Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MP 2023

Hypothèses du modèle simple :

• La distance Terre-Soleil D = 1,5 \times 10^{11}\text{ m} est très grande devant la distance lentille-Terre l = 1,5 \times 10^9\text{ m} (l/D = 10^{-2}) et devant le rayon solaire : le Soleil est modélisé par une source ponctuelle à l'infini sur l'axe optique (ST). Les rayons incidents sur la lentille sont donc parallèles à l'axe optique.
• L'écran est modélisé par une lentille mince divergente (f' < 0) de centre \Omega et de rayon d'ouverture R_T, diaphragmant le faisceau qui atteindrait directement le disque terrestre.
• L'éclairement énergétique est supposé uniforme dans la section du faisceau émergent.

En l'absence de lentille, le faisceau intercepté par la Terre correspond à un cylindre de rayon R_T transportant la puissance P_0.

Après la traversée de la lentille divergente de distance focale f' = -|f'|, les rayons émergent en semblant provenir du foyer principal image virtuel F', situé à la distance |f'| en amont de \Omega. Au niveau de la Terre, située à la distance \Omega T = l, le faisceau s'est épanoui sur un disque de rayon R_1. D'après le théorème de Thalès :

La puissance P_0 se répartit uniformément sur la surface \pi R_1^2. La Terre, de rayon R_T, n'intercepte plus qu'une fraction de cette puissance :

La diminution relative de puissance lumineuse reçue s'écrit :

Comme \mu \ll 1, on a l \ll |f'|, ce qui permet d'effectuer un développement limité au premier ordre :

L'expression exacte sans approximation au premier ordre donne :

Application numérique avec l = 1,5 \times 10^9\text{ m} et \mu = 1,8 \times 10^{-2} :

Comme la lentille est divergente, sa distance focale est négative :

1. Symétries et invariances du champ gravitationnel

La distribution de masse possède une symétrie sphérique : la masse volumique \rho(r) ne dépend que de la distance r au centre O.

• Tout plan contenant le centre O et le point M d'observation est un plan de symétrie de la distribution. Le champ gravitationnel \vec{\mathcal{G}}(M) appartient à l'intersection de tous ces plans : il est purement radial, soit \vec{\mathcal{G}}(M) = \mathcal{G}(r, \theta, \varphi)\,\vec{u}_r.
• La distribution est invariante par rotation autour de tout axe passant par O, donc la composante radiale ne dépend ni de \theta ni de \varphi : \vec{\mathcal{G}}(M) = \mathcal{G}(r)\,\vec{u}_r.

2. Détermination du champ gravitationnel par le théorème de Gauss

Le théorème de Gauss appliqué au champ de gravitation s'écrit, à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur :

On choisit comme surface de Gauss \Sigma la sphère de centre O et de rayon r \geqslant R, d'élément de surface orienté \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_r.

Le flux du champ gravitationnel à travers \Sigma vaut :

Pour r \geqslant R, la sphère contient l'intégralité de l'astre, donc la masse intérieure est M_{\text{int}} = M. D'après le théorème de Gauss :

D'où l'expression du champ gravitationnel pour r \geqslant R :

3. Détermination du potentiel gravitationnel

Le potentiel gravitationnel V(r) dérive du champ selon \vec{\mathcal{G}} = -\vec{\mathrm{grad}}\,V. En coordonnées sphériques, compte tenu de la seule dépendance en r :

On en déduit :

En imposant la condition donnée par l'énoncé, V(r \to \infty) = 0, la constante d'intégration est nulle, d'où :

On étudie le point matériel P de masse m dans le référentiel centré en O, centre de l'astre, supposé galiléen.

Le point P est repéré par ses coordonnées polaires (r,\theta) dans le plan de l'orbite, de base locale (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta). Le rayon r étant constant, le vecteur accélération s'écrit :

où \omega = \dot{\theta} désigne la vitesse angulaire instantanée.

Le point P n'est soumis qu'à la force d'attraction gravitationnelle exercée par l'astre sphérique de masse M (d'après le résultat de la question Q2) :

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant sur la direction orthoradiale \vec{u}_\theta :

Le mouvement circulaire est donc nécessairement uniforme.

En projetant sur la direction radiale \vec{u}_r :

La vitesse angulaire \omega étant positive par convention de sens de parcours, on en déduit :

On étudie l'équilibre d'une masse test m située au point L(x, y, z) dans le référentiel (\mathcal{R}) en rotation uniforme à la vitesse angulaire \vec{\omega} = \omega \vec{e}_z par rapport au référentiel galiléen (\mathcal{R}_c).

