Corrigé détaillé E3A Physique Chimie MP 2025

• Référentiel géocentrique : il a pour origine le centre de masse O de la Terre et ses trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes. Il est supposé galiléen pour l'étude de mouvements de durées très inférieures à l'année (mouvement des satellites, pendule de Foucault).
• Référentiel terrestre (ou du laboratoire) : il est lié au solide Terre. Son origine est un point lié à la surface terrestre et ses axes sont fixes par rapport à la Terre (définis par exemple par la verticale locale, le Nord et l'Est).

• Mouvement du référentiel terrestre par rapport au référentiel géocentrique : Le centre de la Terre étant commun aux deux référentiels, le mouvement du référentiel terrestre par rapport au référentiel géocentrique est un mouvement de rotation uniforme autour de l'axe des pôles (orienté du Sud vers le Nord), à la vitesse angulaire :

  \boxed{\vec{\Omega} = \Omega\,\vec{u}_z}

  où la période de rotation correspond à un jour sidéral (T_{\text{sid}} \approx 23\text{ h } 56\text{ min } 4\text{ s}, soit \Omega \approx 7,3 \cdot 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}).

1. Force gravitationnelle

En assimilant la Terre à une sphère de masse M_T à symétrie sphérique de masse, le théorème de Gauss gravitationnel montre que le champ de gravitation à l'extérieur est identique à celui d'une masse ponctuelle M_T placée en O. Pour un point M situé à la surface de la Terre (OM = R_T), la force gravitationnelle attractive s'écrit :

Son intensité est :

2. Force d'inertie d'entraînement

Le référentiel terrestre est en rotation uniforme à la vitesse angulaire \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{u}_{\Delta} par rapport au référentiel géocentrique galiléen (où \vec{u}_{\Delta} est le vecteur unitaire porté par l'axe des pôles, orienté vers le Nord). L'accélération d'entraînement d'un point M fixe dans le référentiel terrestre est purement centripète :

où H est la projection orthogonale de M sur l'axe de rotation des pôles.

La force d'inertie d'entraînement (force centrifuge) subie par l'objet s'écrit donc :

La distance de M à l'axe des pôles vaut HM = R_T \cos\lambda. L'intensité de cette force est donc :

D'après la figure 1, le vecteur unitaire radial \vec{u}_z = \frac{\overrightarrow{OM}}{R_T} fait un angle \lambda avec le plan de l'équateur, tandis que \vec{u}_y lui est orthogonal dans le plan méridien et orienté vers le pôle Nord. Le vecteur unitaire \frac{\overrightarrow{HM}}{HM}, orthogonal à l'axe des pôles et dirigé vers l'extérieur, se décompose selon :

On en déduit l'expression vectorielle de la force d'inertie d'entraînement dans la base (\vec{u}_y, \vec{u}_z) :

D'après les résultats de la question Q2, les normes des deux forces s'écrivent :

Effectuons les applications numériques avec les grandeurs fournies en annexe :

• Pour la force gravitationnelle :

  \begin{aligned} F_g &= \frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \times 6{,}0 \cdot 10^{24} \times 75}{(6{,}4 \cdot 10^6)^2} \\ F_g &\approx 7{,}3 \cdot 10^2 \text{ N} \quad (\text{soit } 733\text{ N}) \end{aligned}
  \boxed{F_g \approx 7{,}3 \cdot 10^2 \text{ N}}

• Pour la force d'inertie d'entraînement :

  \begin{aligned} F_{ie} &= 75 \times (7{,}3 \cdot 10^{-5})^2 \times 6{,}4 \cdot 10^6 \times \cos(49^\circ) \\ F_{ie} &\approx 1{,}7 \text{ N} \end{aligned}
  \boxed{F_{ie} \approx 1{,}7 \text{ N}}

Commentaires :

• La force d'inertie d'entraînement centrifuge est très faible devant la force d'attraction gravitationnelle :

  \frac{F_{ie}}{F_g} \approx \frac{1{,}7}{733} \approx 2{,}3 \cdot 10^{-3} \approx 0{,}2\,\%
• En excellente approximation, le poids mesuré dans le référentiel terrestre s'identifie à la force gravitationnelle (\vec{P} \approx \vec{F}_g). La déviation de la verticale par rapport à la direction du centre de la Terre est minime.

On suspend verticalement un ressort de raideur k et de longueur à vide \ell_0 à un support fixe. On accroche l'objet de masse m à son extrémité inférieure libre et on attend que l'ensemble atteigne sa position d'équilibre. On mesure alors la longueur finale \ell_{\text{éq}} du ressort, ce qui donne l'allongement \Delta \ell = \ell_{\text{éq}} - \ell_0.

On étudie le système constitué de la masse m dans le référentiel terrestre considéré galiléen. À l'équilibre, la masse est soumise à deux forces :

• son poids effectif : \vec{P} = -m g \, \vec{u}_z ;
• la tension de rappel du ressort : \vec{T} = k (\ell_{\text{éq}} - \ell_0) \, \vec{u}_z = k \, \Delta \ell \, \vec{u}_z.

D'après le principe fondamental de la statique (ou la première loi de Newton) :

En projetant sur l'axe vertical ascendant \vec{u}_z, il vient :

On en déduit l'expression de la masse :

On étudie le satellite S, assimilé à un point matériel de masse M_S, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.

