Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2025

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le poids \vec{P} = m\vec{g} est une force uniforme. Le travail du poids lors du déplacement de l'enfant du point \text{A} au point \text{B} ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des altitudes initiale z_\text{A} = H et finale z_\text{B} = h :

Application numérique avec m = 50\text{ kg}, g = 10\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}, H = 21,0\text{ m} et h = 1,0\text{ m} :

Énoncé du théorème de l'énergie cinétique :
Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un point matériel entre deux positions A et B est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées à ce point matériel entre ces deux positions :

Application à l'enfant :

• Système : enfant modélisé par le point matériel \text{M} de masse m.
• Référentiel : terrestre, supposé galiléen.

• Bilan des forces :

  • le poids \vec{P} ;
  • la réaction normale de la piste \vec{R}_N, orthogonale à tout instant au déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{\ell} (glissade sans frottement), d'où un travail nul : W_{A \to B}(\vec{R}_N) = 0.

L'enfant partant sans vitesse initiale depuis le point A, on a v_A = 0, soit E_c(A) = 0. Au point B, son énergie cinétique s'écrit E_c(B) = \frac{1}{2} m v_{B\_{sans\_frottement}}^2.

En appliquant le théorème de l'énergie cinétique entre A et B et en utilisant l'expression du travail du poids établie à la question Q1 :

On en déduit l'expression de la vitesse atteinte au point B :

D'après le résultat établi à la question Q2 :

Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

• g = 10\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1} = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• H = 21,0\text{ m} ;
• h = 1,0\text{ m}, soit H - h = 20,0\text{ m}.

On en déduit :

On étudie l'enfant assimilé au point matériel M, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. En un point quelconque du toboggan, le point M se déplace vers l'aval le long de la piste.

Le système est soumis aux actions mécaniques suivantes :

• son poids \vec{P} = m\vec{g}, vertical, dirigé vers le bas ;

• l'action de contact de la piste, traditionnellement décomposée en :

  • une composante normale \vec{R}_N, perpendiculaire au profil de la piste et dirigée vers le haut (orientée vers l'extérieur de la surface de glisse pour empêcher la pénétration) ;
  • la force de frottement \vec{F} (composante tangentielle), colinéaire à la vitesse (tangente à la trajectoire) et dirigée dans le sens opposé au mouvement (vers l'amont).

La résultante des actions de contact exercées par la piste sur l'enfant est \vec{R} = \vec{R}_N + \vec{F}.

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique à l'enfant, modélisé par le point matériel M, entre les points A et B dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

Le contact étant unilatéral avec glissement le long de la piste, la réaction normale \vec{R}_N est orthogonale à chaque instant au déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{\ell}, d'où W_{\vec{R}_N} = 0.

De plus, l'enfant part du repos en A, soit E_c(A) = 0, et arrive en B avec la vitesse v_B, soit E_c(B) = \frac{1}{2} m v_B^2.

Il vient ainsi :

D'où l'expression du travail de la force de frottement :

Application numérique :

À chaque instant, le déplacement élémentaire du point matériel M le long de la trajectoire s'écrit :

où \vec{u} est le vecteur unitaire tangent à la piste orienté dans le sens du mouvement, et \mathrm{d}\ell > 0 l'abscisse curviligne élémentaire.

La force de frottement fluide/solide \vec{F} est opposée au mouvement à chaque instant :

Le travail élémentaire de la force de frottement s'exprime donc par :

Puisque la norme F est supposée constante tout au long de la glissade, le travail total sur le trajet de longueur L reliant A à B s'obtient par intégration :

D'après la question Q6, le travail de la force de frottement s'écrit :

On en déduit l'expression de la norme F de la force de frottement :

En utilisant la valeur numérique obtenue à la question Q5 (W_{\vec{F}} = -7,5 \cdot 10^3\text{ J}) et la longueur de la piste L = 37,5\text{ m} :

On étudie le point matériel M de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On choisit un repère (B, \vec{u}_x, \vec{u}_y) où l'axe (Bx) est horizontal orienté dans le sens du mouvement, et (By) est vertical ascendant (la surface de l'eau se situe donc à la cote y_C = -h).

À l'instant initial t = 0 (passage en B) :

Pendant la phase aérienne entre B et C, les frottements de l'air étant négligés, l'enfant n'est soumis qu'à son poids \vec{P} = -m\,g\,\vec{u}_y. La deuxième loi de Newton s'écrit :

Par intégrations successives :

L'enfant atteint la surface de l'eau au point C à une date notée t_C telle que y(t_C) = -h, soit :

La distance horizontale d parcourue depuis B s'écrit alors :

Application numérique :

On étudie l'enfant assimilé au point matériel M de masse m dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.

Dans l'eau, les forces appliquées à M sont :

• son poids \vec{P} = -m g \vec{u}_y (vertical descendant) ;
• la poussée d'Archimède éventuelle \vec{\Pi}_A (verticale ascendante) ;
• la force de frottement fluide \vec{F}' = -k \vec{v} = -k(v_x \vec{u}_x + v_y \vec{u}_y).