À l'équilibre dans (\mathcal{R}), la vitesse relative est nulle, donc la force d'inertie de Coriolis est nulle (\vec{F}_{ic} = \vec{0}). Le bilan des forces appliquées à m comprend :

• la force gravitationnelle exercée par la Terre (centre T) :

  \vec{F}_{g,T} = -\frac{G M_T m}{r_T^3} \vec{TL}

  avec \vec{TL} = (x - (1-a)D)\vec{e}_x + y\vec{e}_y + z\vec{e}_z et r_T = \left((x - (1-a)D)^2 + y^2 + z^2\right)^{1/2} ;

• la force gravitationnelle exercée par le Soleil (centre S) :

  \vec{F}_{g,S} = -\frac{G M_S m}{r_S^3} \vec{SL}

  avec \vec{SL} = (x + aD)\vec{e}_x + y\vec{e}_y + z\vec{e}_z et r_S = \left((x + aD)^2 + y^2 + z^2\right)^{1/2} ;

• la force d'inertie d'entraînement (force centrifuge) :

  \vec{F}_{ie} = -m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{AL}) = m \omega^2 (x\vec{e}_x + y\vec{e}_y).

1. Justification de z = 0 :

La force d'inertie d'entraînement est purement perpendiculaire à l'axe de rotation (Az), elle n'a donc aucune composante selon \vec{e}_z. La projection de la condition d'équilibre \vec{F}_{\text{net}} = \vec{F}_{g,T} + \vec{F}_{g,S} + \vec{F}_{ie} = \vec{0} sur l'axe (Az) s'écrit :

Comme M_T > 0, M_S > 0, r_T > 0 et r_S > 0, le terme entre parenthèses est strictement positif. La seule solution est donc :

Physiquement, les deux astres étant situés dans le plan orbital z = 0, leurs attractions gravitationnelles rappellent systématiquement tout point hors de ce plan vers z = 0. Comme aucune composante centrifuge ne peut compenser ce rappel selon \vec{e}_z, tout point d'équilibre appartient nécessairement au plan orbital.

2. Établissement du système (I.1) :

Dans le plan z = 0, les distances aux centres s'écrivent :

D'après la question Q3, la pulsation orbitale vaut \omega^2 = \dfrac{GM}{D^3}. En utilisant de plus M_T = aM et M_S = (1-a)M, la condition d'équilibre divisée par m :

se simplifie, après division par GM, sous la forme :

En projetant cette relation vectorielle sur les axes \vec{e}_x et \vec{e}_y, on obtient directement le système :

Considérons le système (I.1) obtenu à la question Q4 pour un point L(x, y, 0) :

Soit un couple (x, y) vérifiant ce système. Évaluons les fonctions f_1 et f_2 au point symétrique (x, -y) :

• La première équation ne dépend de la variable y qu'à travers le terme y^2. Puisque (-y)^2 = y^2, on a directement :

  f_1(x, -y) = f_1(x, y) = 0

• La seconde équation s'écrit sous la forme f_2(x, y) = y \, g(x, y^2) où la fonction g ne dépend de y que par y^2. Ainsi :

  f_2(x, -y) = -y \, g(x, (-y)^2) = -y \, g(x, y^2) = -f_2(x, y) = 0

Le couple (x, -y) est donc également solution du système (I.1).

Dans le référentiel tournant (\mathcal{R}), la force conservative nette (gravitation et force d'inertie d'entraînement centrifuge) dérive d'une énergie potentielle effective :

Les points d'équilibre correspondent aux points critiques où le gradient de cette énergie s'annule : \vec{\nabla}\mathcal{E}_{p,\text{eff}} = \vec{0}.

Sur la figure A, tracée pour a = 0{,}1, les deux puits de potentiel correspondent aux deux astres :

• Le Soleil en S(-aD, 0) = (-0{,}1\,D,\, 0) ;
• La Terre en T((1-a)D, 0) = (0{,}9\,D,\, 0).

Position des points de Lagrange :

• Points colinéaires (y = 0) :

  • \mathrm{L}_1 est situé entre le Soleil et la Terre, au niveau du col séparant les deux puits de potentiel : (x/D \approx 0{,}65,\, y/D = 0).
  • \mathrm{L}_2 est situé au-delà de la Terre par rapport au Soleil, au niveau du col à droite du puits terrestre : (x/D \approx 1{,}15,\, y/D = 0).
  • \mathrm{L}_3, point le plus éloigné de la Terre, est situé à l'opposé du Soleil par rapport à la Terre, au col à gauche du Soleil : (x/D \approx -1{,}05,\, y/D = 0).

• Points triangulaires : \mathrm{L}_4 et \mathrm{L}_5 forment des triangles équilatéraux avec S et T, donc r_S = r_T = D. Leur abscisse commune est x = \frac{x_S+x_T}{2} = \left(\frac{1}{2}-a\right)D = 0{,}4\,D, et leur ordonnée vaut y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}D \approx \pm 0{,}87\,D. Ce sont les deux maxima locaux de potentiel visibles sur la carte :

  • \mathrm{L}_4 en (x/D \approx 0{,}4,\, y/D \approx +0{,}87) ;
  • \mathrm{L}_5 en (x/D \approx 0{,}4,\, y/D \approx -0{,}87).

Discussion de la stabilité dans le plan z = 0 :

• Points \mathrm{L}_1, \mathrm{L}_2 et \mathrm{L}_3 : ce sont des points-cols (maxima le long de l'axe (Ax) et minima selon (Ay)). Ils constituent des positions d'équilibre instable. La prise en compte de la force de Coriolis ne permet pas de stabiliser ces points : une légère perturbation engendre une dérive exponentielle (mise en évidence plus loin à la figure 4 pour \mathrm{L}_1).

