Diffusion thermique et diffusion de particules : 756 questions de concours corrigées

Soit j₊⁽D⁾ la densité de courant de particules associée à la diffusion des ions Na⁺, dont l'unité SI est mol⁻²⁻¹. Donner la relation entre j₊⁽D⁾, c₊ et D₊, le coefficient de diffusion de l'ion…

On considère que la particule en lévitation est en diamant, de capacité calorifique massique cₘ = 500 J⁻¹⁻¹. Un laser de puissance P₀ = 1 mW est utilisé pour mesurer la position de la particule…

On suppose que la température de la particule est homogène. Écrire l'équation différentielle régissant son évolution temporelle T(t). On posera P_abs,0 = P₀/10 et K = hS.

Dans l'hypothèse de réponse linéaire (concept à préciser), rappeler la loi à laquelle obéit le vecteur densité de courant thermique j_Q. On notera la conductivité thermique λ.

Après avoir rappelé la définition de la résistance thermique d'un matériau, en déduire l'expression mathématique de la résistance thermique R_th du barreau métallique.

Établir l'expression de la température dans la paroi en fonction de x, κ, j₀, e et T_s.

Rappeler la loi locale de Fourier reliant le vecteur densité volumique de courant thermique j_th au gradient de température grad(T). En précisant les analogies avec le résultat précédent, donner…

Rappeler la loi de Fourier. Préciser les notations et les unités des grandeurs physiques qui interviennent.

Déterminer en régime stationnaire le profil de température T(x) de cette paroi en fonction de e₀, T₁ et de T₂.

Donner en régime stationnaire l'expression du flux thermique Φ traversant cette paroi orientée dans le sens des x > 0, en fonction de e₀, T₁, T₂, λ et de S₀. En déduire l'expression de la résistance…

Rappeler la loi de Fourier exprimant le vecteur densité de courant thermique en fonction de la température T. Justifier la présence du signe "-" apparaissant dans cette loi.

On se place en régime stationnaire. Définir la résistance thermique R_th de la couche isolante, puis déterminer son expression littérale en fonction de S, d et de λ.

En pratique, ce mécanisme ne permet pas de diminuer indéfiniment la vitesse des neutrons, car les noyaux ne sont pas immobiles, mais ont un petit mouvement dû à l'agitation thermique. Pour le…

La toile de sol et la couverture étant installées, quelle puissance faudrait-il fournir pour maintenir constante la température de l'eau du spa ?

Donner, en les justifiant, les unités (ou les dimensions) de k et λ. Établir, dans le cas unidimensionnel, l'équation de diffusion thermique rappelée ci-dessus.

Rappeler la loi de la diffusion des particules, ou loi de Fick ; préciser les dimensions de toutes les grandeurs qui apparaissent dans son expression.

Citer deux autres phénomènes de la physique dont l'évolution est modélisée par une équation de ce type.

Exprimer le flux thermique Φ_th(r) traversant par conduction, dans le sens radial croissant, la sphère de centre O et de rayon r [R₁, R₂] en fonction de λ, r et dT/dr(r).

Justifier que le vecteur densité de flux thermique ne dépende que de la coordonnée x : _th = j_th(x, t) uₓ. On admet qu'au sein de la paroi de verre, le champ des températures T(x, t) vérifie…

Comment appelle-t-on le coefficient λ_v/(ρ_v c_v) ? En quelle unité s'exprime-t-il ?

Déterminer l'évolution de la température T(x) selon l'axe (Ox) dans la paroi de verre 1. On suppose que T(0) = T_e,i et T(e_v) = Tₐ.

En raisonnant sur une analogie électrique, exprimer la résistance thermique de conduction R_cond d'une plaque d'aire S, d'épaisseur e constituée d'un matériau de conductivité thermique λ.

Déterminer l'expression puis la valeur de la résistance thermique de conduction R_cond, comprise entre les abscisses x = 0 et x₂, équivalente à l'association de la couche de tartre suivie de la…

Établir l'équation locale de conservation des électrons : (∂ nₑ)/(∂ t) + (∂ jₑ)/(∂ x) = 0 . Donner par analogie l'équation locale de conservation des ions.

Comment s'appelle la loi associée au terme -D grad n apparaissant dans ces deux expressions ? Que traduit physiquement le terme ± nµ E ?

En déduire l'équation de diffusion ambipolaire : (∂ n)/(∂ t) = Dₐ (∂² n)/(∂ x²).

Énoncer la loi de Fourier dans un cas unidimensionnel en coordonnées cartésiennes et préciser, sur le schéma de la figure 9 à reproduire sur votre copie, le sens réel du vecteur densité de flux…

En vous basant sur une analogie électrique, donner les correspondances entre les trois grandeurs thermiques suivantes température T, résistance thermique R_th, flux thermique φ et les grandeurs…

Après avoir rappelé la relation entre le flux thermique et le vecteur densité de flux thermique, montrer que la résistance thermique R_th associée à la surface latérale de la bouteille d'épaisseur e…

En utilisant la loi de Fick, établir l'équation de diffusion sous la forme : (∂ c)/(∂ t)=D (∂² c)/(∂ x²) .

Rappeler l'expression de la loi de Fourier.

Établir le système d'équations différentielles vérifié par les nombres d'atomes N₁ = N₁(t) et N₂ = N₂(t) contenus dans chacune des enceintes.

Exprimer la solution (N₁(t), N₂(t)) correspondant aux conditions initiales N₁(t = 0) = N et N₂(t = 0) = 0.

Nous considérons une machine dans laquelle l'énergie est produite par une source solide à la température T₁. Cette énergie est transmise à un fluide caloporteur de température T₃, avec T₃ < T₁, qui…

Rappeler la définition du vecteur j_Q, densité de flux thermique. Quelle est sa dimension ? Rappeler la loi de Fourier, ainsi que ses conditions d'application. En déduire la dimension de la…

Rappeler la définition du vecteur j_Q, densité de flux thermique. Quelle est sa dimension ? Rappeler la loi de Fourier, ainsi que ses conditions d'application. En déduire la dimension de la…

Rappeler la loi de Fourier en indiquant les noms et les unités des grandeurs introduites.

Écrire la relation de Fourier dans le cadre de notre étude unidimensionnelle selon l'axe (Ox).

En déduire l'équation de la chaleur : (∂ T)/(∂ t) = D (∂² T)/(∂ x²). Comment nomme-t-on la grandeur D ? En quelle unité s'exprime-t-elle ? Exprimer D en fonction de λ, ρ et c.

