Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 PSI 2023

Par définition, quel que soit le mode de fonctionnement (générateur ou récepteur) :

• L'anode est l'électrode où se déroule une oxydation (libération d'électrons) ;
• La cathode est l'électrode où se déroule une réduction (consommation d'électrons).

Examinons les deux demi-équations proposées :

• Dans la réaction (I.1) :

  \mathrm{LiFePO}_{4\,(\mathrm{s})} \longrightarrow 0{,}6\,\mathrm{Li}^+ + 0{,}6\,e^- + \mathrm{Li}_{0,4}\mathrm{FePO}_{4\,(\mathrm{s})}

  des électrons sont libérés : il s'agit d'une oxydation.

• Dans la réaction (I.2) :

  \mathrm{Li}^+ + 6\,\mathrm{C}_{(\mathrm{s})} + e^- \longrightarrow \mathrm{LiC}_{6\,(\mathrm{s})}

  des électrons sont captés : il s'agit d'une réduction.

Ainsi, selon le sens d'écriture des réactions fournies :

D'après la question Q1, la réaction anodique correspond à l'oxydation (I.1) et la réaction cathodique à la réduction (I.2) :

Pour obtenir l'équation bilan globale, on multiplie la demi-équation (I.2) par le coefficient 0{,}6 afin d'égaler le nombre d'électrons échangés :

Les électrons e^- ainsi que les ions \mathrm{Li}^+ présents en quantités égales de part et d'autre se simplifient. Il vient :

On peut également exprimer cette équation avec des coefficients stœchiométriques entiers en multipliant par 5 :

La capacité électrique Q correspond à la charge électrique totale débitée :

Avec Q = 2600\text{ mA}\cdot\text{h} = 2{,}60\text{ A}\cdot\text{h} = 2{,}60 \times 3600\text{ C} = 9{,}36 \times 10^3\text{ C}, on obtient :

D'après la demi-équation (I.1), l'extraction de 0{,}6\text{ mol} d'électrons nécessite 1\text{ mol} de \mathrm{LiFePO}_{4\,(\mathrm{s})}, d'où :

La masse molaire de \mathrm{LiFePO}_4 vaut :

La masse de \mathrm{LiFePO}_4 mise en jeu est donc :

D'après la demi-équation (I.2), chaque mole d'électrons implique 6\text{ mol} de carbone graphite \mathrm{C}_{(\mathrm{s})} :

Avec M(\mathrm{C}) = 12{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}, la masse de graphite associée est :

En sommant les masses des matières actives des deux électrodes, on obtient une estimation de la masse minimale de l'accumulateur :

(ou \boxed{m(\mathrm{LiFePO}_4) \approx 25{,}5\text{ g}} si l'on ne comptabilise que l'électrode de \mathrm{LiFePO}_4).

La masse mesurée de l'accumulateur (m = 45{,}5\text{ g}) est supérieure à la masse des seules matières actives estimée à la question Q3 (m_{\text{est}} \approx 32{,}5\text{ g}, voire 25{,}5\text{ g} si l'on ne comptabilisait que le matériau cathodique \mathrm{LiFePO}_4).

Cet écart s'explique par le fait que l'estimation précédente ne prend en compte que les espèces chimiques directement impliquées dans les réactions électrochimiques (les masses dites « actives »). Or, un accumulateur réel comporte de nombreux composants auxiliaires indispensables à son fonctionnement mécanique, électrique et sécuritaire, qui représentent environ 30\,\% à 40\,\% de la masse totale :

• Le boîtier externe et la connectique : l'enveloppe cylindrique en acier ou en aluminium assurant la tenue mécanique et l'étanchéité de la cellule 18650, ainsi que les pôles et connexions électriques ;
• Les collecteurs de courant : les feuillards métalliques (généralement en cuivre à l'anode et en aluminium à la cathode) sur lesquels sont déposés les matériaux actifs pour collecter les électrons ;
• L'électrolyte : le solvant organique (ici l'éthyl-propyl-carbonate EPC) et les sels de lithium dissous assurant la conduction ionique entre les électrodes ;
• Le séparateur : une membrane polymère microporeuse évitant le contact direct entre les deux électrodes (prévention des courts-circuits) tout en laissant passer les ions \mathrm{Li}^+ ;
• Les adjuvants d'électrode : les liants polymères (tels que le PVDF) et les additifs conducteurs (noir de carbone) améliorant la cohésion mécanique et la percolation électronique des matières actives ;
• Les éléments de sécurité : joints d'étanchéité, soupape d'échappement de surpression (vent) et disque de rupture thermique.

Pour tracer une courbe courant-potentiel en s'affranchissant des chutes ohmiques et de la polarisation de la référence, on utilise un montage à trois électrodes piloté par un potentiostat :

• L'électrode de travail (ET) : c'est l'électrode à la surface de laquelle se déroule la réaction électrochimique que l'on souhaite étudier (ici, l'électrode de \mathrm{LiFePO_4} ou de graphite).
• L'électrode de référence (Réf) : électrode impolarisable de potentiel d'équilibre fixe et connu (par exemple ECS, \mathrm{Ag/AgCl}, ou \mathrm{Li^+/Li} en milieu non aqueux). Aucun courant ne la traverse afin de ne pas modifier son potentiel.
• La contre-électrode (CE) (ou électrode auxiliaire) : constituée d'un matériau chimiquement inerte (platine, carbone vitreux) et de grande surface pour ne pas être cinétiquement limitante. Elle assure le bouclage du circuit de courant avec l'électrode de travail.

Le potentiostat remplit une double fonction :

1. Il contrôle et impose la différence de potentiel E = V_{\text{ET}} - V_{\text{Réf}} entre l'électrode de travail et l'électrode de référence (via un voltmètre à très haute impédance d'entrée, garantissant i_{\text{Réf}} \approx 0).
2. Il mesure l'intensité i du courant circulant exclusivement entre l'électrode de travail et la contre-électrode (via un ampèremètre inséré dans cette boucle).

