Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MP 2021

Le système étudié est la voiture de masse m = 2m_1. Les actions mécaniques extérieures s'exerçant sur ce système dans le référentiel d'étude lié au sol sont :

• L'action à distance de la pesanteur, modélisée par le poids :

  \vec{P} = m\vec{g} = -mg\,\vec{u}_z

  appliqué au centre de masse G.

• L'action de contact du filin sur la voiture à la hauteur h : le filin étant de masse négligeable et en équilibre, la force exercée sur la voiture est l'opposée de la force de traction \vec{F} exercée par le filin sur le container :

  \vec{F}_{\text{filin}\to\text{voiture}} = -\vec{F} = -F\,\vec{u}_x

• L'action de contact de la chaussée sur la roue arrière au point I_1 :

  \vec{R}_1 = T_1\vec{u}_x + N_1\vec{u}_z

• L'action de contact de la chaussée sur la roue avant au point I_2 :

  \vec{R}_2 = T_2\vec{u}_x + N_2\vec{u}_z

Les frottements de l'air étant négligés, ce bilan est complet.

Le système étudié est le container de masse m_0, dans le référentiel de la ville supposé galiléen. Il est en mouvement de translation rectiligne uniforme à la vitesse \vec{V} = V\vec{u}_x (V = \text{cte}), de sorte que son accélération est nulle :

Le container est soumis à trois actions extérieures coplanaires dans le plan vertical (Oxz) :

• son poids : m_0 \vec{g} = -m_0 g \vec{u}_z ;
• la force de traction exercée par le filin : \vec{F} = F\vec{u}_x ;
• la réaction de la chaussée : \vec{R}_0 = -T_0\vec{u}_x + N_0\vec{u}_z.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En projetant sur \vec{u}_z et \vec{u}_x :

Le container glisse sur le bitume à la vitesse de glissement \vec{v}_g = V\vec{u}_x \neq \vec{0}. D'après la loi de Coulomb du frottement en régime de glissement, l'effort tangentiel s'oppose au glissement et sa norme atteint la valeur limite :

On en déduit immédiatement l'expression vectorielle de la force de traction :

a) Relation entre la puissance motrice et la puissance de \vec{F}

On applique le théorème de la puissance cinétique au système fermé constitué par la voiture (modélisant les deux véhicules) dans le référentiel terrestre galiléen :

Le mouvement s'effectue en ligne droite à vitesse V constante, et les roues tournent à vitesse angulaire constante. L'énergie cinétique de la voiture est donc constante, soit :

Bilan des puissances :

• Puissance des actions extérieures :

  • Le poids \vec{P} = -m g \vec{u}_z est orthogonal à la vitesse \vec{V} = V \vec{u}_x : \mathscr{P}(\vec{P}) = 0.
  • Les actions de contact chaussée/roues \vec{R}_1 et \vec{R}_2 ne dissipent ni ne fournissent de puissance en l'absence de glissement : \mathscr{P}(\vec{R}_1) + \mathscr{P}(\vec{R}_2) = 0.

  • La force exercée par le filin sur la voiture est -\vec{F} (d'après le principe des actions réciproques). Le point d'attache se déplaçant à la vitesse \vec{V}, sa puissance reçue par la voiture est :

    \mathscr{P}_{\mathrm{filin}\to\mathrm{voiture}} = (-\vec{F})\cdot \vec{V} = -\mathscr{P}(\vec{F})

    où \mathscr{P}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{V} = F V désigne la puissance de traction développée sur le container.

• Puissance des actions intérieures : en négligeant les frottements internes de transmission, la seule puissance intérieure non nulle est la puissance mécanique fournie par le moteur, soit \mathscr{P}_{\mathrm{int}} = \mathscr{P}_{\mathrm{m}}.

Le bilan de puissance s'écrit donc :

D'où :

b) Calcul de \mathscr{P}_{\mathrm{m}} et analyse de la mise en scène

La vitesse en unités \mathrm{SI} vaut :

Avec f_0 = 0{,}4, m_0 = 4\,500\text{ kg} et g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

En chevaux-vapeur (1\text{ ch} \simeq 736\text{ W}) :

Réalisme du choix de deux voitures : L'étude modélise l'ensemble des deux voitures sous la forme d'un véhicule unique (m = 2m_1). La puissance motrice totale requise est donc de 450\text{ kW}, soit :

Une puissance de l'ordre de 300\text{ ch} par voiture est tout à fait réaliste pour des berlines sportives (comme les Dodge Charger utilisées dans le film, qui développent plus de 400\text{ ch}). Le choix d'utiliser deux voitures est donc parfaitement cohérent d'un point de vue de la puissance requise.

