Corrigé détaillé X ENS Physique MP 2025

L'énoncé précise qu'il y a invariance du potentiel par rotation autour de l'axe Oz. Le potentiel ne doit donc dépendre des coordonnées transverses que par la distance à l'axe, r_\perp = \sqrt{x^2 + y^2} :

Au voisinage du centre du piège, le milieu est le vide et ne comporte aucune densité volumique de charge (\rho = 0). D'après l'équation de Maxwell-Gauss \mathrm{div}\,\vec{E} = 0 et la relation \vec{E} = -\vec{\nabla} V_{\mathrm{el}}, le potentiel vérifie l'équation de Laplace :

En calculant le laplacien du potentiel sous la forme donnée par l'équation (1) :

On en déduit :

Comme \alpha = \beta, il vient immédiatement :

L'énergie potentielle électrostatique de la particule de charge q = -e dans le potentiel statique s'écrit, d'après les résultats de la question 1 :

La force électrostatique subie par la particule est :

En \vec{r} = \vec{0}, la force s'annule : le centre O du piège est bien une position d'équilibre.

Pour que cet équilibre soit stable, l'énergie potentielle E_{\mathrm{p}} doit présenter un minimum local strict en O, ce qui impose que toutes les dérivées secondes partielles soient strictement positives :

Or, d'après l'expression de E_{\mathrm{p}} :

Ces dérivées secondes sont de signes opposés :

• si V > 0, le confinement est assuré dans le plan horizontal (x,y), mais l'équilibre est instable selon la direction verticale z ;
• si V < 0, l'équilibre est stable selon z, mais instable dans le plan horizontal (x,y).

On applique le principe fondamental de la dynamique à la particule de masse m et de charge q = -e, dans le repère Oxyz supposé galiléen. En l'absence d'autres forces mentionnées à ce stade, la particule est uniquement soumise à la force électrique :

D'après le résultat de la question Q1, avec \alpha = \beta = -1/2 et V(t) = V_0 \cos(\Omega t), le potentiel s'écrit :

On en déduit les composantes du gradient de V_{\mathrm{el}} :

La relation fondamentale de la dynamique m \ddot{\vec{r}} = \vec{F} se projette alors selon les trois axes :

où l'on a posé \omega^2 = \dfrac{e\eta V_0}{m l_0^2}.

On identifie ces équations avec la forme demandée :

Il vient :

Comme q_i = n_i\left(\dfrac{\omega}{\Omega}\right)^2, les entiers recherchés sont :

D'après l'équation (2), le mouvement selon la coordonnée r_i est régi par :

En introduisant la décomposition r_i(t) = R_i(t) + \xi_i(t), la dérivée seconde s'écrit par linéarité \ddot{r}_i(t) = \ddot{R}_i(t) + \ddot{\xi}_i(t), d'où :

Prenons la moyenne temporelle \langle\cdot\rangle sur une période T = 2\pi/\Omega de cette relation, en utilisant la linéarité de l'intégrale :

Examinons les deux termes centraux :

• Pour le terme \langle \ddot{\xi}_i \rangle : par hypothèse, les dérivées de \xi_i(t) sont de moyenne nulle sur une période d'oscillation. On a en effet directement :

  \langle \ddot{\xi}_i \rangle = \frac{\Omega}{2\pi} \int_0^{2\pi/\Omega} \ddot{\xi}_i(t)\,\mathrm{d}t = \frac{\Omega}{2\pi} \left[ \dot{\xi}_i\left(\frac{2\pi}{\Omega}\right) - \dot{\xi}_i(0) \right] = 0

  puisque \dot{\xi}_i(t) est périodique de pulsation \Omega (donc de période T = 2\pi/\Omega).