Sur la portion (a), la densité de courant est positive (j > 0), ce qui caractérise un processus anodique d'oxydation.
D'après le tableau des potentiels standards fourni dans l'énoncé (référencés par rapport à l'électrode normale à hydrogène) :

L'axe des abscisses de la courbe courant-potentiel étant gradué selon E - E^\circ(\text{Li}^+/\text{Li}_{(\text{s})}), le potentiel standard du couple exprimé dans ce repère vaut :

La concentration en ions \text{Li}^+ étant égale à C_0 = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} (activité unité) et les autres espèces étant des solides purs, le potentiel d'équilibre de Nernst vaut précisément 3{,}6\text{ V} par rapport à cette référence.
Sur la figure 2, l'augmentation du courant démarre effectivement au voisinage de E - E^\circ(\text{Li}^+/\text{Li}_{(\text{s})}) \approx 3{,}6\text{ V}. La portion (a) correspond donc à l'oxydation de l'électrode de \text{LiFePO}_{4(\text{s})}, modélisée par la demi-équation (I.1) :

Les limites du domaine d'inertie électrochimique du solvant (EPC) sont données par rapport à l'électrode standard à hydrogène (ESH) :

D'après les données de l'énoncé, le potentiel standard du couple \mathrm{Li}^+/\mathrm{Li}_{(\mathrm{s})} vaut E^\circ(\mathrm{Li}^+/\mathrm{Li}_{(\mathrm{s})}) = -3{,}0\text{ V/ESH}.

La limite supérieure (oxydation du solvant) s'exprime donc, par rapport à l'électrode de référence au lithium, à la valeur :

Sur la figure 2, la forte augmentation de la densité de courant dans la portion (c) débute précisément autour de 5{,}1\text{ V} par rapport à \mathrm{Li}^+/\mathrm{Li}_{(\mathrm{s})}.

On sort alors du domaine d'inertie électrochimique de l'électrolyte : la portion (c) correspond à l'oxydation du solvant (l'éthyl-propyl-carbonate). Comme le solvant est l'espèce très majoritaire, cette réaction n'est pas limitée par la diffusion (absence de palier de diffusion), ce qui engendre une augmentation vertigineuse du courant (« mur du solvant »).

1. Potentiel d'équilibre du couple \mathrm{Li}^+/\mathrm{LiC}_{6(\mathrm{s})}

La demi-équation de réduction s'écrit :

En considérant les solides sous forme pure ou de phases d'activité unitaire, la formule de Nernst donne :

avec C^\circ = 1{,}0\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} et C_0 = 4{,}0\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}.

Sur l'échelle des potentiels évalués par rapport à E^\circ(\mathrm{Li}^+/\mathrm{Li}_{(\mathrm{s})}), on obtient :

2. Allure de la branche de réduction

• Le système étant rapide, la surtension d'activation est nulle : le courant cathodique (j < 0) apparaît dès que E < E_{\mathrm{eq}}, avec une pente quasi-verticale en E_{\mathrm{eq}}.
• La concentration en ions \mathrm{Li}^+ en solution étant finie, le transfert de matière par diffusion limite le courant lorsque le potentiel diminue : il apparaît un palier de diffusion cathodique de densité de courant j_{\mathrm{lim, c}} < 0.
• Pour des potentiels encore plus négatifs, au voisinage de E - E^\circ(\mathrm{Li}^+/\mathrm{Li}_{(\mathrm{s})}) \leqslant 0\text{ V} (potentiel de réduction du solvant EPC E_{\mathrm{EPC},1} - E^\circ(\mathrm{Li}^+/\mathrm{Li}_{(\mathrm{s})}) = 0\text{ V} et de dépôt de lithium métallique), la densité de courant cathodique chute brutalement (mur du solvant / placage de lithium).

3. Intérêt d'utiliser des concentrations élevées en \mathrm{Li}^+

• Augmentation de la vitesse de charge admissible : la densité de courant limite de diffusion cathodique est proportionnelle à la concentration en réactif (|j_{\mathrm{lim, c}}| = \mathcal{F}\frac{D}{\delta}C_0). Une concentration élevée permet donc de charger l'accumulateur avec un courant plus important sans être limité par la diffusion.
• Amélioration de la conductivité ionique de l'électrolyte : une concentration plus forte augmente la conductivité \kappa de la solution, ce qui réduit la résistance interne de l'accumulateur et minimise les pertes par effet Joule.
• Éloignement du mur de dépôt du lithium : d'après la loi de Nernst, augmenter C_0 décale le potentiel d'équilibre vers des valeurs plus positives, offrant une plus grande marge de surtension avant d'atteindre 0\text{ V} vs \mathrm{Li}^+/\mathrm{Li}_{(\mathrm{s})}, seuil à partir duquel se produit le phénomène néfaste de placage de lithium métallique (lithium plating) et la formation de dendrites.

L'accumulateur est modélisé par une source idéale de tension de force électromotrice U en série avec sa résistance interne r. Lors d'un court-circuit (tension aux bornes du dipôle nulle), le courant débité vaut :

En supposant, dans le cadre de cette estimation, que la force électromotrice et la résistance interne restent constantes au cours de la décharge, la quantité d'électricité totale disponible Q s'exprime par :

On en déduit le temps caractéristique de décharge :

Application numérique :

• Q = 2600\text{ mA}\cdot\text{h} = 2{,}60\text{ A}\cdot\text{h} = 2{,}60 \times 3600\text{ C} = 9{,}36 \times 10^3\text{ C}
• U = 3{,}7\text{ V}
• r = 7{,}7\text{ m}\Omega = 7{,}7 \times 10^{-3}\ \Omega

Le courant de court-circuit est considérable :

Le temps de décharge vaut ainsi :

Considérons l'accumulateur comme un système fermé de masse m et de capacité thermique massique c_p.

L'énergie électrique initialement emmagasinée dans l'accumulateur pleinement chargé vaut :

avec :

• Q = 2600\text{ mA}\cdot\text{h} = 2{,}60\text{ A}\cdot\text{h} = 2{,}60 \times 3600\text{ C} = 9{,}36 \times 10^3\text{ C} ;
• U = 3{,}7\text{ V}.

Soit :

La capacité thermique de l'accumulateur est :

Pendant le court-circuit, toute cette énergie est dissipée par effet Joule dans la résistance interne. La décharge étant très brève (\Delta t \approx 20\text{ s} d'après la question Q9), on peut dans un premier temps négliger les pertes thermiques vers l'extérieur (bilan adiabatique) :

Application numérique :

L'énergie électrique stockée est donc du même ordre de grandeur que celle nécessaire pour provoquer une élévation de température de 900\text{ }^\circ\mathrm{C}.

De plus, pour franchir le seuil critique de 100\text{ }^\circ\mathrm{C} à partir de la température ambiante (25\text{ }^\circ\mathrm{C}, soit \Delta T' = 75\text{ }^\circ\mathrm{C}), l'énergie nécessaire n'est que de :

ce qui représente moins de 8\,\% de l'énergie totale de la batterie et est atteint en environ 1{,}4\text{ s}.

Un court-circuit peut donc indubitablement amorcer le phénomène et suffire, sur le plan purement énergétique, à provoquer une telle élévation de température.