a) Loi du moment cinétique scalaire pour un axe fixe

Pour un solide indéformable (S) en rotation autour d'un axe \Delta fixe dans un référentiel galiléen, orienté par le vecteur unitaire \vec{u}_\Delta, la loi du moment cinétique scalaire s'écrit :

où :

• J_\Delta est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe \Delta (en \mathrm{kg\cdot m^2}) ;
• \omega = \dot{\theta} est la vitesse angulaire algébrique de rotation du solide autour de l'axe orienté \Delta (en \mathrm{rad\cdot s^{-1}}) ;
• \sum \mathcal{M}_\Delta\big(\vec{F}_{\text{ext}}\big) désigne la somme des moments scalaires, par rapport à l'axe \Delta, de toutes les actions mécaniques extérieures exercées sur le solide (en \mathrm{N\cdot m}).

b) Recensement des actions mécaniques extérieures sur chaque roue

On note C_1 et C_2 les centres respectifs de la roue arrière et de la roue avant.

• Roue arrière :

  • Poids de la roue : résultante \vec{P}_1 appliquée en son centre de gravité C_1 ;
  • Action de la liaison pivot avec le châssis : force de contact \vec{F}_{\text{châssis}\to 1} appliquée en C_1 (la liaison étant parfaite, le couple de frottement selon l'axe de rotation est nul) ;
  • Action de contact de la chaussée en I_1 : force \vec{R}_1 = T_1 \vec{u}_x + N_1 \vec{u}_z.

• Roue avant :

  • Poids de la roue : résultante \vec{P}_2 appliquée en C_2 ;
  • Action de la liaison pivot avec le châssis : force de contact \vec{F}_{\text{châssis}\to 2} appliquée en C_2 ;
  • Action de contact de la chaussée en I_2 : force \vec{R}_2 = T_2 \vec{u}_x + N_2 \vec{u}_z ;
  • Couple moteur exercé par la transmission : \vec{\Gamma} = \Gamma_m \vec{u}_y.

c) Détermination de T_1 et relation entre \Gamma_m et T_2

Le véhicule est en translation rectiligne uniforme à la vitesse \vec{V} = V\vec{u}_x par rapport au référentiel terrestre galiléen ; le référentiel (R') lié à la voiture est donc également galiléen.

Dans (R'), les axes matériels de rotation \Delta_1 = (C_1, \vec{u}_y) et \Delta_2 = (C_2, \vec{u}_y) sont fixes.

Calculons les moments scalaires par rapport à ces axes orientés par \vec{u}_y :

• Les lignes d'action du poids et de l'action de la liaison pivot coupent l'axe de rotation en C_k, d'où un moment nul : \mathcal{M}_{\Delta_k}(\vec{P}_k) = 0 et \mathcal{M}_{\Delta_k}(\vec{F}_{\text{châssis}\to k}) = 0.

• Le point de contact avec le sol est repéré par \vec{C_k I_k} = -\dfrac{d}{2}\vec{u}_z. Le moment vectoriel de l'action du sol \vec{R}_k en C_k vaut :

  \begin{aligned} \vec{\mathcal{M}}_{C_k}(\vec{R}_k) &= \vec{C_k I_k} \wedge \vec{R}_k \\ &= \left(-\frac{d}{2}\vec{u}_z\right) \wedge \big(T_k\vec{u}_x + N_k\vec{u}_z\big) \\ &= -\frac{d}{2} T_k (\vec{u}_z \wedge \vec{u}_x) = -\frac{d}{2} T_k \vec{u}_y \end{aligned}

  Le moment scalaire par rapport à l'axe (C_k, \vec{u}_y) est donc \mathcal{M}_{\Delta_k}(\vec{R}_k) = -T_k \dfrac{d}{2}.

Chaque roue tourne à vitesse angulaire constante (\mathrm{d}\omega/\mathrm{d}t = 0) :

• Pour la roue arrière :

  J \frac{\mathrm{d}\omega_1}{\mathrm{d}t} = -T_1 \frac{d}{2} = 0 \implies \boxed{T_1 = 0}

• Pour la roue avant :

  J \frac{\mathrm{d}\omega_2}{\mathrm{d}t} = \Gamma_m - T_2 \frac{d}{2} = 0 \implies \boxed{\Gamma_m = T_2 \frac{d}{2}}

a) On étudie le système constitué par la voiture de masse m dans le référentiel de la ville, supposé galiléen.

