Feuille d'entraînement : Référentiels non galiléens et forces d'inertie

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique MP 2026, Q3

   Le référentiel lié au sol est en rotation uniforme à la vitesse angulaire \vec{\Omega} par rapport au référentiel galiléen de la planète. L'accélération d'entraînement d'un point M fixe dans le référentiel relatif s'écrit :

   \vec{a}_e(M) = \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{OM}) = -\Omega^2 \vec{HM}

   où H est le projeté orthogonal du point M sur l'axe de rotation de la planète.

   D'après la figure 2, la latitude \lambda est définie par rapport au plan équatorial, de sorte que la distance à l'axe de rotation vaut :

   HM = R_{\mathrm{p}} \cos\lambda

   Le vecteur unitaire \vec{u} étant orthogonal à l'axe de rotation et dirigé vers l'extérieur, on a \vec{HM} = R_{\mathrm{p}} \cos\lambda \, \vec{u}.

   La force d'inertie d'entraînement (ou force centrifuge) s'en déduit directement :

   \vec{F}_{ie} = -m \vec{a}_e(M) = m \Omega^2 \vec{HM}

   soit :

   \boxed{\vec{F}_{ie} = m R_{\mathrm{p}} \Omega^2 \cos\lambda \, \vec{u}}

   Résultat

   $${\vec{F}}_{ie}=m{R}_{\mathrm{p}}{\Omega }^2\cos \lambda \vec{u}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique MP 2026, Q17

   On étudie le solide de masse M, assimilé à un point matériel, dans le référentiel \mathcal{R}_{\mathrm{b}} lié au bâti, muni de l'axe vertical (Ox) orienté vers le bas selon le vecteur unitaire \vec{e}_x.

   Le référentiel \mathcal{R}_{\mathrm{b}} est en translation par rapport au référentiel de la planète (supposé galiléen), avec une accélération d'entraînement :

   \vec{a}_e = \vec{A} = \ddot{X}(t)\,\vec{e}_x

   Puisqu'il n'y a pas de rotation propre du bâti, l'accélération de Coriolis est nulle (\vec{a}_c = \vec{0}).

   Le bilan des forces appliquées à la masse M dans \mathcal{R}_{\mathrm{b}} comprend :

   • le poids : \vec{P} = M g\,\vec{e}_x ;
   • la force de rappel du ressort : \vec{F}_r = -k(\ell(t) - \ell_{\mathrm{o}})\,\vec{e}_x ;
   • la force de frottement fluide : \vec{F}_f = -\alpha \vec{v}_r = -\alpha \dot{\ell}\,\vec{e}_x = -\alpha \dot{u}\,\vec{e}_x ;
   • la force d'inertie d'entraînement : \vec{F}_{ie} = -M\vec{a}_e = -M\ddot{X}(t)\,\vec{e}_x ;
   • la force d'inertie de Coriolis, identiquement nulle : \vec{F}_{ic} = \vec{0}.

   À l'équilibre relatif, en l'absence de vibration (\ddot{X} = 0, u = 0, \dot{u} = 0 et \ell = \ell_{eq}) :

   M g - k(\ell_{eq} - \ell_{\mathrm{o}}) = 0

   En exprimant la longueur du ressort par \ell(t) = \ell_{eq} + u(t), la force de rappel s'écrit :

   \vec{F}_r = -\big[k(\ell_{eq} - \ell_{\mathrm{o}}) + k u(t)\big]\vec{e}_x = -M g\,\vec{e}_x - k u(t)\,\vec{e}_x

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué à M dans \mathcal{R}_{\mathrm{b}} donne :

   M \vec{a}_r = \vec{P} + \vec{F}_r + \vec{F}_f + \vec{F}_{ie}

   En projetant sur l'axe \vec{e}_x avec \vec{a}_r = \ddot{u}\,\vec{e}_x :

   \begin{aligned} M \ddot{u} &= M g - M g - k u - \alpha \dot{u} - M \ddot{X} \\ M \ddot{u} + \alpha \dot{u} + k u &= -M \ddot{X} \end{aligned}

   En divisant par M, on obtient l'équation différentielle canonique :

   \ddot{u} + \frac{\alpha}{M}\dot{u} + \frac{k}{M}u = -\ddot{X}

   Par identification avec la forme demandée \ddot{u} + \left(\frac{\Omega_{\mathrm{o}}}{Q}\right)\dot{u} + \Omega_{\mathrm{o}}^2 u = -\ddot{X}, on en déduit :

