t)\,\vec{e}_x

   ce qui se traduit sous forme scalaire selon la composante algébrique j(x,t) par :

   \boxed{j(x, t) = -\lambda\,\frac{\partial T}{\partial x}(x, t)}

   Résultat

   $$j(x,t)=-\lambda \frac{\partial T}{\partial x}(x,t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2023, Q27

    D'après la question Q26, la loi de Fourier unidimensionnelle s'écrit :

    j(x, t) = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x}(x, t)

    En supposant la conductivité thermique \lambda uniforme dans le matériau, sa dérivée spatiale vaut :

    \frac{\partial j}{\partial x}(x, t) = -\lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x, t)

    En injectant cette relation dans le bilan d'énergie établi à la question Q24, \dfrac{\partial T}{\partial t} = -\dfrac{1}{\rho c}\dfrac{\partial j}{\partial x}, il vient :

    \frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{1}{\rho c}\left(-\lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}\right) = \frac{\lambda}{\rho c} \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}

    On identifie l'équation de la chaleur sous la forme demandée :

    \frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}

    avec :

    \boxed{D = \frac{\lambda}{\rho c}}

    • La grandeur D est appelée la diffusivité thermique du matériau.
    • L'équation de diffusion donne dimensionnellement [D] = \dfrac{[x^2]}{[t]}. La diffusivité thermique s'exprime donc en mètres carrés par seconde (\mathbf{m^2\cdot s^{-1}}).

    Résultat

    $$D=\frac{\lambda }{\rho c}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question