Feuille d'entraînement : Diffusion thermique et diffusion de particules

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie MP 2025, Q36

   Pour établir l'équation vérifiée par le champ électrique \vec{E}, appliquons l'opérateur rotationnel à l'équation de Maxwell-Faraday :

   \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = - \frac{\partial}{\partial t}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B})

   En utilisant la formule d'analyse vectorielle rappelée en annexe :

   \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \Delta\vec{E}

   Le conducteur ohmique étant localement neutre (\rho = 0), l'équation de Maxwell-Gauss donne \operatorname{div}\vec{E} = 0, d'où :

   \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) = \vec{0}

   Par ailleurs, en utilisant l'équation de Maxwell-Ampère dans l'ARQS établie à la question Q35 (\vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \sigma \vec{E}) et en supposant la conductivité \sigma uniforme et constante :

   - \frac{\partial}{\partial t}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B}) = - \mu_0 \sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

   En égalisant les deux membres, on obtient :

   - \Delta\vec{E} = - \mu_0 \sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

   soit :

   \boxed{\Delta\vec{E} - \mu_0 \sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec{0}}

   Cette équation ne comporte qu'une dérivée première par rapport au temps : il s'agit d'une équation de diffusion (analogue à l'équation de la chaleur ou loi de Fick).

   Résultat

   $$\Delta \vec{E}-{\mu }_0\sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique MP 2025, Q17

   Le transfert thermique entre la particule à la température T et le gaz thermostaté à la température T_0 est modélisé par la loi phénoménologique de Newton (transfert conducto-convectif à l'interface).

   La puissance thermique (ou quantité d'énergie perdue par unité de temps) cédée par la surface S de la particule vers le milieu extérieur s'écrit :

   \boxed{\Phi = h S (T - T_0)}

   Pour une particule sphérique de diamètre d, la surface d'échange vaut S = 4\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi d^2.

   Résultat

   $$\Phi =hS(T-T_0)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique MP 2025, Q18

   Considérons comme système la particule de diamant de masse m, modélisée comme une phase condensée incompressible et indilatable, de capacité thermique massique c_m. Sa capacité thermique est donc C = m c_m.

   La température T(t) étant supposée spatialement homogène au sein de la particule, l'énergie interne U vérifie :

   \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = m c_m \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}

   Pendant une durée \mathrm{d}t, le système échange de l'énergie thermique :

   • en recevant la puissance lumineuse absorbée issue du laser :

     \mathcal{P}_{\mathrm{abs}}(t) = \frac{\mathcal{P}_\ell(t)}{10} = \mathcal{P}_{\mathrm{abs},0} \left[1 + \cos(\omega_m t)\right]

   • en cédant au gaz thermostaté le flux thermique surfacique \Phi(t) établi à la question précédente :

     \Phi(t) = h S (T(t) - T_0) = K (T(t) - T_0)

   D'après le premier principe de la thermodynamique sous forme de bilan de puissance, on a :

   \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = \mathcal{P}_{\mathrm{abs}}(t) - \Phi(t)

   soit :

   m c_m \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = \mathcal{P}_{\mathrm{abs},0} \left[1 + \cos(\omega_m t)\right] - K(T - T_0)

   En regroupant les termes dépendant de T(t) dans le membre de gauche, on obtient l'équation différentielle linéaire du premier ordre régissant T(t) :

   \boxed{m c_m \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + K(T - T_0) = \mathcal{P}_{\mathrm{abs},0} \left[1 + \cos(\omega_m t)\right]}

   ou, sous forme canonique :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + \frac{K}{m c_m} T(t) = \frac{K}{m c_m} T_0 + \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}}{m c_m} \left[1 + \cos(\omega_m t)\right]}

   Résultat

   $$m{c}_m\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}+K(T-T_0)={\mathcal{P}}_{\mathrm{abs},0}\left[1+\cos ({\omega }_{m}t)\right]$$

   $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}+\frac{K}{m{c}_m}T(t)=\frac{K}{m{c}_m}{T}_0+\frac{{\mathcal{P}}_{\mathrm{abs},0}}{m{c}_m}\left[1+\cos ({\omega }_{m}t)\right]$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2024, Q43