D'après la deuxième loi de Newton :

Les forces de pesanteur et d'Archimède étant purement verticales, leur projection selon l'axe horizontal (Ox) est nulle. En projetant la relation vectorielle sur l'axe (Ox), on obtient :

En divisant par la masse m, on aboutit directement à :

Condition initiale : Lors de la chute dans l'air entre B et C, le frottement de l'air étant négligé, l'accélération horizontale était nulle. La composante horizontale de la vitesse est restée constante et égale à sa valeur initiale en B :

En prenant l'instant d'arrivée dans l'eau au point C comme nouvelle origine des dates (t = 0), la continuité de la vitesse impose :

L'équation différentielle régissant l'évolution de la vitesse v_x(t), obtenue à la question Q9, s'écrit :

La forme canonique d'une équation différentielle linéaire scalaire du premier ordre homogène fait intervenir un temps caractéristique \tau tel que :

Par identification directe des termes, on en déduit l'expression du temps caractéristique de ralentissement :

D'après la question Q9 et en introduisant le temps caractéristique \tau = \frac{m}{k} déterminé à la question Q10, la composante horizontale de la vitesse v_x(t) vérifie l'équation différentielle linéaire du premier ordre :

La solution générale de cette équation différentielle sans second membre s'écrit sous la forme :

où A est une constante d'intégration déterminée par la condition initiale v_x(0) = v_B :

Le modèle mathématique décrivant l'évolution temporelle de la vitesse horizontale est donc une décroissance exponentielle :

Avec v_B = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, ce modèle s'écrit numériquement :

Pour une loi d'évolution exponentielle v_x(t) = v_B \exp(-t/\tau) :

• À la date t = \tau, la vitesse vaut :

  v_x(\tau) = \frac{v_B}{\mathrm{e}} \approx 0{,}368 \times 10 \approx 3{,}7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

  Sur la figure 2, l'ordonnée v_x = 3{,}7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} correspond à une abscisse :

  \tau \approx 0{,}25\text{ s} \quad (\text{on peut raisonnablement estimer }\tau \in [0{,}20\text{ ; } 0{,}30]\text{ s})
• On peut également tracer la tangente à l'origine en t = 0, qui coupe l'axe des abscisses (v_x = 0) en t = \tau \approx 0{,}25\text{ s}.

D'après la question Q10, le coefficient de frottement fluide k s'exprime par :

Avec m = 50\text{ kg} et \tau \approx 0{,}25\text{ s} :

Par définition, la vitesse horizontale est la dérivée de la position horizontale : v_x(t) = \dfrac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t}, où x'(t) est mesurée à partir du point C avec x'(0) = 0.

En utilisant le modèle obtenu aux questions Q10 et Q11, la distance totale parcourue horizontalement sous l'eau jusqu'à l'arrêt est :

Avec les valeurs numériques v_B = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \tau \approx 0{,}25\text{ s} (d'après Q12) :

Conséquence pour les consignes de sécurité :

Depuis la sortie du toboggan (point B), la distance horizontale totale atteinte par l'enfant est la somme du trajet aérien d (déterminé en Q8) et du trajet sous l'eau d' :

Il convient donc de délimiter une zone d'interdiction aux baigneurs s'étendant à au moins 7{,}0\text{ m} de la sortie du toboggan (voire 8 à 10\text{ m} en prévoyant une marge de sécurité adaptée), afin d'éviter toute collision avec les enfants qui arrivent dans la piscine.

La relation de Bernoulli s'applique sous les hypothèses suivantes :

• fluide parfait (viscosité négligeable, absence de frottements visqueux) ;
• fluide incompressible et homogène (\rho = \text{cte}) ;
• écoulement stationnaire (ou permanent) ;
• écoulement dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, en l'absence de machine (pas de pompe ni de turbine sur la portion considérée, aucun échange de travail utile) ;
• le long d'une même ligne de courant (valable dans tout le fluide si l'écoulement est irrotationnel).

Sous ces conditions, la quantité suivante est conservée le long d'une ligne de courant :

où :

• P est la pression statique du fluide au point considéré (en \text{Pa}) ;
• \rho est la masse volumique du fluide (en \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}) ;
• v est la vitesse de la particule de fluide (en \text{m}\cdot\text{s}^{-1}) ;
• z est l'altitude du point considéré selon un axe vertical orienté vers le haut (en \text{m}) ;
• g est l'accélération de la pesanteur (en \text{m}\cdot\text{s}^{-2} ou \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}).

L'eau est modélisée comme un fluide incompressible (\rho = \mathrm{cte}) et l'écoulement est supposé permanent (stationnaire). La conservation de la masse impose alors la conservation du débit volumique D_V à travers toute section droite de la conduite.

La vitesse de l'écoulement étant de plus supposée uniforme sur la section S des tuyaux, le débit volumique s'écrit :

D'après l'énoncé, la section droite utile est identique au point D et au point F :

Par conséquent :

Le débit volumique s'exprime dans le système international par :

L'écoulement étant incompressible et la vitesse uniforme sur la section S au point de refoulement G, le débit volumique s'écrit :

En effectuant l'application numérique :

Dans le cadre des hypothèses précédentes, le fluide est parfait, incompressible et en écoulement stationnaire. On applique le théorème de Bernoulli entre les points D (sortie de pompe) et F (sommet de la colonne montante) situés sur une même ligne de courant :

D'après la question Q15, la section utile du tuyau étant constante de D à F (S = 5{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m}^2), la conservation du débit volumique impose v_D = v_F. Le terme d'énergie cinétique se simplifie donc :

D'après le schéma de la figure 3, le tronçon DE est horizontal (z_E = z_D) et le tronçon vertical EF a pour hauteur L_2 = 25\text{ m}, d'où :

