Corrigé détaillé X ENS Physique MP 2025 (page 3/3 : Parties 3 et 4)

L'expression du taux d'amortissement visqueux est donnée par :

Rappelons les valeurs numériques des grandeurs physiques intervenant dans cette expression, issues de l'énoncé et des questions précédentes :

• Pression résiduelle (question Q15) : P = 1\text{ hPa} = 10^2\text{ Pa} ;
• Diamètre de la particule sphérique : d = 100\text{ nm} = 1{,}0 \times 10^{-7}\text{ m} ;
• Masse de la particule : m = 2 \times 10^{-18}\text{ kg} ;
• Vitesse quadratique moyenne du gaz (question Q16) : v_{\mathrm{qm}} \approx 5 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

Calculons le numérateur et le dénominateur :

On en déduit :

En ne conservant qu'un seul chiffre significatif conformément aux consignes générales du sujet :

D'après l'énoncé, en l'absence de couple visqueux, l'angle \phi est régi par une équation d'oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre \omega_\phi, associée à un couple de rappel :

où \phi_{\text{eq}} est la position angulaire d'équilibre. En appliquant le théorème du moment cinétique par rapport à l'axe fixe Oz, et en tenant compte du couple visqueux \Gamma_{\text{visq}} = - I \gamma \dot{\phi}, l'équation du mouvement s'écrit :

En posant \theta = \phi - \phi_{\text{eq}} et en divisant par I, on obtient :

Par identification avec la forme canonique d'un oscillateur du second ordre amorti :

on en déduit l'expression du facteur de qualité :

Application numérique : Avec \omega_\phi = (2\pi) \times 10\text{ kHz} = 2\pi \times 10^4\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} et \gamma = \frac{40 P d^2}{3 m v_{\mathrm{qm}}} \approx 1{,}3 \times 10^4\text{ s}^{-1} (obtenu à la question 23) :

(ou \mathcal{Q} \approx 6 si l'on prend \gamma \approx 1 \times 10^4\text{ s}^{-1} arrondi à un seul chiffre significatif).

Le centre d'inertie C de la particule étant fixé en O, appliquons le théorème du moment cinétique à la sphère en rotation autour de l'axe (Oz) dans le référentiel galiléen du laboratoire :

où I est le moment d'inertie de la sphère par rapport à l'axe (Oz) passant par son centre :

Les actions mécaniques s'exerçant selon l'axe Oz sont :

• le couple moteur exercé par le faisceau laser : \vec{C}_l = C_l\,\vec{u}_z ;
• le couple résistant dû aux collisions avec le gaz résiduel : \vec{\Gamma}_{\text{visq}} = -I\gamma\dot{\phi}\,\vec{u}_z ;
• le couple de rappel, négligé d'après la consigne.

La projection du théorème du moment cinétique sur \vec{u}_z s'écrit :

La vitesse angulaire \dot{\phi}(t) croît jusqu'à atteindre un régime permanent stationnaire où l'accélération angulaire s'annule (\ddot{\phi} = 0). La vitesse angulaire maximale s'obtient donc par équilibre des couples :

En remplaçant I = \frac{1}{10}m d^2 et l'expression de \gamma = \frac{40 P d^2}{3 m v_{\mathrm{qm}}} établie à la question Q23, on peut également exprimer \omega_{\max} indépendamment de la masse :

Application numérique :

• I = \frac{1}{10} \times (2\times 10^{-18}\text{ kg}) \times (100\times 10^{-9}\text{ m})^2 = 2\times 10^{-33}\text{ kg}\cdot\text{m}^2 ;
• \gamma = \frac{40 \times 100 \times (10^{-7})^2}{3 \times (2\times 10^{-18}) \times 5{,}2\times 10^2} \approx 1{,}3\times 10^4\text{ s}^{-1} (valeur de Q23) ;
• C_l = 10^{-19}\text{ N}\cdot\text{m}.

On en déduit :

En conservant un seul chiffre significatif conformément aux consignes de l'énoncé :

(ou 5\times 10^9\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} si l'on prend \gamma \approx 1\times 10^4\text{ s}^{-1}).

Le champ électrique dérivant du potentiel électrostatique harmonique V_{\mathrm{el}}(\vec{r}, t) = \frac{\eta V(t)}{l_0^2}\left(z^2 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}y^2\right) s'écrit :

Ce champ électrique dépend de manière strictement linéaire des coordonnées spatiales.