Réécrire dans ce cas, l'équation de diffusion thermique et en déduire l'évolution de la température T(x) dans le solide.

Exprimer le flux thermique Φ traversant la plaque de section S orthogonale à l'axe (Ox) orientée dans le sens des x > 0 en fonction de S, λ, e, T_i et Tₑ.

Relier la différence de température T_i - Tₑ au flux thermique Φ par analogie avec la loi d'Ohm. Faire apparaitre la résistance thermique du parallélépipède R_th et l'exprimer en fonction des…

Indiquer le mécanisme majeur de transfert thermique qui a lieu entre la zone froide du congélateur et le laboratoire.

En considérant un modèle unidimensionnel d'axe (Ox), de propriétés uniformes, établir le profil de température au sein de la paroi qui sépare l'intérieur du congélateur du milieu extérieur. On se…

Écrire la loi de Fourier en donnant le nom et l'unité de toutes les grandeurs figurant dans cette loi.

Estimer littéralement le temps caractéristique du phénomène de diffusion dans le pigment une fois l'impulsion laser terminée. On l'exprimera en fonction d'une longueur caractéristique, de ρ_p, c_p…

Déterminer l'unité du coefficient h.

En l'absence de toute ventilation, le flux thermique lié aux pertes à travers l'ensemble des parois (fenêtres, toit, murs) séparant l'habitation de l'extérieur est P_th,p = 5,0 kW en régime…

Citer la loi de Fourier en nommant les différentes grandeurs physiques qui interviennent et en précisant les unités. Quel est son contenu physique ?

Rappeler la loi de Fourier en donnant les noms des grandeurs y figurant. Quelle est leur signification physique ?

Définir la résistance thermique de la barre et l'exprimer en fonction des caractéristiques de celle-ci.

Que valent les deux résistances associées à la conducto-convection ?

Établir, dans le cas unidimensionnel où j = jₓ(x, t) eₓ, l'équation aux dérivées partielles liant c à jₓ. On accompagnera d'un schéma le raisonnement tenu. Dans une situation tridimensionnelle, nous…

Nous écrivons cette expression sous la forme suivante : c_w(r) = c₀ (1 + b/r) où b = Cste11 Exprimer la densité de flux (ou flux surfacique) de molécules d'eau j_w(R), au niveau de la surface de la…

Nous notons R(0) le rayon de la gouttelette à l'instant t = 0. Exprimer la solution R(t) de l'équation différentielle (15) vérifiant cette condition initiale.

Rappeler la loi de Fourier de la conduction thermique. Définir les grandeurs intervenant dans cette loi. On dit souvent qu'il s'agit d'une loi phénoménologique. Que cela signifie-t-il ? La…

Déterminer l'expression de la constante D en fonction de la masse volumique µ, du coefficient de conductivité thermique λ et de la capacité thermique massique c du matériau considéré. On pourra…

Rappeler la loi de Fourier pour la diffusion thermique. En déduire l'expression du vecteur densité de courant thermique j_th puis dessiner l'allure des lignes de champ le long de l'anneau, en…

Énoncer la loi de Fourier relative au vecteur densité de flux thermique _Q qui caractérise le phénomène de conduction thermique le long de l'axe de l'ailette.

Rappeler la loi de la conduction thermique de Fourier.

On note λ_f la conductivité thermique du fil. Exprimer le transfert thermique δ Q_cond algébriquement reçu par conduction par Σ(x) pendant la durée élémentaire dt.

Rappeler la loi de Fick et préciser les unités des grandeurs qui interviennent. Justifier qualitativement l'existence de ce courant de diffusion. Préciser s'il est ascendant ou descendant.

Rappeler la loi de Fourier à une dimension. Préciser les unités des grandeurs physiques qu'elle met en relation.

En tenant compte des déplacements des particules dans toutes les directions de l'espace, on peut montrer que le flux de particules par unité de surface dans V est Φ_N = 1/6Φ_N,x = -1/3vℓ dn/dx. En…

Le coefficient de diffusion de particules à trois dimensions étant défini par |δ|² = 6Dt, préciser l'expression de D en fonction du libre parcours moyen ℓ et du temps de collision τ_col. Comparer…

En utilisant le théorème d'équipartition de l'énergie, déterminer l'expression de x² , où la notation x désigne la dérivée de x(t) par rapport au temps, composante de la vitesse dans la direction eₓ.

Déterminer le coefficient de diffusion D.

Exprimer _N, la moyenne statistique sur un grand nombre de configurations de la quantité vectorielle OA_N après N sauts. Commenter.

Montrer, à l'aide d'un argument simple, que la température T en un point du milieu ne dépend spatialement que de r, distance séparant le centre de la nanosphère du point considéré.

En déduire l'expression de la puissance fournie par la nanosphère au milieu extérieur, P_sph, en fonction de a, κ et δ T_s = T_s - T₀ sous la forme : P_sph = 4π aκ δ T_s .

Citer les trois modes de transfert thermique et donner leurs spécificités.

De même, écrire l'équation régissant l'évolution de la température T(x,t) dans la zone non altérée.

Justifier que j_th = -λ dT/d_ρ. Justifier physiquement le signe moins.

Les transferts thermiques entre la face extérieure du plumage du manchot à la température T_p et l'air extérieur à la température Tₑ sont modélisés par une densité de courant thermique…

Rappeler la loi de Fick et préciser les unités, dans le Système International, des grandeurs qui interviennent.

Définir le flux thermique φ à travers une surface S. Préciser son unité.

Énoncer la loi de Fourier.

À l'aide d'un schéma électrique équivalent, montrer que le transfert thermique entre la paroi interne du tartre à la température T₁ et l'eau à la température Tₑ est représenté par une résistance…

Montrer que la dimension de la diffusivité thermique du milieu D est une longueur au carré par unité de temps.

Après avoir effectué une analogie précise avec l'électrocinétique, montrer que l'expression obtenue à la question précédente permet de définir une résistance thermique R_th et l'exprimer en fonction…

Quels sont le nom et la dimension du coefficient λ ? En déduire son unité SI. Justifier physiquement le sens du vecteur densité de flux thermique _d.

Exprimer la puissance thermique φ qui traverse le cylindre de rayon r et de longueur L, dans le sens des r croissants.

Rappeler la loi de Fourier pour un matériau de conductivité thermique λ_i.