L'expression littérale de la pression P_F est donc :

Application numérique :

• P_D = 5{,}5\text{ bar} = 5{,}5\cdot 10^5\text{ Pa}
• \rho = 1{,}0\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• g = 10\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}
• L_2 = 25\text{ m}

Sur le tronçon horizontal DE de longueur L_1 = 30\text{ m}, l'altitude et la section du tuyau sont constantes (z_D = z_E et v_D = v_E). La différence de pression observée est donc uniquement due aux pertes de charge régulières :

Les pertes de charge régulières étant supposées proportionnelles à la longueur de tuyau, la perte de charge par unité de longueur s'écrit :

Sur le tronçon EF de longueur L_2 = 25\text{ m}, la perte de charge régulière est donc :

En négligeant la perte de charge singulière au coude E, le théorème de Bernoulli avec pertes de charge entre E et F (avec v_E = v_F) s'écrit :

Comme \rho g L_2 = 1{,}0 \cdot 10^3 \times 10 \times 25 = 2{,}5 \cdot 10^5\text{ Pa} = 2{,}5\text{ bar} :

Procédons à l'analyse dimensionnelle du produit D_V \Delta P_{\text{pertes}} :

• Le débit volumique D_V représente un volume par unité de temps :

  [D_V] = \mathrm{L}^3 \cdot \mathrm{T}^{-1}

• Une pression (ou une différence de pression \Delta P_{\text{pertes}}) est une force par unité de surface. D'après le principe fondamental de la dynamique (F = m a), une force a pour dimension [F] = \mathrm{M} \cdot \mathrm{L} \cdot \mathrm{T}^{-2}, d'où :

  [\Delta P_{\text{pertes}}] = \frac{[F]}{[S]} = \frac{\mathrm{M} \cdot \mathrm{L} \cdot \mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{L}^2} = \mathrm{M} \cdot \mathrm{L}^{-1} \cdot \mathrm{T}^{-2}

En effectuant le produit des deux grandeurs :

Or, une puissance \mathcal{P} est une énergie par unité de temps, soit le travail d'une force (W = F \cdot \ell) divisé par un temps :

On constate que :

La quantité D_V \Delta P_{\text{pertes}} est donc bien homogène à une puissance.

Considérons l'écoulement permanent d'eau (fluide incompressible de masse volumique \rho) entre un point de la surface libre du bassin (noté \text{SL}) et le point de refoulement G.

Le théorème de Bernoulli généralisé avec apport de travail utile et pertes de charge s'écrit sous forme de bilan de puissance :

Précisons les conditions en chacun des deux points :

• À la surface libre (SL) :

  • Le bassin étant ouvert à l'air libre, la pression est atmosphérique : P_{\text{SL}} = P_{\text{atm}}.
  • Les dimensions du bassin étant très grandes devant la section du tuyau, la vitesse y est négligeable : v_{\text{SL}} \approx 0.

• Au point de refoulement (G) :

  • Le jet débouche à l'air libre, donc la pression vaut également la pression atmosphérique : P_G = P_{\text{atm}}, d'où P_G - P_{\text{SL}} = 0.
  • La vitesse du fluide est la vitesse d'éjection calculée à la question précédente : v_G = \dfrac{D_V}{S}.

• Dénivelé : D'après la figure 3, la pompe et le tronçon horizontal DE sont situés à la profondeur p sous la surface libre (z_E = z_{\text{SL}} - p), et le tronçon vertical a pour hauteur L_2 (z_G = z_E + L_2). On en déduit :

  z_G - z_{\text{SL}} = L_2 - p

En injectant ces résultats dans le bilan de puissance, on obtient :

D'après la question Q20, la puissance utile fournie par la pompe s'exprime par :

avec :

• D_V = 3{,}6\cdot 10^4\text{ L}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{36\text{ m}^3}{3600\text{ s}} = 1{,}0\cdot 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} ;

• la charge gravitaire :

  \rho g (L_2 - p) = 1{,}0\cdot 10^3 \times 10 \times (25 - 1{,}0) = 2{,}4\cdot 10^5\text{ Pa} = 2{,}4\text{ bar}

• les pertes de charge :

  \Delta P_{\text{pertes}} = 2\text{ bar} = 2{,}0\cdot 10^5\text{ Pa}

• la charge cinétique au refoulement (avec v_G = 2{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} d'après Q16) :

  \frac{1}{2}\rho v_G^2 = \frac{1}{2} \times 1{,}0\cdot 10^3 \times (2{,}0)^2 = 2{,}0\cdot 10^3\text{ Pa} = 0{,}02\text{ bar}

On constate que la charge cinétique (0{,}02\text{ bar}) est négligeable devant les autres contributions :

Le rendement global \eta de l'ensemble {moteur + pompe} est défini comme le rapport de la puissance mécanique utile fournie au fluide P_u sur la puissance électrique consommée par le moteur P_{\text{elec}} :

On en déduit l'expression de la puissance électrique nécessaire :

Avec P_u = 4{,}4\text{ kW} (d'après la question Q21) et \eta = 60\,\% = 0{,}60 :

D'après la relation (2) fournie par l'énoncé, la puissance utile de la pompe s'exprime sous la forme :

On en déduit l'expression littérale de la Hauteur Manométrique Totale :

Avec les valeurs numériques :

• P_u = 4,4\text{ kW} = 4,4 \cdot 10^3\text{ W} (d'après la question Q21) ;
• \rho = 1,0 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• g = 10\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• D_V = 3,6 \cdot 10^4\text{ L}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{3,6 \cdot 10^4 \cdot 10^{-3}}{3600}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} = 1,0 \cdot 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}.