Le satellite n'est soumis qu'à la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre, de centre O :

avec r = R_T + h le rayon de l'orbite circulaire et \vec{u}_r = \frac{\overrightarrow{OS}}{\|\overrightarrow{OS}\|} le vecteur unitaire radial centrifuge.

D'après la deuxième loi de Newton :

Dans la base de Frenet (\vec{u}_\tau, \vec{u}_n) où la normale unitaire centripète est \vec{u}_n = -\vec{u}_r, l'accélération s'écrit :

Par identification sur les composantes tangentielle et normale :

• \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0, donc la vitesse scalaire v est constante (le mouvement est circulaire uniforme) ;
• \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{G M_T}{r^2}, d'où l'expression de la vitesse :

Application numérique :

• r = R_T + h = 6{,}4\cdot 10^6 + 400\cdot 10^3 = 6{,}8\cdot 10^6\text{ m}
• v = \sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11} \times 6{,}0\cdot 10^{24}}{6{,}8\cdot 10^6}} \approx 7{,}67\cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

En kilomètres par heure :

La valeur annoncée par l'article (28\cdot 10^3\text{ km/h}) est donc bien vérifiée (écart relatif inférieur à 1{,}5\,\%, dû à l'arrondi).

Période de révolution : Le mouvement étant uniforme, la période de révolution T_{\text{orb}} est la durée mise pour parcourir le périmètre de la trajectoire 2\pi r à la vitesse v = 28\cdot 10^3\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{28\cdot 10^3}{3{,}6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 7{,}78\cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

1. Force gravitationnelle subie par le spationaute

La Terre est modélisée par une distribution de masse à symétrie sphérique de centre O et de masse M_T. En tout point M situé à la distance r = OM du centre de la Terre (r \ge R_T), la force gravitationnelle s'écrit :

2. Force d'inertie d'entraînement

L'ISS décrit une orbite circulaire de centre O et de rayon OS = R_T + h. Comme la coupole reste toujours orientée vers la Terre, le référentiel lié à la station spatiale effectue un tour sur lui-même par révolution orbitale : il est en rotation uniforme à la vitesse angulaire \vec{\omega} = \omega\,\vec{u}_\perp autour de l'axe passant par O et perpendiculaire au plan orbital.

D'après la question Q5, la pulsation orbitale vérifie :

Pour un point M situé dans le plan orbital, l'accélération d'entraînement dans le référentiel de l'ISS s'exprime par :

La force d'inertie d'entraînement s'en déduit donc :

3. Application numérique au centre de gravité S et justification de l'impesanteur

Lorsque le spationaute est situé au centre de gravité de la station (M = S), on a \vec{OM} = \vec{OS} et r = OS = R_T + h. Les deux forces deviennent directement opposées :

Leur somme est donc rigoureusement nulle :

soit une valeur numérique de 0\text{ N}.

À titre indicatif, la norme de chacune de ces forces vaut :

Justification de l'impesanteur : Le poids apparent (ou effectif) du spationaute dans le référentiel de l'ISS est la résultante de la gravitation et de la force d'inertie d'entraînement : \vec{P}_{\text{eff}} = \vec{F}_g + \vec{F}_{ie}. En S, ce poids effectif s'annule exactement. Aucune force de réaction de contact de la part des parois n'est nécessaire pour maintenir le spationaute au repos (\vec{R} = \vec{0}) : il flotte librement, ce qui caractérise l'état d'impesanteur (ou d'apesanteur).

La méthode proposée à la question Q4 repose sur l'équilibre statique d'un dynamomètre (peson) :

où \Delta \ell est l'élongation du ressort et g_{\text{eff}} l'accélération de la pesanteur apparente.

Or, comme établi à la question Q6, le spationaute se trouve en situation d'impesanteur dans le référentiel de l'ISS : le poids apparent, somme de la force gravitationnelle et de la force d'inertie d'entraînement, est nul (\vec{P}_{\text{app}} = \vec{F}_g + \vec{F}_{ie} \approx \vec{0}, soit g_{\text{eff}} \approx 0).

À l'équilibre dans la station :

Le ressort ne subit donc aucune élongation à l'équilibre, quelle que soit la masse m du spationaute.

On étudie le système constitué du dispositif mobile et du spationaute, de masse totale m = m_1 + m_2, assimilé à un point matériel M astreint à translater le long de l'axe vertical (Oz) représenté sur la figure 2b.

L'étude est menée dans le référentiel lié à l'ISS. Dans ce référentiel, la pesanteur effective est nulle d'après la question Q6, et l'échelle temporelle des oscillations permet de le considérer comme galiléen.

En l'absence de frottements, la seule force s'exerçant sur le système selon l'axe de son mouvement est la force de rappel élastique exercée par le ressort :

où z est l'abscisse du point M et \ell_0 la longueur à vide du ressort (l'origine de l'axe étant prise au point fixe d'attache du ressort).

