Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2024

Dans le vide en présence de charges et de courants, l'équation locale de Maxwell-Ampère relie le rotationnel du champ magnétique \vec{B}, le vecteur densité de courant volumique \vec{j} et la dérivée temporelle du champ électrique \vec{E} :

où :

• \mu_0 désigne la perméabilité magnétique du vide ;
• \varepsilon_0 désigne la permittivité diélectrique du vide ;
• \vec{j}_{\mathrm{D}} = \varepsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} est le vecteur densité de courant de déplacement de Maxwell.

Dans le cadre de l'approximation des régimes lentement variables (ou régimes quasi-stationnaires magnétiques), le terme de courant de déplacement est négligeable devant le terme de conduction :

L'équation de Maxwell-Ampère se réduit alors à celle de la magnétostatique :

Soit un contour fermé orienté (C) bordant une surface ouverte quelconque \Sigma, orientée selon la règle du tire-bouchon (ou de la main droite) par rapport au sens de parcours choisi sur (C).

D'après le théorème de Stokes rappelé dans les données :

En magnétostatique (ou dans l'ARQS magnétique), l'équation de Maxwell-Ampère établie en Q2 s'écrit \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \vec{j}. En substituant :

Le terme \iint_{\Sigma} \vec{j} \cdot \mathrm{d}\vec{S} représente l'intensité totale du courant traversant la surface \Sigma, notée I_{\text{enlacé}}. Pour un ensemble de circuits filiformes traversant \Sigma, on a :

où \varepsilon_k = +1 si le courant traverse \Sigma dans le sens du vecteur normal unitaire \vec{n}, et \varepsilon_k = -1 s'il traverse en sens inverse.

On aboutit ainsi à la forme intégrale du théorème d'Ampère :

Le fil rectiligne infini est confondu avec l'axe (Oz) et parcouru par le courant I\,\vec{u}_z. Un point de l'espace M est repéré par ses coordonnées cylindriques (r, \theta, z) associées à la base locale (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z).

Invariances

• La distribution de courant est invariante par toute translation le long de l'axe (Oz) : le champ magnétique ne dépend donc pas de la variable z.
• La distribution de courant est invariante par toute rotation d'angle \theta autour de l'axe (Oz) : le champ magnétique ne dépend donc pas de la variable \theta.

Par conséquent, le champ magnétique ne dépend que de la distance radiale r :

Symétries Considérons le point M(r, \theta, z) :

• Le plan \mathcal{P}_S = (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z) contient l'axe (Oz), donc il contient le fil : c'est un plan de symétrie de la distribution de courant. Le champ magnétique étant un vecteur axial (ou pseudo-vecteur), il est orthogonal en tout point M à son plan de symétrie :

  \vec{B}(M) \perp \mathcal{P}_S \implies \vec{B}(M) \text{ est colinéaire à } \vec{u}_\theta
• Remarque de vérification : le plan \mathcal{P}_{AS} = (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta) est orthogonal au fil : c'est un plan d'antisymétrie de la distribution de courant. Le champ magnétique lui est donc tangentiel, ce qui confirme que la composante axiale est nulle (B_z = 0).

En combinant ces deux analyses, le champ magnétique créé par le fil infini s'écrit sous la forme :

D'après la question Q4, le champ magnétique en tout point situé à une distance R du fil s'écrit sous la forme :

Choix du contour d'Ampère : On choisit pour contour d'Ampère (\mathcal{C}) le cercle de rayon R, d'axe (Oz), situé dans un plan horizontal z = \mathrm{cste} et orienté selon le vecteur unitaire \vec{u}_\theta.

Circulation du champ magnétique : L'élément de longueur infinitésimal tangent au contour orienté est :

La circulation de \vec{B} le long du contour fermé (\mathcal{C}) vaut alors :

Courant enlacé : La normale \vec{n} à une surface \Sigma s'appuyant sur (\mathcal{C}) est orientée, d'après la règle de la main droite (sens direct associé à l'orientation de (\mathcal{C}) selon \vec{u}_\theta), selon +\vec{u}_z. Le fil traverse cette surface dans le sens de \vec{u}_z, donc le courant enlacé algébrique est :

Application du théorème d'Ampère : En appliquant le théorème d'Ampère démontré à la question Q3 :

On en déduit :

Le champ magnétique créé par le fil à la distance R s'écrit donc vectoriellement :