Le calcul donne :

Comme la hauteur d'une colonne d'eau est directement exprimée en mètres de colonne d'eau (mCE), on a :

Le cahier des charges impose :

• un débit volumique de fonctionnement :

  D_V = 3{,}6 \cdot 10^4\text{ L}\cdot\text{h}^{-1} = 36\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1} = 10\text{ L}\cdot\text{s}^{-1}

• une hauteur manométrique totale (calculée à la question Q23) :

  \text{HMT} = 44\text{ mCE}

Sur le graphique supérieur de l'annexe représentant la hauteur manométrique totale \text{HMT} en fonction du débit volumique D_V pour différents diamètres de roue :

• à l'abscisse D_V = 36\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1} (soit 10\text{ L}\cdot\text{s}^{-1}) ;
• à l'ordonnée \text{HMT} = 44\text{ mCE}.

Le point de fonctionnement (36\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1}\,;\,44\text{ mCE}) se situe directement sur la courbe correspondant au diamètre :

Le régime optimal d'une pompe correspond à son point de meilleur rendement hydraulique (noté souvent BEP, pour Best Efficiency Point), c'est-à-dire là où l'énergie fournie est convertie avec le minimum de pertes.

Pour le point de fonctionnement de l'installation :

la lecture des courbes d'iso-rendement sur le document technique (annexe) indique :

Or, le rendement maximal offert par cette famille de pompes se situe autour de :

et ce rendement optimal n'est atteint que pour des débits nettement supérieurs, compris entre 80\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1} et 100\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1}.

Considérons comme système thermodynamique l'eau contenue dans le bassin, assimilée à une phase condensée indilatable et incompressible de masse volumique \rho = 1{,}0 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et de volume V = 200\text{ m}^3. Sa masse totale est :

D'après le premier principe de la thermodynamique, la variation d'énergie interne de l'eau lors de ce réchauffement isobare (à pression atmosphérique) sans travail utile s'écrit :

La chaudière fournit une puissance constante P pendant la durée \Delta t. Pour un rendement de chauffe de 100\,\%, toute l'énergie thermique dégagée par la chaudière est transférée à l'eau :

On en déduit l'expression de la durée de chauffe \Delta t :

Application numérique :

D'où :

En convertissant en heures (1\text{ h} = 3\,600\text{ s}) :

La combustion complète d'un alcane linéaire comme le butane \mathrm{C_4H_{10}} dans le dioxygène produit exclusivement du dioxyde de carbone \mathrm{CO_2} et de l'eau \mathrm{H_2O}.

L'ajustement stœchiométrique des éléments chimiques donne :

• conservation du carbone : 4 moles de \mathrm{CO_2} par mole de \mathrm{C_4H_{10}} ;
• conservation de l'hydrogène : 5 moles de \mathrm{H_2O} par mole de \mathrm{C_4H_{10}} ;
• conservation de l'oxygène : 4 \times 2 + 5 \times 1 = 13 atomes d'oxygène, soit \frac{13}{2} moles de \mathrm{O_2}.

L'équation de la réaction de combustion complète s'écrit donc, rapportée à une mole de butane :

ou, avec des coefficients stœchiométriques entiers :

La puissance thermique P développée par la chaudière est liée au débit massique de combustible D_m et à son pouvoir calorifique PC par la relation :

Application numérique en \mathrm{g}\cdot\mathrm{s}^{-1} : Avec P = 100\text{ kW} = 100\text{ kJ}\cdot\text{s}^{-1} et PC = 50\text{ kJ}\cdot\text{g}^{-1} :

Conversion en \mathrm{g}\cdot\mathrm{min}^{-1} : Sachant qu'une minute compte 60\text{ s}, le débit massique par minute s'écrit :

D'après les masses molaires atomiques fournies :

D'après la question Q28, la masse de butane consommée pendant une durée \Delta t_0 = 1\text{ min} de fonctionnement est :

La quantité de matière de butane brûlée par minute s'écrit alors :

D'après l'équation de la réaction de combustion complète établie à la question Q27 :

la stœchiométrie impose que la combustion d'une mole de butane engendre 4 moles de dioxyde de carbone :

La masse m(\mathrm{CO_2}) produite par minute de fonctionnement est donc :

Application numérique :

Avec deux chiffres significatifs cohérents avec les données :

L'enthalpie massique de vaporisation \Delta h_{\text{vap}} du fluide à la température \theta = 0\,^{\circ}\text{C} est égale à la variation d'enthalpie massique lors du passage de l'état de liquide saturé à l'état de vapeur saturée sèche :

Sous la courbe de saturation (zone diphasique liquide-vapeur), le changement d'état d'un corps pur est isotherme et isobare. L'isotherme T = 0\,^{\circ}\text{C} correspond à un segment horizontal à la pression de vapeur saturante p_{\text{sat}}(0\,^{\circ}\text{C}) \approx 0{,}47\text{ MPa} \approx 4{,}7\text{ bar} (cohérent avec la valeur approchée de 5\text{ bar} mentionnée dans les données de l'énoncé) :