D'après la deuxième loi de Newton projetée sur l'axe (Oz) :

En posant le changement de variable X(t) = z(t) - \ell_0, on obtient l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti :

La période propre T (ou T_0) associée est reliée à la masse m par :

D'après la relation établie à la question Q8, la période propre d'un oscillateur élastique sans frottement est donnée par :

Appliquée aux deux situations :

• à vide, la masse en mouvement est la masse mobile m_1, d'où :

  T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}

• avec le spationaute accroché, la masse mobile totale est m = m_1 + m_2, d'où :

  T = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}}

En élevant ces expressions au carré et en faisant le rapport membre à membre :

On en déduit l'expression littérale de la masse m_2 du spationaute :

Application numérique : Avec m_1 = 12{,}43\text{ kg}, T_1 = 0{,}82\text{ s} et T = 2{,}15\text{ s} :

Compte tenu de la précision sur T_1 (deux chiffres significatifs) :

Le modèle de mesure par le BMMD (question Q8) repose sur l'hypothèse que l'ensemble \{\text{dispositif mobile} + \text{spationaute}\} forme un solide unique et indéformable oscillant selon un seul degré de liberté, avec pour masse totale m = m_1 + m_2.

L'exigence d'un maintien très strict du spationaute s'explique par deux raisons physiques :

• Solidariser parfaitement le spationaute au plateau : pour que la relation T = 2\pi\sqrt{(m_1 + m_2)/k} soit valide, il est impératif qu'il n'y ait aucun mouvement relatif entre le corps et le plateau, afin que la totalité de la masse m_2 subisse exactement la même accélération que la masse mobile m_1.
• Supprimer les degrés de liberté internes et l'amortissement : le corps humain est un milieu déformable (articulations, muscles, viscères). Si le corps n'était pas rigidifié, des mouvements internes oscilleraient avec un déphasage par rapport au plateau et dissiperaient de l'énergie par frottement viscoélastique. Cela perturberait le mouvement harmonique simple et modifierait la période propre mesurée.
• Éviter les oscillations parasites transverses : le maintien bloque les mouvements de bascule ou transverses, garantissant une oscillation purement rectiligne le long de l'axe du ressort.

1. Invariances et symétries :

• Invariance : Dans le modèle du solénoïde infini de section carrée, la distribution de courant est invariante par toute translation le long de l'axe (Az). Par conséquent, les composantes du champ magnétique ne dépendent pas de la coordonnée z :

  \vec{B}(M) = \vec{B}(x,y)

• Symétrie : Pour tout point M(x,y,z), le plan \Pi = (M, \vec{u}_x, \vec{u}_y) perpendiculaire à l'axe (Az) passant par M est un plan de symétrie pour la distribution de courant (les boucles de courant sont contenues dans des plans parallèles à (xOy) et la réflexion par rapport à \Pi laisse les vecteurs densité de courant \vec{j} inchangés).

  Comme le champ magnétique \vec{B} est un champ pseudo-vectoriel (vecteur axial), en tout point M d'un plan de symétrie des courants, \vec{B}(M) est orthogonal à ce plan. Ainsi, \vec{B}(M) est colinéaire au vecteur normal \vec{u}_z :

  \vec{B}(M) = B(x,y)\,\vec{u}_z

2. Détermination de \vec{B}_{\text{int}}(M) par le théorème d'Ampère :

Considérons un contour fermé rectangulaire \Gamma orienté :

• un segment de longueur h situé à l'intérieur du solénoïde, parallèle à \vec{u}_z et orienté selon +\vec{u}_z ;
• deux segments orthogonaux à l'axe (Az), le long desquels \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = 0 car \vec{B} \parallel \vec{u}_z \perp \mathrm{d}\vec{\ell} ;
• un segment de longueur h parallèle à l'axe (Az) situé à l'extérieur du solénoïde, où le champ magnétique est nul par hypothèse.

La circulation de \vec{B} le long de ce contour s'écrit :

D'après le théorème d'Ampère :

Le contour enlace n h spires parcourues chacune par le courant I, avec n = \dfrac{N}{L}. Selon la règle de la main droite, le courant enlace positivement le contour, soit I_{\text{enlacé}} = n h I. Il vient :

Ce résultat est indépendant de x et y : le champ magnétique est donc uniforme à l'intérieur du solénoïde.

1. Origine qualitative du courant induit et de son sens

Au cours du mouvement de la spire à la vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x, la surface S(t) de la spire plongée dans la zone de champ magnétique \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z augmente au cours du temps :

Le flux du champ magnétique à travers la spire varie donc au cours du temps, ce qui donne naissance à un phénomène d'induction (loi de Faraday).

D'après la loi de Lenz, les effets induits s'opposent à la cause qui leur donne naissance :

• La cause est ici l'augmentation du flux magnétique à travers la spire (selon +\vec{u}_z).
• Le courant induit i doit donc créer un champ magnétique induit \vec{B}_{\text{ind}} de sens opposé, c'est-à-dire dirigé selon -\vec{u}_z.
• D'après la règle de la main droite (ou du tire-bouchon), pour générer un champ selon -\vec{u}_z, le courant doit circuler dans le sens horaire dans le plan de la figure, ce qui correspond exactement au sens de i indiqué sur la figure 6.

2. Détermination quantitative de l'intensité i

On oriente le contour de la spire selon le sens algébrique du courant i (sens horaire). La normale unitaire \vec{n} associée par la règle de la main droite est alors :

Le flux magnétique à travers la spire à l'instant t s'écrit donc :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite e vaut :

En négligeant l'auto-inductance de la spire, la loi d'Ohm pour le circuit fermé de résistance R donne directement :

L'intensité i est donc constante et positive pendant toute la phase d'entrée de la spire dans la zone de champ magnétique.

La résultante des actions mécaniques d'origine électromagnétique s'exerçant sur la spire fermée est la force de Laplace :

Décomposons cette intégrale sur les quatre côtés de la spire carrée :

• Côté arrière CD : il se trouve dans la zone de champ magnétique nul, d'où \vec{F}_{CD} = \vec{0}.

