Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 TSI 2023 (page 3/3 : Partie IV)

Une machine frigorifique a pour fonction d'extraire de l'énergie thermique à l'enceinte à refroidir, qui constitue ici la source froide à la température T_f. Le fluide frigorigène doit donc recevoir un transfert thermique positif (Q_f > 0) de la part de cette source froide.

Dans le cycle frigorifique (figure 8) :

• au condenseur, le fluide cède de la chaleur vers l'extérieur (Q_c < 0, source chaude) en se liquéfiant à haute pression ;
• à l'évaporateur, le fluide se vaporise à basse pression et basse température ; cette vaporisation étant un changement d'état endothermique, le fluide absorbe de la chaleur (Q_f > 0) provenant du milieu environnant.

Par conséquent, la chambre froide se situe au niveau de l'évaporateur.

Les grandeurs Q_f, Q_c et W sont comptées algébriquement en convention récepteur pour le fluide :

• Signe de Q_f : Une machine frigorifique a pour but de refroidir ou de maintenir à basse température la source froide (la chambre froide). Le fluide extrait de la chaleur à cette source, il reçoit donc un transfert thermique :

  \boxed{Q_f > 0}

• Signe de Q_c : Le fluide évacue de l'énergie thermique vers le milieu extérieur (source chaude) au niveau du condenseur : il cède de la chaleur à la source chaude, d'où :

  \boxed{Q_c < 0}

• Signe de W : D'après le premier principe appliqué au fluide sur un cycle (\Delta U_{\text{cycle}} = 0) :

  W + Q_f + Q_c = 0 \implies W = -(Q_f + Q_c)

  D'après le second principe appliqué au fluide sur un cycle (\Delta S_{\text{cycle}} = 0), l'entropie créée étant positive ou nulle (S_c \ge 0) :

  \frac{Q_f}{T_f} + \frac{Q_c}{T_c} = -S_c \le 0

  Comme T_c > T_f > 0 et Q_f > 0, il vient :

  -Q_c \ge Q_f \frac{T_c}{T_f} > Q_f > 0

  ce qui confirme Q_c < 0 et conduit à :

  W = -(Q_f + Q_c) \ge Q_f \left(\frac{T_c}{T_f} - 1\right) > 0

  La machine doit nécessairement consommer du travail mécanique fourni par le compresseur :

  \boxed{W > 0}

L'efficacité e (ou coefficient de performance, noté \mathrm{COP}) d'une machine thermique est définie comme le rapport entre l'énergie utile reçue par l'utilisateur et l'énergie coûteuse (ou dépensée) fournie au fluide au cours d'un cycle :

Pour une machine frigorifique :

• l'effet utile recherché est le transfert thermique extrait de la chambre froide (source froide), soit la chaleur reçue par le fluide Q_f ;
• le coût énergétique est le travail mécanique fourni au compresseur par l'extérieur, soit le travail reçu par le fluide W.

Comme Q_f > 0 et W > 0 (d'après la question Q34), l'efficacité de la machine frigorifique s'écrit :

Considérons le fluide décrivant un cycle de Carnot ditherme, c'est-à-dire un cycle entièrement réversible en contact avec deux thermostats aux températures T_f et T_c.

Le fluide étant un système fermé revenant à son état initial, ses fonctions d'état ont une variation nulle sur un cycle :

• d'après le premier principe de la thermodynamique :

  \Delta U = W + Q_c + Q_f = 0 \implies W = -(Q_c + Q_f)

• d'après le second principe de la thermodynamique, en l'absence de création d'entropie pour un cycle réversible (S_{\text{créée}} = 0) :

  \Delta S = \frac{Q_c}{T_c} + \frac{Q_f}{T_f} + S_{\text{créée}} = 0 \implies \frac{Q_c}{T_c} + \frac{Q_f}{T_f} = 0

On en déduit l'expression du transfert thermique avec la source chaude :

En reportant cette relation dans l'expression du travail W :

Par définition, l'efficacité de Carnot e_c s'écrit :

soit :

Pour un cycle réel irréversible, le second principe impose S_{\text{créée}} \ge 0, d'où l'inégalité de Clausius :

Le travail à fournir au fluide vérifie alors :

Comme Q_f > 0 et W > 0, il vient :

L'efficacité réelle d'une machine frigorifique ditherme est toujours inférieure ou égale à l'efficacité de Carnot, cette dernière représentant la limite thermodynamique maximale théorique indépassable.