• À l'intersection avec la courbe d'ébullition (liquide saturé, à gauche) : l'encart d'état de référence du diagramme indique directement :

  h_L(0\,^{\circ}\text{C}) = 200\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

• À l'intersection avec la courbe de rosée (vapeur saturée, à droite) : la lecture sur l'axe des abscisses donne :

  h_V(0\,^{\circ}\text{C}) \approx 575\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad (\text{compris entre } 570 \text{ et } 580\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1})

On en déduit l'enthalpie massique de vaporisation du R290 à 0\,^{\circ}\text{C} :

L'enthalpie massique de vaporisation à une température T donnée est définie par la différence entre l'enthalpie massique de la vapeur saturée et celle du liquide saturé :

Sur le diagramme enthalpique (h, \ln P), cette grandeur correspond à la largeur du dôme de saturation le long d'une isotherme :

• à basse température, l'écart entre les états liquide et gazeux est maximal, \Delta h_{\text{vap}} prend une valeur élevée ;
• lorsque la température T augmente, les densités et enthalpies des phases liquide et vapeur se rapprochent, si bien que \Delta h_{\text{vap}}(T) décroît de façon strictement monotone ;

• au point critique (T = T_c), les deux phases deviennent indiscernables : le dôme se referme au point critique C et l'enthalpie massique de vaporisation s'annule :

  \Delta h_{\text{vap}}(T_c) = 0

  De plus, la courbe présente une tangente verticale au point critique en raison d'un comportement d'échelle au voisinage critique (\Delta h_{\text{vap}} \propto (T_c - T)^\beta avec \beta \approx 0{,}38).

• pour T > T_c, le domaine diphasique liquide-gaz n'existe plus (état supercritique).

Le diagramme fourni est un diagramme enthalpique de Mollier (\ln p, h), où l'abscisse représente l'enthalpie massique h (en \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) et l'ordonnée la pression p (en \text{MPa}, échelle logarithmique). On rappelle que 1\text{ bar} = 0{,}1\text{ MPa}.

1. Caractérisation et positionnement des quatre points :

• Point A : état de vapeur saturante sèche à p_A = 5\text{ bar} = 0{,}5\text{ MPa} et \theta_A \approx 0\,^\circ\text{C}. Il se situe à l'intersection de l'isobare p = 0{,}5\text{ MPa} et de la courbe de rosée (courbe de saturation de droite, titre en vapeur x = 1) :

  h_A \approx 575\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad p_A = 0{,}5\text{ MPa}.

• Point B : vapeur surchauffée en sortie de compresseur, défini par p_B = 15\text{ bar} = 1{,}5\text{ MPa} et \theta_B = 80\,^\circ\text{C}. Il se situe à l'intersection de l'isobare p = 1{,}5\text{ MPa} et de l'isotherme \theta = 80\,^\circ\text{C} dans le domaine vapeur :

  h_B \approx 645\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad p_B = 1{,}5\text{ MPa}.

• Point C : liquide saturant en sortie de condenseur, à la pression p_C = p_B = 1{,}5\text{ MPa}. Il se trouve à l'intersection de l'isobare p = 1{,}5\text{ MPa} et de la courbe d'ébullition (courbe de saturation de gauche, x = 0) :

  h_C \approx 310\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad p_C = 1{,}5\text{ MPa}.

• Point D : mélange diphasique liquide-vapeur issu de la détente isenthalpique (h_D = h_C). Il se situe sur l'isobare p_D = 5\text{ bar} = 0{,}5\text{ MPa} à la même abscisse que C :

  h_D = h_C \approx 310\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad p_D = 0{,}5\text{ MPa}.

2. Tracé des transformations et sens de parcours :

• A \to B : compression adiabatique irréversible, reliant A à B (courbe orientée vers le haut et la droite) ;
• B \to C : désurchauffe, condensation totale isobare au condenseur (segment horizontal vers la gauche à p = 1{,}5\text{ MPa}) ;
• C \to D : détente isenthalpique dans le détendeur (segment vertical descendant à h \approx 310\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) ;
• D \to A : vaporisation complète isobare à l'évaporateur (segment horizontal vers la droite à p = 0{,}5\text{ MPa}).

Le point D se situe à l'intérieur de la courbe de saturation (ou courbe de coexistence des phases), sous la pression p_D = 5\text{ bar} et à la température de saturation \theta_D \approx 0\,^{\circ}\text{C}.

L'état du fluide au point D est donc un mélange diphasique liquide-vapeur en équilibre (vapeur humide).

Pour déterminer la fraction massique en vapeur (ou titre en vapeur) x_g, on applique la règle des moments à la pression p_D = 5\text{ bar} :

soit :

D'après les questions précédentes, on a :

• h_D = h_C \approx 310\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• h_L(p_D) \approx 200\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• \Delta h_{\text{vap}}(0\,^{\circ}\text{C}) \approx 375\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On effectue l'application numérique :

La lecture directe sur le diagramme (p, h) au niveau du point D confirme que l'on se trouve sur la courbe isotitre x \approx 0{,}30 (ou 30\,\%).

Considérons le fluide frigorigène traversant le compresseur entre l'état initial A et l'état final B en régime stationnaire.

Le premier principe de la thermodynamique en écoulement permanent pour une unité de masse de fluide s'écrit :

où w_u = w_{AB} est le travail massique utile échangé avec les parties mobiles du compresseur, et q le transfert thermique massique avec le milieu extérieur.