• Côtés latéraux : les brins sont parallèles à \vec{u}_x et baignent dans le même champ uniforme \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z. Comme ils sont parcourus par le même courant i en sens opposés, leurs forces de Laplace respectives, dirigées selon \pm \vec{u}_y, se compensent exactement :

  \vec{F}_{\text{latéraux}} = \vec{0}
• Côté avant EF : situé entièrement dans la zone où règne \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z, il a pour longueur a. Compte tenu du sens de circulation du courant i > 0 défini à la question Q12 (sens horaire sur la figure 6), le courant traverse le brin EF selon la direction et le sens du vecteur -a\,\vec{u}_y.

La force totale subie par la spire se réduit donc à la force sur le segment EF :

En injectant l'expression de l'intensité i = \dfrac{B_0 a v_0}{R} établie à la question Q12, on obtient :

Pendant toute la phase d'entrée, les grandeurs B_0, a, R et v_0 sont constantes : la force exercée sur la spire est donc constante et uniforme.

Justification qualitative du sens : D'après la loi de modération de Lenz, les effets du phénomène d'induction s'opposent à la cause qui les produit. La cause de l'induction étant le déplacement de la spire à la vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x vers la zone de champ, les forces de Laplace induites doivent s'opposer à ce mouvement : il s'agit d'une force de freinage dirigée selon -\vec{u}_x.

Soit un repère orthonormé direct (\mathrm{O}, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) où la zone de champ magnétique \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z s'étend de x = 0 à x = a.

Pendant la phase de sortie, le côté avant (EF) est sorti de la zone de champ (x_{\mathrm{EF}} > a), tandis que le côté arrière (CD) s'y trouve encore (0 \leqslant x_{\mathrm{CD}} \leqslant a). La surface de la spire baignée par le champ magnétique s'écrit :

Comme la spire se déplace à la vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x, on a \dfrac{\mathrm{d}x_{\mathrm{CD}}}{\mathrm{d}t} = v_0, d'où :

En choisissant la normale à la spire \vec{n} = \vec{u}_z, le flux magnétique s'écrit \Phi(t) = B_0 S(t). D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite vaut :

L'intensité du courant induit dans la spire de résistance R est donc :

Le contour étant orienté selon la règle du tire-bouchon par rapport à \vec{n} = \vec{u}_z, le courant circule sur le côté CD dans le sens -\vec{u}_y.

Calculons la force de Laplace globale \vec{F} exercée sur la spire :

• Le côté avant (EF) est en dehors de la zone de champ : \vec{F}_{\mathrm{EF}} = \vec{0}.
• Sur les deux brins latéraux (parallèles à \vec{u}_x), les courants circulent en sens opposés dans le même champ \vec{B}_0 ; les forces élémentaires valent \mathrm{d}\vec{F}_L = i\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B}_0 \propto \pm \vec{u}_y et se compensent deux à deux : \vec{F}_{\text{lat}} = \vec{0}.

• Sur le côté arrière (CD), de longueur a orienté par -\vec{u}_y :

  \vec{F}_{\mathrm{CD}} = i \,(-a \vec{u}_y) \wedge (B_0 \vec{u}_z) = - i a B_0 (\vec{u}_y \wedge \vec{u}_z) = - i a B_0 \vec{u}_x

En remplaçant i par son expression, on obtient bien :

Une spire de côté a traversant une zone de champ magnétique de longueur a :

• subit la force de freinage \vec{F} pendant sa phase d'entrée, soit sur un déplacement de longueur a ;
• subit exactement la même force de freinage \vec{F} pendant sa phase de sortie, qui succède immédiatement à l'entrée et dure également sur un déplacement de longueur a.

La force de freinage s'exerce donc continûment sur une distance totale égale à :

Puisque les spires successives sont espacées d'une distance a, la distance entre les bords avant de deux spires consécutives (période spatiale du réseau de spires) vaut :

Par conséquent :

• au moment précis où la spire j achève sa sortie du champ magnétique, la spire suivante j+1 commence immédiatement sa phase d'entrée ;
• il n'y a aucun intervalle de temps où le champ est vide (absence de « temps mort » sans freinage) ;
• il n'y a jamais deux spires interagissant simultanément avec le champ magnétique.

D'après la question précédente, le choix de la distance a entre deux spires successives permet d'assurer qu'à tout instant, exactement une spire subit l'induction (soit en phase d'entrée, soit en phase de sortie).

Deux méthodes équivalentes permettent d'obtenir la puissance dissipée :

• Bilan Joule : la spire active est parcourue par un courant d'intensité i = \dfrac{B_0 a v_0}{R}. La puissance dissipée par effet Joule dans sa résistance R s'écrit :

  \mathcal{P}_J = R \, i^2 = R \left( \frac{B_0 a v_0}{R} \right)^2 = \frac{B_0^2 a^2 v_0^2}{R}

• Puissance mécanique : la force de Laplace globale de freinage s'opposant au mouvement vaut \vec{F} = - \dfrac{B_0^2 a^2}{R} v_0\,\vec{u}_x. La puissance mécanique dissipée par ce système de freinage (opposé de la puissance des actions de Laplace) est :

  \mathcal{P}_{\text{dissipée}} = - \vec{F}\cdot\vec{v}_0 = \frac{B_0^2 a^2 v_0^2}{R}

Ces deux approches sont en accord conformément au principe de conservation de l'énergie. On obtient donc :

Cette puissance varie de façon quadratique avec la vitesse : elle est proportionnelle au carré de la vitesse v_0 (\mathcal{P} \propto v_0^2).