Les deux charges sont situées en P_1 et P_2 telles que :

La particule n'étant soumise qu'aux actions électriques du piège sur ses deux charges -e, la résultante des forces extérieures s'exprime par :

Par linéarité spatiale du champ électrique \vec{E}, les contributions du vecteur \overrightarrow{CP}_1 s'annulent exactement :

La force totale s'écrit donc :

En appliquant le théorème du centre d'inertie dans le référentiel galiléen du laboratoire, m\ddot{\vec{r}}_C = \vec{F}_{\mathrm{ext}}, on obtient par projection sur les axes Ox, Oy et Oz :

Avec V(t) = V_0 \cos(\Omega t), ces équations se mettent sous la forme de l'équation (2) de la question 3 :

où les coefficients sans dimension sont :

avec \omega'^2 = \frac{2e\eta V_0}{ml_0^2} = 2\,\omega^2, ce qui correspond aux coefficients n_x = 2, n_y = 2 et n_z = -4 de la question 3.

a - Moment \vec{\Gamma}_{O,i} de la force électrique sur la charge en P_i :

D'après les questions 1 et 3, le potentiel électrostatique dans le piège s'écrit (en l'absence d'anharmonicité) :

Le champ électrique créé au point \vec{r} = (x, y, z) vaut donc :

La force subie par la charge q = -e située en P_i(x_i, y_i, z_i) est :

Le moment de cette force par rapport au point O est donné par :

En effectuant le produit vectoriel composante par composante :

Il vient ainsi :

b - Moment total des forces électriques par rapport à O :

Les positions des deux points P_1 et P_2 sont repérées par :

En développant les produits de coordonnées pour chaque point :

Le moment total \vec{\Gamma}_O = \vec{\Gamma}_{O,1} + \vec{\Gamma}_{O,2} s'en déduit directement :

D'après la question Q27, le moment total par rapport au centre O s'écrit :

D'après le théorème du moment cinétique appliqué au solide dans le référentiel d'étude (ou dans le référentiel barycentrique), la rotation propre de la particule autour de son centre d'inertie C est régie exclusivement par le moment des forces extérieures calculé par rapport à C, noté \vec{\Gamma}_C :

L'autre terme, qui s'identifie à \vec{OC} \wedge \vec{F}_{\mathrm{ext}} où \vec{F}_{\mathrm{ext}} = -2e\,\vec{E}(\vec{r}_C) (d'après la question Q26) :

décrit le moment orbital de la résultante des forces extérieures par rapport à O. Il régit l'évolution du moment cinétique orbital du centre de masse \vec{L}_O(C) = \vec{OC} \wedge m\vec{v}_C, c'est-à-dire le mouvement de translation globale de la particule autour de l'origine.

Les points P_1 et P_2 étant diamétralement opposés sur une particule sphérique de diamètre d et de centre C, on a \overrightarrow{CP}_2 = -\overrightarrow{CP}_1, d'où :

En utilisant l'expression approchée donnée pour \vec{v}, il vient :

Par identification avec \overrightarrow{CP}_1 = (\delta x)\vec{u}_x + (\delta y)\vec{u}_y + (\delta z)\vec{u}_z, on obtient :

D'après la question Q28, le couple des forces électriques par rapport à C s'écrit :

En y injectant les expressions de \delta x, \delta y et \delta z :

Le moment d'inertie de la sphère homogène est donné par I = \frac{2}{5}m\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{1}{10}md^2. Les relations de la dynamique admises par l'énoncé fournissent alors :

En simplifiant par \frac{1}{10}md^2 et en remplaçant V(t) = V_0\cos(\Omega t), on obtient :

D'après la question Q29, les équations d'évolution pour les deux angles d'orientation s'écrivent :

En substituant V(t) = V_0 \cos(\Omega t) et en rappelant que \omega^2 = \frac{e\eta V_0}{m l_0^2}, ces équations deviennent :

À la question Q3, les équations du mouvement de translation étaient mises sous la forme :

Pour mettre les équations angulaires sous cette même forme :

on définit la pulsation caractéristique rotationnelle \omega_r par :

En écrivant q_{\phi_k} = n_{\phi_k} \left(\frac{\omega_r}{\Omega}\right)^2, l'identification du coefficient devant \phi_k impose :

soit :

Comparaison avec la question Q3 :

• Forme mathématique : Les angles \phi_1 et \phi_2 obéissent à des équations de Mathieu indépendantes et identiques, tout comme les variables spatiales x et y à la question Q3.
• Signe du couplage : Les constantes numériques associées valent n_{\phi_1} = n_{\phi_2} = 2 > 0, exactement identiques à n_x = n_y = 2. Le comportement dynamique instantané est donc en phase avec celui des directions transverses x et y.
• Échelle de fréquence : La pulsation caractéristique de rotation \omega_r = \sqrt{15}\,\omega \approx 3{,}9\,\omega est nettement plus élevée que celle de translation \omega, traduisant une raideur angulaire plus forte due à la faible inertie de la sphère (I = \frac{1}{10}md^2).