La voiture est animée d'un mouvement de translation rectiligne uniforme à la vitesse \vec{V} = V\vec{u}_x, de sorte que l'accélération de son centre de masse est nulle : \vec{a}(G) = \vec{0}.

D'après le bilan des actions mécaniques extérieures dressé à la question Q1, les forces appliquées à la voiture sont :

• son poids : \vec{P} = -mg\vec{u}_z ;
• l'action de contact de la chaussée sur la roue arrière : \vec{R}_1 = T_1\vec{u}_x + N_1\vec{u}_z ;
• l'action de contact de la chaussée sur la roue avant : \vec{R}_2 = T_2\vec{u}_x + N_2\vec{u}_z ;
• l'action exercée par le filin : -\vec{F} (par le principe des actions réciproques appliqué au filin de masse négligeable).

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la voiture s'écrit :

En projetant sur l'axe horizontal \vec{u}_x, on obtient :

Or, d'après la question Q4c, la roue arrière étant libre de tourner sans couple moteur appliqué, on a T_1 = 0. On en déduit :

soit vectoriellement :

b) D'après la relation obtenue à la question Q4c :

En utilisant le résultat de la question Q5a, il vient T_2 = \|\vec{F}\|. Par ailleurs, la question Q2 a établi que :

On en déduit l'expression du couple moteur :

Application numérique :

• f_0 = 0{,}4
• m_0 = 4\,500\text{ kg}
• g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}
• d = 20\text{ pouces} = 20 \times 2{,}5\cdot 10^{-2}\text{ m} = 0{,}50\text{ m}, d'où \frac{d}{2} = 0{,}25\text{ m}.

a) Le système considéré est la « voiture », définie par l'énoncé comme l'ensemble {carrosserie, roues, moteur, conducteur}.

Le couple moteur \vec{\Gamma} = \Gamma_m \vec{u}_y est appliqué par le moteur sur l'essieu avant et, par la troisième loi de Newton, le moteur subit un couple opposé -\Gamma_m \vec{u}_y de la part des roues. Ce couple relève donc des actions mécaniques intérieures au système {voiture}.

D'après le théorème du moment cinétique appliqué à un système fermé matériel, seules les actions mécaniques extérieures possèdent un moment non nul dans le bilan global. Par conséquent, le couple intérieur \Gamma_m n'intervient pas dans ce résultat.

b) Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la voiture dans le référentiel terrestre supposé galiléen. La voiture se déplace à vitesse \vec{V} constante, son accélération est donc nulle :

Les forces extérieures appliquées à la voiture sont :

• le poids : \vec{P} = -m g \vec{u}_z ;
• la réaction du sol sur la roue arrière : \vec{R}_1 = T_1 \vec{u}_x + N_1 \vec{u}_z ;
• la réaction du sol sur la roue avant : \vec{R}_2 = T_2 \vec{u}_x + N_2 \vec{u}_z ;
• la tension du filin : \vec{F}_{\text{filin}\to\text{voiture}} = -\vec{F} = -T_2 \vec{u}_x, qui est purement horizontale.

La projection sur l'axe vertical ascendant \vec{u}_z fournit :

Par ailleurs, la relation issue du théorème du moment cinétique donnée par l'énoncé s'écrit :

Or, d'après les questions Q2 et Q5, la force de traction vaut T_2 = f_0 m_0 g. On en déduit :

En additionnant puis en soustrayant ces deux relations, on obtient :

a) Roues risquant de glisser

D'après la question Q4.c, la composante tangentielle sur la roue arrière non motrice est nulle :

Comme N_1 > 0, la condition de Coulomb |T_1| < f N_1 est toujours strictement vérifiée : la roue arrière ne risque pas de glisser.

En revanche, sur la roue avant motrice, l'effort tangentiel vaut (d'après la question Q5.a) :

De plus, d'après la question Q6.b, la réaction normale N_2 diminue avec m_0 par transfert de charge vers l'arrière lors de la traction. C'est donc la roue avant qui risque de patiner (glisser sur la chaussée).

b) Expression de la masse maximale tractable m_{0\mathrm{max}}

La condition de non-glissement au niveau de la roue avant s'écrit :

En remplaçant T_2 et N_2 par leurs expressions :

En simplifiant par g > 0 :

En regroupant les termes en m_0 :

La masse maximale tractable sans glissement est donc bien :

c) Application numérique et commentaire

Avec les valeurs numériques fournies :

• m = 3\,000\text{ kg},
• f = 1{,}0,
• f_0 = 0{,}4,
• h = 0{,}5\text{ m},
• 2b = 2{,}7\text{ m}.