En géométrie sphérique grad(T) = (∂ T)/(∂ r) u_r + 1/r (∂ T)/(∂ θ) u_θ + 1/(rsin (θ)) (∂ T)/(∂ φ) u_φ. Expliquer qualitativement pourquoi ici on aura grad(T) = (∂ T)/(∂ r) u_r et représenter le…

Énoncer la loi de Fick reliant la concentration particulaire n(r, t) et la densité de courant particulaire _part(r, t) en précisant la signification et la dimension des différentes grandeurs…

En analysant les invariances et symétries du problème, justifier que la densité de courant molaire (r, t) se met sous la forme j(r)e_r. On se placera dans un système de coordonnées sphériques, dont…

Relier Φ₀ à la norme de la densité molaire de courant j(r) et à r.

En exprimant la quantité élémentaire de matière qui traverse une surface élémentaire dS(r) située en r pendant une durée dt, sous l'effet du transport convectif par l'écoulement seulement, justifier…

En précisant les différentes hypothèses de votre calcul, exprimer j_q en fonction de v, τ, n, dT/dx et de la chaleur spécifique d'un électron C_V = dE/dT. En retrouvant la loi de Fourier dans cette…

Établir l'équation différentielle vérifiée par T(x,t) dans laquelle on fera apparaître le coefficient de diffusion thermique D que l'on exprimera en fonction des paramètres du problème.

Dans quelles autres situations en physique rencontre-t-on ce type d'équation ? Les décrire en quelques lignes.

Justifier que la température est une fonction de r uniquement. Que peut-on en déduire sur la densité de courant thermique ?

Rappeler à quelles conditions un échange thermique entre un fluide (de température T_f) et un solide (de température T_s) peut être considéré réversible. Quelle devrait être la valeur de h pour que…

À un instant t donné, quelle est, en ordre de grandeur, la longueur caractéristique de variation de la température avec r ?

Rappeler brièvement le lien qui existe entre une résistance thermique et une conductance thermique. Préciser l'unité d'une conductance thermique.

En faisant un bilan thermique sur le transistor, écrire l'équation différentielle reliant P_s(t), Tₜ(t), T_b(t), Cₜ et G_tb.

En faisant un bilan thermique sur le boîtier, écrire l'équation différentielle reliant T_b(t), Tₑₓₜ, C_b, G_tb et G_be.

Expliquer pourquoi on peut considérer a comme infinie, puis déterminer le profil de température T(x).

À l'équilibre thermodynamique, on sait que la concentration est donnée par la distribution de Boltzmann, c₊ = c_∞ exp (-ψ) où c_∞ est une constante qui représente la concentration d'ions loin de la…

Établir l'équation gouvernant l'évolution spatio-temporelle du champ de température T(x,t) dans le barreau métallique.

En écrivant un développement limité à l'ordre 1 pour u(z ± ℓ), déterminer la viscosité dynamique η du fluide en fonction de la masse m des molécules qui le compose, de leur densité particulaire n…

En raisonnant sur un élément de volume que l'on décrira précisément, établir l'équation de la diffusion dans le matériau supraconducteur en régime stationnaire.

En effectuant un bilan thermique à la plaque, établir l’équation différentielle vérifiée par T_plaque(t). Définir le temps caractéristique d’évolution de la température de la plaque en fonction de…

À l'aide d'un bilan énergétique entre t et t+dt, établir l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de la température du filament T(t) (supposée uniforme). On pourra négliger le flux…

En effectuant, en régime stationnaire, un bilan thermique entre les instants t et t+dt pour la portion de jambe comprise entre les abscisses x et x+dx, établir l’équation différentielle vérifiée par…

Déduire de l’équation différentielle précédente que (d² T)/dx² = -k, où k est une constante positive qu’on exprimera en fonction de I, σ_p, λ_p et de S.

On suppose qu'il n'y a pas de source de chaleur interne. Établir pour l'étude de cette paroi, l'équation de la diffusion thermique en coordonnées cartésiennes.

On note T(t) la température de la pièce supposée uniforme à un instant t et C la capacité thermique de la pièce. Cette capacité englobe celle du mobilier, celle de l'air contenu dans la pièce et…

En déduire l'équation d'onde vérifiée par le champ électrique dans le conducteur ohmique. Préciser le nom de ce type d'équation.

Établir, dans le cas unidimensionnel étudié, l'équation de la diffusion thermique (ou équation de la chaleur) liant les dérivées spatiale et temporelle de la température T(x, t).

Déterminer l'équation différentielle satisfaite par la fonction f(x).

Déterminer l'expression de δ en fonction de λ, ρ, c et de ω, puis préciser sa dimension.

Établir l'expression de la solution réelle T(x, t). Montrer ensuite que : T(x = d, t) = T₀ + T₁ e⁻d/δ cos [ω(t - τ)] et expliciter le « déphasage thermique » τ en fonction de d, λ, ρ, c et de ω. Les…

Définir la notion de résistance thermique. Exprimer, en fonction des variables du problème, la résistance thermique de conduction des parois verticales du spa notée R_p (on se placera en symétrie…

Montrer que l'écart de température est de la forme T_int(t) - Tₑₓₜ = (T_int(0) - Tₑₓₜ)e⁻t/τ et calculer le temps caractéristique τ dont on commentera la valeur.

Définir la notion de résistance thermique. Exprimer, en fonction des variables du problème, la résistance thermique de conduction des parois verticales du spa notée R_p (on se placera en symétrie…

Montrer que l'écart de température est de la forme T_int(t) - Tₑₓₜ = (T_int(0) - Tₑₓₜ)e⁻t/τ et calculer le temps caractéristique τ dont on commentera la valeur.

Rappeler l'expression de la diffusivité thermique D_th d'un matériau. À quelle condition, portant sur la durée Δ t du refroidissement, l'hypothèse consistant à considérer la température du matériau…

Déterminer l'équation d'évolution de la température T(t) de la boule solide ; on posera τ = (ρ R c)/3k.

Montrer que par passage à la limite continue (τ → 0 et a → 0) on retrouve bien l'équation equation VI.1 à condition de poser D = pa²/τ.

En exploitant le résultat précédent et la relation d'Einstein (eq equation VI.2) déduire une estimation de la constante de Boltzmann k_B, puis de la constante d'Avogadro. On indiquera précisément…

Expliquer pourquoi il est raisonnable de considérer ce flux thermique indépendant de r dans le noyau externe. En déduire l'expression de la conductivité thermique λ en fonction de R₁, R₂, T₁, T₂ et…

Exprimer la durée τ nécessaire à l'établissement du régime stationnaire. Calculer sa valeur numérique.