D'après l'expression établie à la question Q36, l'efficacité de Carnot d'une machine frigorifique s'écrit :

En convertissant les températures en kelvins :

L'application numérique donne :

Interprétation du résultat :

• Valeur supérieure à 1 : L'efficacité e_c > 1 ne viole pas le premier principe. Contrairement au rendement d'un moteur thermique (borné par 1 car il quantifie une conversion de chaleur en travail), l'efficacité frigorifique caractérise un transfert d'énergie thermique assisté par un apport de travail : pour 1\text{ J} d'énergie mécanique fourni au compresseur, la machine idéale extrait jusqu'à 6{,}6\text{ J} de transfert thermique de la source froide.
• Borne maximale théorique : D'après le théorème de Carnot, cette efficacité correspond au cas idéal d'un fonctionnement réversible. Pour toute machine frigorifique réelle fonctionnant entre ces deux températures, l'efficacité réelle sera nécessairement inférieure à cette limite théorique : e < 6{,}6.

À l'aide des données du tableau 2, on repère les points 1 à 7 sur le diagramme (\ln P, h) :

Le tracé du cycle sur le document-réponse comporte les étapes suivantes :

• 1 \to 2 (compression adiabatique réversible) : transformation isentropique (s = \text{cte}), modélisée par une courbe ascendante orientée vers la droite, de (h_1, P_1) = (402, 2{,}7) à (h_2, P_2) = (442, 11{,}6) ;
• 2 \to 3 \to 4 \to 5 (refroidissement, condensation puis sous-refroidissement isobares) : segment horizontal à P = 11{,}6\text{ bar}, parcouru de droite à gauche, de h = 442\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} à h = 256\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, traversant la cloche entre 3 (x=1) et 4 (x=0) ;
• 5 \to 6 (détente isenthalpique dans le détendeur) : segment vertical descendant à enthalpie constante h = 256\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, de P = 11{,}6\text{ bar} à P = 2{,}7\text{ bar} ;
• 6 \to 7 \to 1 (vaporisation puis surchauffe isobares) : segment horizontal à P = 2{,}7\text{ bar}, parcouru de gauche à droite, de h = 256\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} à h = 402\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, franchissant la courbe de rosée au point 7.

Sur le diagramme des frigoristes (\ln P,\, h), le cycle 1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 5 \to 6 \to 7 \to 1 est parcouru dans le sens anti-horaire (sens trigonométrique) :

• la compression 1 \to 2 s'effectue vers les hautes pressions et fortes enthalpies ;
• le refroidissement et la condensation (2 \to 5) ont lieu à haute pression (P_c = 11{,}6\text{ bar}) vers la gauche ;
• la détente 5 \to 6 se fait verticalement vers le bas (vers la basse pression P_f = 2{,}7\text{ bar}) ;
• l'évaporation et la surchauffe (6 \to 1) ont lieu à basse pression vers la droite.

Ce sens de parcours trigonométrique traduit un cycle thermodynamique récepteur :

Le fluide absorbe de la chaleur à basse pression (donc à basse température au niveau de l'évaporateur, Q_f > 0) et en rejette à haute pression (donc à haute température au niveau du condenseur, Q_c < 0), ce qui nécessite obligatoirement un apport de travail mécanique de la part du compresseur (W > 0) conformément au second principe de la thermodynamique (énoncé de Clausius).

Entre les points 3 et 4, la pression (P = 11{,}6\text{ bar}) et la température (T = 45{,}0\text{ }^\circ\text{C}) demeurent constantes tandis que l'enthalpie massique diminue de h_3 = 421\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} à h_4 = 264\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. Il s'agit du changement d'état liquide–vapeur (condensation) d'un corps pur à pression constante :

• Au point 3, la condensation débute : le point est situé sur la courbe de rosée, le fluide est à l'état de vapeur saturante (ou vapeur saturée sèche, titre massique en vapeur x_v = 1).
• Au point 4, la condensation est totale : le point est situé sur la courbe d'ébullition, le fluide est à l'état de liquide saturant (ou liquide saturé, titre massique en vapeur x_v = 0).