On calcule :

Soit, avec deux chiffres significatifs cohérents avec les données :

Commentaire : La masse maximale tractable sans patinage est de 3{,}2\text{ t}, alors que le container a une masse m_0 = 4\,500\text{ kg} = 4{,}5\text{ t}. On a :

Les voitures à traction avant ne peuvent donc pas tracter le container sans que les roues motrices ne se mettent à patiner. La scène du film est donc irréaliste dans ces conditions de transmission.

a) Dans le cas d'une propulsion arrière, le couple moteur \vec{\Gamma}_m est appliqué sur l'essieu arrière (roue 1), tandis que la roue avant (roue 2) n'est pas motrice.

La loi du moment cinétique scalaire appliquée à la roue avant non entraînée (en liaison pivot parfaite et à vitesse de rotation constante) donne directement :

Le bilan des forces en projection selon \vec{u}_x sur l'ensemble de la voiture en mouvement rectiligne uniforme s'écrit :

D'où les expressions :

b)

• Pour la roue avant, T_2 = 0 \le f N_2, la roue avant ne risque pas de glisser.
• Pour la roue arrière, T_1 = f_0 m_0 g > 0, elle transmet tout l'effort de propulsion et est donc soumise à la condition de non-glissement T_1 < f N_1.

Ce sont donc les roues arrière qui risquent de glisser (de patiner).

c) La condition de non-glissement de la roue arrière impose :

En injectant l'expression de N_1 obtenue en Q6b :

la condition devient :

Comme 1 - f \frac{h}{2b} > 0, on obtient la masse maximale tractable :

d) Application numérique :

Le container a une masse m_0 = 4\,500\text{ kg}. Puisque :

les héros peuvent réussir cette opération de tractage à l'aide de voitures à propulsion arrière, car les roues motrices ne patineront pas.

a) L'onde se propage dans l'air, assimilé au vide. L'équation locale reliant le champ électrique au champ magnétique est l'équation de Maxwell-Faraday :

Pour une onde plane progressive harmonique de vecteur d'onde \vec{k}_1 = \frac{\omega_1}{c}\vec{u}_x et de pulsation \omega_1, l'opérateur spatial devient \vec{\nabla} \to -j\vec{k}_1 et l'opérateur temporel \frac{\partial}{\partial t} \to j\omega_1. L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit alors en notation complexe :

Sachant que \underline{\vec{E}}_i(x,t) = E_0 \exp\left(j\omega_1 \left(t - \frac{x}{c}\right)\right) \vec{u}_z et que le trièdre (\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) est direct (\vec{u}_x \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_y), on obtient :

b) D'après la relation de transformation (\sigma) pour une vitesse non relativiste (V \ll c), le champ électrique dans le référentiel (R') lié au véhicule en translation à la vitesse \vec{V} = V\vec{u}_x s'écrit :

Calculons le terme de couplage avec \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z :

En sommant avec l'expression de \underline{\vec{E}}_i(x,t), on obtient directement :

1. Champ magnétique dans le référentiel (R)
L'onde réfléchie est une onde plane progressive harmonique se propageant dans le sens des x décroissants, selon le vecteur d'onde \vec{k}_r = -\frac{\omega_2}{c}\vec{u}_x. Son champ électrique s'écrit :

D'après la relation de structure issue de l'équation de Maxwell-Faraday pour une OPPH dans le vide :

Comme \vec{u}_x \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_y, on obtient :

2. Champs dans le référentiel (R')
D'après le système de transformation (\sigma), le champ magnétique est invariant à l'ordre 1 en V/c :

Le champ électrique dans (R') est donné par la première relation de (\sigma) :

Avec \vec{V} = V\vec{u}_x et \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z, le terme convectif s'écrit :

En sommant avec \underline{\vec{E}}_r(x,t), on obtient :

a) D'après les résultats des questions Q9b et Q10, les champs électriques incident et réfléchi dans le référentiel (R') s'écrivent, en évaluant en x = Vt :

La condition de continuité sur le conducteur parfait (P') impose que pour tout instant t \ge 0 :

Pour que cette relation soit vérifiée à chaque instant t, les phases doivent dépendre du temps selon la même pulsation effective, soit :

Comme \omega = 2\pi f, on en déduit directement le rapport des fréquences :

b) L'écart de fréquence \Delta f = f_2 - f_1 s'écrit :

D'où l'expression exacte :

c) Dans la limite non relativiste où V/c \ll 1, le développement limité à l'ordre 1 donne :

On en déduit l'expression de \Delta f à l'ordre 1 en V/c :

Le décalage Doppler est défini par :