Par définition, l'enthalpie standard de formation \Delta_f H^\circ(T) d'une espèce chimique est l'enthalpie standard de la réaction produisant une mole de cette espèce à partir des corps simples pris dans leur état standard de référence à la température T (sous la pression de référence P^\circ = 1\text{ bar}).

Pour l'élément chimique oxygène, l'état standard de référence à T = 298\text{ K} est le dioxygène gazeux \mathrm{O}_{2\text{ (g)}}. La réaction de formation de \mathrm{O}_{2\text{ (g)}} s'écrit donc :

Il s'agit d'une réaction formelle d'identité, pour laquelle l'enthalpie standard de réaction est identiquement nulle. Ainsi :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de la réaction de combustion (I.3) à T = 298\text{ K} s'exprime en fonction des enthalpies standard de formation des réactifs et des produits :

D'après le résultat de la question Q11, \Delta_f H^\circ(\mathrm{O}_{2\text{ (g)}}) = 0. À l'aide des données numériques :

• \Delta_f H^\circ(\mathrm{CO}_{2\text{ (g)}}) = -393{,}5\text{ kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}
• \Delta_f H^\circ(\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{\text{(g)}}) = -241{,}8\text{ kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}
• \Delta_f H^\circ(\mathrm{C}_3\mathrm{H}_4\mathrm{O}_{3\text{ (l)}}) = -1165{,}30\text{ kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1}

On obtient l'application numérique :

Commentaire sur le signe : Le signe de \Delta_r H^\circ est strictement négatif (\Delta_r H^\circ < 0) : la réaction de combustion de l'acide pyruvique est exothermique. Elle dégage une quantité importante de chaleur, ce qui explique l'élévation brutale de température observée lors de l'emballement thermique de la batterie.

Un calorimètre est dit parfaitement calorifugé s'il constitue un système adiabatique vis-à-vis du milieu extérieur, c'est-à-dire sans aucun échange thermique avec l'environnement :

Dans cette situation idéale, une fois les réactions chimiques internes terminées et l'apport d'énergie externe coupé (après le pic d'explosion à t \approx 140\text{ min}), la température du système devrait rester rigoureusement constante et former un palier horizontal à la température maximale atteinte (T \approx 920\text{ }^\circ\text{C}).

Or, sur la figure 4, on constate que pour t > 140\text{ min} :

• la température diminue de façon continue et progressive au cours du temps ;
• elle décroît d'environ 920\text{ }^\circ\text{C} jusqu'à tendre vers la température ambiante (environ 30\text{ }^\circ\text{C} au bout de 400\text{ min}).

Cette baisse de température met en évidence des transferts thermiques dissipatifs (conduction, convection et rayonnement) à travers les parois de l'enceinte vers l'extérieur.

D'après le profil de température de la figure 4 :

• Durée de l'explosion : la montée en température de \theta_0 \approx 130\text{ }^\circ\mathrm{C} jusqu'au pic culminant à plus de 900\text{ }^\circ\mathrm{C} est extrêmement brutale et quasi-verticale sur le graphe ; sa durée est de l'ordre de :

  \Delta t_{\text{expl}} \lesssim 1\text{ à }2\text{ min}.

• Temps caractéristique de refroidissement \tau : après le pic (t \approx 140\text{ min}), la température décroît lentement par transfert thermique vers l'extérieur. Si l'on modélise ce refroidissement par une loi phénoménologique du premier ordre :

  T(t) - T_{\text{ext}} = (T_{\max} - T_{\text{ext}})\,\exp\left(-\frac{t - t_{\max}}{\tau}\right),

  avec T_{\max} - T_{\text{ext}} \approx 900\text{ K}, l'écart à la température ambiante est divisé par \mathrm{e} (soit T - T_{\text{ext}} \approx 330\text{ K}, correspondant à T \approx 360\text{ }^\circ\mathrm{C}) à un instant t \approx 165\text{ min}. On en déduit :

  \tau \approx 165 - 140 \approx 25\text{ à }30\text{ min} \sim 1{,}5\times 10^3\text{ s}.

  (Le retour quasi-complet à l'ambiante demande plus de 200\text{ min}).

On constate que :

Pendant la durée très brève de l'explosion, l'énergie transférée thermiquement vers l'extérieur à travers les parois du calorimètre est négligeable devant l'énergie libérée par les réactions chimiques.

D'après la question Q14, l'explosion est un phénomène très bref devant le temps caractéristique des pertes thermiques : elle peut donc être modélisée par une transformation adiabatique.

Selon les hypothèses de l'énoncé :

• la capacité thermique du calorimètre est négligeable ;
• la contribution thermique des gaz enfermés est négligeable ;

• le système absorbant la chaleur est donc constitué uniquement de l'accumulateur, de capacité thermique :

  C = m \, c_p

• l'énergie thermique libérée lors de l'explosion est modélisée par la chaleur de réaction à pression constante associée à la combustion de n moles d'acide pyruvique selon l'équation (I.3) :

  Q_{\text{chim}} = - n \, \Delta_r H^\circ(298\text{ K})

Sur la figure 4, l'emballement thermique débute à \theta_0 = 129\text{ }^\circ\mathrm{C} et conduit à une température maximale lue au sommet du pic de :

Pour cette transformation globale adiabatique (\Delta H = 0), on décompose la variation d'enthalpie en la réaction chimique isotherme suivie de l'échauffement de l'accumulateur :

Avec les données :

• m = 45{,}5\text{ g}
• c_p = 0{,}73\text{ J}\cdot\mathrm{g}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}, d'où C = 45{,}5 \times 0{,}73 = 33{,}2\text{ J}\cdot\mathrm{K}^{-1}
• \Delta_r H^\circ = -498{,}8\text{ kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1} = -498{,}8 \times 10^3\text{ J}\cdot\mathrm{mol}^{-1} (d'après Q12)
• \Delta T \approx 771\text{ K}

1. Bilan de matière sur la phase gazeuse :

L'air initialement enfermé dans le calorimètre de volume V_0 = 150\text{ mL} à T_i = 298\text{ K} sous P_i = 1{,}0\text{ bar} = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa} représente une quantité de matière :

D'après les hypothèses de l'énoncé, le dioxygène nécessaire à la combustion provient d'une décomposition interne de la batterie (phase condensée) et est fourni en quantité juste suffisante. D'après l'équation (I.3) :

la consommation de n moles d'acide pyruvique produit 3\,n moles de \mathrm{CO}_{2\,(\mathrm{g})} et 2\,n moles de \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{g})}, soit 5\,n moles de gaz au total. La quantité de matière totale de gaz à l'état final s'écrit donc :

2. Couplage thermique et température finale :

La réaction d'explosion est adiabatique (question Q14). En négligeant la capacité thermique du calorimètre et des gaz devant celle de la batterie de capacité C = m\,c_p, le premier principe de la thermodynamique appliqué à l'ensemble donne :

où T_0 = \theta_0 + 273{,}15 = 129 + 273{,}15 = 402{,}15\text{ K} est la température au moment où l'explosion s'amorce. On en déduit l'expression de la température finale :

avec :

3. Résolution de la pression limite :

En appliquant l'équation d'état des gaz parfaits au volume disponible V_0 à la pression p_{\text{lim}} = 75\text{ bar} = 75 \times 10^5\text{ Pa} :

En développant, on obtient l'équation du second degré en n :

Calculons les coefficients numériques :

Le discriminant vaut :

d'où \sqrt{\Delta} \approx 6660\text{ K}. La racine positive est :

Remarque : si l'on prend l'état ambiant initial (T_i = 298\text{ K}) comme température de référence, on trouve de manière similaire n \approx 3{,}3 \times 10^{-2}\text{ mol}.