• Points \mathrm{L}_4 et \mathrm{L}_5 : ce sont des maxima locaux de l'énergie potentielle effective. D'un point de vue purement statique, ces équilibres seraient instables. Toutefois, dans le référentiel tournant, la force de Coriolis \vec{F}_{ie} = -2m\,\vec{\omega}\wedge\vec{v} (force gyroscopique) peut assurer une stabilisation dynamique si le rapport de masse est suffisamment faible, selon le critère de Gascheau-Routh :

  a < \frac{1}{2}\left(1 - \sqrt{\frac{23}{27}}\right) \approx 0{,}0385

  Bien que la carte théorique de la figure A prenne a = 0{,}1 (où ils seraient instables), pour le système réel Terre-Soleil on a a \approx 3 \times 10^{-6} \ll 0{,}0385 : les points \mathrm{L}_4 et \mathrm{L}_5 sont donc des positions d'équilibre stable.

Le rapport de masse a est défini par :

Avec les données numériques fournies :

• M_T = 5{,}98 \times 10^{24}\text{ kg},
• M_S = 1{,}99 \times 10^{30}\text{ kg},

comme M_T \ll M_S, on a M \approx M_S et :

Soit numériquement :

D'après l'équation (I.2) vérifiée par la distance \varepsilon entre le point \mathrm{L}_1 et la Terre :

En posant a = 0, l'équation devient :

On constate immédiatement que :

est une solution évidente de cette équation (puisque \frac{1}{D^2} - \frac{1}{D^2} + 0 = 0).

Commentaire : La limite a = 0 correspond au cas où la Terre a une masse nulle (masse test). En l'absence d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre, le point de Lagrange \mathrm{L}_1 se confond avec la Terre elle-même (\varepsilon = 0) : la Terre n'est plus qu'un point décrivant une orbite képlérienne circulaire autour du Soleil, où la gravitation solaire compense exactement l'accélération d'entraînement centrifuge.

L'équation (I.2) régissant la position de \mathrm{L}_1 s'écrit :

Sachant que \varepsilon \ll D, effectuons un développement limité à l'ordre 1 en \frac{\varepsilon}{D} du premier terme :

En injectant ce développement dans l'équation (I.2), les termes constants d'attraction solaire s'annulent :

D'après la question Q7, a \approx 3{,}00 \times 10^{-6} \ll 1, si bien que 3 - 2a \approx 3. L'équation devient :

On en déduit l'expression approchée de la distance \varepsilon :

Application numérique : Avec D = 1{,}5 \times 10^{11}\text{ m} et a = 3{,}00 \times 10^{-6} :

Le point de Lagrange \mathrm{L}_1 est une position d'équilibre située sur l'axe (Sx) entre le Soleil et la Terre (x < x_T). Il correspond donc à un extremum de l'énergie potentielle effective le long de cet axe, c'est-à-dire à un extremum de la fonction sans dimension f(x, 0) au voisinage immédiat de la Terre (x/D \lesssim 1).

Sur le zoom de la figure 2(b), la Terre se situe en x_T/D = 1 - a \approx 1{,}000. On observe à sa gauche un maximum local de f(x, 0) correspondant au point \mathrm{L}_1, dont l'abscisse se lit directement :

La distance réduite \epsilon = \varepsilon / D entre \mathrm{L}_1 et la Terre s'en déduit :

ce qui conduit à la distance :

Cette valeur est en parfait accord avec le résultat théorique établi à la question Q8 (\varepsilon \approx 1{,}5 \times 10^9\text{ m}) ainsi qu'avec la distance l introduite dès la question Q1.

La première équation du système (I.3) s'obtient en appliquant le principe fondamental de la dynamique au flyer de masse m dans le référentiel tournant non galiléen (\mathcal{R}) = (A, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z), puis en effectuant un développement au premier ordre (linéarisation) des forces au voisinage de la position d'équilibre \mathrm{L}_1, et enfin en projetant sur l'axe (\mathrm{L}_1 x) :

Par identification terme à terme, avec les variables adimensionnées u = \alpha / D, v = \beta / D, \epsilon = \varepsilon / D et \tau = \omega t / (2\pi) :

• Le terme \dfrac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}\tau^2} : il représente la composante selon l'axe (\mathrm{L}_1 x) de l'accélération relative du flyer dans le référentiel (\mathcal{R}), adimensionnée par le facteur d'échelle spatial D et temporel (2\pi/\omega)^2 :

  \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}\tau^2} = \frac{4\pi^2}{\omega^2 D}\,\ddot{\alpha}

• Le terme 4\pi \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}\tau} : il correspond à la composante selon \vec{e}_x de la force d'inertie de Coriolis par unité de masse :

  \frac{\vec{F}_{ic}}{m} = -2\,\vec{\omega}\wedge\vec{v}_r = -2(\omega\,\vec{e}_z)\wedge(\dot{\alpha}\,\vec{e}_x + \dot{\beta}\,\vec{e}_y + \dot{\gamma}\,\vec{e}_z) = 2\omega\dot{\beta}\,\vec{e}_x - 2\omega\dot{\alpha}\,\vec{e}_y

  Ce terme traduit le couplage gyroscopique induit par la rotation globale du référentiel : une vitesse relative transverse (\dot{\beta} \propto \mathrm{d}v/\mathrm{d}\tau) engendre une déviation le long de l'axe longitudinal \vec{e}_x.