Avec f_1 = 24{,}125\,000\,0\text{ GHz} et f_2 = 24{,}124\,995\,0\text{ GHz}, on obtient :

D'après le résultat de la question Q11c, à l'ordre 1 en V/c :

On en déduit l'expression de la vitesse V du véhicule :

Application numérique avec c = 3{,}00\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

En multipliant par 3{,}6 pour convertir en \text{km}\cdot\text{h}^{-1} :

En tenant compte des deux chiffres significatifs sur l'écart de fréquence \Delta f :

a) Portée du radar :

La période séparant l'émission de deux impulsions successives est la période de répétition :

L'onde se propageant à la célérité c, le temps mis par une impulsion pour faire l'aller-retour jusqu'à une cible située à la distance D vaut \Delta t = \frac{2D}{c}. La durée du pulse étant négligeable devant T_r (\tau_{\text{pulse}} = 1\text{ ns} \ll T_r = 2\,\mu\text{s}), l'impulsion écho doit revenir avant l'émission de la suivante, soit \Delta t \le T_r, ce qui conduit à :

Application numérique avec c = 3{,}00\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f_r = 500\text{ kHz} = 5{,}00\cdot 10^5\text{ Hz} :

b) Fréquence d'échantillonnage minimale :

D'après le résultat de la question Q11, le décalage Doppler s'écrit en valeur absolue :

Pour la vitesse maximale V_{\max} = 180\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{180}{3{,}6} = 50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, la fréquence Doppler maximale vaut :

D'après le théorème de Shannon-Nyquist, pour échantillonner sans repliement de spectre (aliasing) un signal sinusoïdal de fréquence maximale f_{D,\max}, la fréquence d'échantillonnage doit vérifier f_s \ge 2 f_{D,\max}, soit :

c) Résolution sur la mesure de la vitesse :

La durée totale d'observation du signal est donnée par T_{\text{obs}} = N T_s = \frac{N}{f_s}.
La résolution fréquentielle intrinsèque de la transformée de Fourier discrète (FFT) est l'écart entre deux raies consécutives :

Or, la relation Doppler différentiée donne \delta f = \frac{2 f_1}{c} \delta V. On en déduit l'expression de la résolution en vitesse :

Application numérique avec f_s = 40\text{ kHz} = 4{,}0\cdot 10^4\text{ Hz} et N = 256 :

En kilomètres par heure :

D'après la description des différentes étapes du cycle à quatre temps :

• Admission A \to B : le mélange est admis dans la chambre lorsque le piston va du PMH au PMB. Le volume augmente de V_{\min} à V_{\max} sous la pression d'admission P_0.
• Compression adiabatique réversible B \to C : les soupapes sont fermées, le volume diminue de V_{\max} à V_{\min}, la pression s'élève de P_B = P_0 à P_C.
• Explosion / combustion isochore C \to D : le mélange s'enflamme instantanément à volume constant V_{\min}, la pression passe de P_C à son maximum P_D.
• Détente adiabatique réversible D \to E : le gaz chaud repousse le piston jusqu'au PMB, le volume passe de V_{\min} à V_{\max} et la pression décroît de P_D à P_E.

• Échappement :

  • ouverture de la soupape à volume constant V_{\max}, chute de pression isochore E \to B ;
  • refoulement des gaz brûlés B \to A à pression constante P_0 de V_{\max} à V_{\min}.

Le cycle fermé décrit par le fluide moteur est le cycle B \to C \to D \to E \to B, parcouru dans le sens horaire (sens moteur).

Le gaz est modélisé par un gaz parfait de coefficient isentropique \gamma constant.

Transformation \mathrm{B}\to\mathrm{C} : Il s'agit d'une compression adiabatique et réversible entre les volumes V_{\mathrm{B}} = V_{\max} et V_{\mathrm{C}} = V_{\min}. D'après la loi de Laplace :

Transformation \mathrm{D}\to\mathrm{E} : Il s'agit d'une détente adiabatique et réversible entre les volumes V_{\mathrm{D}} = V_{\min} et V_{\mathrm{E}} = V_{\max}. De même, la loi de Laplace s'écrit :

On en déduit :

Le rendement thermodynamique \eta d'un moteur thermique est le rapport entre l'énergie utile fournie par le fluide à l'extérieur (le travail net opposé -W) et l'énergie thermique qu'il a reçue au cours de la combustion (source chaude, étape isochore \mathrm{CD}) :

Sur le cycle fermé \mathrm{B}\to\mathrm{C}\to\mathrm{D}\to\mathrm{E}\to\mathrm{B}, le premier principe de la thermodynamique s'écrit :

les détentes et compressions \mathrm{BC} et \mathrm{DE} étant adiabatiques (Q_{\mathrm{BC}} = Q_{\mathrm{DE}} = 0).