On retient donc :

D'après les résultats des questions précédentes :

• la quantité de matière d'acide pyruvique mise en jeu lors de l'explosion réelle est estimée à n_{\mathrm{C}_3\mathrm{H}_4\mathrm{O}_3} \approx 5{,}1 \times 10^{-2}\text{ mol} (question Q15) ;
• la quantité maximale admissible pour ne pas dépasser la pression critique p_{\text{lim}} = 75\text{ bar} est n_{\mathrm{C}_3\mathrm{H}_4\mathrm{O}_3,\text{lim}} \approx 3{,}2 \times 10^{-2}\text{ mol} (question Q16).

Comme n_{\mathrm{C}_3\mathrm{H}_4\mathrm{O}_3} > n_{\mathrm{C}_3\mathrm{H}_4\mathrm{O}_3,\text{lim}}, la réaction complète de l'électrolyte en enceinte fermée sans détente engendrerait une pression interne nettement supérieure à 75\text{ bar}, risquant de détruire l'enceinte par éclatement mécanique.

Par définition, le taux d'avancement \alpha_{\text{diss}}(t) représente la fraction d'acide pyruvique consommée à la date t :

La quantité de matière d'acide pyruvique restant dans le réacteur à l'instant t s'écrit donc :

Le volume V étant constant au cours de la réaction, la concentration molaire en acide pyruvique est :

La réaction étant d'ordre 1 par rapport à l'acide pyruvique (l'ordre partiel par rapport au dioxygène étant nul au vu de la question suivante), la loi de vitesse volumique de disparition s'écrit :

En remplaçant par l'expression de la concentration, on obtient :

La constante de vitesse k d'une réaction chimique dépend de la température absolue T selon la loi empirique d'Arrhénius :

où :

• A (ou k_0) est le facteur pré-exponentiel (ou facteur de fréquence), homogène à la constante de vitesse k (ici en \text{s}^{-1} pour une réaction d'ordre 1) ;
• E_a est l'énergie d'activation de la réaction (E_a > 0, exprimée en \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}) ;
• R est la constante universelle des gaz parfaits (R = 8,31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}) ;
• T est la température thermodynamique (en \text{K}).

Influence de la température sur la vitesse de réaction :
L'énergie d'activation étant strictement positive (E_a > 0), la fonction T \mapsto \exp\left(-\frac{E_a}{RT}\right) est strictement croissante avec la température absolue T.

La constante de vitesse k(T) augmente donc lorsque la température s'élève. Par conséquent, à composition donnée des réactifs, la vitesse de la réaction augmente avec la température : la température est un facteur cinétique accélérateur.

Le système considéré est l'accumulateur et le mélange réactionnel qu'il contient. Entre t et t+\mathrm{d}t, la transformation est adiabatique (\delta Q = 0) et supposée isobare (\mathrm{d}P = 0). Le premier principe de la thermodynamique s'écrit donc :

L'enthalpie étant une fonction d'état, on décompose la transformation infinitésimale en deux étapes successives fictives :

1. Une réaction chimique d'avancement \mathrm{d}\xi à pression P et température T constantes :

   \mathrm{d}H_1 = \Delta_r H^\circ(T)\,\mathrm{d}\xi

2. Un échauffement isobare du système (sans réaction chimique) de T à T+\mathrm{d}T. En considérant la capacité thermique C de la batterie et en négligeant celle des gaz :

   \mathrm{d}H_2 = C\,\mathrm{d}T

Le bilan enthalpique s'écrit alors :

D'après la définition du taux d'avancement de la combustion (avec un coefficient stœchiométrique de 1 pour l'acide pyruvique), l'avancement vaut \xi(t) = n_0\,\alpha_{\text{diss}}(t). La vitesse volumique de disparition s'écrit, d'après la question Q18 :

soit :

En introduisant la loi d'Arrhénius rappelée en Q19, k(T) = A\exp\left(-\frac{E_a}{RT}\right), on obtient :

En divisant le bilan enthalpique par \mathrm{d}t, il vient :

On identifie ainsi la loi demandée :

avec :

La combustion étant une réaction exothermique (\Delta_r H^\circ < 0), la constante \beta est bien strictement positive.

Lorsque l'avancement de la réaction est faible, c'est-à-dire pour \alpha_{\text{diss}} \ll 1, le facteur d'épuisement des réactifs est quasi unitaire : 1 - \alpha_{\text{diss}} \approx 1. L'équation différentielle établie à la question Q20 se simplifie alors en :

avec \beta > 0 et E_a > 0.

• D'une part, comme \beta > 0, on a \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} > 0 : la température T augmente au cours du temps par dégagement de la chaleur de réaction.
• D'autre part, la fonction T \mapsto \exp\left(-\dfrac{E_a}{R T}\right) est strictement croissante avec la température T. Par conséquent, la dérivée \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} augmente elle-même très rapidement avec T.

Il s'établit ainsi une boucle de rétroaction positive (ou auto-accélération thermique) :

Tant que les réactifs ne sont pas significativement consommés et que les pertes thermiques vers l'extérieur sont négligeables, aucun mécanisme régulateur ne vient compenser cette production de chaleur : la vitesse de réaction et la température croissent de façon explosive. Cette divergence auto-entretenue justifie pleinement le terme d'emballement thermique (thermal runaway).

D'après la question Q20, pour \alpha_{\text{diss}} \ll 1, l'équation différentielle régissant l'évolution de la température s'écrit :

En prenant le logarithme népérien de cette expression, on obtient :

En posant X = \frac{1000}{T} (exprimé en \text{K}^{-1}) et Y = \ln\left(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\right), la fonction Y(X) est une droite affine de pente p :

On remarque que le choix de l'unité de la vitesse de montée en température ({}^\circ\text{C}\cdot\text{min}^{-1}) ne modifie que la constante additive \ln \beta et n'affecte aucunement la pente de la droite.