Formulons les hypothèses simplificatrices usuelles :

• la variation d'énergie cinétique macroscopique est négligeable devant la variation d'enthalpie : \Delta e_c = \frac{1}{2}\left(c_B^2 - c_A^2\right) \approx 0 ;
• la variation d'énergie potentielle de pesanteur est négligeable (dénivelé faible) : \Delta e_p = g(z_B - z_A) \approx 0 ;
• la compression est adiabatique, comme spécifié dans l'énoncé : q = 0.

Le bilan se simplifie alors sous la forme :

D'après les lectures effectuées sur le diagramme enthalpique à la question Q32 :

• h_A \approx 575\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• h_B \approx 645\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On en déduit :

On applique le premier principe de la thermodynamique pour un fluide en écoulement permanent à la traversée du condenseur (entre les points B et C) :

En adoptant les mêmes hypothèses simplificatrices qu'à la question précédente :

• les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle macroscopiques sont négligeables : \Delta e_c \approx 0 et \Delta e_p \approx 0 ;
• le condenseur est un échangeur thermique statique sans pièces mobiles, donc aucun travail utile d'axe n'est échangé : w_{u,BC} = 0.

Le bilan d'enthalpie massique se réduit donc à :

D'après les lectures d'enthalpie massique effectuées sur le diagramme (question Q32) :

• h_B \approx 645\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• h_C \approx 310\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On en déduit l'énergie thermique massique échangée par le fluide :

L'efficacité thermodynamique \varepsilon (ou coefficient de performance \mathrm{COP}) d'une pompe à chaleur est définie par le rapport entre le transfert thermique utile fourni à la source chaude (ici l'eau du bassin au condenseur) et le travail mécanique coûteux reçu par le fluide au niveau du compresseur :

En exprimant ces grandeurs à l'aide des enthalpies massiques du cycle :

D'après les résultats des questions Q34 et Q35 :

• w_{AB} \approx 70\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• q_{\text{cond}} \approx -335\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, soit |q_{\text{cond}}| \approx 335\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On en déduit :

La puissance thermique P fournie par la pompe à chaleur pour le chauffage de l'eau du bassin correspond au flux thermique libéré par le fluide frigorigène R290 lors de son passage dans le condenseur en régime permanent :

où |q_{\text{cond}}| = h_B - h_C est la quantité de chaleur massique cédée au milieu extérieur (l'eau de la piscine).

On en déduit l'expression du débit massique D_m :

D'après la question Q35, on a |q_{\text{cond}}| \approx 335\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. Avec la puissance requise P = 100\text{ kW} = 100\text{ kJ}\cdot\text{s}^{-1} :

Par définition, l'efficacité \varepsilon de la pompe à chaleur est le rapport entre la puissance thermique fournie au fluide du circuit de chauffage (au niveau du condenseur) et la puissance mécanique utile fournie au fluide par le compresseur :

On en déduit immédiatement l'expression de la puissance utile du compresseur :

Application numérique : Avec P = 100\text{ kW} et la valeur prescrite par l'énoncé \varepsilon = 3{,}0, on obtient :

En ne conservant que deux chiffres significatifs cohérents avec la valeur \varepsilon = 3{,}0 :

L'amplificateur linéaire intégré (ALI) comporte une boucle de rétroaction négative reliant sa sortie à sa borne inverseuse (-) à travers le composant résistif R_{\mathrm{Pt}}. En supposant le montage stable, l'ALI fonctionne en régime linéaire.

L'ALI étant supposé parfait et de gain infini :

• les courants d'entrée sont nuls : i_+ = i_- = 0 ;
• la tension différentielle d'entrée est nulle : \varepsilon = V_+ - V_- = 0, soit V_- = V_+.

La borne non inverseuse (+) étant reliée directement à la masse, on a :

Appliquons la loi des nœuds au potentiel de l'entrée inverseuse V_- (ou la conservation du courant traversant successivement R_1 et R_{\mathrm{Pt}} vers la sortie) :

Avec V_- = 0\text{ V}, cette relation devient :

En remplaçant la résistance de la sonde de platine par son expression R_{\mathrm{Pt}} = R_0(1 + a\,\theta) (équation (3)), on obtient :

Un Amplificateur Linéaire Intégré (ALI) réel présente plusieurs limitations par rapport au modèle parfait. Plusieurs réponses sont parfaitement acceptables :

• La tension de décalage en entrée (tension d'offset V_{\text{off}}) : Un ALI réel présente une tension de décalage résiduelle à l'entrée (typiquement de l'ordre de 1\text{ à }5\text{ mV}). Les variations de la tension u_1 liées à la température sont de l'ordre de quelques millivolts par degré Celsius (la sensibilité vaut s \approx 3{,}85\text{ mV}\cdot{^\circ}\mathrm{C}^{-1}, voir question Q42) ; l'offset introduit donc une erreur systématique non négligeable sur la mesure de la température.

• La saturation en tension de sortie : La tension de sortie est bornée par les tensions d'alimentation de l'ALI :

  -V_{\text{sat}} \le u_1 \le +V_{\text{sat}}

  Comme E > 0, la tension de sortie est négative (u_1 < 0). Le montage nécessite impérativement une alimentation symétrique ; en cas d'alimentation unipolaire (0 / +V_{CC}), l'ALI saturerait immédiatement à 0\text{ V}.