Le fait que la puissance résistive dissipée par le système de freinage augmente avec la vitesse (ici en v_0^2) présente plusieurs intérêts majeurs d'un point de vue sportif :

• Modulation naturelle de l'effort : le sportif peut adapter l'intensité de son entraînement directement par sa cadence de pédalage. Plus il pédale vite, plus l'effort requis est intense, ce qui permet de solliciter efficacement la musculature et le système cardiovasculaire sans réglage manuel permanent.
• Stabilité du pédalage (absence d'emballement) : une force résistive croissante avec la vitesse procure un comportement autorégulateur, évitant l'emballement du pédalier dès que l'athlète fournit une impulsion plus vive.
• Réalisme biomécanique : sur Terre, le pédalage sur route s'accompagne d'une résistance de l'air dont la puissance augmente également fortement avec la vitesse (\mathcal{P}_{\text{aéro}} \propto v^3). Ce comportement par induction reproduit donc une sensation de résistance naturelle et progressive.

La conservation des éléments chimiques lors de la réaction s'écrit :

• Pour l'élément carbone (\mathrm{C}) :

  6 = \beta \implies \beta = 6

• Pour l'élément hydrogène (\mathrm{H}) :

  12 = 2\gamma \implies \gamma = 6

• Pour l'élément oxygène (\mathrm{O}) :

  6 + 2\alpha = 2\beta + \gamma = 2 \times 6 + 6 = 18 \implies 2\alpha = 12 \implies \alpha = 6

Les coefficients stœchiométriques valent donc :

L'équation de réaction de l'oxydation aérobie du glucose s'écrit ainsi :

D'après la question Q18, l'équation de la réaction s'écrit :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de cette réaction s'exprime sous la forme :

Le dioxygène gazeux \mathrm{O}_{2\text{(g)}} étant un corps pur simple dans son état standard de référence à 298\text{ K}, son enthalpie standard de formation est nulle :

On obtient ainsi :

Application numérique avec les données de l'annexe :

Comme \Delta_r H^\circ < 0, la réaction est fortement exothermique.

Commentaire : Cette libération considérable d'énergie par mole de glucose consommé (\approx 2{,}8\cdot 10^3\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}) illustre le rôle fondamental de la respiration cellulaire aérobie comme source d'énergie mécanique et thermique pour le métabolisme musculaire lors de l'effort physique.

D'après la question Q19, l'oxydation complète d'une mole de glucose libère une énergie thermique (à pression constante) égale à :

Pour libérer une énergie E = 2{,}5\cdot 10^3\text{ kJ}, la quantité de matière de glucose consommée est :

La masse molaire du glucose vaut :

La masse de glucose consommée est donc :

D'après l'équation de la réaction (question Q18), la consommation d'une mole de glucose nécessite \alpha = 6\text{ moles} de \mathrm{O}_2, d'où :

En modélisant le dioxygène par un gaz parfait, le volume de \mathrm{O}_2 pur consommé sous la pression P et à la température T s'exprime par :

L'air contenant x_{\mathrm{O}_2} = 21\,\% = 0{,}21 de dioxygène en volume, le volume d'air total nécessaire s'écrit :

Avec P = 1{,}0\text{ bar} = 1{,}0\cdot 10^5\text{ Pa}, T = 293\text{ K}, R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} et E = 2{,}5\cdot 10^6\text{ J} :

Pour le métabolisme aérobie, l'énergie libérée par l'oxydation complète d'une mole de glucose a été calculée à la question Q19 :

Pour le métabolisme anaérobie, l'équation-bilan s'écrit :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de cette réaction vaut :

En utilisant les données de l'énoncé :

L'énergie libérée par mole de glucose dans le métabolisme anaérobie est donc :

Calculons le rapport de ces deux énergies :

Commentaires :

• Le métabolisme aérobie est considérablement plus efficace d'un point de vue énergétique : il produit environ 38 fois plus d'énergie par mole de glucose que le métabolisme anaérobie.
• Dans la voie anaérobie, l'oxydation est très partielle : le squelette carboné n'est pas dégradé en \mathrm{CO}_2 et l'acide lactique produit conserve une grande part de l'énergie chimique du glucose.
• La voie anaérobie lactique reste néanmoins essentielle en cas d'effort intense : elle constitue une filière de secours capable de fournir de l'énergie à très fort débit lorsque l'apport en dioxygène par la circulation sanguine devient insuffisant, au prix d'un mauvais rendement et de la production d'acide lactique.

La relation d'Henderson-Hasselbalch appliquée au couple \mathrm{H_2CO_3/HCO_3^-} s'écrit :

On en déduit le rapport des concentrations dans les conditions habituelles :

La concentration totale s'exprime par :

On obtient ainsi les concentrations respectives :

Application numérique avec C_{t,0} = 0{,}0275\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} :

1. Diagramme de prédominance

Pour un couple acide/base \mathrm{AH/A^-} de constante d'acidité K_a, la relation de Henderson-Hasselbalch s'écrit :

L'espèce acide \mathrm{AH} prédomine sur sa base conjuguée si \mathrm{pH} < \mathrm{p}K_a, et la base \mathrm{A^-} prédomine si \mathrm{pH} > \mathrm{p}K_a.