Par lecture graphique sur la figure 5, on repère deux points sur la droite moyenne passant par les points de mesure :

• Point 1 : X_1 = 1{,}91\text{ K}^{-1} pour Y_1 = 6{,}0 ;
• Point 2 : X_2 = 2{,}14\text{ K}^{-1} pour Y_2 = 1{,}0.

La pente expérimentale vaut ainsi :

Avec la constante universelle des gaz parfaits R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, on en déduit :

Considérons le système fermé constitué de la tranche cylindrique de batterie de rayon a, comprise entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t.

• Son volume est \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x = \pi a^2\,\mathrm{d}x, et sa masse est \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}V.
• Sa surface latérale d'échange est \mathrm{d}\Sigma_{\mathrm{lat}} = 2\pi a\,\mathrm{d}x.

La matière étant condensée (incompressible et indilatable), la variation d'énergie interne du système entre t et t + \mathrm{d}t s'écrit :

Effectuons le bilan des transferts d'énergie reçus par le système pendant la durée \mathrm{d}t :

• Conduction axiale : d'après la loi de Fourier, le vecteur densité de courant thermique axial est \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}(x, t) = -\lambda \frac{\partial T(x, t)}{\partial x} \vec{u}_x. Le transfert thermique net entrant à travers les sections droites en x et en x+\mathrm{d}x vaut :

  \begin{aligned} \delta Q_{\mathrm{cond}} &= \left[ \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}(x,t)\cdot \vec{u}_x \, S - \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}(x+\mathrm{d}x,t)\cdot \vec{u}_x \, S \right] \mathrm{d}t \\ &= -\frac{\partial (\vec{\jmath}_{\mathrm{th}}\cdot\vec{u}_x)}{\partial x}\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t = \lambda \frac{\partial^2 T(x, t)}{\partial x^2}\,\pi a^2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t. \end{aligned}

• Échange conducto-convectif latéral : le flux sortant à travers la surface latérale orientée par la normale unitaire sortante \vec{u} est donné par la loi de Newton :

  \delta Q_{\mathrm{lat}} = - \vec{\jmath}\cdot \vec{u} \;\mathrm{d}\Sigma_{\mathrm{lat}}\,\mathrm{d}t = - h_{cc}(T(x, t) - T_{\mathrm{ext}})\,2\pi a\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t = \frac{2 h_{cc}}{a}(T_{\mathrm{ext}} - T(x, t))\,\pi a^2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t.

• Production interne d'énergie : chaque accumulateur dégage une puissance volumique constante p_J, d'où l'énergie reçue pendant \mathrm{d}t :

  \delta W_J = p_J\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t = p_J\,\pi a^2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t.

En appliquant le premier principe de la thermodynamique, \mathrm{d}U = \delta Q_{\mathrm{cond}} + \delta Q_{\mathrm{lat}} + \delta W_J :

En simplifiant par le volume \mathrm{d}V = \pi a^2\,\mathrm{d}x et par \mathrm{d}t, on obtient :

En régime stationnaire, le champ de température est indépendant du temps :

La dérivée spatiale devient alors une dérivée droite, et l'équation établie à la question Q23 s'écrit :

En factorisant par -\frac{2 h_{cc}}{a} dans les termes sources :

On reconnaît l'expression de la température limite T_l = T_{\text{ext}} + \dfrac{p_J a}{2 h_{cc}} :

En divisant l'ensemble par \lambda et en introduisant H^2 = \dfrac{a \lambda}{2 h_{cc}} (soit \dfrac{1}{H^2} = \dfrac{2 h_{cc}}{a \lambda}), on obtient l'équation différentielle simplifiée :

La grandeur H = \sqrt{\dfrac{a\lambda}{2h_{cc}}} a la dimension d'une longueur :

Sur le plan physique, H représente la longueur caractéristique d'atténuation (ou de relaxation) thermique axiale le long du cylindre :

• Elle caractérise la compétition entre la diffusion thermique longitudinale (conduction le long de l'axe x, favorisée par une conductivité \lambda élevée) et les pertes thermiques latérales (convection vers l'air extérieur, favorisées par un coefficient h_{cc} élevé).
• Pour un tronçon de cylindre de longueur H, la résistance thermique de conduction axiale R_{\text{th, diff}} = \dfrac{H}{\lambda (\pi a^2)} est du même ordre de grandeur que la résistance thermique d'échange convectif superficiel R_{\text{th, conv}} = \dfrac{1}{h_{cc}(2\pi a H)}.
• Elle correspond à l'échelle spatiale sur laquelle l'influence thermique des extrémités (imposée à T_{\text{ext}}) pénètre à l'intérieur du bloc : sur une distance de quelques H depuis les bords, la température passe de la température imposée aux extrémités à la température limite T_l au cœur de la batterie.

D'après la question Q24, le profil de température en régime stationnaire obéit à l'équation différentielle :

En posant la variable d'écart \theta(x) = T(x) - T_l, l'équation devient \theta''(x) - \frac{1}{H^2}\,\theta(x) = 0. La solution générale de cette équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants s'écrit :

où C_1 et C_2 sont deux constantes d'intégration réelles.

Les conditions aux limites imposées sont symétriques : T(-L) = T(L) = T_{\text{ext}}.

• La différence des températures aux deux extrémités donne :

  T(L) - T(-L) = 2 C_2 \sinh\left(\frac{L}{H}\right) = 0

  Comme L > 0 et H > 0, \sinh(L/H) \neq 0, d'où C_2 = 0. Le profil de température est donc une fonction paire de x.

• La condition en x = L s'écrit :

  T(L) = C_1 \cosh\left(\frac{L}{H}\right) + T_l = T_{\text{ext}} \implies C_1 = \frac{T_{\text{ext}} - T_l}{\cosh(L/H)}

Le profil de température se met donc bien sous la forme :

avec :

ce qui correspond à l'expression explicite :

D'après les questions Q24 et Q26, l'élévation de température dans le bloc s'écrit :

avec :

L'écart maximal de température est atteint au centre (x = 0) :

1. Commentaire qualitatif des simulations (figure 7) :

• À h_{cc} = 5\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} fixé (graphe de gauche) : L'écart asymptotique T_l - T_{\text{ext}} est constant. Lorsque la conductivité thermique \lambda augmente (0{,}4 \to 1 \to 10\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}), la longueur caractéristique H \propto \sqrt{\lambda} croît. Le rapport L/H diminue, donc \cosh(L/H) se rapproche de 1 : la diffusion thermique axiale évacue très efficacement la chaleur vers les extrémités x = \pm L maintenues à T_{\text{ext}}. Le profil s'aplatit considérablement et l'élévation maximale chute de 30\text{ K} (pour \lambda = 0{,}4) à environ 13\text{ K} (pour \lambda = 1) puis à seulement 1{,}5\text{ K} (pour \lambda = 10\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}).
• À \lambda = 0{,}4\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} fixé (graphe de droite) : Lorsque h_{cc} augmente (1 \to 10 \to 100\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}), le terme source convectif T_l - T_{\text{ext}} \propto 1/h_{cc} diminue, favorisant l'évacuation surfacique latérale. Toutefois, pour une faible conductivité (\lambda = 0{,}4\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}), le transfert de chaleur reste limité par la conduction interne du matériau. Même en multipliant h_{cc} par 100, l'élévation au centre ne diminue que modérément, passant de 33\text{ K} à environ 20\text{ K}.