• Les termes proportionnels à u : ils proviennent du développement de Taylor au premier ordre autour du point d'équilibre \mathrm{L}_1 des forces conservatives par unité de masse (attractions gravitationnelles et force centrifuge). À l'ordre zéro, ces forces se compensent exactement à l'équilibre. Le terme résiduel linéaire en u regroupe :

  • le terme 4\pi^2 u : variation de la force d'inertie d'entraînement centrifuge (\omega^2 (x_{\mathrm{L}_1}+\alpha)\vec{e}_x \longrightarrow \omega^2\alpha\vec{e}_x) ;
  • le terme 4\pi^2 \dfrac{2a}{\epsilon^3}\,u : gradient (effet différentiel de marée) de la force gravitationnelle terrestre \left(\dfrac{\mathrm{d}\mathcal{G}_T}{\mathrm{d}x} \propto \dfrac{2GM_T}{\varepsilon^3}\right) ;
  • le terme 4\pi^2 \dfrac{2(1-a)}{(1-\epsilon)^3}\,u : gradient (effet différentiel de marée) de la force gravitationnelle solaire \left(\dfrac{\mathrm{d}\mathcal{G}_S}{\mathrm{d}x} \propto \dfrac{2GM_S}{(D-\varepsilon)^3}\right).

La troisième équation du système (I.3) s'écrit :

Les grandeurs a et \epsilon étant strictement positives avec \epsilon < 1, la constante C est strictement positive :

Cette équation est celle d'un oscillateur harmonique non amorti.

En revenant au temps physique t via \tau = \dfrac{\omega t}{2\pi}, on a \dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\tau^2} = \dfrac{4\pi^2}{\omega^2}\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}, ce qui donne :

Le mouvement du flyer suivant la direction (\mathrm{L}_1 z) est donc un mouvement harmonique sinusoïdal autour de la position d'équilibre z = 0, de pulsation \omega_z et d'amplitude fixée par les conditions initiales.

D'après le résultat de la question Q8, \epsilon^3 \approx \dfrac{a}{3} et \epsilon \ll 1, d'où :

On en déduit :

où T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega} = 1\text{ an} est la période orbitale de la Terre.

Commentaires :

• Stabilité : La position d'équilibre au point \mathrm{L}_1 est stable vis-à-vis des perturbations hors du plan de l'écliptique (selon la direction orthogonale au plan orbital z = 0). Un flyer légèrement écarté du plan orbital y reste confiné en oscillant.
• Origine du rappel : Ni la force centrifuge ni la force de Coriolis n'ont de projection selon l'axe (\mathrm{L}_1 z) pour un déplacement orthogonal au plan de rotation. Seule l'attraction gravitationnelle combinée du Soleil et de la Terre intervient, créant une force de rappel toujours dirigée vers le plan orbital z = 0.

Par définition des variables auxiliaires introduites par l'énoncé :

En dérivant ces grandeurs par rapport au temps adimensionné \tau et en injectant le système d'équations du second ordre (I.3) avec les notations condensées A, B et C, on obtient le système différentiel autonome du premier ordre à six équations suivant :

Le principe de la méthode d'Euler explicite repose sur l'approximation de la dérivée première d'une fonction vectorielle \vec{Y}(\tau) par le taux d'accroissement sur un pas constant h (ou développement de Taylor à l'ordre 1) :

Ici, la variable d'évolution est la date sans dimension \tau (notée de manière générique t dans le texte). Le vecteur d'état regroupant les variables est :

En utilisant le système d'équations différentielles du premier ordre établi à la question précédente :

on obtient directement les expressions des paramètres à l'instant \tau + h en fonction de leurs valeurs à l'instant \tau :

Connaissant les conditions initiales à \tau = 0, la réitération de ce schéma à chaque pas permet de calculer de proche en proche la trajectoire complète du flyer.

1. Premier cadre : pas temporel Pour discrétiser l'intervalle [0, \tau_f] en N points, il y a N - 1 sous-intervalles de largeur h :

h = tau_f / (N - 1)

(La convention h = \tau_f / N est également acceptée.)

2. Deuxième cadre : initialisation Le vecteur init contient les six grandeurs initiales (u_0, v_0, w_0, u_{p,0}, v_{p,0}, w_{p,0}). Par déballage de séquence (*unpacking*) :

u[0], v[0], w[0], up[0], vp[0], wp[0] = init

(On peut aussi écrire init[0], init[1], init[2], init[3], init[4], init[5].)

