Corrigé détaillé X ENS Physique MP 2025 (page 2/3 : Partie 2)

Dans le régime \Omega \gg \omega, le mouvement séculaire de la particule selon la direction x est régi par le potentiel harmonique effectif déterminé à la question Q6 :

À l'équilibre thermodynamique avec le gaz environnant à la température T, le théorème de l'équipartition de l'énergie stipule que l'énergie potentielle moyenne associée à ce degré de liberté quadratique vaut :

La position moyenne étant nulle par symétrie (\langle x \rangle = 0), l'écart-type de la position \sigma_x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2} s'écrit :

Procédons à l'application numérique avec les valeurs de l'énoncé :

• k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\;\mathrm{J\cdot K^{-1}}, T = 300\;\mathrm{K},
• m = 2 \times 10^{-18}\;\mathrm{kg},
• q_x = 0{,}2, \Omega = 2\pi \times 10^3\;\mathrm{rad\cdot s^{-1}}.

On calcule tout d'abord la pulsation propre séculaire :

Puis la vitesse thermique :

Il vient ainsi pour l'écart-type :

Avec un seul chiffre significatif :

D'après le résultat de la question précédente, l'écart-type des fluctuations thermiques de position selon l'axe x vaut :

Cette valeur est du même ordre de grandeur que la dimension caractéristique du piège :

Pour que le confinement soit effectif et stable, il est nécessaire que l'amplitude des oscillations thermiques reste très petite devant la taille du piège (\sigma_x \ll l_0), de façon à ce que la particule demeure confinée au voisinage du centre où le développement harmonique du potentiel reste valable et sans heurter les électrodes.

À température ambiante (T = 300\text{ K}) et pour une seule charge élémentaire (q = -e), il n'est donc pas possible de confiner cette particule dans un tel piège.

D'après la question Q6, le mouvement séculaire du centre d'inertie de la particule dans la direction z est régi par la force de rappel effective issue du potentiel harmonique :

L'axe Oz étant vertical ascendant (Figure 1), le poids de la particule s'écrit \vec{P} = -mg\,\vec{u}_z. À l'équilibre du centre d'inertie selon la direction z, la résultante des forces séculaires est nulle :

On en déduit immédiatement la position d'équilibre z_0 :

Application numérique : Avec g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et \omega_z = 2\pi \times 10^3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, on remarque que \pi^2 \approx 9{,}87 \approx g, d'où :

Il vient :

Avec un chiffre significatif :

Le gaz étant modélisé comme un gaz parfait à la température T = 300\text{ K}, son équation d'état relie la pression P et la densité volumique d'atomes n par :

En injectant cette relation dans l'expression du libre parcours moyen l^*, on obtient :

Effectuons l'application numérique avec P = 1\text{ hPa} = 100\text{ Pa}, T = 300\text{ K}, k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} et a = 10^{-10}\text{ m} :

Le diamètre de la particule étant d = 100\text{ nm} = 1{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}, le nombre de Knudsen vaut :

Puisque K_n \gg 1, on a en particulier K_n > 1 :

D'après la théorie cinétique des gaz parfaits, l'énergie cinétique moyenne de translation d'une entité de gaz de masse m_{\mathrm{gaz}} à la température T s'écrit :

On en déduit l'expression de la vitesse quadratique moyenne :

Le gaz considéré étant le diazote \mathrm{N}_2, chaque molécule est constituée de deux atomes d'azote ^{14}\mathrm{N} (chacun formé de 7 protons et 7 neutrons), soit au total A = 28 nucléons. En approximant la masse d'un nucléon par la masse du proton m_{\mathrm{p}} :

Il vient ainsi :

Application numérique :

• k_B = 1{,}4 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}
• T = 300\text{ K}
• m_{\mathrm{p}} = 1{,}7 \times 10^{-27}\text{ kg}

Conformément à la consigne d'arrondi à un chiffre significatif :

Le transfert thermique entre la particule à la température T et le gaz thermostaté à la température T_0 est modélisé par la loi phénoménologique de Newton (transfert conducto-convectif à l'interface).

La puissance thermique (ou quantité d'énergie perdue par unité de temps) cédée par la surface S de la particule vers le milieu extérieur s'écrit :

Pour une particule sphérique de diamètre d, la surface d'échange vaut S = 4\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi d^2.

Considérons comme système la particule de diamant de masse m, modélisée comme une phase condensée incompressible et indilatable, de capacité thermique massique c_m. Sa capacité thermique est donc C = m c_m.

La température T(t) étant supposée spatialement homogène au sein de la particule, l'énergie interne U vérifie :

Pendant une durée \mathrm{d}t, le système échange de l'énergie thermique :

• en recevant la puissance lumineuse absorbée issue du laser :

  \mathcal{P}_{\mathrm{abs}}(t) = \frac{\mathcal{P}_\ell(t)}{10} = \mathcal{P}_{\mathrm{abs},0} \left[1 + \cos(\omega_m t)\right]

• en cédant au gaz thermostaté le flux thermique surfacique \Phi(t) établi à la question précédente :

  \Phi(t) = h S (T(t) - T_0) = K (T(t) - T_0)

D'après le premier principe de la thermodynamique sous forme de bilan de puissance, on a :

soit :

En regroupant les termes dépendant de T(t) dans le membre de gauche, on obtient l'équation différentielle linéaire du premier ordre régissant T(t) :

ou, sous forme canonique :