Pour une seule des cinq parois modélisées par une couche de tartre et une couche de béton, exprimer la résistance thermique R_th tenant compte des différents modes de transfert de la chaleur en…

En utilisant l'équation précédente, justifier qualitativement l'irréversibilité du phénomène de diffusion thermique.

À l'aide du premier principe de la thermodynamique, montrer que la température T(t) du système vin + bouteille vérifie une équation différentielle de la forme : dT/dt + T/τ = K. Préciser également…

Sachant que τ = 5,4· 10³ s et τ K = 295 K, exprimer, puis calculer la durée nécessaire pour que le vin atteigne sa température optimale de dégustation T_D = 16 ^. On donne : ln (7/3) ≈ 0,8.

En effectuant un bilan de matière dans un volume élémentaire de section S et d'épaisseur d x, situé entre les abscisses x et x+d x, traduisant la conservation du nombre d'impuretés, établir une…

Établir l'équation de diffusion aux dérivées partielles satisfaite par C(x,t), pour x R.

À partir d'une analogie entre grandeurs électriques et grandeurs thermiques, définir la résistance thermique et montrer que son expression est donnée par : R_th = ℓ/(λ_th S)

Reproduire le schéma de la figure (2). Y représenter le volume élémentaire dD contenant l'ensemble des atomes qui s'échapperont de l'enceinte (1), par le trou, entre les instants t et t + dt, et…

En prenant en compte la distribution des vitesses définie par l'équation (3), exprimer le nombre moyen d'atomes sortant de l'enceinte (1), par unité de temps. Nous notons N_1/2 cette grandeur et…

Établir l'équation différentielle reliant N_i-1(t), N_i(t) et N_i+1(t), pour 1 < i < K.

Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par la fonction f. Commenter ce résultat.

Montrer que dans ces conditions l'équation vérifiée par le champ de température T(z, t) au sein du matériau peut s'écrire sous la forme : ρ c_p (∂ T(z, t))/(∂ t) - k (∂² T(z, t))/(∂ z²) = P_J(z) où…

Finalement il faut ajouter les pertes par rayonnements étudiées dans la partie 1, qui sont données par la loi de Stefan-Boltzmann corrigée : P_ray = ε σ₀ T⁴, où l'on a introduit les grandeurs…

Rappeler l'équation de la diffusion thermique en régime dépendant du temps dans le cas d'un modèle unidimensionnel dans les matériaux de la figure 8. Définir les conditions aux limites à l'interface…

Quelle est l'énergie thermique δ Q reçue par cette tranche entre t et t +dt ? Pourquoi étudie-t-on une tranche « mésoscopique » ? Établir l'expression de sa variation d'énergie interne dU en…

Montrer que (d²θ(η))/dη² + 2η (dθ(η))/dη = 0.

Toute l'énergie libérée par la solidification doit être évacuée par diffusion dans la lave solide car la lave en fusion reste à la température T_f. Montrer que : ρ Δ h_sol(T_f) (dy_s(t))/dt = κ ((∂…

Quelle est l'énergie thermique δ Q reçue par cette tranche entre t et t+dt ? Pourquoi étudie-t-on une tranche « mésoscopique » ? Établir l'expression de sa variation d'énergie interne dU en fonction…

Montrer que (d²θ(η))/dη² + 2η (dθ(η))/dη = 0.

Établir l'équation de la chaleur. Donner l'expression du coefficient de diffusion thermique et son unité. On notera les grandeurs avec l'indice i = 1,2,3,4 correspondant aux différents milieux…

En régime stationnaire, montrer que, en négligeant la diffusion thermique interne à l'eau, le champ de température T(x) dans l'eau vérifie : dT/dx + T/ξ = Tₑ/ξ (II.1) avec ξ = Qₘ c r où c est la…

À partir d'un bilan d'énergie sur un système judicieusement choisi, montrer que le champ de température vérifie l'équation aux dérivées partielles suivante : µ c (∂ T(x, t))/(∂ t) = λ (∂² T(x…

En appliquant le premier principe de la thermodynamique, montrer que (∂ T)/(∂ t) = -1/(ρ c) (∂ j)/(∂ x).

Établir alors l'équation vérifiée par B(M, t) dans le conducteur. Qu'est-ce qui permet de dire qu'elle traduit un phénomène irréversible ? Citer un phénomène décrit par une équation analogue dans un…

En effectuant un bilan d'énergie sur un cylindre élémentaire d'axe de révolution (Ox) compris entre x et x + dx, montrer que l'équation différentielle satisfaite par T(x, t) s'écrit ρ_p c_p (∂ T)/(∂…

On assimile le régime à un régime stationnaire. En appliquant le premier principe à un système infinitésimal de glace, écrire l'équation différentielle à laquelle obéit le vecteur densité de courant…

En réalisant un bilan d'énergie interne sur une tranche d'argile de surface S d'épaisseur dz, montrer que T(z, t) est solution de l'équation de la diffusion thermique (5) où le coefficient de…

Évaluer l'expression du flux φ qui traverse la section S dans le sens des z croissants en fonction des données ainsi que la loi de température T(z).

En déduire la résistance R associée à la diffusion thermique pour une longueur l de tuyau. Faire l'application numérique pour 1 m de tuyau avec les valeurs Rₘₐₓ = 40 cm ; R_min = 30 cm ; λ = 1…

On suppose par la suite que la température de l'eau ne dépend que de la variable x, et on néglige les phénomènes de diffusion thermique en son sein. Appliquer l'égalité écrite à la question 16 à la…

En supposant que le processus de diffusion peut être considéré comme étant quasi-stationnaire, déterminer l'expression de la concentration c_w = c_w(r) (une constante d'intégration restant encore…

Nous notons v_w le volume (effectif) d'une molécule d'eau. Établir que le rayon R de la gouttelette vérifie l'équation différentielle suivante : 2RdR/dt = -θ(1 - H) où θ = 2v_wD_wc_vs15

Présenter les propriétés de l'équation (12) puis caractériser le phénomène qu'elle décrit. Proposer une analogie de la situation étudiée dans un autre domaine de la physique. S'en inspirer pour…

Nous notons C = F/a³ la concentration en particules du domaine cubique de côté a et de centre M(na). Établir enfin que la grandeur f, ramenée à la surface a × a traversée par les particules, que…

Sur la base de l'expression de J_P obtenue en réponse à la question (29), donner celle de la densité de courant des charges portées par les électrons libres, J_N [A⁻²], transitant à travers la ZCE…

En effectuant un bilan énergétique sur un élément de volume de fil compris entre les abscisses x et x+dx, établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par la température T_w(x,t).