   \boxed{\Omega_{\mathrm{o}} = \sqrt{\frac{k}{M}}} \qquad\text{et}\qquad \boxed{Q = \frac{M\Omega_{\mathrm{o}}}{\alpha} = \frac{\sqrt{k M}}{\alpha}}

   Résultat

   $${\Omega }_{\mathrm{o}}=\sqrt{\frac{k}{M}}$$

   $$Q=\frac{M{\Omega }_{\mathrm{o}}}{\alpha }=\frac{\sqrt{kM}}{\alpha }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 2 MP 2025, Q6

   Le référentiel de Copernic \mathscr{R}_0 étant supposé galiléen, le mouvement du centre de la Terre T est régi par l'attraction gravitationnelle exercée par les corps célestes extérieurs, ici l'astre (\mathrm{A}). Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la Terre dans \mathscr{R}_0 s'écrit :

   m_{\mathrm{T}} \vec{a}(T/\mathscr{R}_0) = m_{\mathrm{T}} \vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{A}}(T) \implies \vec{a}(T/\mathscr{R}_0) = \vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{A}}(T)

   Le référentiel géocentrique \mathscr{R}_g est en translation par rapport à \mathscr{R}_0, avec une vitesse angulaire de rotation nulle : \vec{\Omega}(\mathscr{R}_g/\mathscr{R}_0) = \vec{0}. La force d'inertie de Coriolis y est donc identiquement nulle (\vec{F}_{ic} = \vec{0}), et la force d'inertie d'entraînement subie par le point M de masse m s'écrit :

   \vec{F}_{ie} = - m\,\vec{a}(T/\mathscr{R}_0) = - m\,\vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{A}}(T)

   Dans le référentiel \mathscr{R}_g, le point M, lié à la Terre, effectue un mouvement de rotation uniforme autour de l'axe (T, \vec{e}_z) à la vitesse angulaire \vec{\omega} = \omega\vec{e}_z. Son accélération dans \mathscr{R}_g est son accélération centripète :

   \vec{a}(M/\mathscr{R}_g) = \vec{\omega} \wedge \left(\vec{\omega} \wedge \overrightarrow{TM}\right)

   Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la masse ponctuelle M dans le référentiel non galiléen \mathscr{R}_g. Les forces réelles appliquées sont la réaction du support \vec{R}, l'attraction de la Terre m\vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{T}}(M) et l'attraction de l'astre perturbateur m\vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{A}}(M) :

   m\,\vec{a}(M/\mathscr{R}_g) = \vec{R} + m\,\vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{T}}(M) + m\,\vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{A}}(M) + \vec{F}_{ie}

   En remplaçant \vec{F}_{ie} par son expression et en regroupant les termes :

   \vec{R} + m \left[ \vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{T}}(M) - \vec{\omega} \wedge \left(\vec{\omega} \wedge \overrightarrow{TM}\right) + \left(\vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{A}}(M) - \vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{A}}(T)\right) \right] = \vec{0}

   Par identification avec la relation de définition de l'intensité de la pesanteur locale \vec{R} + m\vec{g} = \vec{0}, on obtient :

   \boxed{\vec{g} = \vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{T}}(M) + \vec{\gamma}_0 + \vec{\gamma}_1}

   avec :

   \boxed{\vec{\gamma}_0 = -\vec{\omega} \wedge \left(\vec{\omega} \wedge \overrightarrow{TM}\right)} \quad \text{et} \quad \boxed{\vec{\gamma}_1 = \vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{A}}(M) - \vec{\mathcal{G}}_{\mathrm{A}}(T)}

   Résultat

   $$\vec{g}={\vec{\mathcal{G}}}_{\mathrm{T}}(M)+{\vec{\gamma }}_0+{\vec{\gamma }}_1$$

   $${\vec{\gamma }}_0=-\vec{\omega }\wedge \left(\vec{\omega }\wedge \overrightarrow{TM}\right)$$

   $${\vec{\gamma }}_1={\vec{\mathcal{G}}}_{\mathrm{A}}(M)-{\vec{\mathcal{G}}}_{\mathrm{A}}(T)$$

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4. Exercice 4X-ENS Physique MP 2025, Q32

   Le référentiel d'entraînement \mathcal{R} est en rotation uniforme autour de l'axe vertical fixe (Oz) par rapport au référentiel galiléen du laboratoire \mathcal{R}'. Le vecteur rotation instantanée s'écrit :

   \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{u}_z \quad (\text{avec } \Omega = \text{cte}).