Avec les valeurs de l'énoncé, \mathrm{p}K_{a2}(\mathrm{HLa/La^-}) = 3{,}9 et \mathrm{p}K_{a1}(\mathrm{H_2CO_3/HCO_3^-}) = 6{,}4 :

2. Équation de la réaction

L'acide lactique \mathrm{HLa} cède un proton à l'ion hydrogénocarbonate \mathrm{HCO_3^-} :

3. Expression et calcul de la constante d'équilibre

La constante d'équilibre K^\circ associée à cette réaction s'exprime en fonction des constantes d'acidité des deux couples :

Application numérique :

4. Commentaire sur le caractère quasi-total a priori

Une réaction est habituellement considérée comme quantitative (ou quasi-totale) si sa constante d'équilibre vérifie K^\circ \ge 10^3 ou 10^4 (critère garantissant un taux d'avancement supérieur à 99\,\% dans les conditions stœchiométriques).

Ici, K^\circ \approx 3{,}2 \cdot 10^2 < 10^3 : la réaction est thermodynamiquement favorisée dans le sens direct (K^\circ > 1), mais la valeur de K^\circ n'est a priori pas suffisante pour affirmer à elle seule que la réaction est quasi-totale.

Cependant, dans le sang, l'ion \mathrm{HCO_3^-} est en net excès par rapport à l'acide lactique introduit ([\mathrm{HCO_3^-}] \approx 2{,}5 \cdot 10^{-2}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} d'après Q22, contre C_0' \sim 2 \cdot 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}), ce qui déplacera l'équilibre et rendra l'avancement très élevé.

L'acide lactique \mathrm{HLa} introduit réagit selon l'équation établie en Q23 :

D'après les résultats de la question Q22, les concentrations initiales dans le sang sont :

L'apport d'acide lactique est C_0' = 2,0\cdot 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} < [\mathrm{HCO_3^-}]_0 : l'acide lactique est le réactif limitant. En faisant l'hypothèse que la réaction est quasi-totale, l'avancement volumique vaut \xi_V \approx C_0', d'où les concentrations après réaction :

Le pH est régi par l'équilibre du couple \mathrm{H_2CO_3}/\mathrm{HCO_3^-} :

Vérification de l'hypothèse a posteriori :
À l'équilibre, la constante K^\circ vérifie :

Avec K^\circ = 10^{2,5} \approx 3,2\cdot 10^2, on calcule :

La fraction d'acide lactique non consommée est :

L'hypothèse d'une réaction quasi-totale est donc parfaitement justifiée a posteriori.

Commentaire sur la valeur du pH :
Le pH obtenu (\mathrm{pH} \approx 7,1) est nettement inférieur à la borne inférieure de viabilité (7,3). En l'absence de régulation, cette situation d'acidose métabolique sévère serait létale. Le corps humain compense ce déséquilibre par une hyperventilation réflexe qui élimine le dioxyde de carbone dissous (\mathrm{CO}_2), déplaçant l'équilibre de dissociation vers la gauche et faisant remonter le \mathrm{pH} dans l'intervalle vital [7,3\ ;\ 7,5].

L'acide lactique \mathrm{HLa} est titré par les ions hydroxyde \mathrm{HO}^- apportés par la solution de soude. L'équation de la réaction support de titrage s'écrit :

La constante d'équilibre associée s'exprime en fonction des constantes d'acidité des couples mis en jeu :

Avec \mathrm{p}K_{a2} = 3,9 et \mathrm{p}K_e = 14 à 25\text{ }^\circ\mathrm{C} :

Comme K^\circ \gg 10^4, la réaction est quasi-totale (quantitative). De plus, s'agissant d'un échange de proton en solution aqueuse, elle est rapide et unique : elle convient donc parfaitement comme réaction support de titrage.

1. Détermination du volume à l'équivalence

La courbe de titrage présente un saut de pH marqué dont le point d'inflexion (obtenu par exemple par la méthode des tangentes) se situe à :

2. Concentration C dans la solution S

À l'équivalence du titrage acido-basique, les réactifs ont été introduits dans les proportions stœchiométriques :

D'où l'expression de la concentration C dans la solution S :

Application numérique avec C_1 = 1{,}00\cdot 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, V = 50{,}0\text{ mL} et V_E = 11{,}0\text{ mL} :

3. Concentration C_0 dans le sang

Tout l'acide lactique contenu initialement dans le prélèvement sanguin de volume V_0 = 5{,}0\text{ mL} a été dissous dans le volume V = 50{,}0\text{ mL} de la solution S, soit la conservation de la quantité de matière :

Application numérique :

4. Diagnostic d'acidose lactique

La masse molaire de l'acide lactique \mathrm{C}_3\mathrm{H}_6\mathrm{O}_3 vaut :

La concentration en masse C_{m,0} dans le sang est donc :

La valeur trouvée étant de l'ordre de 198\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}, elle est extrêmement proche du seuil critique de 200\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}. Compte tenu des incertitudes de lecture graphique sur V_E, le patient se situe à la limite immédiate de l'acidose lactique (strictement parlant, il n'est pas encore en acidose si l'on prend 198 < 200\text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}).

Pour qu'un indicateur coloré convienne au repérage visuel de l'équivalence d'un titrage, sa zone de virage doit être comprise dans le saut de pH de la courbe de titrage et, idéalement, contenir le pH à l'équivalence \text{pH}_E.