• La saturation en courant de sortie (I_{s,\max}) : L'ALI ne peut débiter qu'un courant limité (typiquement 20\text{ mA} pour un \mu\mathrm{A}741). Ici, le courant traversant R_1 et R_{\mathrm{Pt}} vaut i = \frac{E}{R_1} \approx \frac{1{,}0}{100} = 10\text{ mA}, ce qui est proche de la valeur limite admissible et peut provoquer une saturation en courant ou un échauffement interne de l'ALI.

D'après la question Q39, la tension de sortie du montage s'exprime par :

Par définition, la sensibilité s d'un dispositif de mesure caractérise la variation du signal électrique de sortie par unité de variation de la grandeur physique d'entrée (ici la température \theta) :

En dérivant u_1(\theta) par rapport à \theta, on obtient :

En métrologie et pour l'étude des capteurs, la sensibilité est couramment définie comme une grandeur positive (en valeur absolue) afin de quantifier l'amplitude de la réponse du capteur :

Remarque : si l'on conserve la convention algébrique, on a simplement s = -\dfrac{R_0 a E}{R_1}.

D'après la question Q41, la sensibilité du montage s'exprime par :

Avec R_1 = R_0 = 100\ \Omega et E = 1{,}0\text{ V}, le rapport \dfrac{R_0}{R_1} vaut 1, d'où :

Application numérique :

Une sensibilité de seulement |s| \approx 3{,}85\text{ mV}\cdot{^\circ}\text{C}^{-1} pose deux difficultés majeures pour la chaîne d'acquisition :

1. Résolution de numérisation par le CAN : Pour un convertisseur analogique-numérique (CAN) usuel (par exemple codé sur N = 10\text{ bits} pour une plage de pleine échelle \Delta U = 5\text{ V}), le pas de quantification (quantum) vaut :

   q = \frac{\Delta U}{2^N} = \frac{5}{1024} \approx 4{,}9\text{ mV}

   Cette valeur est supérieure à la variation de tension correspondant à un écart de 1\,^{\circ}\text{C} (\Delta u_1 = 3{,}85\text{ mV}). Le CAN ne pourrait donc pas discerner des variations de température inférieures à un degré Celsius, ce qui interdit toute régulation fine de l'eau du bassin.

2. Sensibilité au bruit et aux parasites : Sur la plage utile de régulation de l'eau (de l'ordre de quelques degrés, par exemple entre 20\,^{\circ}\text{C} et 26\,^{\circ}\text{C}), l'excursion de tension n'est que de l'ordre d'une vingtaine de millivolts, superposée à une composante continue d'environ -1\text{ V}. Une amplitude de variation aussi faible est aisément masquée par le bruit électronique de mesure et les parasites électromagnétiques (comme les perturbations du secteur à 50\text{ Hz}), conduisant à un rapport signal sur bruit médiocre.

Le signal d'entrée s'écrit :

Ce signal est la somme de deux termes :

• une composante continue (fréquence f_0 = 0\text{ Hz}) d'amplitude A_0 = 2\text{ V} ;
• une composante purement sinusoïdale de fréquence f_1 = 50\text{ Hz} et d'amplitude A_1 = 3\text{ V}.

Le spectre en amplitude d'un tel signal doit donc être constitué de deux raies uniques dans le domaine fréquentiel :

Examinons les différents graphes :

• Graphe n° 1 : il ne comporte qu'une seule raie à f = 50\text{ Hz} ; la composante continue à f = 0\text{ Hz} d'amplitude 2\text{ V} a été omise. Il ne convient pas.
• Graphe n° 3 : il présente des harmoniques multiples de 50\text{ Hz} (100\text{ Hz}, 150\text{ Hz}, \dots), absentes de l'expression de u_e(t), et omet également la composante continue à 0\text{ Hz}. Il ne convient pas.
• Graphe n° 4 : l'axe des abscisses est le temps t (en secondes) et non la fréquence ; il s'agit d'une représentation temporelle (chronogramme) et non d'un spectre en amplitude. Il ne convient pas.
• Graphe n° 2 : il présente bien une raie à f = 0\text{ Hz} de hauteur 2\text{ V} et une raie à f = 50\text{ Hz} de hauteur 3\text{ V}, sans aucune harmonique d'ordre supérieur.

Le comportement asymptotique du condensateur dépend de la pulsation \omega :

• À basse fréquence (\omega \to 0) : l'impédance du condensateur \underline{Z}_C = \dfrac{1}{jC\omega} tend vers l'infini. Le condensateur se comporte donc comme un interrupteur ouvert. Aucun courant ne circule dans la résistance R, la tension à ses bornes est nulle, et la tension de sortie s'identifie à la tension d'entrée :

  \underline{u}_s \approx \underline{u}_e

  Les basses fréquences sont transmises sans atténuation.

• À haute fréquence (\omega \to \infty) : l'impédance \underline{Z}_C \to 0. Le condensateur se comporte comme un fil (court-circuit). La tension à ses bornes s'annule :

  \underline{u}_s \approx 0

  Les hautes fréquences sont totalement atténuées.

Le circuit transmet les basses fréquences et atténue les hautes fréquences : il s'agit donc d'un filtre passe-bas du premier ordre.