   L'origine O étant fixe dans les deux référentiels (\vec{a}_{\mathcal{R}'}(O) = \vec{0}) et la rotation étant uniforme (\dot{\vec{\Omega}} = \vec{0}), les accélérations d'entraînement et de Coriolis du point matériel de masse m s'expriment respectivement par :

   \begin{aligned} \vec{a}_e &= \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{r}), \\ \vec{a}_c &= 2\,\vec{\Omega} \wedge \vec{v}. \end{aligned}

   Dans le référentiel non galiléen \mathcal{R}, la balle est donc soumise à deux forces d'inertie :

   • la force d'inertie d'entraînement (ou force centrifuge) :

     \boxed{\vec{F}_{ie} = -m\,\vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{r})}

   • la force d'inertie de Coriolis :

     \boxed{\vec{F}_{ic} = -2m\,\vec{\Omega} \wedge \vec{v}}

   En projetant le vecteur position \vec{r} = x\vec{u}_x + y\vec{u}_y + z\vec{u}_z, et en notant \vec{r}_\perp = x\vec{u}_x + y\vec{u}_y le projeté orthogonal sur le plan de rotation Oxy, la force d'inertie d'entraînement s'écrit également :

   \vec{F}_{ie} = m\Omega^2\,\vec{r}_\perp = m\Omega^2(x\,\vec{u}_x + y\,\vec{u}_y).

   Résultat

   $${\vec{F}}_{ie}=-m\vec{\Omega }\wedge (\vec{\Omega }\wedge \vec{r})$$

   $${\vec{F}}_{ic}=-2m\vec{\Omega }\wedge \vec{v}$$

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5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2023, Q13

   Le principe de la méthode d'Euler explicite repose sur l'approximation de la dérivée première d'une fonction vectorielle \vec{Y}(\tau) par le taux d'accroissement sur un pas constant h (ou développement de Taylor à l'ordre 1) :

   \frac{\mathrm{d}\vec{Y}}{\mathrm{d}\tau}(\tau) \approx \frac{\vec{Y}(\tau + h) - \vec{Y}(\tau)}{h} \implies \vec{Y}(\tau + h) \approx \vec{Y}(\tau) + h\,\frac{\mathrm{d}\vec{Y}}{\mathrm{d}\tau}(\tau)

   Ici, la variable d'évolution est la date sans dimension \tau (notée de manière générique t dans le texte). Le vecteur d'état regroupant les variables est :

   \vec{Y} = \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \\ u_p \\ v_p \\ w_p \end{pmatrix}

   En utilisant le système d'équations différentielles du premier ordre établi à la question précédente :

   \left\{ \begin{array}{rcl} \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\tau} &=& u_p \\[6pt] \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}\tau} &=& v_p \\[6pt] \dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}\tau} &=& w_p \\[6pt] \dfrac{\mathrm{d}u_p}{\mathrm{d}\tau} &=& 4\pi v_p + 4\pi^2 A u \\[6pt] \dfrac{\mathrm{d}v_p}{\mathrm{d}\tau} &=& -4\pi u_p + 4\pi^2 B v \\[6pt] \dfrac{\mathrm{d}w_p}{\mathrm{d}\tau} &=& -4\pi^2 C w \end{array} \right.

   on obtient directement les expressions des paramètres à l'instant \tau + h en fonction de leurs valeurs à l'instant \tau :

   \boxed{ \left\{ \begin{array}{rcl} u(\tau + h) &=& u(\tau) + h\,u_p(\tau) \\[4pt] v(\tau + h) &=& v(\tau) + h\,v_p(\tau) \\[4pt] w(\tau + h) &=& w(\tau) + h\,w_p(\tau) \\[4pt] u_p(\tau + h) &=& u_p(\tau) + h\left( 4\pi v_p(\tau) + 4\pi^2 A u(\tau) \right) \\[4pt] v_p(\tau + h) &=& v_p(\tau) + h\left( -4\pi u_p(\tau) + 4\pi^2 B v(\tau) \right) \\[4pt] w_p(\tau + h) &=& w_p(\tau) - 4\pi^2 C h\,w(\tau) \end{array} \right. }

   Connaissant les conditions initiales à \tau = 0, la réitération de ce schéma à chaque pas permet de calculer de proche en proche la trajectoire complète du flyer.