Rappeler la définition d'une résistance thermique ainsi que son unité. Quelle est la conséquence d'un contact sans résistance thermique ? Déterminer la solution générale de l'équation différentielle…

Déterminer les expressions approchées de dV ainsi défini et de la surface élémentaire dS_lat de son contact avec l'air. On rappelle que a ≪ R. En déduire que T(θ,t) vérifie l'équation λ/R² (∂² T)/(∂…

En réalisant un bilan de puissance thermique sur une tranche de longueur dx de l'ailette, montrer que la température suit l'équation différentielle d²T/dx² - 1/δ² T = -1/δ² Tₐ avec δ = √((λ a)/2h)…

Montrer qu'en régime stationnaire, il vient (dΦ(r))/dr = 2π h P_v r. (I.2)

En déduire l'expression de Φ(r) en fonction de h, r et (dT(r))/dr. On pourra utiliser le formulaire fourni en fin d'énoncé.

En utilisant l'hypothèse de régime stationnaire, montrer que : (d² θ_f)/dx² - K₁ θ_f = K₂ avec θ_f(x) = T_f(x) - T₀, et K₁ et K₂ deux constantes à exprimer en fonction de ℓ, d, h, λ_f, γ, R₀ et I.

Un homme nu perd de l'énergie par des phénomènes de convection et de rayonnement avec une puissance surfacique p_p = α(T_h - Tₑₓₜ) où T_h est la température de surface de la peau de l'homme, Tₑₓₜ…

Traduire le premier principe pour le système élémentaire, de section S, situé entre z et z + dz en supposant que le sol est caractérisé par une capacité thermique massique c, une masse volumique µ…

En tenant compte de la puissance volumique p due au phénomène d'induction, d'étailler les étapes permettant d'établir l'équation satisfaite par le champ des températures : (∂ T)/(∂ t) = p/(ρ c) +…

Dans l'hypothèse où T₀(t) varie lentement (régime quasi-stationnaire), justifier que la température T(x) dans la glace (pour x variant de 0 à ℓ) peut s'écrire sous la forme : T(x) = a x + b où les…

À l'aide d'un bilan microscopique sur une tranche dx du morceau de bois, établir l'équation différentielle reliant le flux thermique conductif j(x,t) dans le bois et la température T(x,t).

En déduire que la température dans le bois vérifie l'équation différentielle : T(x,t) + τ (∂ T(x,t))/(∂ t) - ℓ² (∂² T(x,t))/(∂ x²) = T₀ Donner l'expression des constantes positives τ et ℓ. Calculer…

Pour t ≫ τ, un régime stationnaire est atteint par lequel T(x,t) → Tst(x). On pose Δ T(x) = Tst(x) - T₀. Donner l'équation différentielle vérifiée par Δ T ainsi que les conditions aux limites qui…

Après avoir expliqué pourquoi il est légitime de supposer que l'eau n'absorbe pas l'impulsion lumineuse produite par le laser, établir l'équation de la diffusion thermique dans l'eau (r > a) à…

Relier le libre parcours moyen ℓ au temps de collision τ_col et à la vitesse v. Quel est l'ordre de grandeur du nombre de particules se trouvant en moyenne dans le volume σ_eff ℓ ? En déduire que ℓ…

Montrer qu'entre les dates t et t+dt, dNₑ particules de gaz entrent dans le volume V et dN_s particules de gaz en sortent, avec dNₑ = Svn(x-ℓ)dt et dN_s = Svn(x+ℓ)dt. À l'aide d'un bilan portant sur…

En supposant que x² (t = 0) = 0 et des durées longues devant τ, montrer que x² (t) = 2Dt et établir la relation d'Einstein D = k_BT/(6πη r_p) .

Donner les unités (ou dimensions) communes aux vecteurs j_c et jₙ, ainsi que l'unité de D. À l'état d'équilibre macroscopique, caractérisé par une température uniforme T₀ et une répartition de…

Montrer alors que p(x, t) vérifie une équation de diffusion.

Montrer que le déplacement quadratique moyen Δ² (noté MSD sur la figure 6), Δ² = |OA_N|², est proportionnel à la durée Δ t correspondant à N sauts.

Effectuer un bilan énergétique entre t et t + dt pour un système bien choisi et établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par la température T(r, t) dans le milieu : C_g (∂ T)/(∂ t)(r, t)…

Établir l'expression de la température T(r) dans le milieu en fonction de a, r, T₀ et T_s.

Interpréter physiquement la constante r_th et citer un autre domaine de la physique où l'on rencontre une situation similaire.

Effectuer un bilan d'enthalpie sur un élément de longueur dx de poutre de bois de section S compris entre x et x+dx, dans la zone de combustion. En supposant la loi de Fourier applicable, en déduire…

Effectuer en régime stationnaire un bilan thermique, entre les instants t et t+dt, pour la portion du milieu comprise entre les cylindres d'axe (O,u_z), de longueur ℓ, de rayons ρ et ρ+dρ (R₁ < ρ <…

Définir la résistance thermique R_th du milieu. Montrer qu'elle s'écrit : R_th = 1/2πλ (R₂/R₁).

Quand on effectue un bilan énergétique pour le matériau compris entre les cylindres de rayons r et r+dr, on obtient l'équation différentielle vérifiée par le flux thermique : (d(r · j_d(r)))/dr = 0…

En déduire que la résistance thermique du cylindre s'exprime par R = 1/(2π λ L) ln (r₂/r₁).

A partir de la définition de la résistance thermique R_i, restituer le raisonnement permettant d'en retrouver l'expression fournie (R_i = e/(4π λ_i b²)), en calculant littéralement les grandeurs…

Le rayon R de la bactérie fixe l'échelle caractéristique de variation de vitesse de l'écoulement considéré. On appelle nombre de Péclet, noté Pe, le nombre sans dimension comparant le temps typique…

À l'aide d'un bilan sur une section droite de métal située à l'abscisse x, montrer que le flux thermique j_q par unité de surface s'écrit : j_q = 1/2 n v [E(T(x - vτ)) - E(T(x + vτ))]

Exprimer les coefficients wₙ, puis les coefficients kₙ et αₙ en fonction de n, L et D.

En admettant que le profil identifié représente réellement le champ de température à l'intérieur du crayon, relier la constante K aux grandeurs physiques pertinentes dont les valeurs numériques sont…

Établir l'équation différentielle vérifié par T(r, t), la température du matériau en fonction du temps. On pourra introduire la diffusivité thermique du matériau définie par α = λ/(ρ c_p).