a - Existence d'un couple de rappel autour de zéro

D'après les questions 29 et 30, les angles \phi_k(t) (pour k \in \{1, 2\}) vérifient l'équation différentielle :

avec q_{\phi_1} = q_{\phi_2} = q_\phi = 2\left(\frac{\omega_r}{\Omega}\right)^2 = 30\left(\frac{\omega}{\Omega}\right)^2.

Puisque \omega_r \ll \Omega, on a q_\phi \ll 1. La dynamique se traite de manière strictement identique à celle du centre de masse (questions 4 à 6) :

• On décompose l'angle en une composante lente (séculaire) et une composante rapide de pulsation \Omega :

  \phi_k(t) = \Phi_k(t) + \xi_{\phi_k}(t) \quad \text{avec} \quad |\xi_{\phi_k}| \ll |\Phi_k|

• En moyennant sur une période T = 2\pi/\Omega, la variable lente obéit à l'équation de l'oscillateur harmonique :

  \ddot{\Phi}_k + \omega_{\phi,\mathrm{eff}}^2\,\Phi_k = 0

  où la pulsation propre effective vaut, d'après la formule établie à la question 6 :

  \omega_{\phi,\mathrm{eff}} = \frac{|q_\phi|\,\Omega}{2\sqrt{2}} = \frac{2\left(\frac{\omega_r}{\Omega}\right)^2 \Omega}{2\sqrt{2}} = \frac{\omega_r^2}{\sqrt{2}\,\Omega} = \frac{15\,\omega^2}{\sqrt{2}\,\Omega}

Cette équation correspond à un couple moyen de rappel effectif :

Puisque \omega_{\phi,\mathrm{eff}}^2 > 0, ce couple est strictement de rappel et tend à ramener l'orientation de la particule vers \Phi_1 = 0 et \Phi_2 = 0, c'est-à-dire le vecteur \vec{v} aligné avec l'axe de symétrie \vec{u}_z du piège :

b - Rapport des fréquences effectives

Le rapport des fréquences effectives est égal au rapport des pulsations propres effectives correspondantes.

• Mouvement du centre de masse selon z : D'après la question 26, pour une particule portant deux charges -e, la force s'exerçant sur le centre de masse correspond à celle d'une charge totale -2e. Le paramètre \omega^2 = \frac{e\eta V_0}{m l_0^2} est donc remplacé par \omega'^2 = \frac{2e\eta V_0}{m l_0^2} = 2\omega^2.

  La pulsation effective selon z, calculée à la question 6 (\omega_z = \frac{\sqrt{2}\omega^2}{\Omega} pour une charge), devient donc pour deux charges :

  \omega_{z, 2e} = \frac{\sqrt{2}\,\omega'^2}{\Omega} = \frac{2\sqrt{2}\,\omega^2}{\Omega}

• Confinement angulaire : La pulsation effective associée au confinement angulaire a été obtenue au a :

  \omega_{\phi,\mathrm{eff}} = \frac{\omega_r^2}{\sqrt{2}\,\Omega} = \frac{15\,\omega^2}{\sqrt{2}\,\Omega}

Le rapport de ces deux fréquences vaut ainsi :

Remarque : Si l'on prenait strictement la valeur \omega_z = \frac{\sqrt{2}\omega^2}{\Omega} issue de la question 6 sans multiplier par 2, le rapport vaudrait \frac{2}{15} \approx 0{,}1.

Le référentiel d'entraînement \mathcal{R} est en rotation uniforme autour de l'axe vertical fixe (Oz) par rapport au référentiel galiléen du laboratoire \mathcal{R}'. Le vecteur rotation instantanée s'écrit :

L'origine O étant fixe dans les deux référentiels (\vec{a}_{\mathcal{R}'}(O) = \vec{0}) et la rotation étant uniforme (\dot{\vec{\Omega}} = \vec{0}), les accélérations d'entraînement et de Coriolis du point matériel de masse m s'expriment respectivement par :

Dans le référentiel non galiléen \mathcal{R}, la balle est donc soumise à deux forces d'inertie :

• la force d'inertie d'entraînement (ou force centrifuge) :

  \boxed{\vec{F}_{ie} = -m\,\vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{r})}

• la force d'inertie de Coriolis :