D'après le tableau 2, au point 6 situé en sortie du détendeur :

Ce point est situé sous la courbe de saturation, dans le domaine diphasique liquide-vapeur.

Sur le diagramme enthalpique (figure A), les courbes d'égal titre en vapeur (courbes isotitres en traits mixtes) sont tracées de 0{,}1 en 0{,}1 entre la courbe d'ébullition (x_v = 0) et la courbe de rosée (x_v = 1).

À la pression P_6 = 2{,}7\text{ bar} et pour une enthalpie massique h_6 = 256\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, le point 6 coïncide pratiquement avec la courbe isotitre x_v = 0{,}30 (troisième courbe après la courbe d'ébullition).

On en déduit :

Pour un fluide en écoulement stationnaire à travers un organe délimité par une section d'entrée et une section de sortie, le premier principe de la thermodynamique appliqué à une unité de masse s'écrit généralement :

où :

• \Delta h = h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}} est la variation d'enthalpie massique du fluide ;
• \Delta e_c et \Delta e_p sont respectivement les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de pesanteur massiques ;
• w_i est le travail utile (ou travail indiqué) massique reçu par le fluide de la part des pièces mobiles (machines) ;
• q est le transfert thermique massique reçu par le fluide au contact des parois.

En négligeant \Delta e_c et \Delta e_p devant \Delta h comme le précise l'énoncé, la relation se simplifie en :

De façon équivalente, en multipliant par le débit massique D_m, cette relation peut s'écrire sous forme de bilan de puissances :

L'évaporateur est traversé par le fluide frigorigène entre l'entrée en 6 (en sortie de détendeur) et la sortie en 1 (à l'aspiration du compresseur), englobant la vaporisation (6 \to 7) et la surchauffe (7 \to 1).

Appliquons le premier principe de la thermodynamique pour un fluide en écoulement stationnaire (rappelé à la question Q42) à la traversée de l'évaporateur :

L'évaporateur ne comportant aucune pièce mécanique mobile, le travail utile échangé est nul (w_i = 0). Il vient donc :

D'après le tableau 2 :

• h_1 = 402\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• h_6 = 256\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

D'après la figure 8 et le descriptif du cycle, le condenseur regroupe les étapes de désurchauffe (2 \to 3), de condensation (3 \to 4) et de sous-refroidissement (4 \to 5). Le fluide y entre donc à l'état 2 (en sortie de compresseur) et en ressort à l'état 5 (avant d'entrer dans le détendeur).

Le condenseur ne comportant aucune pièce mobile, le travail indiqué échangé est nul : w_i = 0.

En appliquant le premier principe de la thermodynamique en écoulement stationnaire (établi à la question Q42) entre les points 2 et 5, il vient :

D'où l'expression du transfert thermique massique reçu par le fluide dans le condenseur :

Application numérique : D'après le tableau 2 :

• h_2 = 442\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_5 = 256\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

Dans le compresseur, le fluide subit la transformation 1 \to 2, qui est une compression adiabatique. Le transfert thermique à travers les parois est donc nul :

En appliquant le premier principe de la thermodynamique en écoulement stationnaire établi à la question Q42 au fluide traversant le compresseur entre l'entrée (point 1) et la sortie (point 2), il vient :

D'où l'expression du travail indiqué massique reçu par le fluide :

Application numérique : D'après le tableau 2 de l'énoncé :

• h_1 = 402\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_2 = 442\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

D'après la définition établie à la question Q35, l'efficacité de la machine frigorifique s'écrit comme le rapport du transfert thermique utile prélevé à la source froide sur le travail fourni au compresseur :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q43 et Q45 :

Avec les valeurs numériques du tableau 2 (q_f = 146\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et w_i = 40\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) :

En conservant deux chiffres significatifs, cohérents avec la précision sur w_i :

Le fluide frigorifique reçoit, lors de sa traversée de l'évaporateur, le transfert thermique massique q_f issu de la chambre froide (source froide). En régime stationnaire, pour un débit massique de fluide D_m, la puissance thermique reçue par le fluide, correspondant à la puissance thermique extraite de la chambre froide, s'exprime par :

Application numérique : D'après le tableau 2 et le résultat de la question Q43 :

On obtient :

En conservant deux chiffres significatifs conformément à la donnée de D_m :