Exprimer (∂ T)/(∂ r)(r₀, t) en fonction de λ, r₀ et φ_L.

Établir l'équation différentielle vérifiée par T(x) en faisant apparaître une longueur caractéristique L qui s'exprime en fonction de λ, e et h. Calculer puis comparer les valeurs de L et a.

Exprimer en fonction de T₀, Tₐ, b, h, λ et e la puissance thermique totale évacuée par l'ailette. Peut-on réduire la longueur de l'ailette sans diminuer sensiblement son efficacité ? Si oui…

À l'aide d'un bilan thermique local à une dimension sur un parallélépipède de surface S et d'épaisseur dx, établir une relation différentielle entre la température et la norme du vecteur densité de…

Cette chaleur diffuse ensuite dans l'ensemble du métal. Si l'on suppose que cet effet se produit principalement selon l'axe Ox et sur la longueur L, estimer numériquement (à un facteur multiplicatif…

En relevant les températures extrémales, justifier pourquoi on utilise un modèle à contre courant (courants des fluides en sens opposé) plutôt qu'un modèle à co-courant (courants des fluides dans le…

Enfin en intégrant l'expression (1) montrer que h=P/(L· D)(ln ((T_C(0)-T_F(0))/(T_C(D)-T_F(D))))/((T_C(0)-T_F(0))-(T_C(D)-T_F(D)))

On cherche donc des solutions à variables séparées du type T(z,t) - T₀ = f(z) exp (iω t). a) À quelle équation différentielle obéit f(z) ? Quelle est la dimension de (ω c µ)/λ ? b) En déduire la loi…

Supposons que les variations de P(z, t) sont petites à l'échelle d'une course, c'est-à-dire que |∂_z P(z, t)V₀τ_±| ≪ 1. En effectuant un développement de Taylor au premier ordre en t et au deuxième…

Faire deux bilans enthalpiques locaux puis montrer que (d(T_C-T_F))/((T_C-T_F))=(-h· L)/c_EAU(1/D_C-1/D_F)dx (1) on posera α=(h· L)/c_EAU(1/D_C-1/D_F).

Donner l'allure de T(t) sur un graphe.

Déterminer l'expression du profil de température T(x) dans le barreau, en régime permanent.

Représenter graphiquement l'évolution de T₁(t) et T₂(t) en fonction du temps et analyser le résultat obtenu.

Dans une perspective plus générale, à quelle application pourraient être destinés les effets thermoélectriques ?

Établir l’expression littérale de T_plaque(t) et tracer son allure.

Indiquer quels sont les différents modes de transfert thermique possibles. Préciser, avec justification, celui qui est mis en jeu lors du chauffage de la cathode par le filament.

Rappeler quelle est la signification de la grandeur φ.

Justifier qualitativement la loi phénoménologique liant F_A à k_D, S, C_A, C_Af.

Justifier dimensionnellement le nom de « section efficace » donné au coefficient σ.

Donner la valeur numérique de R₁, résistance thermique de la pièce d'habitation.

En déduire l'épaisseur d'isolant d correspondante. Faire l'application numérique pour la laine de verre puis pour l'ouate de cellulose (épaisseurs respectivement notées d_ℓ et dₒ).

Calculer les valeurs de T₀ et T₁ en °C, et de ω en rad⁻¹.

Justifier en quelques mots le fait que la température T est uniforme dans tout le fluide.

En admettant que κ > 0, montrer que T(r, t) est indépendant de r.

Les coefficients de diffusion thermique de l'air et de l'eau ont pour valeurs respectives D_air ∼ 20 × 10⁻⁶ m²⁻¹ et D_eau ∼ 0,15 × 10⁻⁶ m²⁻¹ (autour de p₀ = 10⁵ Pa et T₀ = 300 K). Traduire…

La toile de sol et la couverture étant installées, quelle puissance faudrait-il fournir pour maintenir constante la température de l'eau du spa ?

Exprimer en fonction des données la capacité thermique C_th de la boule solide, ainsi que la résistance thermique d'isolement R_th associée aux échanges pariétaux convecto-conductifs à sa surface.

On notera T_i = T(t=0) la température initiale du matériau. Tracer l'allure de la courbe T(t) et exprimer la durée Δ t au bout de laquelle le matériau débute la transition conducteur supraconducteur.

Exprimer la puissance totale P_s(r) évacuée par une hauteur H de la partie du fil située au plus à la distance r de l'axe avec 0 r < R, cf. figure 3.

En déduire, en régime permanent, l'intensité j_th(r) de la densité volumique de flux thermique conductif dans le fil.

On note n* la densité particulaire de l'atmosphère (nombre de molécules par unité de volume). Exprimer la densité volumique de courant de particules j_g (grandeur qui s'exprime en molécules par…

Exprimer la surface latérale totale, notée Sₜₒₜ, de l'ensemble des N crayons combustibles entourés de la gaine en fonction de N, d et H.

Exprimer la température T₃ en fonction de T₂, P₁, h₂, d, e, H et N.

Exprimer la température T_c(r = 0, z) sur l'axe de la barre de combustible à l'altitude z en fonction de Tₑ, T_s, Dₘ, z, H, c₅, h_cc, λ₂ et R₄.

Estimer la valeur de la conductivité thermique λ dans ce modèle.

Donner une représentation graphique de T(x).

En déduire n(x, t) en fonction de τ, Dₐ et de deux constantes d'intégration qu'on ne cherchera pas à déterminer à ce stade.

On suppose que le coefficient de diffusion D peut s'exprimer en fonction de la vitesse quadratique moyenne v* de l'espèce diffusante et de la durée moyenne τ* entre deux collisions. Par analyse…

Identifier, en justifiant votre réponse, quelle figure correspond à un plasma magnétisé.

Justifier brièvement l'intérêt d'un fort champ magnétique pour confiner un plasma de fusion tel que celui présent dans un tokamak (figure 2). On admettra que les conclusions qualitatives concernant…

Le physicien américain Lyman Spitzer a établi en 1950 que la résistivité ρ d'un plasma soumis à un champ magnétique dépendait de la température T du plasma proportionnellement à T⁻³/². À partir de…

Par quel phénomène physique l'énergie thermique transmise au fond de la casserole par effet Joule est-elle transmise au contenu de la casserole ?

En déduire l'expression littérale de la résistance thermique en fonction de T_i, T_S et du flux thermique.