   Résultat

   $$\{\begin{array}{rcl}u(\tau +h)& =& u(\tau )+h{u}_p(\tau )\\ v(\tau +h)& =& v(\tau )+h{v}_p(\tau )\\ w(\tau +h)& =& w(\tau )+h{w}_p(\tau )\\ u_p(\tau +h)& =& u_p(\tau )+h\left(4\pi v_p(\tau )+4{\pi }^{2}Au(\tau )\right)\\ v_p(\tau +h)& =& v_p(\tau )+h\left(-4\pi u_p(\tau )+4{\pi }^{2}Bv(\tau )\right)\\ w_p(\tau +h)& =& w_p(\tau )-4{\pi }^{2}Chw(\tau )\end{array}$$

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6. Exercice 6E3A Physique-Chimie MP 2023, Q1

   Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié : tout corps isolé ou pseudo-isolé (soumis à une résultante des forces extérieures nulle) y a un mouvement rectiligne et uniforme (son vecteur vitesse est constant : \vec{v} = \vec{\mathrm{cste}}).

   Le référentiel terrestre est animé d'un mouvement de rotation uniforme par rapport au référentiel géocentrique autour de l'axe des pôles, avec une pulsation :

   \omega_{\mathrm{jour}} = \frac{2\pi}{T_{\mathrm{jour}}} \approx 7{,}27 \times 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

   où T_{\mathrm{jour}} \approx 86\,400\text{ s} \approx 24\text{ h}.

   On peut considérer le référentiel terrestre comme galiléen sous les conditions suivantes :

   • La durée caractéristique de l'expérience \Delta t est très faible devant la période de rotation propre de la Terre :

     \boxed{\Delta t \ll T_{\mathrm{jour}} \approx 24\text{ h}}
   • Les dimensions spatiales du mouvement sont suffisamment restreintes et les vitesses mises en jeu suffisamment modérées pour que les effets des forces d'inertie (notamment la force de Coriolis \vec{F}_{\mathrm{ic}} = -2m\vec{\omega}_{\mathrm{jour}} \wedge \vec{v}) soient tout à fait négligeables devant les autres interactions subies par le système.

   Résultat

   $$\Delta t\ll T_{\mathrm{jour}}\approx 24\text{ h}$$

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7. Exercice 7CCINP Physique MP 2021, Q23

   a) Le référentiel lié à la boîte subit une accélération \vec{a}(t) = a(t)\,\vec{e}_x par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen. L'accélération a(t) n'étant pas identiquement nulle lors des mouvements de l'appareil, le référentiel de la boîte n'est pas en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen :

   \boxed{\text{La boîte ne constitue pas un référentiel galiléen (c'est un référentiel non galiléen).}}

   b) On étudie le mouvement de la plaque de masse m dans le référentiel \mathcal{R}_{\text{boîte}} lié à la boîte. Ce référentiel étant en translation par rapport au référentiel terrestre galiléen :

   • le vecteur rotation instantané est nul : \vec{\Omega}(\mathcal{R}_{\text{boîte}}/\mathcal{R}_{\text{terre}}) = \vec{0}, de sorte que la force d'inertie de Coriolis est nulle : \vec{F}_{ic} = \vec{0} ;

   • l'accélération d'entraînement d'un point fixe de la boîte s'écrit \vec{a}_e = \vec{a}(t) = a(t)\,\vec{e}_x, d'où la force d'inertie d'entraînement :

     \vec{F}_{ie} = -m\,\vec{a}_e = -m\,a(t)\,\vec{e}_x.

   Les forces appliquées à la plaque dans \mathcal{R}_{\text{boîte}} sont :

   • le poids : \vec{P} = m\,g\,\vec{e}_x ;
   • la force de rappel élastique du ressort : \vec{F}_{\text{él}} = -k\,(x(t) - \ell_0)\,\vec{e}_x ;
   • la force de frottement fluide : \vec{f} = -\alpha\,\vec{v} = -\alpha\,\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_x ;
   • la force d'inertie d'entraînement : \vec{F}_{ie} = -m\,a(t)\,\vec{e}_x.