• Pour le terme \langle R_i(t)\cos(\Omega t) \rangle : la variable lente R_i(t) varie sur une échelle de temps caractéristique \tau \gg \Omega^{-1}. À l'échelle d'une période d'oscillation T = 2\pi/\Omega \ll \tau, R_i(t) peut être considérée comme quasi-constante. Elle se factorise donc hors de la moyenne temporelle :

  \langle R_i(t)\cos(\Omega t) \rangle \approx R_i(t) \langle \cos(\Omega t) \rangle

  Or, la fonction \cos(\Omega t) est de moyenne nulle sur une période :

  \langle \cos(\Omega t) \rangle = \frac{\Omega}{2\pi} \int_0^{2\pi/\Omega} \cos(\Omega t)\,\mathrm{d}t = 0

  Par conséquent, ce terme s'annule : \langle R_i(t)\cos(\Omega t) \rangle = 0.

En réinjectant ces deux résultats, on obtient bien :

a - Forme générale de \xi_i(t)
La fonction \xi_i(t) est un signal périodique de pulsation \Omega, de moyenne nulle sur une période T = 2\pi/\Omega, et sans harmonique de pulsation supérieure ou égale à 2\Omega. Sa décomposition en série de Fourier se résume donc à son harmonique fondamentale à pulsation \Omega sans composante continue :

où A_i et B_i sont des grandeurs quasi-constantes à l'échelle d'une période d'oscillation 2\pi/\Omega.

b - Expression de \ddot{\xi}_i(t) et de \xi_i(t)
En introduisant la décomposition r_i(t) = R_i(t) + \xi_i(t) dans l'équation du mouvement (2), on obtient :

Soustrayons l'équation moyennée obtenue à la question 4, \langle \ddot{R}_i \rangle + q_i \frac{\Omega^2}{2} \langle \xi_i(t)\cos(\Omega t)\rangle = 0 :

Comme R_i(t) varie sur une échelle de temps très grande devant \Omega^{-1}, on a \ddot{R}_i \approx \langle \ddot{R}_i \rangle. De plus, dans le régime \Omega \gg \omega, on a |q_i| \ll 1 ; le terme en q_i \xi_i \cos(\Omega t) est d'ordre q_i^2, négligeable devant le terme en q_i R_i d'ordre q_i. Il en résulte, pour la composante oscillante rapide à la pulsation \Omega :

Puisque \xi_i(t) est purement harmonique à la pulsation \Omega et que R_i(t) est stationnaire à l'échelle de la période rapide, deux dérivations temporelles donnent simplement :

En identifiant les deux expressions de \ddot{\xi}_i(t), on en déduit immédiatement :

(ce qui correspond à A_i = \frac{q_i}{2} R_i(t) et B_i = 0).

c - Comparaison de \xi_i et R_i
Dans le régime \Omega \gg \omega, le paramètre sans dimension q_i = n_i (\omega/\Omega)^2 vérifie :

L'amplitude maximale des oscillations rapides vaut :

La variable rapide \xi_i(t) (appelée micromouvement) est donc d'amplitude très faible devant la composante séculaire lente R_i(t) : le mouvement global est une oscillation lente de grande amplitude autour du centre du piège sur laquelle se superpose un petit tremblement haute fréquence à la pulsation \Omega.

D'après la question 5b, le micromouvement s'écrit :

Insérons cette expression dans le terme de couplage de l'équation séculaire (3) issue de la question 4 :

Puisque R_i(t) varie sur une échelle de temps très grande devant la période d'oscillation 2\pi/\Omega, elle peut être considérée comme constante lors de l'intégration sur une période :

car \langle \cos^2(\Omega t) \rangle = \frac{\Omega}{2\pi}\int_0^{2\pi/\Omega} \frac{1+\cos(2\Omega t)}{2}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}.

De plus, la dérivée seconde de la variable lente vérifie \langle \ddot{R}_i \rangle \approx \ddot{R}_i(t). L'équation séculaire devient alors :

En multipliant par la masse m, on obtient l'équation du mouvement :

La pulsation propre associée à ce potentiel harmonique effectif est donc :

En utilisant la relation q_i = n_i\left(\frac{\omega}{\Omega}\right)^2 définie à la question 3, on peut également exprimer \omega_i sous la forme :

Comme on se place dans le régime \Omega \gg \omega, on a |q_i| \ll 1, d'où :

Le mouvement séculaire s'effectue donc à une pulsation propre bien inférieure à la pulsation d'excitation du piège.