D'après la courbe de titrage (figure 8) :

• Le volume équivalent est V_E \approx 11{,}0\text{ mL}.
• À ce point d'inflexion, le pH à l'équivalence est situé aux alentours de \text{pH}_E \approx 7{,}5 (la solution est alors une solution de base faible, le lactate \mathrm{La}^-, donc légèrement basique).
• Le saut de pH s'étend approximativement de \text{pH} \approx 6 à \text{pH} \approx 9.

Examinons les trois indicateurs proposés :

• Rouge congo (zone de virage : 3{,}5 - 4{,}5) : cette zone se situe dans la région tampon avant l'équivalence (dès le début du versement) ; il virera bien trop tôt (V \ll V_E).
• Thymolphtaléine (zone de virage : 9{,}0 - 10{,}0) : cette zone est située en fin de saut et sur le palier basique, ce qui conduirait à une erreur de titrage par excès (V_{\text{virage}} > V_E).
• Rouge de phénol (zone de virage : 6{,}8 - 7{,}8) : cette zone est entièrement comprise dans le saut de pH vertical et encadre parfaitement le pH à l'équivalence \text{pH}_E \approx 7{,}5. Le virage du jaune au rouge sera donc net et permettra de repérer V_E avec une excellente précision.

Pour la réaction \mathrm{HLa} \rightarrow \text{Produits}, si elle admet un ordre 1 par rapport à \mathrm{HLa}, la vitesse volumique de disparition s'écrit :

où k est la constante de vitesse de la réaction.

La séparation des variables et l'intégration entre t = 0 et t mènent à :

soit l'expression de l'évolution temporelle :

À la date t_1 = 8{,}0\text{ min}, on a :

À la date t_2 = 16{,}0\text{ min} = 2\,t_1, l'expression donne :

Application numérique avec [\mathrm{HLa}]_0 = 3{,}0\text{ mmol}\cdot\text{L}^{-1} et [\mathrm{HLa}](t_1) = 1{,}1\text{ mmol}\cdot\text{L}^{-1} :

Cette valeur calculée est en parfait accord avec la mesure expérimentale fournie dans le tableau ([\mathrm{HLa}] = 0{,}40\text{ mmol}\cdot\text{L}^{-1}). Les mesures sont donc pleinement compatibles avec une réaction d'ordre 1.

Le découpage d'un intervalle de durée \Delta t = \mathrm{Dt} en N sous-intervalles de même largeur donne un pas de temps :

Ce découpage en N intervalles définit N+1 dates réparties de t_0 = 0 à t_N = \mathrm{Dt}, soit t_i = i \times p pour i \in \{0, \dots, N\}.

On peut définir la liste L_t en Python pur à l'aide d'une liste en compréhension :

p = Dt / N
L_t = [i * p for i in range(N + 1)]

Variante utilisant la bibliothèque numpy :

import numpy as np

p = Dt / N
L_t = np.linspace(0, Dt, N + 1)

L'équation différentielle régissant l'évolution de la concentration C(t) s'écrit :

Dans le cadre de la méthode d'Euler explicite, la dérivée temporelle de la concentration à la date t_i est approchée par le taux d'accroissement progressif :

En évaluant le second membre à la date t_i, on obtient :

On en déduit l'expression de la relation de récurrence permettant de calculer C_{i+1} :

D'après la relation de récurrence démontrée à la question précédente :

La liste L_t comportant N+1 éléments (définie à la question précédente), le calcul nécessite N itérations successives à partir de la condition initiale C_0 :

L_C = [C0]
for i in range(len(L_t) - 1):
    C_actuel = L_C[i]
    C_suivant = C_actuel + p * (-alpha * C_actuel - beta * C_actuel**2 + gamma)
    L_C.append(C_suivant)

Dans le vide, en l'absence de charges électriques (\rho = 0) et de courants de conduction (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations de Maxwell s'écrivent :

• Équation de Maxwell-Gauss (MG) :

  \boxed{\operatorname{div}\vec{E} = 0}

• Équation de Maxwell-Thomson (ou flux du champ magnétique) :

  \boxed{\operatorname{div}\vec{B} = 0}

• Équation de Maxwell-Faraday (MF) :

  \boxed{\vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

• Équation de Maxwell-Ampère (MA) :

  \boxed{\vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

  avec c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} la célérité de la lumière dans le vide.

D'après les équations de Maxwell dans le vide établies à la question Q32 :

avec c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} la célérité de la lumière dans le vide.

En appliquant l'identité vectorielle du formulaire \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \Delta\vec{E} :

Comme le vide est dépourvu de charges (\operatorname{div}\vec{E} = 0), on obtient :

soit l'équation aux dérivées partielles :

Il s'agit de l'équation de d'Alembert vectorielle.

Pour le champ électrique proposé en représentation complexe \vec{E}(x,t) = E_0 \exp(i(\omega t - k x))\vec{u}_z, le champ ne dépend spatialement que de x, d'où \Delta\vec{E} = \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial x^2}\vec{u}_z :

En injectant ces dérivées dans l'équation de d'Alembert :

Pour une onde non identiquement nulle, on en déduit la relation de dispersion :

• Direction et sens de propagation : la phase de l'onde s'écrit \varphi(x,t) = \omega t - k x. Les plans d'onde (surfaces d'égale phase) vérifient \omega t - k x = \text{cste}, d'où x = \frac{\omega}{k}t + \text{cste}. Avec \omega > 0 et k > 0, l'onde se propage selon la direction de l'axe (Ox) dans le sens des x croissants (vecteur d'onde colinéaire à +\vec{u}_x).
• Polarisation : le champ électrique vibre en permanence selon la direction fixe du vecteur unitaire \vec{u}_z perpendiculaire à la direction de propagation. L'onde présente donc une polarisation rectiligne selon (Oz).