1. Direction du champ magnétique au point M :

• Tout plan contenant l'axe (Ox) coupe la spire circulaire en deux points diamétralement opposés où les densités de courant sont de sens contraires et orthogonales à ce plan. Par réflexion spéculaire par rapport à un tel plan, le vecteur densité de courant \vec{j} (vecteur polaire) est inversé : tout plan contenant l'axe (Ox) est donc un plan d'anti-symétrie pour la distribution de courant.
• Le champ magnétique \vec{B} étant un vecteur axial (pseudo-vecteur), il appartient à tout plan d'anti-symétrie de ses sources.
• Le point M étant situé sur l'axe (Ox), il appartient à l'intersection de tous les plans contenant cet axe. Le champ magnétique \vec{B}(M) est donc nécessairement colinéaire à cette intersection :

2. Sens du champ magnétique au point M :

• D'après la règle de la main droite (ou du tire-bouchon de Maxwell), en enroulant les doigts dans le sens du courant I le long de la spire, le pouce indique le sens du champ magnétique le long de l'axe.
• Au point M situé à droite de la spire (x > 0), la face vue est une face Nord : le champ magnétique \vec{B}(M) est donc orienté vers les x croissants (vers la droite).

3. Schéma :

Considérons le triangle rectangle en O formé par le centre O de la spire, le point M situé à la distance x sur l'axe (Ox), et un point P de la spire situé à une distance r de l'axe :

• le côté opposé à l'angle \alpha est OP = r ;
• le côté adjacent est OM = x ;
• l'hypoténuse vaut PM = \sqrt{r^2 + x^2}.

On en déduit l'expression du sinus de l'angle \alpha :

En utilisant la formule donnée par l'énoncé, B = B_0 \sin^3(\alpha), il vient :

On peut également factoriser par r^3 au dénominateur pour mettre en évidence la variable sans dimension \frac{x}{r} :

Le champ magnétique sur l'axe pour x \ll r est approché par son développement limité au second ordre fourni par l'énoncé :

Puisque B(x) \le B_0, considérer que le champ B(x) est égal à B_0 à 10\,\% près signifie que l'écart relatif vérifie :

En remplaçant par l'expression approchée de B(x) :

Comme x \ge 0, on obtient la condition sur la distance x :

La valeur maximale de x correspond au cas d'égalité :

Le flux magnétique \Phi à travers la spire (S) est défini par l'intégrale de surface :

où \Sigma est un disque plan de rayon r_2 s'appuyant sur le contour de la spire (S).

D'après l'orientation du courant i(t) indiquée sur la figure 4, la règle de la main droite oriente le vecteur surface élémentaire suivant la direction verticale ascendante :

Le champ magnétique étant uniforme au niveau de la spire (S) et égal à \vec{B} = B_0 \cos(\omega t)\,\vec{u}_z, le produit scalaire s'écrit simplement :

En intégrant sur la surface plane du disque d'aire S_2 = \pi r_2^2, on obtient :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite e(t) qui apparaît dans la spire (\mathrm{S}), orientée en cohérence avec le vecteur surface choisi à la question Q9 selon la règle de la main droite, est donnée par :

En utilisant l'expression du flux obtenue à la question Q9, \Phi(t) = B_0 \pi r_2^2 \cos(\omega t), il vient :

On en déduit l'expression de la force électromotrice induite :

Le courant induit noté i(t) circule dans la spire (S) modélisant la casserole, de résistance R. L'inductance propre de cette spire étant négligée, le terme d'auto-induction L\,\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} est nul.

La force électromotrice induite e(t) étant orientée dans le même sens que le contour définissant le courant i(t) (convention générateur), la loi d'Ohm pour le circuit fermé constitué par la spire s'écrit :

soit :

En utilisant l'expression de la f.é.m. e(t) établie à la question Q10, on obtient :

La puissance instantanée dissipée par effet Joule dans la spire (S) de résistance électrique R, parcourue par le courant induit i(t), s'écrit :

En utilisant l'expression du courant induit i(t) obtenue à la question Q11 :

il vient :

On obtient ainsi l'expression de la puissance instantanée :

D'après la question Q12, la puissance instantanée dissipée par effet Joule dans la spire (S) s'écrit :

La puissance moyenne P_{\text{moy}} est définie par la moyenne temporelle de P(t) sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} :

En utilisant l'identité trigonométrique \sin^2(\omega t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2}, et sachant que la moyenne temporelle d'un cosinus sur une période est nulle, on a :

On en déduit directement :

L'énergie thermique générée par effet Joule au sein du métal du fond de la casserole est transmise à son contenu par :

• conduction thermique (ou diffusion thermique) à travers l'épaisseur de la paroi métallique du fond de la casserole jusqu'à l'interface avec les aliments ;
• convection thermique (essentiellement naturelle) au sein du contenu s'il s'agit d'un fluide (eau, bouillon, etc.), qui transporte efficacement l'énergie thermique dans tout le volume grâce aux mouvements de matière induits par les différences de masse volumique.

