Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2024 (page 3/4 : Partie III)

Les grandeurs Q_f, Q_c et W sont définies en convention récepteur, c'est-à-dire comptées algébriquement pour le fluide frigorigène :

• Signe de Q_f : Le réfrigérateur a pour fonction de refroidir ou de maintenir à basse température la source froide en lui soutirant de l'énergie thermique. Le fluide reçoit donc ce transfert thermique de la part de la source froide :

  Q_f > 0

• Signe de W : D'après le second principe de la thermodynamique (énoncé de Clausius), un transfert thermique d'un corps froid vers un corps chaud ne peut s'effectuer de manière spontanée ; il nécessite un apport d'énergie mécanique de l'extérieur. C'est le compresseur qui fournit ce travail mécanique au fluide, donc :

  W > 0

• Signe de Q_c : L'énergie interne étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle fermé est nulle d'après le premier principe :

  \Delta U_{\text{cycle}} = W + Q_f + Q_c = 0 \implies Q_c = -(W + Q_f)

  Comme W > 0 et Q_f > 0, on en déduit nécessairement :

  Q_c < 0

  Le fluide restitue de l'énergie thermique à la source chaude (l'air ambiant).

En résumé :

Dans le fonctionnement d'un réfrigérateur ménager :

• la source froide se situe à l'intérieur de l'enceinte du réfrigérateur (l'air intérieur et les aliments dont on extrait de l'énergie thermique pour maintenir une température basse) ;
• la source chaude est l'air ambiant de la cuisine (l'extérieur du réfrigérateur dans lequel le fluide frigorigène rejette de l'énergie thermique par l'intermédiaire du condenseur).

Lors de la traversée du condenseur, le fluide frigorigène cède de l'énergie thermique à l'air ambiant de la cuisine (source chaude) : le transfert thermique algébrique reçu par le fluide est négatif (Q_c < 0).

D'après le second principe de la thermodynamique (énoncé de Clausius), un transfert thermique s'effectue spontanément du corps le plus chaud vers le corps le plus froid. Pour que le fluide puisse évacuer de la chaleur vers l'air ambiant, la température du fluide doit nécessairement être supérieure à celle de l'air ambiant :

a) Pressions au sein de l'évaporateur et du condenseur

• L'échange thermique dans l'évaporateur correspond au palier isobare inférieur 4 \to 1. Sur l'axe des ordonnées en échelle logarithmique, ce palier se situe entre les graduations 0{,}80\text{ bar} et 0{,}90\text{ bar} :

  \boxed{P_e \approx 0{,}85\text{ bar}} \quad (\text{valeur comprise entre } 0{,}80 \text{ et } 0{,}90\text{ bar})

• L'échange thermique dans le condenseur correspond au palier isobare supérieur 2 \to 3. Ce segment horizontal est situé au niveau de la graduation :

  \boxed{P_c \approx 9{,}0\text{ bar}} \quad (\text{valeur comprise entre } 9{,}0 \text{ et } 9{,}5\text{ bar})

b) Titre massique en vapeur au point 4

Le détendeur réalise une détente isenthalpique 3 \to 4, représentée par un segment vertical descendant reliant le liquide sous-refroidi / saturé à haute pression au mélange diphasique à basse pression P_e.

Au point 4, situé sous la cloche de saturation :

• L'abscisse est h_4 = h_3 \approx 235\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.
• En observant le réseau de courbes de titre en vapeur constant (courbes d'iso-titre en tirets orientées vers le haut), le point 4 se situe à mi-chemin entre la courbe x = 0{,}30 et la courbe x = 0{,}40 :

c) Température T_2 en sortie du compresseur

Le point 2 correspond à la sortie de la compression adiabatique réversible (1 \to 2, le long d'une isentropique en traits mixtes) à la pression P_c. Dans le domaine de la vapeur surchauffée, on suit le réseau des isothermes (courbes fléchissant vers le bas avec la température indiquée en ^{\circ}\text{C}). Le point 2 est situé directement sur la ligne isotherme T = 60\,^\circ\text{C} :

Pour un fluide en écoulement stationnaire et unidimensionnel à travers un système ouvert délimité par une section d'entrée notée e et une section de sortie notée s, le premier principe de la thermodynamique par unité de masse de fluide traversant le système s'écrit :

Les grandeurs intervenant dans ce bilan sont :

• h_e et h_s : enthalpies massiques du fluide respectivement en entrée et en sortie (\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}) ;
• v_e et v_s : vitesses d'écoulement macroscopiques moyennes du fluide en entrée et en sortie (\text{m}\cdot\text{s}^{-1}) ;
• z_e et z_s : altitudes de l'entrée et de la sortie repérées sur un axe vertical ascendant (\text{m}) ;
• g : accélération de la pesanteur (\text{m}\cdot\text{s}^{-2}) ;
• w_u (souvent noté w ou w_i) : travail utile (ou indiqué) massique échangé par le fluide avec les parties mobiles des machines (compresseur, turbine) (\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}) ;
• q : transfert thermique massique reçu par le fluide à travers les parois du dispositif (\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}).

Ce bilan s'exprime également en termes de puissances en introduisant le débit massique D_m (\text{kg}\cdot\text{s}^{-1}) :

où \mathcal{P}_u = D_m\,w_u est la puissance utile mécanique reçue et \mathcal{P}_{\text{th}} = D_m\,q le flux thermique reçu.