Déterminer l'unité de h.

Exprimer la résistance thermique de convection R₂ relative à la totalité des surfaces latérales de la bouteille en fonction de h, L et de l.

Donner l'expression de la résistance thermique totale Rₜₒₜ d'échange entre le vin et l'air extérieur, puis faire l'application numérique. Conclure.

Déterminer le sens d'évolution de cette durée dans le cas où le coefficient conducto-convectif h augmente. Justifier.

Quel type de pose préconiseriez-vous pour un confort d'utilisation du plancher chauffant optimal. Justifier.

Rappeler la définition du « libre parcours moyen », que nous noterons ℓ, d'un atome (ou d'une molécule) dans un gaz.

L'échappement du gaz par un trou s'effectue en régime effusif à condition que l'hypothèse, notée H_eff dans la présentation de l'étude, soit vérifiée. Indiquer quelle condition l'aire s de la…

Représenter, qualitativement, l'allure de l'évolution temporelle de chacun des nombres d'atomes N₁(t) et N₂(t).

Calculer l'ordre de grandeur de τ dans le cas où s = 1 ².

Indiquer comment, expérimentalement (c'est-à-dire en pratique), l'évolution temporelle du nombre N_i d'atomes dans une enceinte (i) peut être suivie.

Comment explique-t-on de nos jours le résultat erroné obtenu par Lord KELVIN ?

Quelle est l'équation vérifiée par θ(y,t) ? Déterminer les valeurs de θ(y > 0, t = 0), θ(y = 0, t > 0) et θ(y → +∞, t > 0).

Quelle est l'énergie δ Q libérée par la solidification à la température T_f d'une tranche dy_s de lave de surface S en fonction de la masse volumique ρ de la lave en fusion et l'enthalpie de fusion…

Quel algorithme peut on utiliser pour obtenir la constante λ numériquement ? Expliquer en quelques mots son fonctionnement.

Comment explique-t-on de nos jours le résultat erroné obtenu par Lord KELVIN ?

Quelle est l'énergie δ Q libérée par la solidification à la température T_f d'une tranche dy_s de lave de surface S en fonction de la masse volumique ρ de la lave en fusion et l'enthalpie de fusion…

Quel algorithme peut on utiliser pour obtenir la constante λ numériquement ? Expliquer en quelques mots son fonctionnement.

Qu'est-ce qui pourrait provoquer l'augmentation du rayon de la spire ?

En déduire l'expression de T(x) en fonction de x. On notera T₀ la température en x = 0.

Déterminer, compte tenu de l'évolution de la température observée (figure 4), si le calorimètre est parfaitement calorifugé.

Simplifier l'équation précédente en régime stationnaire, en faisant apparaitre les grandeurs H = aλ/2h_cc et T_l = Tₑₓₜ + (p_J a)/2h_cc.

Préciser la signification physique de la grandeur H.

Justifier qu'on recherche un champ de température dans le parallélépipède de la forme T(x, t).

La loi de Fourier relie la densité de flux thermique j et le gradient de température. En notant λ la conductivité thermique du matériau, cette loi s'écrit j = -λ grad T. Que traduit la présence du…

Exprimer Δ x en fonction de N et de l'épaisseur du mur D. En déduire l'abscisse x_i du i-ème point en fonction de i et Δ x, sachant que x₀ = 0 et x_N-1 = D.

À l'aide d'un développement limité de la fonction x T(x), donner une expression de T(x + Δ x) à l'ordre 3 (o(Δ x³)) en fonction de T et de ses dérivées partielles par rapport à x évaluées en (x). De…

Proposer alors une simplification à l'équation différentielle précédente relative à T(x, t).

Vérifier que, dans notre modélisation, le vecteur densité de courant thermique est à flux conservatif.

L'air extérieur, de température égale à 5 ^, a un degré hygrométrique de 100

À quelles grandeurs thermodynamiques correspondent les grandeurs électriques : I₁, I₂, I₃, R₁, V₁, V₂ et V₃. Préciser l'expression de R₂ en fonction de grandeurs définies dans la présentation de ce…

On envisage d'attendre 30 ans avant d'enfouir les déchets, pendant lesquels ils sont entretenus en surface. Pourquoi ?

Donner l'expression du pas de discrétisation temporelle h en fonction de Δ t et Nₜ.

Donner une estimation de la durée caractéristique τ de diffusion thermique. Faire l'application numérique.

Justifier le fait que la puissance thermique φ qui traverse une longueur L de tuyau est indépendante de z.

Application numérique : déterminer l'ordre de grandeur de G_lin.

En déduire que l'équation différentielle vérifiée par T(x) peut s'écrire sous la forme dT/dx + 1/δ T = Tₑₓₜ/δ en précisant expression et dimension de δ.

En déduire la loi de température T(x) ?

Quelle est la température de l'eau quand elle arrive dans la capitale Reykjavik (altitude 40 m) qui est à une distance d'environ 50 km de la station Svarsengi (altitude 240 m) de pompage de l'eau…

Pourquoi utilise-t-on de très nombreux petits tubes pour faire passer l'huile et pas un seul gros tuyau dans la chambre d'échange ? Quel est l'inconvénient en terme de perte de ce grand nombre de…

Les phénomènes d'émission et de sédimentation fixent, conjointement, le nombre moyen N_susp de gouttelettes contenues dans le volume V. Exprimer ce nombre en fonction de p, fₑₘ et τ_sed.

En déduire l'expression, en fonction de p, fₑₘ, τ_sed, c_vir et R, du nombre moyen N_vir de virus contenus dans l'air de la pièce.

Pour le virus SARS-CoV-2, de très récentes études ont permis d'estimer la concentration en virus dans la salive à la valeur c_vir ≃ 10⁶ (mL)⁻¹. Par ailleurs, la fréquence d'émission, en parlant, est…

Estimer la valeur de N'_vir pour chacun des taux de disparition f_air = 5 h⁻¹ et f_air = 20 h⁻¹ (ce qui correspond à 5 et 20 renouvellements d'air complets par heure). Commenter ce résultat.

Nous notons V_resp le volume d'air moyen inspiré par une personne, à chaque respiration, et f_resp sa fréquence respiratoire. Exprimer, en fonction de N_vir, f_resp, V_resp et V, le nombre moyen de…

Nous modélisons l'effet protecteur du port de masque en considérant que la fréquence d'émission fₑₘ de gouttelettes est multipliée par un facteur ηₑₘ (ηₑₘ ≤ 1) et que le nombre moyen de virus…

Nous supposons que les gouttelettes se déplacent verticalement à la vitesse caractéristique v_z^ (v_z ≤ 0) constante (se reporter à la question (10)). Exprimer la densité de flux d'advection j_A(r…

Paraît-il alors justifié de négliger la diffusion dans l'étude de la sédimentation (étude de la partie (1.2)) ?