   La deuxième loi de Newton (principe fondamental de la dynamique) appliquée à la masse m dans le référentiel non galiléen \mathcal{R}_{\text{boîte}} s'écrit :

   m\,\vec{a}_r = \vec{P} + \vec{F}_{\text{él}} + \vec{f} + \vec{F}_{ie}

   ce qui donne, en projection sur l'axe horizontal/vertical orienté par le vecteur unitaire \vec{e}_x :

   \boxed{m\,\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = mg - k(x - \ell_0) - \alpha\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} - m\,a(t)}

   Résultat

   $$\text{La boıˆte ne constitue pas un reˊfeˊrentiel galileˊen (c’est un reˊfeˊrentiel non galileˊen).}$$

   $$m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=mg-k(x-{\ell }_0)-\alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-ma(t)$$

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8. Exercice 8CCINP Physique MP 2021, Q24

   D'après la question Q23b, la projection de la deuxième loi de Newton appliquée à la masse m dans le référentiel lié à la boîte s'écrit :

   m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = mg - k(x - \ell_0) - \alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} - m a(t)

   En regroupant tous les termes dépendant de l'inconnue x(t) et de ses dérivées dans le membre de gauche, on obtient :

   m \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \alpha \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + k\,x = m g + k\ell_0 - m a(t)

   En divisant cette relation par la masse m, il vient :

   \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\alpha}{m} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \frac{k}{m}\,x = g + \frac{k}{m}\ell_0 - a(t)

   On identifie les paramètres canoniques de l'oscillateur harmonique amorti :

   • la pulsation propre : \omega_0^2 = \dfrac{k}{m} \implies \omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} ;
   • le terme d'amortissement : \dfrac{\omega_0}{Q} = \dfrac{\alpha}{m} \implies Q = \dfrac{m\omega_0}{\alpha} = \dfrac{m}{\alpha}\sqrt{\dfrac{k}{m}} = \dfrac{1}{\alpha}\sqrt{k\,m}.

   L'équation différentielle s'écrit donc bien sous la forme demandée :

   \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\omega_0}{Q} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 x = f(t)

   où la fonction source f(t) vaut :

   f(t) = g + \frac{k}{m}\ell_0 - a(t)

   En utilisant l'expression de la position d'équilibre statique obtenue en Q22 (x_{\text{eq}} = \ell_0 + \dfrac{mg}{k}, soit \omega_0^2 x_{\text{eq}} = g + \dfrac{k}{m}\ell_0), on peut également mettre f(t) sous la forme compacte :

   \boxed{f(t) = \omega_0^2 x_{\text{eq}} - a(t) = g + \frac{k}{m}\ell_0 - a(t)}

   Résultat

   $$f(t)={\omega }_0^2{x}_{\text{eq}}-a(t)=g+\frac{k}{m}{\ell }_0-a(t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique MP 2026, Q4

   a) D'après le rappel de l'énoncé, le poids \vec{P} = m\vec{g} d'un corps ponctuel de masse m au repos à la surface de la planète est la résultante de la force d'attraction gravitationnelle et de la force d'inertie d'entraînement :

   m\vec{g} = m\vec{g}_{\mathrm{o}} + \vec{F}_{ie}

   En utilisant l'expression de \vec{F}_{ie} obtenue à la question Q3, il vient :

   m\vec{g} = m\vec{g}_{\mathrm{o}} + m R_{\mathrm{p}} \Omega^2 \cos\lambda \, \vec{u}

   En simplifiant par la masse m, on obtient :

   \boxed{\vec{g} = \vec{g}_{\mathrm{o}} + R_{\mathrm{p}} \Omega^2 \cos\lambda \, \vec{u}}

   b) Pour que l'on puisse considérer g \simeq g_{\mathrm{o}} à toute latitude \lambda, la norme de l'accélération axifuge d'entraînement a_{ie} = R_{\mathrm{p}}\Omega^2\cos\lambda doit être négligeable devant celle du champ gravitationnel g_{\mathrm{o}}, en particulier à l'équateur (\lambda = 0) où elle est maximale :

   R_{\mathrm{p}} \Omega^2 \ll g_{\mathrm{o}}

   En remplaçant g_{\mathrm{o}} par son expression issue de la question Q1, g_{\mathrm{o}} = \dfrac{G M_{\mathrm{p}}}{R_{\mathrm{p}}^2}, la condition s'écrit :