D'après l'expression du premier principe pour un écoulement stationnaire unidimensionnel (question Q39), en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle macroscopiques, le bilan enthalpique massique entre l'entrée et la sortie d'un organe s'écrit :

Appliquons cette relation aux différentes étapes du cycle frigorifique :

• Compresseur (1 \to 2) : la compression est adiabatique (q_{12} = 0), le travail indiqué massique reçu sur le cycle s'effectue uniquement dans le compresseur :

  w = w_u = h_2 - h_1

• Condenseur (2 \to 3) : l'échangeur ne comporte aucune pièce mobile (w_{u,23} = 0), le transfert thermique massique reçu de la part de la source chaude s'écrit :

  q_C = h_3 - h_2

• Détendeur (3 \to 4) : la détente est adiabatique et sans travail utile, elle est donc isenthalpique :

  h_4 = h_3

• Évaporateur (4 \to 1) : sans parties mobiles (w_{u,41} = 0), le transfert thermique massique reçu de la part de la source froide est :

  q_F = h_1 - h_4 = h_1 - h_3

Par lecture sur le diagramme enthalpique (P, h) de la figure 7, on relève les enthalpies massiques suivantes :

On en déduit les grandeurs énergétiques massiques :

L'efficacité thermodynamique (ou coefficient de performance) d'une machine frigorifique est définie par le rapport entre l'effet utile recherché (refroidir l'enceinte en prélevant le transfert thermique q_F à la source froide) et la dépense énergétique nécessaire (le travail mécanique w fourni par le compresseur au fluide) :

D'après les résultats obtenus à la question Q40 :

• q_F \approx 150 \text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• w \approx 50 \text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

On obtient ainsi :

On considère le système fermé constitué par le fluide frigorigène décrivant un cycle de transformations entre deux thermostats aux températures constantes T_f et T_c.

1. Premier principe de la thermodynamique sur un cycle : L'énergie interne U étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle est nulle :

On en déduit le travail reçu par le fluide :

2. Second principe de la thermodynamique sur un cycle réversible : L'entropie S étant également une fonction d'état, on a \Delta S = 0. Le cycle étant supposé réversible, l'entropie créée est nulle (S_{\text{créée}} = 0) :

D'où l'égalité de Clausius :

3. Expression du travail reçu : En réinjectant l'expression de Q_c dans le premier principe :

4. Efficacité de Carnot : Pour une machine frigorifique, la grandeur utile est le transfert thermique extrait de la source froide Q_f, et la grandeur coûteuse est le travail électrique reçu W. L'efficacité s'écrit :

Soit finalement :

1. Calcul de l'efficacité de Carnot

Les températures absolues des sources chaude et froide s'expriment en kelvins :

La différence de température vaut :

D'après l'expression établie à la question Q42 :

2. Comparaison avec le cycle réel

À la question Q41, l'efficacité trouvée pour le cycle du fluide R134a était e_1 \approx 3{,}0. On constate donc que :

L'efficacité réelle est environ 4,6 fois plus faible que l'efficacité théorique maximale de Carnot.

3. Prévisibilité du résultat et justification

Ce résultat était parfaitement prévisible :

• D'après le théorème de Carnot, issu du deuxième principe de la thermodynamique, aucune machine thermique ditherme ne peut avoir une efficacité supérieure à celle d'une machine ditherme réversible fonctionnant entre les mêmes températures de sources :

  e \le e_{\text{Carnot}}

  L'égalité n'est atteinte que si toutes les transformations du cycle sont strictement réversibles.

• Le cycle réel présente plusieurs sources majeures d'irréversibilité :

  • une détente isenthalpique par laminage dans le détendeur (3 \to 4), intrinsèquement irréversible (détente sans travail) ;
  • des transferts thermiques avec écarts de température finis entre le fluide frigorigène et les sources extérieures au niveau de l'évaporateur (le fluide y est vers -20\text{ }^\circ\text{C} alors que T_f = 3\text{ }^\circ\text{C}) et du condenseur (le fluide y est vers 35\text{--}40\text{ }^\circ\text{C} alors que T_c = 23\text{ }^\circ\text{C}).

Ces irréversibilités s'accompagnent d'une création d'entropie (S_c > 0), ce qui dégrade inévitablement l'efficacité de la machine (e_1 < e_{\text{Carnot}}).

La formation du givre correspond au passage direct de l'eau de l'état gazeux (vapeur d'eau présente dans l'air de l'enceinte) à l'état solide (fines couches de glace) sans passer par l'état liquide :

Ce changement d'état est la condensation solide (également appelée déposition ou désublimation).

Considérons le fluide frigorigène comme système fermé décrivant un cycle au contact de deux sources thermiques (la source froide à T_f et la source chaude à T_c).

L'entropie étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle est nulle :

D'après le second principe de la thermodynamique, ce bilan s'écrit :

où S_{\text{éch}} est l'entropie échangée avec les deux sources et S_c \ge 0 est l'entropie créée au cours du cycle.

Dans le modèle des transferts avec deux thermostats à températures T_f et T_c :

Le second principe conduit donc à l'égalité :

On en déduit :

On retrouve bien la forme demandée :

avec :

L'efficacité thermodynamique d'une machine frigorifique est définie par :

Pour maintenir les aliments à la température souhaitée, le réfrigérateur doit extraire une quantité d'énergie thermique Q_f donnée de la source froide.

• En l'absence de givre, d'après la question Q41, l'efficacité vaut e_1 = 3{,}0, soit un travail consommé :

  W_1 = \frac{Q_f}{e_1}

• En présence de givre, l'énoncé indique que l'efficacité chute à e_2 = 1{,}50, soit un travail consommé :

  W_2 = \frac{Q_f}{e_2}

Le travail nécessaire est donc relié au travail initial par :

La surconsommation électrique relative due à la présence de givre s'exprime par :

L'application numérique donne :