L'énergie d'un photon associé aux rayons X de 40\text{ keV} s'exprime par :

Avec e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\text{ C} :

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie d'un photon est liée à sa fréquence \nu par \mathcal{E} = h \nu, d'où :

Avec h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} :

La longueur d'onde dans le vide s'obtient alors par la relation fondamentale de propagation :

Avec c = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Le conducteur ohmique étant localement neutre (\rho = 0), non magnétique (\mu = \mu_0) et de conductivité \sigma, les équations de Maxwell s'écrivent :

En régime lentement variable (ARQS dans un conducteur), le terme de courant de déplacement \vec{\jmath}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} est négligeable devant la densité de courant volumique de conduction \vec{\jmath} = \sigma \vec{E}.

Le terme négligé dans l'équation de Maxwell-Ampère est donc le terme de courant de déplacement :

L'équation de Maxwell-Ampère se simplifie alors en :

Pour établir l'équation vérifiée par le champ électrique \vec{E}, appliquons l'opérateur rotationnel à l'équation de Maxwell-Faraday :

En utilisant la formule d'analyse vectorielle rappelée en annexe :

Le conducteur ohmique étant localement neutre (\rho = 0), l'équation de Maxwell-Gauss donne \operatorname{div}\vec{E} = 0, d'où :

Par ailleurs, en utilisant l'équation de Maxwell-Ampère dans l'ARQS établie à la question Q35 (\vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \sigma \vec{E}) et en supposant la conductivité \sigma uniforme et constante :

En égalisant les deux membres, on obtient :

soit :

Cette équation ne comporte qu'une dérivée première par rapport au temps : il s'agit d'une équation de diffusion (analogue à l'équation de la chaleur ou loi de Fick).

D'après l'équation de diffusion obtenue à la question Q36, le champ électrique vérifie :

Pour un champ ne dépendant spatialement que de x et polarisé selon \vec{u}_z :

En injectant l'expression complexe \vec{E}(x,t) = E_0 \exp(i(\omega t - \underline{k} x))\vec{u}_z, les dérivées s'écrivent :

L'équation de diffusion devient alors :

On en déduit l'expression du carré du vecteur d'onde complexe :

Écrivons \underline{k} sous forme algébrique : \underline{k} = k_1 + i k_2, avec (k_1, k_2) \in \mathbb{R}^2.

Par identification avec \underline{k}^2 = -i \mu_0 \sigma \omega :

La première relation donne |k_1| = |k_2|. Comme k_1 > 0 et que le produit 2k_1 k_2 = -\mu_0 \sigma \omega < 0, on a nécessairement k_2 < 0, d'où k_2 = -k_1.

On en déduit :

Sachant que k_1 > 0, il vient :

Récrivons le champ électrique en séparant amortissement et propagation :

On introduit la distance caractéristique d'atténuation \delta, appelée épaisseur de peau (ou profondeur de pénétration), définie par :

ce qui donne :

Le champ électrique s'écrit alors :

Le vecteur de Poynting \vec{R} (aussi usuellement noté \vec{\Pi}) s'exprime en fonction des champs électrique \vec{E} et magnétique \vec{B} selon :

Le vecteur de Poynting est le vecteur densité volumique de courant d'énergie (ou vecteur densité surfacique de flux de puissance) de l'onde électromagnétique, homogène à des \text{W}\cdot\text{m}^{-2}.

Sa moyenne temporelle \vec{R}_m(x) = \langle\vec{R}(x,t)\rangle représente la densité moyenne de flux de puissance électromagnétique :

• Sa direction et son sens indiquent le sens d'écoulement moyen de l'énergie électromagnétique à la position x (ici selon +\vec{u}_x).

• Le flux de \vec{R}_m(x) à travers une surface orientée S donne la puissance électromagnétique moyenne traversant cette surface :

  \mathcal{P}_m(x) = \iint_S \vec{R}_m(x) \cdot \mathrm{d}\vec{S}

Pour chacun des deux rayonnements i \in \{1, 2\}, la puissance transmise à travers l'os d'épaisseur L s'écrit, d'après la formule fournie :

En injectant l'expression de l'épaisseur de peau \delta_i = \dfrac{\alpha_i}{\sqrt{d}}, on obtient :

Puisque la puissance incidente P_0 est identique pour les deux longueurs d'onde, on soustrait l'équation (2) à l'équation (1) pour éliminer \ln P_0 :

On en déduit l'expression de \sqrt{d} :

La densité osseuse d s'exprime donc finalement sous la forme :

La méthode consiste donc à :

• irradier successivement l'os avec les deux faisceaux de rayons X de puissances initiales identiques P_0 ;
• mesurer les puissances résiduelles transmises respectives P_{L1} et P_{L2} au moyen d'un détecteur ;
• calculer d à l'aide de la formule ci-dessus en utilisant l'épaisseur L mesurée par ailleurs (par exemple par échographie ou tomodensitométrie).