Isolation de la composante continue : La composante continue correspond à une fréquence nulle (f = 0\text{ Hz}), tandis que la composante parasite se situe à f = 50\text{ Hz}. En choisissant une fréquence de coupure f_c très inférieure à 50\text{ Hz} (f_c \ll 50\text{ Hz}), le filtre laisse passer intégralement la composante continue (gain unitaire) tout en atténuant fortement la composante alternative à 50\text{ Hz}.

Ce circuit permet donc bien d'isoler la composante continue du signal.

La grandeur H_0 est le gain statique (ou gain en basse fréquence, ou amplification statique) du filtre.

Pour déterminer sa valeur, on peut procéder de deux manières :

• Par l'expression de la fonction de transfert : en appliquant la formule du pont diviseur de tension en régime sinusoïdal de pulsation \omega :

  \underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{u}_s}{\underline{u}_e} = \frac{\frac{1}{jC\omega}}{R + \frac{1}{jC\omega}} = \frac{1}{1 + jRC\omega}

  Par identification avec la forme canonique \underline{H}(j\omega) = \dfrac{H_0}{1 + j\dfrac{\omega}{\omega_c}} avec \omega_c = \dfrac{1}{RC}, on obtient directement :

  \boxed{H_0 = 1}

• Par l'étude asymptotique en continu (\omega \to 0) : à pulsation nulle, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert. Le courant traversant la résistance est nul, d'où l'absence de chute de tension à ses bornes (u_R = 0) : on a donc u_s = u_e, ce qui confirme que :

  H_0 = \underline{H}(0) = 1

Par définition, le gain en décibels associé à la fonction de transfert \underline{H} s'exprime par :

D'après l'expression (5) de la fonction de transfert :

Or, d'après la question Q46, le gain statique vaut H_0 = 1. Lorsque \omega \ll \omega_c, le rapport \dfrac{\omega}{\omega_c} est négligeable devant 1, de sorte que :

On en déduit la valeur du gain en décibels en basse fréquence :

La pulsation ou fréquence de coupure à -3\text{ dB} correspond à la limite de la bande passante du filtre. Par définition, la fréquence de coupure f_c est la fréquence à laquelle le gain en décibels est diminué de 3\text{ dB} par rapport à sa valeur maximale dans la bande passante :

En échelle linéaire, cela équivaut à une diminution du module de la fonction de transfert d'un facteur \sqrt{2} :

Pour le filtre passe-bas du premier ordre étudié, le module de la fonction de transfert s'écrit :

Le gain est maximal en continu (\omega = 0), avec H_{\text{max}} = H_0 = 1. L'égalité |\underline{H}(\omega_c)| = \frac{H_0}{\sqrt{2}} est donc vérifiée pour la pulsation \omega = \omega_c = \frac{1}{RC}.

En utilisant la relation entre pulsation et fréquence, \omega_c = 2\pi f_c, on en déduit l'expression de la fréquence de coupure :

Le signal d'entrée est composé de deux termes :

Le système étant linéaire, le signal de sortie est la somme des réponses à chaque composante :

• Pour la composante continue (f = 0\text{ Hz}) :
  D'après la question Q46, le gain statique vaut H_0 = 1 et le déphasage est nul :

  u_{s,0} = H(0) \cdot u_{e,0} = 1 \times 2 = 2\text{ V}

• Pour la composante sinusoïdale à f_1 = 50\text{ Hz} :
  Le rapport des fréquences vaut :

  \frac{f_1}{f_c} = \frac{50}{0{,}5} = 100 \gg 1

  Le gain du filtre à cette fréquence est :

  |\underline{H}(jf_1)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{f_1}{f_c}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 100^2}} \approx \frac{1}{100} = 0{,}010

  Le déphasage introduit est :

  \varphi = \arg(\underline{H}) = -\arctan\left(\frac{f_1}{f_c}\right) = -\arctan(100) \approx -\frac{\pi}{2}\text{ rad}

  L'amplitude de cette composante en sortie est donc :

  U_{s,1} = |\underline{H}(jf_1)| \cdot U_{e,1} \approx 0{,}010 \times 3 = 0{,}03\text{ V} = 30\text{ mV}

  D'où l'expression de la composante variable :

  u_{s,1}(t) \approx 0{,}03\cos\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)\text{ V} = 0{,}03\sin(100\pi t)\text{ V}

En sommant les deux composantes, on obtient :

Conclusion : L'amplitude des oscillations parasites à 50\text{ Hz} est divisée par un facteur 100 (atténuation de 40\text{ dB}), passant de 3\text{ V} à seulement 30\text{ mV}, soit 1{,}5\,\% de la composante continue. Le filtre élimine donc très efficacement le bruit secteur à 50\text{ Hz} et permet d'isoler la composante continue porteuse de l'information de température.

La configuration électronique à l'état fondamental s'obtient par application des règles de remplissage (règle de Klechkowski, principe d'exclusion de Pauli et règle de Hund) :

• Pour l'atome d'hydrogène (Z = 1) : sa configuration électronique s'écrit 1\text{s}^1. La couche la plus externe (n = 1) comporte 1 électron.

  \boxed{n_{\text{val}}(\text{H}) = 1}

• Pour l'atome d'oxygène (Z = 8) : sa configuration électronique s'écrit 1\text{s}^2\, 2\text{s}^2\, 2\text{p}^4. La couche de valence correspond au niveau d'énergie de nombre quantique principal maximal (n = 2) ; elle comporte 2 + 4 = 6 électrons.

  \boxed{n_{\text{val}}(\text{O}) = 6}