2. Choix des paramètres pour une bonne gestion thermique : Le préambule de la partie II impose :

• un écart de température entre éléments inférieur à 10\text{ \textdegree C} (\Delta T \leqslant 10\text{ K}) ;
• le maintien d'une température modérée (ne dépassant pas 40\text{ \textdegree C}, soit pour T_{\text{ext}} \approx 20\text{ \textdegree C} une élévation \Delta T \leqslant 20\text{ K}).

À \lambda = 0{,}4\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} (valeur intrinsèque des accumulateurs), même avec une convection très forte (h_{cc} = 100\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}), l'écart au sein du bloc reste d'environ 20\text{ K}, ce qui est incompatible avec la limite de 10\text{ K}.

En revanche, une conductivité élevée telle que \lambda = 10\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} conduit à un écart maximal \Delta T_{\max} \approx 1{,}5\text{ K} \ll 10\text{ K}, assurant une quasi-uniformité de température.

D'après la figure 9, les accumulateurs cylindriques de diamètre d sont disposés selon un maillage carré régulier. Les cylindres adjacents horizontalement et verticalement sont tangents, de sorte que la distance entre leurs axes vaut d.

Considérons le motif carré délimité par les centres de quatre accumulateurs voisins :

• la longueur du côté du carré est d ;
• la longueur de la diagonale joignant les centres de deux cylindres opposés est donc d\sqrt{2}.

La distance caractéristique de l'écoulement d_{\text{écoulement}} correspond à l'espacement libre mesuré le long de cette diagonale entre les surfaces des deux cylindres opposés. En retranchant le rayon R = d/2 de chacun des deux cylindres, on obtient :

Application numérique : Avec d = 18\text{ mm} :

L'air s'écoule parallèlement aux axes des accumulateurs le long des 4 rangées longitudinales. Dans la section droite transverse (figure 9), les accumulateurs forment une grille de 6 \times 6 = 36 cylindres de diamètre d.

Le caisson étant de section parfaitement ajustée aux dimensions du pack, sa section totale est un carré de côté 6d :

La section transverse occupée par les 36 accumulateurs cylindriques vaut :

La section libre disponible pour l'écoulement de l'air est donc :

Sous l'hypothèse d'un écoulement parfait et incompressible en régime stationnaire, la vitesse de l'air est uniforme à travers toute la section de passage. La conservation du débit volumique s'écrit :

On en déduit l'expression de la vitesse d'écoulement entre les accumulateurs :

Application numérique :

• Q_{V,e} = 80\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1} = \dfrac{80}{3600}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} \approx 2{,}22 \times 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}
• d = 18\text{ mm} = 1{,}8 \times 10^{-2}\text{ m}
• S_{\text{libre}} = 36 \times (1{,}8 \times 10^{-2})^2 \times \left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right) \approx 2{,}50 \times 10^{-3}\text{ m}^2

Le nombre de Reynolds sans dimension caractérise le rapport des forces d'inertie sur les forces visqueuses :

où :

• v \approx 8{,}9\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est la vitesse de l'air entre les éléments (d'après Q29) ;
• d_{\text{écoulement}} \approx 7{,}5\text{ mm} = 7{,}5 \times 10^{-3}\text{ m} est la distance caractéristique de passage de l'air (d'après Q28) ;
• \nu = 1{,}6 \times 10^{-5}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} est la viscosité cinématique de l'air.

L'application numérique donne :

Remarque : si l'on choisit le diamètre externe des cylindres d = 18\text{ mm} comme échelle spatiale caractéristique du système, on obtient :

Le nombre de Reynolds obtenu (\mathrm{Re} \sim 4 \times 10^3 à 10^4) est nettement supérieur au nombre de Reynolds critique de transition pour un écoulement confiné (\mathrm{Re}_c \approx 2000). L'écoulement de l'air entre les accumulateurs est donc en régime turbulent.

Considérons le volume de contrôle fixe (\mathcal{V}) délimité par les parois intérieures du caisson entre la section d'entrée e et la section de sortie s. On définit le système fermé \Sigma^* constitué :

• de la masse de fluide présente dans le volume de contrôle (\mathcal{V}) à l'instant t ;
• de la masse élémentaire de fluide \delta m = D_m\,\mathrm{d}t entrant dans (\mathcal{V}) à travers la section d'entrée pendant \mathrm{d}t.

À l'instant t + \mathrm{d}t, ce même système \Sigma^* est constitué de la masse de fluide présente dans (\mathcal{V}) à t + \mathrm{d}t et de la masse \delta m sortie de (\mathcal{V}) à travers la section de sortie.

On formule les hypothèses suivantes :

1. Régime stationnaire : les grandeurs thermodynamiques en tout point du volume de contrôle sont indépendantes du temps ;
2. Énergies cinétique et potentielle négligeables : les variations d'énergie cinétique macroscopique et d'énergie potentielle de pesanteur entre l'entrée et la sortie sont négligeables devant la variation d'enthalpie ;
3. Absence de travail utile : aucun organe mécanique mobile n'échange de travail avec le fluide dans ce tronçon (\delta W_u = 0) ;
4. Caisson calorifugé : les parois extérieures ne laissent passer aucun transfert thermique vers l'extérieur, de sorte que le seul transfert thermique reçu par le fluide provient des accumulateurs : \delta Q = \mathcal{P}\,\mathrm{d}t.