  \boxed{\vec{F}_{ic} = -2m\,\vec{\Omega} \wedge \vec{v}}

En projetant le vecteur position \vec{r} = x\vec{u}_x + y\vec{u}_y + z\vec{u}_z, et en notant \vec{r}_\perp = x\vec{u}_x + y\vec{u}_y le projeté orthogonal sur le plan de rotation Oxy, la force d'inertie d'entraînement s'écrit également :

On étudie le mouvement de la bille de masse m dans le référentiel tournant \mathcal{R}(Oxyz) d'axe de rotation Oz, animé du vecteur rotation uniforme \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{u}_z par rapport au référentiel galiléen du laboratoire \mathcal{R}'.

Le bilan des actions mécaniques s'exerçant sur la particule dans \mathcal{R} comprend :

• la force issue du potentiel de pesanteur sur la surface courbée :

  \vec{F} = -\vec{\nabla} U = -\frac{\partial U}{\partial x}\vec{u}_x - \frac{\partial U}{\partial y}\vec{u}_y = -m\omega^2 x\,\vec{u}_x + m\omega^2 y\,\vec{u}_y

• la force d'inertie d'entraînement : d'après l'hypothèse de faible courbure, \vec{r} \approx x\vec{u}_x + y\vec{u}_y est quasi-orthogonal à \vec{\Omega}, d'où

  \vec{F}_{ie} = m\Omega^2(x\,\vec{u}_x + y\,\vec{u}_y)

• la force d'inertie de Coriolis, pour une vitesse relative \vec{v} = \dot{x}\vec{u}_x + \dot{y}\vec{u}_y :

  \vec{F}_{ic} = -2m\vec{\Omega}\wedge\vec{v} = -2m(\Omega\vec{u}_z)\wedge(\dot{x}\vec{u}_x + \dot{y}\vec{u}_y) = 2m\Omega\dot{y}\,\vec{u}_x - 2m\Omega\dot{x}\,\vec{u}_y

Le principe fondamental de la dynamique appliqué dans le référentiel tournant \mathcal{R} s'écrit :

En projetant sur les axes \vec{u}_x et \vec{u}_y, on obtient :

En simplifiant par la masse m et en regroupant les termes, on aboutit au système d'équations couplées :

D'après la question 33, le système d'équations couplées dans le référentiel tournant \mathcal{R} s'écrit :

En cherchant des solutions de la forme x(t) = x_0 \mathrm{e}^{rt} et y(t) = y_0 \mathrm{e}^{rt}, on a \dot{x} = rx, \ddot{x} = r^2 x et de même pour y. Le système se met sous forme matricielle :

Pour obtenir des solutions non triviales (x_0, y_0) \neq (0,0), le déterminant de cette matrice doit être nul :

Posons X = r^2. On obtient une équation du second degré en X :

Le discriminant réduit de ce polynôme est :

Il admet donc deux racines réelles distinctes :

Discussion de la stabilité : Le système étant conservatif et invariant par renversement du temps, les racines r sont opposées deux à deux. Pour que le mouvement soit borné (stabilité au sens de Lyapunov), aucune racine ne doit posséder de partie réelle strictement positive, ce qui impose que toutes les racines r soient des imaginaires purs, c'est-à-dire que X_1 < 0 et X_2 < 0.

• La seconde racine vérifie toujours :

  X_2 = -(\Omega^2 + \omega^2) < 0 \implies r_2 = \pm \mathrm{i}\sqrt{\Omega^2 + \omega^2}

  Elle correspond toujours à un mode oscillant de pulsation \omega_+ = \sqrt{\Omega^2 + \omega^2}.

• La première racine dépend de la comparaison entre \Omega et \omega :

  • Si \omega > \Omega : X_1 = \omega^2 - \Omega^2 > 0, donc r_1 = \pm\sqrt{\omega^2 - \Omega^2}. La racine positive conduit à une divergence exponentielle en \mathrm{e}^{\sqrt{\omega^2 - \Omega^2}\,t} : le mouvement est instable.
  • Si \omega < \Omega : X_1 < 0, donc r_1 = \pm \mathrm{i}\sqrt{\Omega^2 - \omega^2}. Toutes les racines sont imaginaires pures et distinctes ; le mouvement est une superposition de deux oscillations harmoniques non amorties : le mouvement est stable.
  • Si \omega = \Omega : r_1 = 0 est racine double, conduisant à des solutions séculaires en t : le système est instable.

La condition nécessaire et suffisante de stabilité est donc :

Diagramme de stabilité dans le plan (\Omega, \omega) :