Pour un gaz parfait de masse m_G et de capacité thermique isochore massique c_v constante, les transferts thermiques reçus lors des étapes isochores valent :

On en déduit l'expression de \eta en fonction des températures :

D'après le résultat de la question Q15 :

Le rapport des écarts de température se simplifie donc immédiatement :

Application numérique : Pour a = 8 et \gamma = 1{,}3 :

Chaque « temps-moteur » correspond à une course d'un piston entre ses deux positions extrémales (du PMH vers le PMB ou inversement). Grâce au système bielle-manivelle, cette translation simple entraîne une demi-rotation du vilebrequin, soit un angle de \pi\text{ rad} (\frac{1}{2}\text{ tour}).

Au bout des 4 « temps-moteur », le nombre de tours effectués par le vilebrequin est :

Pendant la durée totale d'un cycle \tau, le vilebrequin effectue 2\text{ tours} à la fréquence f_{\text{vilb}} (exprimée en tours par unité de temps). On en déduit :

Application numérique :

Considérons le collecteur d'admission comme un système ouvert délimité par une surface de contrôle fixe.

En régime permanent moyenné, la masse totale présente dans le collecteur d'admission est constante au cours du temps (absence d'accumulation de matière). La conservation de la masse impose donc que le débit massique sortant soit égal à la somme des débits massiques entrants :

a) D'après l'équation de combustion (\varepsilon), la combustion complète de n_{\text{carb}} = 1\text{ mol} d'octane nécessite :

L'air étant composé à 20\,\% molaire de dioxygène (x_{\mathrm{O}_2} = 0{,}20 = \frac{1}{5}), la quantité d'air correspondante vaut :

Le pouvoir comburivore massique s'écrit alors :

On identifie donc le coefficient :

Application numérique avec M_{\text{air}} = 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} et M_{\text{carb}} = 114\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} :

b) Dans les conditions stœchiométriques, le rapport des débits massiques d'air et de carburant est égal au pouvoir comburivore :

En injectant cette relation dans le bilan de matière établi à la question Q18 (\dot{m} = \dot{m}_{\text{air}} + \dot{m}_{\text{carb}}), on obtient :

La combustion complète d'une mole de carburant à pression constante libère un transfert thermique :

Par définition, le pouvoir calorifique inférieur (pci) est l'énergie thermique dégagée par la combustion complète d'un kilogramme de carburant produisant de l'eau à l'état vapeur (ce qui correspond précisément à la stœchiométrie de la réaction (\varepsilon) où \mathrm{H}_2\mathrm{O} est gazeux).

Une mole de carburant ayant une masse égale à la masse molaire M_{\text{carb}}, on en déduit la relation :

Application numérique : Avec \Delta_{\mathrm{r}}H^\circ = -5\,000\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} = -5{,}00\cdot 10^6\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1} et M_{\text{carb}} = 114\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 0{,}114\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} :

Ce résultat est bien en accord avec la valeur fournie pour la suite du problème à la question Q26c.

Pour un fluide en écoulement permanent unidimensionnel à travers un volume de contrôle délimité par une surface \Sigma, le premier principe de la thermodynamique en système ouvert (bilan d'énergie totale) s'écrit :

ou, sous forme condensée en notant \Delta X = X_s - X_e la variation d'une grandeur massique entre la sortie et l'entrée :

1. Application du premier principe en écoulement stationnaire :

Le mélange gazeux (G) traverse le bloc moteur en écoulement permanent avec un débit massique \dot{m}. D'après le premier principe pour un fluide en écoulement (rappelé à la question Q21) et en négligeant les termes d'énergie cinétique et potentielle macroscopiques, le bilan enthalpique s'écrit :

Le fluide (G) étant modélisé par un gaz parfait de capacité thermique massique c_p constante, la seconde loi de Joule donne :

On obtient ainsi la première relation :

2. Expression de la puissance thermique :

Par définition, le pci représente l'énergie thermique libérée par la combustion d'un kilogramme de carburant. Le débit massique de carburant injecté et brûlé étant \dot{m}_{\text{carb}}, et cette chaleur étant intégralement cédée au gaz (G), la puissance thermique reçue s'écrit :

Par définition, un moteur thermique fournit un travail mécanique au milieu extérieur (aux pistons et à l'arbre de transmission) : le fluide thermodynamique (\text{G}) cède donc de la puissance mécanique aux parois mobiles du cylindre au cours de son cycle.