L'enthalpie du système fermé s'écrit aux deux instants :

En régime stationnaire, H_{(\mathcal{V})}(t+\mathrm{d}t) = H_{(\mathcal{V})}(t). La variation d'enthalpie du système fermé s'élève donc à :

D'après le premier principe appliqué au système fermé \Sigma^*, en tenant compte du travail des forces de pression aux frontières qui est incorporé dans l'enthalpie :

En identifiant les deux expressions de \mathrm{d}H_{\Sigma^*}, on obtient :

D'après la question Q31, la puissance thermique échangée entre le pack d'accumulateurs et l'air s'écrit :

L'air étant modélisé par un gaz parfait, il vérifie la deuxième loi de Joule : son enthalpie ne dépend que de la température. Avec une capacité thermique massique à pression constante c_{p\text{,air}} supposée indépendante de la température sur la plage considérée, la variation d'enthalpie massique s'exprime par :

Le fluide étant supposé incompressible, sa masse volumique \rho_{\text{air}} est uniforme et le débit massique s'exprime à partir du débit volumique d'entrée Q_{V,e} :

On en déduit l'expression de la puissance thermique reçue par l'air :

Application numérique :

• \rho_{\text{air}} = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• Q_{V,e} = 80\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1} = \frac{80}{3600}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} \approx 2{,}22 \times 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}
• c_{p\text{,air}} = 1{,}0\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} = 1{,}0 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}
• \theta_s - \theta_e = 25{,}5 - 20{,}0 = 5{,}5\text{ }^\circ\text{C} = 5{,}5\text{ K}

Compte tenu des deux chiffres significatifs sur les données \rho_{\text{air}} et c_{p\text{,air}}, on retient :

D'après la loi de Newton, la puissance thermique échangée entre le pack maintenu à température uniforme \theta_{\text{pack}} et l'air à la température moyenne \bar{\theta} s'écrit :

où S_{\text{tot}} est la surface d'échange entre les accumulateurs et l'air. L'air circule le long des N = 144 accumulateurs cylindriques de diamètre d et de hauteur h. En considérant que l'échange thermique a lieu essentiellement à travers leurs surfaces latérales cylindriques, la surface d'échange totale vaut :

On en déduit l'expression de h_{cc} :

La température moyenne de l'air est :

d'où un écart moyen :

La surface totale d'échange vaut :

Avec la puissance thermique obtenue à la question précédente \mathcal{P} \approx 147\text{ W} :

L'air étant un fluide réel de viscosité non nulle (\nu = 1{,}6 \times 10^{-5}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1}) et l'écoulement étant turbulent (\mathrm{Re} \approx 4 \times 10^3, d'après la question Q30), le passage du flux d'air à travers le réseau d'accumulateurs s'accompagne d'une dissipation d'énergie mécanique sous forme d'énergie thermique (dissipation visqueuse).

Cette dissipation se traduit macroscopiquement par des pertes de charge entre l'amont et l'aval :

• Pertes de charge singulières prépondérantes : la géométrie complexe du réseau d'accumulateurs provoque des variations brutales de section (rétrécissement à l'entrée, élargissement à la sortie) ainsi que le décollement de la couche limite créant des zones de recirculation et des sillages tourbillonnaires en aval de chaque cylindre (traînée de forme) ;
• Pertes de charge régulières : frottements visqueux pariétaux de l'air le long de la surface latérale des accumulateurs et des parois du caisson.

Entre deux sections droites identiques en amont et en aval, le théorème de Bernoulli généralisé (bilan d'énergie mécanique en écoulement stationnaire incompressible) donne :

La chute de pression observée \Delta P = 10\text{ mbar} correspond donc à la perte de charge totale engendrée par le faisceau d'accumulateurs.

Pour vaincre les pertes de charge \Delta P à travers le banc d'accumulateurs et assurer un écoulement à débit volumique Q_{V,e} d'un fluide incompressible, le ventilateur doit fournir au fluide une puissance utile (puissance aéraulique) donnée par :

En introduisant le rendement électromécanique \eta du ventilateur, la puissance électrique consommée \mathcal{P}_{\text{él}} s'exprime sous la forme :

Avec les valeurs numériques de l'énoncé :

• Q_{V,e} = 80\text{ m}^3\cdot\mathrm{h}^{-1} = \frac{80}{3600}\text{ m}^3\cdot\mathrm{s}^{-1} \approx 2{,}22 \times 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\mathrm{s}^{-1},
• \Delta P = 10\text{ mbar} = 1{,}0 \times 10^3\text{ Pa},
• \eta = 0{,}60,

on obtient :

Commentaire :

• Cette consommation électrique représente environ 25\text{ }\% de la puissance thermique évacuée par l'air (\mathcal{P} \approx 147\text{ W}, calculée à la question Q32), ce qui constitue un coût énergétique non négligeable pour le refroidissement à cette échelle.
• Extrapolée à la batterie complète d'un véhicule électrique comptant environ 2000 accumulateurs (soit un facteur 2000 / 144 \approx 14), la puissance de ventilation serait de l'ordre de 500\text{ W}. Cette puissance est facilement délivrée par le réseau de bord d'un véhicule et demeure très modeste par rapport à la puissance du groupe motopropulseur (plusieurs dizaines à centaines de kilowatts).

1. Puissance électrique maximale fournie par les panneaux :

• D'après la figure 12, le pic d'irradiation solaire surfacique reçue au sol est d'environ :

  \Pi_{\max} \approx 750\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}
• La surface de panneaux solaires intégrée au véhicule est S_{\text{pan}} = 5\text{ m}^2 (figure 10).
• Le rendement certifié des cellules photovoltaïques en tandem pérovskite/silicium est \eta = 29{,}15\% \approx 0{,}292 (figure 11).

La puissance électrique maximale collectée s'élève à :

2. Puissance aérodynamique résistante : Sur sol horizontal à vitesse constante v, les frottements de l'air étant supposés prépondérants devant toute autre résistance (résistance au roulement négligée) :

où :

• \rho_{\text{air}} = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} (données du sujet) ;
• C_x = 0{,}23 (figure 10) ;
• la surface frontale S peut être estimée à partir de la largeur l = 1{,}82\text{ m} et de la hauteur h = 1{,}40\text{ m}. En tenant compte de la garde au sol et des arrondis de la carrosserie, on peut modéliser la surface frontale par S \approx 0{,}8 \times l \times h \approx 2{,}0\text{ m}^2 (ou simplement par le rectangle englobant S \approx l \times h = 2{,}55\text{ m}^2).