Le potentiel électrique s'écrit au voisinage du centre :

La particule portant la charge q = -e, la composante selon z de la force électrique subie est :

Pour V_0 < 0, posons k_0 = \dfrac{2e\eta |V_0|}{l_0^2} > 0. La force électrique s'écrit alors :

D'après les questions précédentes, dans le régime q_z \ll 1 (\Omega \gg \omega), le mouvement se décompose en une composante séculaire lente z_0 \approx R_z et une oscillation rapide de faible amplitude \xi_z(t) :

Comme q_z = -4(\omega/\Omega)^2 avec \omega^2 \propto V_0 < 0, on a q_z > 0, de sorte que \xi_z(t) oscille en phase avec \cos(\Omega t).

1. Cas d'une position initiale z_0 > 0 :

• Pour t \in \left[-\frac{\pi}{2\Omega}, \frac{\pi}{2\Omega}\right] modulo \frac{2\pi}{\Omega}, on a \cos(\Omega t) > 0 : la force F_z < 0 est attractive (orientée vers l'origine O). De plus, \xi_z(t) > 0, donc la particule est plus éloignée de l'origine : z(t) > z_0. Comme la force est proportionnelle à la distance z, l'intensité de cette force de rappel vers O est forte.
• Pour t \in \left[\frac{\pi}{2\Omega}, \frac{3\pi}{2\Omega}\right] modulo \frac{2\pi}{\Omega}, on a \cos(\Omega t) < 0 : la force F_z > 0 devient répulsive (orientée vers les z croissants, s'éloignant de O). Mais comme \xi_z(t) < 0, la particule est alors plus proche de l'origine : z(t) < z_0. L'intensité de cette force répulsive est donc faible.

En moyenne sur une période T = 2\pi/\Omega, l'effet attractif l'emporte sur l'effet répulsif : \langle F_z \rangle < 0, la force moyenne ramène la particule vers O.

2. Cas d'une position initiale z_0 < 0 :

• Lorsque \cos(\Omega t) > 0, la force F_z = -k_0 z \cos(\Omega t) > 0 est dirigée vers les z croissants, donc vers l'origine O. Comme \xi_z(t) \propto z_0 \cos(\Omega t) < 0, la particule s'éloigne encore plus de l'origine (|z(t)| > |z_0|), ce qui rend cette force de rappel vers O particulièrement forte.
• Lorsque \cos(\Omega t) < 0, la force F_z < 0 repousse la particule loin de O (vers les z négatifs). Mais \xi_z(t) > 0, de sorte que |z(t)| < |z_0| : la particule est plus proche du centre et subit une répulsion plus faible.

En moyenne sur une période, on obtient \langle F_z \rangle > 0, orientée vers O.

Dans les deux situations, la non-uniformité spatiale du champ électrique couplée à la réponse en phase du micromouvement engendre une force de rappel séculaire dirigée vers le centre du piège :

D'après la question Q6, le mouvement séculaire de la particule est régi par le potentiel harmonique effectif :

associé à une raideur effective :

Si |q_i| est trop faible, la raideur k_{i,\mathrm{eff}} devient très petite : le puits de potentiel est extrêmement peu profond et lâche.

Or, comme le rappelle l'introduction du sujet, la stabilité de la lévitation exige que le piège soit suffisamment rigide pour confiner la particule au centre malgré les perturbations :

• les perturbations environnementales, telles que les chocs avec les molécules du gaz résiduel (qui imposent, par le théorème d'équipartition de l'énergie, des fluctuations thermiques de position \langle R_i^2 \rangle \sim k_B T / k_{i,\mathrm{eff}}, conduisant à une déconfinement si cette amplitude dépasse l_0) ;
• le poids de la particule, qui induirait un affaissement statique \Delta z \approx g/\omega_z^2 rédhibitoire ;
• les perturbations intrinsèques du piège (asymétries résiduelles, anharmonicités).