   L'équation (VI.1) est une équation de diffusion unidimensionnelle. On retrouve cette équation dans d'autres domaines de la physique :

   1. La diffusion thermique (ou conduction de la chaleur) :
      En combinant la loi phénoménologique de Fourier reliant la densité de flux thermique au gradient de température, \vec{j}_{\mathrm{th}} = -\lambda \vec{\nabla} T, et le premier principe de la thermodynamique (bilan d'énergie thermique local sans source), la température T(x,t) au sein d'un milieu homogène et isotrope obéit à l'équation de la chaleur :

      \frac{\partial T}{\partial t} = D_{\mathrm{th}} \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}

      où D_{\mathrm{th}} = \frac{\lambda}{\rho c} est la diffusivité thermique du matériau (\lambda étant la conductivité thermique, \rho la masse volumique et c la capacité thermique massique).

   2. La diffusion du champ magnétique dans un conducteur ohmique (effet de peau) :
      Dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) magnétiques, en combinant l'équation de Maxwell-Faraday, la loi d'Ohm locale \vec{j} = \gamma \vec{E} et le théorème d'Ampère \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \vec{j}, le champ magnétique \vec{B} (ainsi que la densité volumique de courant \vec{j}) obéit à une équation de diffusion :

      \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = D_{\mathrm{m}} \Delta \vec{B}

      où D_{\mathrm{m}} = \frac{1}{\mu_0 \gamma} est le coefficient de diffusion magnétique (\gamma étant la conductivité électrique et \mu_0 la perméabilité du vide).

   On peut également citer la diffusion de quantité de mouvement au sein d'un fluide visqueux sous l'effet de la viscosité cinématique \nu = \eta/\rho (équation de Navier-Stokes unidimensionnelle).

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5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2024, Q45

   Rappelons la relation discrète établie à la question Q44 pour k \geqslant 2 :

   u_{k,m+1} - u_{k,m} = p \left( u_{k+1,m} + u_{k-1,m} - 2u_{k,m} \right)

   Par définition, u_{k,m} = u(x, t) avec x = ka et t = m\tau. Effectuons un développement de Taylor de la fonction continue u au voisinage de (x,t) :

   • Pour la variable temporelle, au pas \tau :

     u_{k,m+1} = u(x, t+\tau) = u(x,t) + \tau \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) + \mathcal{O}(\tau^2)

     ce qui donne pour le membre de gauche :

     u_{k,m+1} - u_{k,m} = \tau \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) + \mathcal{O}(\tau^2)

   • Pour la variable spatiale, au pas a :

     \begin{aligned} u_{k+1,m} = u(x+a, t) &= u(x,t) + a \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) + \frac{a^2}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + \mathcal{O}(a^3) \\ u_{k-1,m} = u(x-a, t) &= u(x,t) - a \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) + \frac{a^2}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + \mathcal{O}(a^3) \end{aligned}

     En sommant ces deux expressions :

     u_{k+1,m} + u_{k-1,m} - 2u_{k,m} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + \mathcal{O}(a^4)

     les termes d'ordre impair s'annulant par symétrie.

   En réinjectant ces développements dans la relation discrète :

   \tau \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) + \mathcal{O}(\tau^2) = p a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + \mathcal{O}(a^4)

   En divisant par \tau, on obtient :

   \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) = \frac{p a^2}{\tau} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + \mathcal{O}(\tau) + \mathcal{O}\left(\frac{a^4}{\tau}\right)

   À la limite continue \tau \to 0 et a \to 0, à condition de poser :

   \boxed{D = \frac{p a^2}{\tau}}

   on obtient l'équation aux dérivées partielles :

   \frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

   Puisque par définition u(x,t) = \frac{M(x,t)}{n_0 a} = \frac{n(x,t)}{n_0}, la densité volumique n(x,t) = n_0 u(x,t) est directement proportionnelle à u(x,t). On retrouve ainsi exactement l'équation de diffusion (VI.1) :