D'après la question Q18, l'équation différentielle régissant T(t) est :

En introduisant le temps caractéristique du système :

l'équation différentielle s'écrit sous forme canonique :

Par linéarité, la solution générale est la somme :

1. de la solution générale de l'équation homogène :

   T_h(t) = A \mathrm{e}^{-t/\tau} \quad (A \in \mathbb{R})

2. d'une solution particulière associée au second membre constant :

   T_{\mathrm{stat}} = T_0 + \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{K}

3. d'une solution particulière associée au second membre harmonique de pulsation \omega_m. En adoptant la notation complexe \underline{T}_{p}(t) = \underline{T}_m \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega_m t}, il vient :

   (\mathrm{j}\omega_m \tau + 1)\underline{T}_m = \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{K} \implies \underline{T}_m = \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{K} \frac{1}{1 + \mathrm{j}\omega_m \tau}

   En repassant dans le domaine temporel :

   T_{\mathrm{osc}}(t) = \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{K\sqrt{1 + (\omega_m \tau)^2}} \cos(\omega_m t - \phi) \quad \text{avec} \quad \tan\phi = \omega_m \tau \quad \left(0 \leqslant \phi < \frac{\pi}{2}\right)

La solution générale est donc :

Déterminons la constante A à l'aide de la condition initiale T(0) = T_0 :

Comme \cos(-\phi) = \cos\phi = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega_m \tau)^2}}, le terme oscillant en t=0 vaut \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{K\left(1 + (\omega_m \tau)^2\right)}. On en déduit :

La température de la particule s'exprime ainsi comme la somme de trois contributions :

avec :

D'après l'expression établie à la question Q19, la température s'écrit sous la forme :

La dynamique de T(t) présente les caractéristiques remarquables suivantes :

• À l'instant initial : T(0) = T_0.
• Régime transitoire (t \sim \tau) : la température moyenne subit un échauffement progressif régi par le terme exponentiel \mathrm{e}^{-t/\tau}, tout en oscillant à la pulsation \omega_m.

• Régime permanent (t \gg \tau) : le transitoire s'éteint et la particule oscille sinusoïdalement à la pulsation \omega_m autour d'une température moyenne stationnaire :

  T_{\mathrm{stat}} = T_0 + \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{K}

  avec une amplitude de modulation thermique :

  \Delta T = \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{K\sqrt{1+(\omega_m\tau)^2}}

L'allure de T(t) est représentée ci-dessous :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q18, l'évolution temporelle de la température est régie par :

Le temps caractéristique \tau du régime transitoire correspond à la constante de temps de l'équation différentielle homogène associée :

La particule étant sphérique de diamètre d, son aire de surface vaut :

On en déduit l'expression littérale de \tau :

Pour l'application numérique, avec les valeurs données :

• m = 2 \times 10^{-18}\text{ kg}
• c_m = 500\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}
• h = 100\text{ W}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{m}^{-2}
• d = 100\text{ nm} = 1{,}0 \times 10^{-7}\text{ m}, d'où S = \pi \times (1{,}0 \times 10^{-7})^2 \approx 3{,}1 \times 10^{-14}\text{ m}^2

Il vient :

Avec un seul chiffre significatif :

D'après la question Q19, pour un temps t \gg \tau, la contribution transitoire exponentielle s'est éteinte (T_{\mathrm{trans}}(t) \to 0). La particule a atteint son régime établi (permanent), dans lequel sa température oscille de manière sinusoïdale autour de sa valeur moyenne T_{\mathrm{stat}} :

L'amplitude des variations de température à la pulsation de modulation \omega_m s'écrit :

où K = hS est la conductance de fuite thermique et \tau = \frac{C}{K} = \frac{C}{hS} est le temps de réponse thermique de la particule, C désignant sa capacité thermique.

Deux approches permettent de déterminer C à partir de mesures de \Delta T(\omega_m) :

• Mesure de la pulsation de coupure : Pour \omega_m \to 0, l'amplitude tend vers \Delta T_0 = \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{hS}. La pulsation de coupure à -3\text{ dB}, notée \omega_c, correspond à :

  \Delta T(\omega_c) = \frac{\Delta T_0}{\sqrt{2}} \iff \omega_c \tau = 1 \iff \tau = \frac{1}{\omega_c}

  La détermination expérimentale de \omega_c donne immédiatement :

  \boxed{ C = \frac{hS}{\omega_c} }

• Régression linéaire : En inversant et en élevant l'amplitude au carré, on obtient :

  \frac{1}{[\Delta T(\omega_m)]^2} = \frac{K^2}{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}^2} + \frac{C^2}{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}^2}\,\omega_m^2

  En traçant \frac{1}{[\Delta T(\omega_m)]^2} en fonction de \omega_m^2, on obtient une droite d'ordonnée à l'origine A = \frac{K^2}{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}^2} et de pente B = \frac{C^2}{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}^2}. Le rapport de la pente à l'ordonnée à l'origine donne :

  \frac{B}{A} = \frac{C^2}{K^2} = \tau^2 \implies C = hS \sqrt{\frac{B}{A}}

Cette méthode présente l'avantage de s'affranchir de la connaissance exacte de la puissance lumineuse absorbée \mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}. La connaissance de S et de h permet donc d'accéder directement à la capacité thermique C de la particule.