Selon la convention thermodynamique récepteur adoptée dans le premier principe (Q21), la puissance utile mécanique reçue par le fluide est donc négative :

On en déduit que la puissance motrice fournie à l'extérieur est strictement positive :

D'après la question Q22, le premier principe appliqué au gaz en écoulement permanent à travers le bloc moteur s'écrit :

avec une puissance thermique issue de la combustion valant :

La puissance motrice définie en question Q23 par \mathscr{P}_{\mathrm{m}} = -\mathscr{P}_{\mathrm{u}} devient donc :

Par définition du pouvoir comburivore (pco)_{\text{air}} dans les conditions stœchiométriques (question Q19) :

En utilisant la consigne de l'énoncé qui préconise l'approximation \dot{m} \simeq \dot{m}_{\text{air}} (justifiée par (pco)_{\text{air}} \simeq 16 \gg 1), il vient :

En injectant cette relation dans l'expression de \mathscr{P}_{\mathrm{m}} et en factorisant par \dot{m}, on obtient bien :

Au cours d'un cycle à quatre temps de durée \tau, chacun des quatre cylindres effectue une phase d'admission durant laquelle il aspire un volume de gaz frais égal à la cylindrée unitaire C_1 = V_{\max} - V_{\min}.

Le volume total de mélange aspiré par le moteur (composé de 4 cylindres) au cours d'un cycle complet s'élève donc à la cylindrée totale du moteur :

La masse de mélange admise au cours d'un cycle vaut ainsi :

Le débit massique moyen traversant le moteur correspond au rapport de cette masse sur la durée d'un cycle \tau :

D'après la question Q17, la durée d'un cycle s'exprime en fonction de la fréquence de rotation du vilebrequin par \tau = \dfrac{2}{f_{\text{vilb}}}. On en déduit l'expression du débit massique :

a) Masse volumique à l'admission \rho_{\text{ad}}

Le mélange admis (G) est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M \simeq M_{\text{air}}. D'après l'équation d'état des gaz parfaits, P_{\text{ad}} V = n R T_{\text{ad}} = \frac{m}{M_{\text{air}}} R T_{\text{ad}}, soit :

Avec P_{\text{ad}} = P_0 = 1\text{ bar} = 1{,}00\cdot 10^5\text{ Pa}, M_{\text{air}} = 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 29\cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}, R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} et T_{\text{ad}} = 290\text{ K} :

b) Débits massique \dot{m} et molaire \dot{n}_{\text{air}}

D'après le résultat de la question Q25, le débit massique s'écrit :

Avec C = 2\text{ L} = 2{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m}^3 et le régime moteur f_{\text{vilb}} = 2\,400\text{ tr/min} = \frac{2\,400}{60} = 40\text{ s}^{-1} (donné en Q17) :

Sous l'approximation de l'énoncé \dot{m} \simeq \dot{m}_{\text{air}}, le débit molaire en air vaut :

c) Puissance motrice \mathscr{P}_m^{\text{atmo}}

D'après la formule établie en Q24 :

Avec les valeurs numériques fournies :

• \frac{pci}{(pco)_{\text{air}}} = \frac{44\cdot 10^6}{16} = 2{,}75\cdot 10^6\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}
• c_p(T_{\text{ec}} - T_{\text{ad}}) = 1\,200 \times (1\,200 - 290) = 1{,}092\cdot 10^6\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}

Il vient :

Sachant que 1\text{ ch} \simeq 736\text{ W} :

1. Augmentation du débit molaire en air : À cylindrée C et régime f_{\text{vilb}} fixés, le débit molaire est proportionnel à la masse volumique à l'admission : \dot{n}_{\text{air}} \simeq \frac{\rho_{\text{ad}} C f_{\text{vilb}}}{2 M_{\text{air}}}. Le compresseur augmente la pression d'admission (P_{\text{ad}} > P_0), ce qui accroît \rho_{\text{ad}} et permet d'admettre une plus grande quantité d'air à chaque cycle.
2. Augmentation de la puissance motrice : La puissance motrice étant proportionnelle au débit massique (\mathscr{P}_{\mathrm{m}} \propto \dot{m} \propto \dot{n}_{\text{air}}), admettre davantage d'air permet d'injecter et de brûler proportionnellement plus de carburant au mélange stœchiométrique, libérant ainsi plus d'énergie mécanique par unité de temps.
3. Rôle de la turbine : Placée sur la ligne d'échappement, la turbine récupère une partie de l'énergie thermique et cinétique des gaz d'échappement détendus pour entraîner mécaniquement le compresseur, sans prélever de travail utile sur le vilebrequin du moteur.