3. Zone quadrillée : boucle d'intégration (méthode d'Euler) D'après le système différentiel du premier ordre établi aux questions Q12 et Q13 :

Le code complet à reporter dans la zone quadrillée s'écrit donc :

for k in range(N - 1):
    u[k + 1] = u[k] + h * up[k]
    v[k + 1] = v[k] + h * vp[k]
    w[k + 1] = w[k] + h * wp[k]
    up[k + 1] = up[k] + h * (4 * np.pi * vp[k] + 4 * np.pi**2 * A * u[k])
    vp[k + 1] = vp[k] + h * (-4 * np.pi * up[k] + 4 * np.pi**2 * B * v[k])
    wp[k + 1] = wp[k] + h * (-4 * np.pi**2 * C * w[k])

Le graphe de la figure 4 représente la projection de la trajectoire du flyer dans le plan orbital (\mathrm{L}_1, \vec{e}_x, \vec{e}_y), repéré par les coordonnées adimensionnées (\alpha/\varepsilon, \beta/\varepsilon) :

• Effet de la force de Coriolis : La trajectoire est courbée au lieu d'être rectiligne. Ce comportement traduit le couplage gyroscopique entre les coordonnées \alpha et \beta induit par les termes d'accélération de Coriolis (\pm 4\pi\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}\tau et \mp 4\pi\,\mathrm{d}u/\mathrm{d}\tau).
• Caractère instable du point \mathrm{L}_1 : Alors que le flyer part du voisinage immédiat de \mathrm{L}_1 (\alpha = 0, \beta = 0), son éloignement augmente rapidement au cours du temps et la trajectoire diverge. Cela confirme que le point d'équilibre \mathrm{L}_1 est un point-col dans le plan orbital (instabilité dynamique établie à la question Q6).
• Conséquence pratique : En l'absence de contrôle actif de trajectoire ou de mécanisme de compensation (comme la pression de radiation envisagée dans les sections suivantes), un flyer ne reste pas confiné autour de \mathrm{L}_1 et est rapidement éjecté du point de Lagrange.

Le temps adimensionné \tau intervenant dans le système (I.3) est défini par :

où T_0 = 1\text{ an} \approx 365\text{ jours} est la période de révolution de la Terre autour du Soleil.

L'étude des équations différentielles linéarisées (I.3) dans le plan (\vec{e}_x, \vec{e}_y) fait apparaître deux comportements couplés :

• un mode oscillant de pulsation propre \Omega_\tau \approx 4\pi, soit une période adimensionnée T_\tau = \frac{2\pi}{\Omega_\tau} \approx 0{,}5, correspondant à une période réelle T_{\text{osc}} \approx \frac{T_0}{2} \approx 6\text{ mois} (analogue à la période selon z obtenue à la question Q11) ;

• un mode instable exponentiel e^{\lambda \tau} associé à la valeur propre réelle positive \lambda \approx 5\pi \approx 15{,}7, d'où un temps caractéristique de divergence :

  t_d = \frac{T_0}{\lambda} \approx \frac{365}{15{,}7} \approx 23\text{ jours}.

Sur la figure 4, on observe que le flyer décrit une arche correspondant à environ une demi-oscillation (ou un demi-tour d'orbite avortée) : il part du voisinage de \mathrm{L}_1 (\alpha \approx 0), atteint une élongation maximale selon \beta, puis est défléchi et s'éloigne rapidement sous l'effet du mode exponentiel divergent.

La durée pendant laquelle le flyer reste au voisinage immédiat de \mathrm{L}_1 correspond à cette demi-boucle, soit environ une demi-période d'oscillation (ou typiquement 2 à 4 fois le temps caractéristique de divergence t_d) :

En tenant compte de la divergence rapide observée dès la fin de l'arche, on peut estimer cette durée entre 2 et 3 mois :

D'après l'expression (I.4) fournie par l'énoncé :

avec R > 0, \mathcal{L}_S > 0 et A > 0. Le vecteur unitaire \vec{e}_x étant dirigé du Soleil vers la Terre, la force de pression de radiation est dirigée selon +\vec{e}_x, c'est-à-dire qu'elle s'exerce du Soleil vers la Terre.

Au point de Lagrange \mathrm{L}_1 classique, la résultante des forces de gravitation (Soleil et Terre) et de la force d'inertie d'entraînement est nulle :

En présence de la pression de radiation, la nouvelle position d'équilibre x_{\text{éq}} doit vérifier :

La résultante effective \vec{F}_{\text{eff}} doit donc être dirigée vers le Soleil (-\vec{e}_x) pour compenser la pression de radiation.

Or, par rapport à \mathrm{L}_1 :

• si l'on se rapproche du Soleil (déplacement vers les x décroissants), l'attraction gravitationnelle du Soleil augmente tandis que l'attraction terrestre et la force centrifuge diminuent : \vec{F}_{\text{eff}} est alors orientée vers le Soleil (-\vec{e}_x) ;
• la condition d'équilibre ne peut donc être satisfaite qu'en amont de \mathrm{L}_1.

Influence du coefficient de réflexion R :

• L'intensité de la force de pression de radiation \vec{F}_p est directement proportionnelle au coefficient de réflexion R.
• Par conséquent, plus R est grand, plus la force radiative à compenser est importante, et plus la position d'équilibre est repoussée loin de la Terre et rapprochée du Soleil (la distance à la Terre augmente).
• À l'inverse, lorsque R \to 0 (dans la modélisation de l'énoncé), \vec{F}_p \to \vec{0} et la position d'équilibre tend vers le point de Lagrange \mathrm{L}_1 gravitationnel usuel.