Une plaque à induction présente plusieurs intérêts majeurs par rapport à une plaque électrique à résistance (plaque classique ou vitrocéramique radiante) :

• Un meilleur rendement énergétique : la puissance thermique est dissipée par effet Joule directement dans le fond du récipient grâce aux courants de Foucault induits, évitant ainsi les pertes thermiques intermédiaires liées au chauffage d'une plaque chauffante et à l'air environnant.
• Une réactivité accrue (très faible inertie thermique) : la génération de chaleur cesse ou s'adapte quasi instantanément dès lors que le courant de la bobine est modifié ou interrompu, assurant un contrôle fin et rapide de la cuisson.
• Une sécurité renforcée : la surface en vitrocéramique ne produit aucune chaleur par elle-même (elle ne s'échauffe que secondairement par contact avec le fond chaud de la casserole), ce qui limite considérablement les risques de brûlure.

L'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) est justifiée lorsque le temps de propagation des signaux électromagnétiques à travers le système, \tau_{\text{prop}} \sim \frac{D}{c}, est négligeable devant la période T = \frac{1}{f} du signal électrique, ce qui équivaut à la condition spatiale :

où D désigne la dimension caractéristique du système (r_1, r_2, z_0), c \approx 3{,}0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} la célérité de la lumière dans le vide et dans l'air, et f = 60\text{ kHz} la fréquence de fonctionnement.

Calculons la longueur d'onde associée :

Pour que l'ARQS soit rigoureusement satisfaite, les distances caractéristiques ne doivent pas dépasser une fraction de la longueur d'onde (typiquement \frac{\lambda}{10}), soit un ordre de grandeur de :

Commentaire : Dans une table de cuisson à induction, les dimensions de la bobine et de la casserole sont de l'ordre de la dizaine de centimètres (r_1, r_2 \sim 10\text{ cm}), et la distance z_0 séparant la bobine du récipient est de l'ordre du centimètre (z_0 \sim 1\text{ cm}). On a ainsi :

Les dimensions réelles sont donc de plusieurs ordres de grandeur inférieures à la longueur d'onde : l'approximation des régimes quasi-stationnaires est parfaitement justifiée.

L'équation de la diffusion thermique s'écrit :

Effectuons le changement de variable temporel traduisant un renversement du temps, t' = -t :

L'équation satisfaite par la fonction renversée dans le temps s'écrirait :

Cette équation est différente de l'équation initiale (présence d'un signe moins) : l'équation de diffusion thermique n'est pas invariante par renversement du temps (t \to -t).

Interprétation qualitative :

• Au voisinage d'un maximum local de température (bosse thermique), \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2} < 0, donc \dfrac{\partial T}{\partial t} < 0 : la température diminue.
• Au voisinage d'un minimum local (creux thermique), \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2} > 0, donc \dfrac{\partial T}{\partial t} > 0 : la température augmente.

La diffusion thermique conduit spontanément au lissage des gradients thermiques et à l'homogénéisation de la température. Le processus inverse, au cours duquel des écarts de température apparaîtraient spontanément dans un milieu homogène, est impossible : le phénomène est donc intrinsèquement irréversible.

L'équation de la diffusion thermique unidimensionnelle s'écrit :

où D désigne la diffusivité thermique de l'acier.

En effectuant une analyse d'ordres de grandeur sur les échelles caractéristiques de temps (\tau) et d'espace (L) :

En injectant ces estimations dans l'équation de la diffusion, on obtient :

Calculons d'abord la diffusivité thermique D de l'acier :

On en déduit l'ordre de grandeur de la durée caractéristique \tau avec L = 20\text{ cm} = 0{,}20\text{ m} :

Commentaire : Cette durée caractéristique est de l'ordre de plusieurs heures, ce qui est très grand devant la durée d'une cuisson classique (quelques dizaines de minutes). Ainsi, la chaleur produite au fond de la casserole met un temps très long à diffuser par simple conduction jusqu'à l'extrémité du manche. Le cuisinier peut donc saisir le manche sans risque de brûlure immédiate (d'autant plus que les déperditions thermiques avec l'air ambiant par convection et rayonnement limitent encore l'élévation de température du manche).