Calculer la valeur de r_ pour R = 1 , z₀ = 2 m et k_BT = 4× 10⁻²¹ J. Analyser ce résultat.

La valeur de la vitesse de condensation est estimée à k_c ≃ 370 m⁻¹. En considérant que le rayon moyen des gouttelettes est supérieur au micromètre, justifier que l'expression du flux J peut alors…

Exprimer, en fonction de θ, H et R(0), le temps τₘₐₓ nécessaire à l'évaporation complète d'une gouttelette. Estimer sa valeur pour R(0) = 20 et H = 0,5 (on prendra, pour les autres paramètres, les…

Estimer la valeur du rayon R_ev dans le cas d'une gouttelette de rayon initial R(0) = 20 , pour une fraction volumique de soluté φ = 0,01 et une humidité relative H = 0,5.

Nous supposons dès à présent que les pas a et τ sont, respectivement, très inférieurs à la longueur et au temps caractéristiques de variation de la fonction F. Donner l'expression f de f_n,q dans…

Lorsque V ≠ 0 (V), les courants de diffusion et de conduction ne s'équilibrent plus (se reporter à la question (20)) ce qui a pour conséquence le passage d'un courant à travers la ZCE (et donc la…

À partir des réponses aux questions (26) et (27), exprimer la fonction δ p_N = δ p_N(x). Nous supposerons que la longueur du domaine (4) excède très largement la longueur caractéristique L_P.

Dans la loi de Newton (1), la grandeur h dépend de la vitesse V de l'écoulement. Quelle est son unité ? Expliquer qualitativement comment varie h en fonction de V = |V|. Expliquer alors comment…

Commenter les courbes de la figure 2. Quelle approximation peut-on faire quant à la température T_w dans le cas d'un fil long (on précisera ce que « long » signifie ici) ?

Calculer la résistance R_w,∞ d'un fil supposé long en fonction de sa résistance R_f à la température T_f, de α et des températures T_w et T_f.

Déterminer la dimension de N_u et proposer une interprétation physique de cette quantité. Comment varie N_u lorsque la vitesse V du fluide s'écoulant autour du fil augmente ?

On considère de nouveau un fil de longueur L_w quelconque. Établir l'expression de la puissance thermique Q_f associée au transfert conducto-convectif du fil vers le fluide.

Expliquer qualitativement comment l'analyse des courbes de la figure 4 permet une première mesure de la norme de la vitesse de l'écoulement du fluide.

Joseph Fourier remarque, en mesurant la température en fonction du temps en différents points de l'anneau, que T(θ,t) - Tₘ devient rapidement proportionnel à cos (θ). Commenter cette constatation.

Quel peut-être le phénomène physique responsable d'une migration des porteurs majoritaires, électrons ou trous, d'une zone vers l'autre ?

Vérifier l'homogénéité de l'expression du paramètre δ introduit dans la question précédente. Estimer sa valeur numérique dans le cas d'une ailette en silicium de rayon a = 1 mm.

Interpréter chacun des termes du bilan de l'équation (I.1).

En déduire l'expression de Φ(r) en fonction de h, r, P_v et d'une constante A qu'on ne cherchera pas à calculer.

Sachant que la température T(R₂) vaut 800^, en déduire la valeur numérique de la température T(R₁). On prendra P_v = 2,7 × 10⁶ W⁻³.

Sachant que la température de fusion du carbure de bore est d'environ 2350^, que peut-on conclure sur l'aspect thermique de la modélisation proposée ?

Une turbine est toujours associée à une fibre optique à l'extrémité ainsi qu'à des jets d'eau. Quel est l'intérêt de ces dispositifs additionnels pour le patient ou pour le dentiste ?

L'anémomètre à fil chaud est utilisé en maintenant la température T_f constante. Pour permettre cela, un système de rétroaction adapte l'intensité dans le fil en fonction des variations de vitesse…

On mesure la tension E_f aux bornes du fil (en convention récepteur). Établir la relation entre E_f et U, en fonction de R_f, R₀, K, a₀ et b₀.

La résistance élémentaire de Σ(x) est dR = R₀/ℓ (1 + γ (T_f(x) - T₀)) dx. Le fil étant traversé par un courant I, exprimer le travail électrique δ Wₑ reçu pendant dt par Σ(x).

Pourquoi peut-on s'intéresser à une variation harmonique ? Que représentent T₀ et θ₀ ?

Cette chute des particules est à l'origine d'un courant convectif vertical des particules. On note : j = j(z)e_z, le vecteur densité de courant de particules associé. Préciser l'unité de j. Puis…

Définir en fonction de d_b, D et de v_l, un temps caractéristique τ_S de sédimentation, ainsi qu'un temps caractéristique τ_D de diffusion des particules sur la hauteur du bassin.

Définir en fonction de L_b et de u, un temps de traversée τ_T du bassin. À quelle condition, portant sur τ_T et τ_S, la clarification dynamique est-elle efficace ?

En supposant que l'on puisse extrapoler ce comportement affine, déterminer le nombre N de spires de la bobine nécessaire à l'obtention d'une température de 160 °C.

Calculer le rapport ℓ₀ = λ / h en précisant son unité.

En déduire l'expression de ℓ(t) tant que le lac n'est pas gelé dans sa totalité.

En fonction de ℓ₀ et v₀, exprimer un temps caractéristique τ de l'évolution de ℓ(t), et en donner un ordre de grandeur sachant que v₀ est de l'ordre de 10⁻⁶ m⁻¹.

Donner l'allure graphique de la fonction Tst = Tst(x). On placera, sur ce graphe, les valeurs caractéristiques. Analyser ce résultat.

Lorsque la lumière du laser pénètre dans les tissus biologiques, elle peut être absorbée par ceux-ci en fonction de leur coefficient d'absorption à la longueur d'onde utilisée. Sous quelle forme…

À l'aide du théorème d'équipartition de l'énergie : 1/2mv² = 3/2k_BT, montrer que le coefficient de diffusion D s'écrit : D = k_BT/mτ_col .

Montrer que AP_i+1² = AP_i² + d_i² + 2d_i · AP_i .