   R_{\mathrm{p}}\Omega^2 \ll \frac{G M_{\mathrm{p}}}{R_{\mathrm{p}}^2}

   Soit sous forme adimensionnée :

   \boxed{\frac{R_{\mathrm{p}}^3 \Omega^2}{G M_{\mathrm{p}}} \ll 1 \quad \text{ou} \quad \Omega^2 \ll \frac{G M_{\mathrm{p}}}{R_{\mathrm{p}}^3}}

   Résultat

   $$\vec{g}={\vec{g}}_{\mathrm{o}}+R_{\mathrm{p}}{\Omega }^2\cos \lambda \vec{u}$$

   $$\frac{R_{\mathrm{p}}^3{\Omega }^2}{G{M}_{\mathrm{p}}}\ll 1\text{ou}{\Omega }^2\ll \frac{G{M}_{\mathrm{p}}}{R_{\mathrm{p}}^3}$$

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10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie MP 2026, Q4

    Le référentiel terrestre \mathcal{R}', en rotation uniforme de vecteur rotation \vec{\Omega} = \Omega \vec{u}_z autour de l'axe des pôles par rapport au référentiel géocentrique \mathcal{R} supposé galiléen, n'est pas galiléen.

    D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à un point matériel M de masse m dans \mathcal{R}', la somme des forces effectives comprend les forces réelles et les forces d'inertie :

    m \vec{a}_{\mathcal{R}'}(M) = \vec{F}_{\text{ext}} + \vec{F}_{ie} + \vec{F}_{ic}

    Par définition, le poids \vec{P} = m\vec{g}(M) regroupe l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre \vec{F}_G et la force d'inertie d'entraînement \vec{F}_{ie} :

    \vec{P} = \vec{F}_G + \vec{F}_{ie}

    • Terme d'attraction gravitationnelle : en modélisant la Terre comme une sphère à répartition sphérique de masse M_T, le champ gravitationnel extérieur créé en M vaut (d'après la question Q2) :

      \vec{F}_G = m \vec{G}_T(M) = - \frac{G M_T m}{r^2} \vec{u}_r

    • Terme d'inertie d'entraînement (force centrifuge) : l'axe de rotation passant par l'origine O et le vecteur rotation \vec{\Omega} = \Omega \vec{u}_z étant constant, l'accélération d'entraînement est purement centripète :

      \vec{a}_e(M) = \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{OM}) = \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \vec{HM}) = -\Omega^2 \vec{HM}

      car \vec{u}_z \wedge (\vec{u}_z \wedge \vec{HM}) = - \vec{HM}. La force d'inertie d'entraînement s'écrit alors :

      \vec{F}_{ie} = -m \vec{a}_e(M) = m \Omega^2 \vec{HM}

    En sommant ces deux contributions, on obtient le champ de pesanteur :

    \boxed{\vec{g}(M) = \underbrace{- \frac{G M_T}{r^2}\vec{u}_r}_{\text{terme gravitationnel}} + \underbrace{\Omega^2 \vec{HM}}_{\text{terme d'inertie d'entraînement}}}

    Ordre de grandeur à la surface de la Terre (r = R_T) :

    • Champ gravitationnel :

      G_T(R_T) = \frac{G M_T}{R_T^2} \approx \frac{6{,}7 \cdot 10^{-11} \times 6{,}0 \cdot 10^{24}}{(6{,}4 \cdot 10^6)^2} = \frac{40{,}2 \cdot 10^{13}}{41 \cdot 10^{12}} \approx 9{,}8 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

    • Terme centrifuge (maximal à l'équateur où HM = R_T) :

      \Omega^2 R_T \approx (7{,}3 \cdot 10^{-5})^2 \times 6{,}4 \cdot 10^6 \approx 5{,}3 \cdot 10^{-9} \times 6{,}4 \cdot 10^6 \approx 0{,}034 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

    Le terme centrifuge étant négligeable devant le terme d'attraction gravitationnelle, la norme du champ de pesanteur à la surface vaut :

    \boxed{g \approx 9{,}8 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \sim 10 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}}

    Résultat

    $$\vec{g}(M)=\underset{\text{terme gravitationnel}}{\underbrace{-\frac{G{M}_T}{r^2}{\vec{u}}_r}}+\underset{\text{terme d’inertie d’entraıˆnement}}{\underbrace{{\Omega }^2\overrightarrow{HM}}}$$

    $$g\approx 9,8\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}\sim 10\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question