   \boxed{\frac{\partial n}{\partial t} = D \frac{\partial^2 n}{\partial x^2}}

   Résultat

   $$D=\frac{p{a}^2}{\tau }$$

   $$\frac{\partial n}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}n}{\partial x^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2024, Q49

   D'après la relation d'Einstein (équation VI.2) :

   6\pi\eta r D = k_B T \implies k_B = \frac{6\pi\eta r D}{T}

   Listons les grandeurs physiques nécessaires avec leurs unités dans le système international :

   • Viscosité du mélange : \eta = 0{,}165\text{ Pa}\cdot\text{s} = 0{,}165\text{ kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-1} ;
   • Rayon des grains colloïdaux : r = 0{,}52\ \mu\text{m} = 0{,}52\cdot 10^{-6}\text{ m} ;
   • Coefficient de diffusion déterminé à la question Q48 : D \simeq 2{,}5\cdot 10^{-15}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} ;
   • Température absolue : T = \theta + 273{,}15 = 38{,}7 + 273{,}15 = 311{,}9\text{ K}.

   L'application numérique donne :

   \begin{aligned} k_B &= \frac{6\pi \times 0{,}165 \times 0{,}52\cdot 10^{-6} \times 2{,}5\cdot 10^{-15}}{311{,}9} \\ k_B &\simeq 1{,}3\cdot 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} \end{aligned}

   \boxed{k_B \simeq 1{,}3\cdot 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}}

   La constante des gaz parfaits R est reliée à la constante de Boltzmann par la relation R = N_A k_B, d'où l'expression de la constante d'Avogadro :

   N_A = \frac{R}{k_B}

   Avec R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} :

   \begin{aligned} N_A &= \frac{8{,}31}{1{,}3\cdot 10^{-23}} \simeq 6{,}4\cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1} \end{aligned}

   \boxed{N_A \simeq 6{,}4\cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1}}

   Commentaires :

   • Les valeurs obtenues sont en très bon accord avec les valeurs admises aujourd'hui (k_B \simeq 1{,}38\cdot 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} et N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1} donnée dans l'énoncé), avec un écart relatif inférieur à 10\,\%, ce qui est remarquable au vu de la simplicité du modèle numérique de marche aléatoire et des incertitudes de lecture graphique.
   • D'un point de vue historique, ces expériences menées par Jean Perrin (avec Léon Brillouin) ont apporté la première mesure directe et incontestable de la constante d'Avogadro par une observation macroscopique/mésoscopique, prouvant définitivement la réalité des atomes et molécules et valant à Jean Perrin le prix Nobel de physique en 1926.

   Résultat

   $$k_B\simeq 1,3\cdot 10^{-23}\text{ J}\cdot {\text{K}}^{-1}$$

   $$N_A\simeq 6,4\cdot 10^{23}{\text{ mol}}^{-1}$$

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7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 MP 2024, Q1

   1. Unités de k et \lambda :

   • D'après l'énoncé, le flux thermique surfacique pariétal s'exprime selon la loi de Newton :

     j_{\mathrm{par}} = k (T - T_f)

     Un flux thermique surfacique représente une puissance par unité de surface, soit [j_{\mathrm{par}}] = \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}. Une différence de température s'exprime en kelvins (\mathrm{K}). On en déduit :

     \boxed{ [k] = \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{K}^{-1} }

   • La loi de Fourier relie le vecteur densité de courant thermique au gradient de température : \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = -\lambda \, \vec{\operatorname{grad}} T. En coordonnées cartésiennes selon une direction x :

     j_{\mathrm{th}} = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x}

     Le gradient thermique s'exprime en \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^{-1} et la densité de flux thermique en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}. Il vient donc :

     \boxed{ [\lambda] = \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1} }

   2. Établissement de l'équation de diffusion thermique unidimensionnelle :

   Considérons un barreau cylindrique conducteur de section constante S, d'axe (Ox), sans source interne d'énergie. On isole le système fermé constitué de la matière contenue entre les abscisses x et x+\mathrm{d}x.