D'après la figure 5 et les données du texte, la maille conventionnelle du rutile est un prisme droit à base carrée (réseau quadratique de paramètres de maille a = b = 459{,}4\text{ pm} et c = 295{,}9\text{ pm}).

• Population en atomes de titane \text{Ti} (sphères claires) :

  • 8 atomes situés aux sommets de la maille, partagés chacun entre 8 mailles : 8 \times \dfrac{1}{8} = 1 ;
  • 1 atome situé au centre de la maille, n'appartenant qu'à cette maille : 1 \times 1 = 1.

  Le nombre d'atomes de titane par maille est donc :

  N(\text{Ti}) = 8 \times \frac{1}{8} + 1 = 2

• Population en atomes d'oxygène \text{O} (sphères foncées) :

  • 2 atomes situés entièrement à l'intérieur de la maille (dans le plan z = c/2) : 2 \times 1 = 2 ;
  • 4 atomes situés sur les faces de la maille, partagés chacun entre 2 mailles : 4 \times \dfrac{1}{2} = 2.

  Le nombre d'atomes d'oxygène par maille est donc :

  N(\text{O}) = 2 \times 1 + 4 \times \frac{1}{2} = 4

La population globale de la maille est donc de :

Cohérence avec la formule statistique : Le rapport des populations vérifie :

La maille contient donc Z = 2 groupements formulaires \text{TiO}_2, ce qui est parfaitement cohérent avec la stœchiométrie du dioxyde de titane.

La masse volumique \rho du dioxyde de titane s'exprime par le rapport de la masse contenue dans la maille conventionnelle sur le volume de celle-ci :

1. Volume de la maille : D'après la figure 5, la maille est un pavé droit à base carrée d'arêtes a = b = 459{,}4\text{ pm} et c = 295{,}9\text{ pm}, son volume vaut donc :

   V = a^2 c

2. Masse de la maille : D'après la question Q18, la maille contient Z = 2 motifs formulaires \mathrm{TiO}_2. La masse molaire du dioxyde de titane est :

   M(\mathrm{TiO}_2) = M(\mathrm{Ti}) + 2 M(\mathrm{O}) = 47{,}9 + 2 \times 16{,}0 = 79{,}9\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}

   La masse contenue dans la maille s'écrit alors :

   m_{\text{maille}} = \frac{Z \, M(\mathrm{TiO}_2)}{\mathcal{N}_A}

On en déduit l'expression littérale de la masse volumique :

Application numérique :

• Z = 2
• M(\mathrm{TiO}_2) = 79{,}9 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• \mathcal{N}_A = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}
• a = 459{,}4 \times 10^{-12}\text{ m}
• c = 295{,}9 \times 10^{-12}\text{ m}

Le volume de la maille est :

d'où :

Dans un électrolyseur (récepteur électrique) :

• L'anode est le siège de l'oxydation. Les électrons quittent l'anode vers la borne positive du générateur : l'électrode de titane (\mathrm{Ti}), reliée à la borne (+), constitue donc l'anode.
• La cathode est le siège de la réduction. Les électrons arrivent du générateur par la borne négative : la contre-électrode en platine (\mathrm{Pt}), reliée à la borne (-), constitue donc la cathode.

Écrivons les demi-équations électroniques associées aux couples mentionnés :

• À l'anode (oxydation du titane au degré d'oxydation 0 en titane au degré +\text{IV}) :

  \mathrm{Ti}_{(\mathrm{s})} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})} = \mathrm{TiO}_{2(\mathrm{s})} + 4\,\mathrm{H}^+_{(\mathrm{aq})} + 4\,\mathrm{e}^-

• À la cathode (réduction de l'eau en dihydrogène) :

  2\,\mathrm{H}^+_{(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} \quad\text{ou}\quad 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} + 2\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})}

En multipliant la demi-équation cathodique par 2 pour égaliser le nombre d'électrons échangés (n_{\mathrm{e}^-} = 4), on obtient l'équation-bilan globale de l'anodisation :

Pour estimer la masse volumique \rho_{\text{nano}} de la couche poreuse de nanotubes de \mathrm{TiO}_2, formulons les hypothèses suivantes :

• Les nanotubes sont assimilés à des cylindres creux verticaux identiques de hauteur H, de diamètre extérieur D_{\text{ext}}, de diamètre intérieur D_{\text{int}} et d'épaisseur de paroi e = \frac{D_{\text{ext}} - D_{\text{int}}}{2}.
• La matière constituant les parois est du dioxyde de titane de structure rutile, de masse volumique \rho \approx 4{,}25 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} (déterminée à la question Q19).
• Les nanotubes sont disposés selon un arrangement compact (hexagonal ou quasi-compact) sur le substrat.