Il est donc indispensable que |q_i| ne soit pas trop petit afin de garantir une raideur de confinement suffisante pour maintenir la particule piégée.

D'après la question Q3, le paramètre sans dimension q_z s'écrit :

On en déduit l'expression de |q_z| en fonction de la tension V_0 :

En inversant cette relation, la tension V_0 s'exprime sous la forme :

Procédons à l'application numérique avec les valeurs données par l'énoncé :

• m = 2 \times 10^{-18}\text{ kg}
• l_0 = 100\text{ }\mu\text{m} = 10^{-4}\text{ m} \implies l_0^2 = 10^{-8}\text{ m}^2
• \Omega = 2\pi \times 10^3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} \implies \Omega^2 = 4\pi^2 \times 10^6\text{ rad}^2\cdot\text{s}^{-2} \approx 40 \times 10^6\text{ s}^{-2} = 4 \times 10^7\text{ s}^{-2} (en prenant \pi^2 \approx 10)
• e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C}
• \eta = 0{,}1

Le préfacteur numérique vaut :

Pour la plage |q_z| \in [0{,}1 \,;\, 0{,}3], on obtient ainsi :

• Pour |q_z| = 0{,}1 : V_{0,\min} \approx 0{,}1 \times 12{,}5\text{ V} \approx 1{,}2\text{ V} \approx 1\text{ V}
• Pour |q_z| = 0{,}3 : V_{0,\max} \approx 0{,}3 \times 12{,}5\text{ V} \approx 3{,}7\text{ V} \approx 4\text{ V}

La gamme de tension assurant un bon confinement est donc :

Analysons les symétries géométriques du dispositif constitué de l'anneau et du fil d'alimentation :

• Plan de symétrie (Oxz) (y = 0) : l'anneau circulaire (situé dans le plan z = 0, centré en O) et le fil connecté le long de l'axe (Ox) (pour x < 0) sont invariants par la réflexion y \to -y. Le potentiel électrostatique doit donc être une fonction paire de y :

  V_a(x, -y, z, t) = V_a(x, y, z, t).

  Cette condition est bien satisfaite puisque la variable y n'apparaît dans V_a que sous la forme y^2.

• Plan de symétrie (Oxy) (z = 0) : l'anneau et le fil sont contenus dans le plan horizontal z = 0. La distribution de charges est donc invariante par la réflexion z \to -z, ce qui impose la parité du potentiel par rapport à z :

  V_a(x, y, -z, t) = V_a(x, y, z, t).

  Cette condition est également vérifiée car z n'intervient que par son carré z^2.

• Brisure de la symétrie selon Ox et perte de révolution : la présence du fil du seul côté x < 0 brise l'invariance par rotation autour de l'axe Oz ainsi que la symétrie par réflexion par rapport au plan (Oyz) (x \to -x). Le terme correctif d'ordre le plus bas doit donc être impair en x afin de distinguer x > 0 de x < 0. Dans l'expression de V_a, tous les termes sont de degré impair en x (x^3, x y^2 et x z^2), de sorte que :

  V_a(-x, y, z, t) = -V_a(x, y, z, t) \neq V_a(x, y, z, t).

Le potentiel V_a(\vec{r}, t) respecte donc parfaitement les symétries de la distribution de charges :

tout en traduisant l'asymétrie induite par le fil selon l'axe Ox.

1. Condition sur les coefficients de la partie harmonique (a_x, a_y, a_z) :

Calculons le laplacien de V_{\mathrm{el}}(\vec{r}, t) = \dfrac{\eta V(t)}{l_0^2} (a_x x^2 + a_y y^2 + a_z z^2) :

En sommant ces dérivées secondes, la condition \Delta V_{\mathrm{el}} = 0 conduit immédiatement à :

soit :

2. Condition sur les coefficients de la partie anharmonique (b_x, b_y, b_z) :

Le potentiel anharmonique s'écrit :

Calculons ses dérivées spatiales secondes :

Le laplacien de V_a vaut donc :

Pour que \Delta V_a = 0 soit vérifiée pour tout x, il est nécessaire et suffisant que :