La puissance mécanique nécessaire pour entretenir ce mouvement vaut :

3. Vitesse maximale atteignable : En l'absence de stockage d'énergie et en supposant idéale la chaîne de transmission/motorisation (\mathcal{P}_{\text{méc}} = \mathcal{P}_{\text{él}}) :

Application numérique :

• Avec S \approx 2{,}0\text{ m}^2 :

  v_{\max} = \left(\frac{2 \times 1{,}09 \times 10^3}{0{,}23 \times 1{,}2 \times 2{,}0}\right)^{1/3} \approx \left(3{,}95 \times 10^3\right)^{1/3} \approx 15{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 57\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}

• Avec S = l \times h = 2{,}55\text{ m}^2 :

  v_{\max} = \left(\frac{2 \times 1{,}09 \times 10^3}{0{,}23 \times 1{,}2 \times 2{,}55}\right)^{1/3} \approx \left(3{,}11 \times 10^3\right)^{1/3} \approx 14{,}6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 53\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}

Compte tenu des incertitudes inhérentes à cette estimation, on retient :

Fixons le potentiel du rail inférieur commun à 0\text{ V}.

Durant la phase active (0 \leqslant t < \alpha T), l'interrupteur T_r est fermé. Comme il est supposé idéal, la tension à ses bornes est nulle :

Le potentiel à l'anode A de la diode D est donc imposé à :

Le potentiel à la cathode K de la diode est quant à lui relié au nœud supérieur de sortie, soit :

La tension directe anode-cathode aux bornes de la diode s'écrit alors :

L'énoncé précisant que v_s > 0, on a :

La diode est donc polarisée en inverse. S'agissant d'une diode idéale, elle est bloquée et se comporte comme un circuit ouvert (i_D = 0).

Le circuit équivalent pour cette phase active est constitué de deux circuits totalement découplés :

• à gauche, la source de tension V_{ps} alimente directement la bobine L à travers l'interrupteur fermé T_r ;
• à droite, la diode bloquée isole la cellule constituée du condensateur C et de la résistance de charge R.

D'après le schéma équivalent de la phase active (interrupteur T_r fermé et diode D bloquée), la maille d'entrée comprenant la source de tension, la bobine et l'interrupteur fermé donne la loi des mailles :

L'interrupteur T_r étant fermé et supposé idéal, la tension à ses bornes est nulle : v_{Tr}(t) = 0. On a donc :

En convention récepteur pour la bobine, la tension s'écrit :

On en déduit l'équation différentielle vérifiée par le courant i_L(t) sur l'intervalle 0 \leqslant t < \alpha T :

La tension d'alimentation V_{ps} étant continue et constante, l'intégration par rapport au temps donne immédiatement :

En tenant compte de la condition initiale i_L(0) = i_{L,\min}, on obtient pour tout t \in [0, \alpha T[ :

Le temps caractéristique associé à l'ensemble constitué de la résistance R et du condensateur de capacité C en parallèle est :

Pendant la phase active (0 \leqslant t < \alpha T), la diode D est bloquée. Le sous-circuit de sortie est alors isolé de la source et de la bobine : le condensateur se décharge dans la résistance R selon l'équation différentielle :

ce qui conduit à une décharge de la forme :

Pour que la tension v_s(t) puisse être considérée comme constante au cours du cycle de découpage, la chute relative de tension durant la phase active (de durée \alpha T) ou plus globalement sur toute la période T doit être négligeable, ce qui impose que le temps caractéristique \tau soit très supérieur à la période de commande T du hacheur :

On en déduit la condition sur la capacité C :

Durant la phase de roue libre, définie pour \alpha T \leqslant t < T :

• le transistor T_r est commandé à l'ouverture : il se comporte comme un circuit ouvert ;
• la bobine impose la continuité de l'intensité i_L(t) (qui est strictement positive en conduction continue) ; ce courant ne pouvant plus traverser la branche du transistor, il circule nécessairement à travers la diode D, ce qui la polarise dans le sens direct. La diode idéale se comporte donc comme un interrupteur fermé (court-circuit).

On obtient le schéma équivalent représenté ci-dessous :

Durant la phase de roue libre (\alpha T \leqslant t < T), l'interrupteur T_r est ouvert et la diode D est passante (v_D = 0). D'après le schéma équivalent établi à la question précédente, la loi des mailles s'écrit :

En convention récepteur pour la bobine idéale d'inductance L, la relation tension-courant est :

En considérant la tension v_s constante sur la période (justifié par la condition sur C établie en Q39), on obtient l'équation différentielle :

Par intégration directe entre l'instant initial de la phase \alpha T et une date t \in [\alpha T, T[ :

Avec la condition initiale i_L(\alpha T) = i_{L,\max}, on en déduit l'expression de l'intensité :

L'intensité du courant i_L(t) traversant une bobine d'inductance L est une fonction continue du temps.

1. Première expression (issue de la phase active) :

   D'après la question Q38, l'évolution de l'intensité sur l'intervalle [0, \alpha T[ s'écrit :

   i_L(t) = i_{L,\min} + \frac{V_{ps}}{L}\,t

   Par continuité de i_L en t = \alpha T, on a i_L(\alpha T) = i_{L,\max}, d'où :

   i_{L,\max} = i_{L,\min} + \frac{V_{ps}}{L}\,\alpha T

   On en déduit la première expression de l'ondulation de courant :

   \boxed{i_{L,\max} - i_{L,\min} = \frac{V_{ps}}{L}\,\alpha T}

2. Seconde expression (issue de la phase de roue libre) :

   D'après la question Q41, l'évolution du courant sur l'intervalle [\alpha T, T] s'écrit :

   i_L(t) = i_{L,\max} + \frac{V_{ps} - v_s}{L}\,(t - \alpha T)

   Le régime périodique étant établi, le courant vérifie la condition aux limites de périodicité :

   i_L(T) = i_L(0) = i_{L,\min}

   En évaluant l'expression précédente en t = T, il vient :

   i_{L,\min} = i_{L,\max} + \frac{V_{ps} - v_s}{L}\,(T - \alpha T)

   Soit, en réarrangeant les termes et en factorisant par T :

   \boxed{i_{L,\max} - i_{L,\min} = \frac{v_s - V_{ps}}{L}\,(1 - \alpha)T}

D'après les résultats des questions Q38 et Q41, l'intensité i_L(t) traversant la bobine vérifie sur la première période [0, T] :

• pour t \in [0, \alpha T] (phase active) :

  i_L(t) = i_{L,\min} + \frac{V_{ps}}{L}\,t

  Le courant croît linéairement de i_{L,\min} à i_{L,\max} avec une pente positive constante \dfrac{V_{ps}}{L}.

• pour t \in [\alpha T, T] (phase de roue libre) :

  i_L(t) = i_{L,\max} - \frac{v_s - V_{ps}}{L}\,(t - \alpha T)

  Le courant décroît linéairement de i_{L,\max} à i_{L,\min} avec une pente négative constante \dfrac{V_{ps} - v_s}{L} (car v_s > V_{ps}).

Par continuité du courant traversant une inductance et périodicité du régime permanent établi de période T, la courbe présente une forme triangulaire périodique (mode de conduction continue, i_L(t) > 0).