1. Lecture des dimensions sur la figure 7 :

• L'épaisseur de paroi e varie légèrement le long du tube : 36\text{ nm} au sommet, 30\text{ nm} à mi-hauteur et 26\text{ nm} à la base. On adopte une épaisseur moyenne :

  e \approx 30\text{ nm}

• En comparant la largeur d'un nanotube à la barre d'échelle de 100\text{ nm} sur les vues agrandies, on estime le diamètre extérieur moyen à :

  D_{\text{ext}} \approx 100\text{ nm} \quad (R_{\text{ext}} \approx 50\text{ nm})

  Le diamètre intérieur (diamètre du pore central) vaut alors :

  D_{\text{int}} = D_{\text{ext}} - 2e \approx 100 - 60 = 40\text{ nm} \quad (R_{\text{int}} \approx 20\text{ nm})

2. Calcul de la fraction volumique de matière f_v :

• La fraction surfacique de matière à l'intérieur d'un cylindre de rayon R_{\text{ext}} vaut :

  f_{\text{cyl}} = \frac{\pi (R_{\text{ext}}^2 - R_{\text{int}}^2)}{\pi R_{\text{ext}}^2} = 1 - \left(\frac{R_{\text{int}}}{R_{\text{ext}}}\right)^2 = 1 - (0{,}40)^2 = 0{,}84
• La compacité 2D d'empilement de disques tangents vaut \eta = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \approx 0{,}91 pour un réseau hexagonal compact (et \eta = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}79 pour un réseau carré). En tenant compte d'un réseau quasi-hexagonal présentant d'éventuels interstices ou désordres, on peut estimer \eta \approx 0{,}80\text{ à }0{,}85.

• La fraction volumique globale occupée par le dioxyde de titane est donc :

  f_v = \eta \times f_{\text{cyl}} \approx 0{,}80 \times 0{,}84 \approx 0{,}67

  Soit un ordre de grandeur compris entre 60\,\% et 70\,\%.

3. Masse volumique équivalente de la couche :

Avec \rho = 4{,}25 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et f_v \approx 0{,}65 :

Compte tenu des incertitudes sur les lectures graphiques et l'arrangement réel des tubes, on retient :

La charge électrique totale débitée par le générateur à courant constant I pendant la durée \Delta t est donnée par :

Pour I = 25\text{ mA} = 25 \times 10^{-3}\text{ A} et \Delta t = 900\text{ s} :

D'après la demi-équation anodique établie à la question Q20 :

la formation d'une mole de \mathrm{TiO}_2 nécessite l'échange de z = 4 moles d'électrons. La charge électrique utile associée à la masse m de \mathrm{TiO}_2 présente dans la couche vaut donc :

où M(\mathrm{TiO}_2) = 47{,}9 + 2 \times 16{,}0 = 79{,}9\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}.

La masse de dioxyde de titane formant le réseau de nanotubes s'exprime à l'aide du volume total de la couche V = S \times H (avec S = 3{,}14\text{ cm}^2 = 3{,}14 \times 10^{-4}\text{ m}^2, en corrigeant l'évidente coquille d'unité de l'énoncé) et de la masse volumique apparente \rho_{\text{nano}} \approx 2{,}5 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} déterminée à la question Q21 :

Avec l'épaisseur H \approx 3{,}5\,\mu\text{m} = 3{,}5 \times 10^{-6}\text{ m} mesurée sur la figure 7 :

La charge utile est ainsi :

L'efficacité de croissance \theta vaut alors :

Sur la figure 8, les courbes paramétrées par le coefficient de réflexion R présentent toutes une asymptote verticale commune située en :

Cette valeur correspond exactement à la distance \varepsilon entre la Terre et le point de Lagrange \mathrm{L}_1 calculée aux questions Q8 et Q9 en ne tenant compte que de la gravitation et des forces d'inertie d'entraînement.

Physiquement :

• L'accélération communiquée au nuage par la force de pression de radiation vaut :

  \vec{a}_p = \frac{\vec{F}_p}{m} = \frac{2\mathcal{L}_S R A}{4\pi r^2 c\, m}\,\vec{e}_x

• Pour une valeur fixée et non nulle de R, cette accélération de radiation ne devient négligeable devant les accélérations gravitationnelles et d'entraînement que si la masse totale m du nuage devient infiniment grande :

  \lim_{m \to +\infty} \vec{a}_p = \vec{0}

  Le nuage se comporte alors comme une masse d'épreuve purement gravitationnelle et sa position d'équilibre se confond avec le point de Lagrange \mathrm{L}_1 « naturel ».

• Pour une masse finie m, la pression de radiation repousse le point d'équilibre vers le Soleil (d'après Q17), c'est-à-dire à une distance à la Terre d > 1{,}5 \times 10^6\text{ km}.

D'après l'énoncé, les flyers ont une densité surfacique de masse \rho_s = 5\text{ g}\cdot\text{m}^{-2} et un coefficient de réflexion R = 3{,}2\,\%.

Sur la figure 8, le point d'intersection entre la courbe de condition d'équilibre paramétrée par R = 3{,}2\,\% et la courbe d'atténuation de puissance paramétrée par \rho_s = 5\text{ g}\cdot\text{m}^{-2} donne :

• une distance à la Terre : d \approx 1{,}7 \times 10^6\text{ km} ;

• une masse totale de flyers à envoyer :

  M_{\text{nuage}} \approx 2{,}0 \times 10^{10}\text{ kg} \quad (\text{soit } 20 \times 10^9\text{ kg}).