   Le volume de cette tranche élémentaire est \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x, et sa masse vaut \mathrm{d}m = \rho S\,\mathrm{d}x.

   Durant l'intervalle de temps [t, t+\mathrm{d}t], la variation d'énergie interne de la tranche s'écrit, en l'absence de travail utile et pour une phase condensée indilatable et incompressible :

   \mathrm{d}U = \mathrm{d}m \, c \, [T(x, t+\mathrm{d}t) - T(x, t)] = \rho c S\,\mathrm{d}x \, \frac{\partial T}{\partial t}(x, t) \, \mathrm{d}t

   D'après le premier principe de la thermodynamique, cette variation est due aux transferts thermiques conductifs à travers les frontières en x et en x+\mathrm{d}x :

   \begin{aligned} \delta Q &= \Phi(x, t)\,\mathrm{d}t - \Phi(x+\mathrm{d}x, t)\,\mathrm{d}t \\ &= \left[ j_{\mathrm{th}}(x, t)S - j_{\mathrm{th}}(x+\mathrm{d}x, t)S \right] \mathrm{d}t \\ &= - \frac{\partial j_{\mathrm{th}}}{\partial x}(x, t) \, S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \end{aligned}

   En égalant \mathrm{d}U et \delta Q, puis en simplifiant par S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \neq 0, on obtient l'équation locale de conservation de l'énergie :

   \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial j_{\mathrm{th}}}{\partial x}

   En appliquant la loi de Fourier unidimensionnelle j_{\mathrm{th}}(x, t) = -\lambda \frac{\partial T}{\partial x}(x, t) avec \lambda supposée uniforme :

   - \frac{\partial j_{\mathrm{th}}}{\partial x} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}

   On en déduit directement l'équation de diffusion thermique unidimensionnelle :

   \boxed{ \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} }

   qui correspond bien à \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \Delta T en dimension 1, où le laplacien scalaire se réduit à \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}.

   Résultat

   $$[k]=\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-2}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}$$

   $$[\lambda ]=\mathrm{W}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}\cdot {\mathrm{K}}^{-1}$$

   $$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=\lambda \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 MP 2024, Q2

   L'équation de diffusion thermique s'écrit sous la forme canonique :

   \frac{\partial T}{\partial t} = D_{\text{th}} \Delta T

   Par identification avec l'équation \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \Delta T, la diffusivité thermique du matériau est :

   \boxed{D_{\text{th}} = \frac{\lambda}{\rho c}}

   Elle s'exprime en \mathrm{m^2 \cdot s^{-1}}.

   Par analyse dimensionnelle sur l'équation de diffusion, le temps caractéristique de diffusion de la chaleur au sein de la boule de rayon R est :

   \tau_{\text{diff}} \sim \frac{R^2}{D_{\text{th}}}

   Pour que la température du matériau puisse être considérée comme uniforme à chaque instant, le transfert d'énergie par conduction interne doit être quasi-instantané à l'échelle de la durée caractéristique \Delta t de son refroidissement :

   \boxed{\Delta t \gg \frac{R^2}{D_{\text{th}}}}

   Résultat

   $$D_{\text{th}}=\frac{\lambda }{\rho c}$$

   $$\Delta t\gg \frac{R^2}{D_{\text{th}}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 2 MP 2024, Q6

   Le transfert thermique depuis la surface du supraconducteur jusqu'au fluide à l'infini met en jeu l'association en série de deux résistances thermiques :

   • la résistance pariétale d'interface R_{\text{th}} = \dfrac{1}{4\pi R^2 k} (établie à la question Q3) ;
   • la résistance conductive du fluide environnant R'_{\text{th}} = \dfrac{1}{4\pi \lambda' R} (établie à la question Q5).