La décomposition thermique du protoxyde d'azote gazeux \mathrm{N_2O_{(g)}} produit du diazote gazeux \mathrm{N_{2(g)}} et du dioxygène gazeux \mathrm{O_{2(g)}}.

La réaction étant supposée totale, son équation bilan s'écrit avec des coefficients stœchiométriques entiers :

On peut également l'écrire pour une mole de protoxyde d'azote :

D'après l'équation de décomposition totale établie à la question précédente :

la décomposition de 2\text{ mol} de protoxyde d'azote produit 2\text{ mol} de diazote \mathrm{N_2} et 1\text{ mol} de dioxygène \mathrm{O_2}, soit une quantité totale de gaz formé égale à :

La fraction molaire en dioxygène dans le mélange issu de la décomposition de \mathrm{N_2O} vaut donc :

D'après les données de la question Q19, l'air contient une fraction molaire de 20\,\% en dioxygène (x_{\mathrm{O_2, air}} = 20\,\%).

Comparaison et commentaire : La proportion molaire de dioxygène dans les gaz issus de la décomposition du protoxyde d'azote (33{,}3\,\%) est nettement supérieure à celle présente dans l'air atmosphérique (20\,\%). À volume ou débit volumique de gaz équivalent admis dans le cylindre, la quantité de comburant (\mathrm{O_2}) disponible pour la combustion est bien plus importante. Cela autorise l'injection d'un surcroît de carburant tout en maintenant les conditions stœchiométriques, ce qui permet de développer une puissance motrice instantanée nettement accrue lors de l'activation du kit « nitro ».

D'après l'équation bilan de décomposition du protoxyde d'azote établie en Q28 :

une mole de \mathrm{N_2O} libère \frac{1}{2}\text{ mole} de dioxygène.

La combustion complète d'une mole d'octane selon la réaction (\varepsilon) :

nécessite n_{\mathrm{O_2}} = \frac{25}{2}\text{ mol}. La quantité stœchiométrique de \mathrm{N_2O} correspondante est donc :

ce qui correspond à la réaction globale de combustion avec \mathrm{N_2O} :

Par définition, le pouvoir comburivore en \mathrm{N_2O} s'exprime par le rapport des masses :

Avec M_{\mathrm{N_2O}} = 44\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} et M_{\text{carb}} = 114\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} :

D'après l'expression fournie par l'énoncé, la puissance motrice théorique obtenue en substituant totalement l'air par du protoxyde d'azote s'écrit :

Effectuons l'application numérique avec les valeurs fournies :

• \dot{n}_{\mathrm{N_2O}} = 3{,}7\text{ mol}\cdot\text{s}^{-1} ;
• M_{\mathrm{N_2O}} = 44\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 44\cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• pci = 44\cdot 10^6\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• (pco)_{\mathrm{N_2O}} \simeq 9{,}65 (établi à la question Q30) ;
• c'_p = 1\,100\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• T_{\text{ad}} = 330\text{ K} et T_{\text{ec}} = 630\text{ K}, d'où T_{\text{ec}} - T_{\text{ad}} = 300\text{ K}.

Calculons les deux termes entre crochets :

Le débit massique de protoxyde d'azote vaut :

On en déduit la puissance motrice :

En utilisant l'équivalence 1\text{ ch} \simeq 736\text{ W} :

Comparaison avec le moteur turbo d'origine :

La puissance motrice théorique est presque multipliée par un facteur 2{,}8 par rapport au moteur turbocompressé d'origine (+175\,\% de gain).

D'après l'énoncé, pour éviter la casse-moteur, l'accroissement de puissance est limité à 40\,\% de la puissance nominale d'origine \mathscr{P}_{\mathrm{m}}^{\text{turbo}} = 340\text{ ch}.

La puissance motrice maximale accessible lors du « boost » est donc :

Numériquement :

En kilowatt, sachant que 1\text{ ch} \simeq 736\text{ W} = 0{,}736\text{ kW} :

La masse totale de protoxyde d'azote contenue dans les deux bouteilles vaut :

D'après le préambule de la sous-partie III.2.3, en mode boost le débit molaire de protoxyde d'azote injecté est :

Sachant que la masse molaire de \mathrm{N_2O} est M_{\mathrm{N_2O}} = 44\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} (donnée en Q30), le débit massique consommé en continu s'écrit :

La durée maximale d'utilisation continue du boost, notée \Delta t_{\max}, est donc donnée par :

Application numérique :