   Le rapport de ces deux résistances vaut :

   \frac{R'_{\text{th}}}{R_{\text{th}}} = \frac{Rk}{\lambda'}

   L'hypothèse \lambda' \gg Rk implique donc :

   R'_{\text{th}} \ll R_{\text{th}} \implies R_{\text{tot}} = R_{\text{th}} + R'_{\text{th}} \approx R_{\text{th}} \quad \text{(ou encore } T_s(t) \approx T_0 \text{)}

   Le flux thermique \Phi cédé par la boule au milieu extérieur à température T_0 s'écrit alors :

   \Phi(t) = \frac{T(t) - T_0}{R_{\text{th}}} = 4\pi R^2 k \left[T(t) - T_0\right]

   Appliquons le premier principe de la thermodynamique à la boule solide entre les instants t et t + \mathrm{d}t, en l'absence de travail et de source interne :

   \mathrm{d}U = \delta Q = -\Phi(t)\,\mathrm{d}t

   Sachant que \mathrm{d}U = C_{\text{th}}\,\mathrm{d}T avec C_{\text{th}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3 \rho c (question Q3), on obtient :

   \frac{4}{3}\pi R^3 \rho c \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = -4\pi R^2 k \left[T(t) - T_0\right]

   Soit, en simplifiant par 4\pi R^2 :

   \frac{\rho R c}{3k} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + T(t) = T_0

   En posant \tau = \dfrac{\rho R c}{3k}, on aboutit à l'équation différentielle du premier ordre :

   \boxed{\tau \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + T(t) = T_0 \quad \text{ou} \quad \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + \frac{T(t) - T_0}{\tau} = 0}

   Résultat

   $$\tau \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}+T(t)=T_0\text{ou}\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}+\frac{T(t)-T_0}{\tau }=0$$

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10. Exercice 10CCINP Physique MP 2023, Q51

    Considérons comme système la tranche de glace indéformable comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite constante S et de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x.

    Appliquons le premier principe de la thermodynamique à ce système fermé entre les instants t et t + \mathrm{d}t :

    \mathrm{d}U = \delta Q + \delta W

    Le milieu étant condensé et indéformable, le travail des forces de pression est nul : \delta W = 0. De plus, le régime est stationnaire, donc l'énergie interne du système est constante au cours du temps : \mathrm{d}U = 0.

    Le transfert thermique élémentaire \delta Q reçu par la tranche de glace pendant \mathrm{d}t se décompose en :

    • le flux thermique entrant par la face en x : \delta Q_{\mathrm{ent}} = j_Q(x)\,S\,\mathrm{d}t ;
    • le flux thermique sortant par la face en x+\mathrm{d}x : \delta Q_{\mathrm{sort}} = - j_Q(x+\mathrm{d}x)\,S\,\mathrm{d}t ;
    • l'énergie thermique produite en volume par d'éventuelles sources internes : \delta Q_{\mathrm{source}} = \sigma\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t = \sigma\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t ;
    • les échanges avec l'atmosphère à travers la surface latérale étant négligés à ce stade, aucun flux latéral n'intervient.

    Le bilan s'écrit donc :

    \mathrm{d}U = \left[ j_Q(x) - j_Q(x + \mathrm{d}x) \right] S\,\mathrm{d}t + \sigma\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t = 0

    En effectuant un développement limité au premier ordre, j_Q(x + \mathrm{d}x) - j_Q(x) = \frac{\mathrm{d}j_Q}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x, on obtient après division par le volume S\,\mathrm{d}x et par \mathrm{d}t :

    -\frac{\mathrm{d}j_Q}{\mathrm{d}x} + \sigma = 0

    Puisque le vecteur densité de courant thermique est unidimensionnel, \vec{j}_Q = j_Q(x)\,\vec{u}_x, on a \operatorname{div}\vec{j}_Q = \frac{\mathrm{d}j_Q}{\mathrm{d}x}. L'équation différentielle s'écrit sous forme scalaire ou vectorielle :

    \boxed{\frac{\mathrm{d}j_Q}{\mathrm{d}x} = \sigma \quad \iff \quad \operatorname{div}\vec{j}_Q = \sigma}

    Résultat

    $$\frac{\mathrm{d}{j}_Q}{\mathrm{d}x}=\sigma ⟺\mathrm{div}{\vec{j}}_Q=\sigma$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question