Le coût unitaire de transport en orbite selon le scénario proposé est c_m = 100\text{ \$}\cdot\text{kg}^{-1}. Le coût de déploiement (transport) s'évalue ainsi :

En régime thermique stationnaire, le premier principe de la thermodynamique appliqué à l'air et à la structure des bâtiments de la résidence impose que la puissance de chauffage P_c compense l'ensemble des pertes thermiques vers l'extérieur :

Les déperditions thermiques se décomposent en pertes surfaciques à travers les parois (murs, toiture, ouvrants, plancher) et en pertes linéiques via les ponts thermiques :

L'écart de température de référence vaut :

Calculons les différentes composantes de la conductance thermique totale G_{\text{th}} = \sum_k U_k S_k + \psi L à l'aide du tableau 1 :

La conductance thermique globale de la résidence s'élève donc à :

La puissance de chauffage requise en conditions de grand froid s'en déduit :

La combustion complète du méthane dans le dioxygène de l'air s'écrit :

Dans une chaudière conventionnelle (hors condensation), l'eau est évacuée sous forme de vapeur dans les fumées, ce qui justifie la donnée de l'enthalpie molaire de vaporisation de l'eau \Delta_v H(\mathrm{H}_2\mathrm{O}). L'enthalpie molaire standard de formation de la vapeur d'eau vaut :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de cette réaction de combustion (associée au Pouvoir Calorifique Inférieur, PCI) est :

Application numérique :

À pression constante et en supposant un rendement de combustion de 100\,\%, l'énergie thermique libérée par mole de méthane consommé est q_p = |\Delta_r H^\circ|. L'énergie totale consommée par la résidence en 2021 vaut :

La stœchiométrie indique qu'une mole de \mathrm{CH}_4 brûlée produit une mole de \mathrm{CO}_2. La quantité de matière de dioxyde de carbone rejetée est donc :

La masse de dioxyde de carbone rejetée s'exprime alors par :

Application numérique :

Considérons le système fermé constitué :

• de la masse de fluide présente dans le tronçon [x, x+\mathrm{d}x] à l'instant t ;
• de la masse \mathrm{d}m = Q_m\,\mathrm{d}t s'apprêtant à entrer en x à la température T(x) pendant l'intervalle \mathrm{d}t.

À l'instant t + \mathrm{d}t, cette même masse se retrouve dans le tronçon [x, x+\mathrm{d}x], tandis qu'une masse \mathrm{d}m identique en est sortie en x+\mathrm{d}x à la température T(x+\mathrm{d}x).

En régime stationnaire, l'enthalpie du fluide contenu dans le volume de contrôle fixe [x, x+\mathrm{d}x] est constante au cours du temps : H_{t+\mathrm{d}t}[x, x+\mathrm{d}x] = H_t[x, x+\mathrm{d}x]. La variation d'enthalpie du système fermé s'écrit donc :

où c est la capacité thermique massique de l'eau liquide (incompressible et indilatable).

La diffusion axiale étant négligée et aucun travail mécanique utile n'étant fourni, le premier principe pour ce système fermé s'écrit :

Le transfert thermique \delta Q reçu par la tranche de longueur \mathrm{d}x depuis l'atmosphère extérieure à température T_e à travers la paroi latérale s'exprime, par définition de la conductance linéique g = 1/r, par :

L'égalité des deux expressions conduit à :

En simplifiant par \mathrm{d}x\,\mathrm{d}t et en réorganisant les termes :

En posant \xi = Q_m c r, on obtient bien l'équation différentielle demandée :

L'équation différentielle établie à la question Q27 s'écrit :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec un second membre constant.

La solution générale est la somme d'une solution particulière constante T_p(x) = T_e et de la solution générale de l'équation homogène associée :

où C est une constante d'intégration déterminée par la condition aux limites en entrée du réseau :

On en déduit l'expression du profil de température de l'eau le long du réseau :

Considérons le système constitué par l'air et les parois intérieures des logements situés entre les abscisses x et x+\mathrm{d}x. En régime stationnaire, l'énergie interne de ce système est constante.

Les transferts thermiques s'effectuent uniquement selon la direction radiale (les échanges longitudinaux entre logements adjacents étant négligés) :

• un flux thermique élémentaire reçu depuis l'eau de la canalisation à travers la résistance thermique linéique r_1 :

  \delta\Phi_{\mathrm{recu}} = \frac{T(x) - T_i(x)}{r_1}\,\mathrm{d}x

• un flux thermique élémentaire cédé à l'atmosphère extérieure à travers la résistance thermique linéique r_2 :

  \delta\Phi_{\mathrm{perdu}} = \frac{T_i(x) - T_e}{r_2}\,\mathrm{d}x

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système en régime stationnaire impose :

En regroupant les termes en T_i(x), on obtient :

ce qui conduit immédiatement à :

D'après les questions Q28 et Q29, le profil de température de l'eau et celui des logements s'écrivent :

où la résistance thermique linéique équivalente vaut r = r_1 + r_2, soit :

En injectant l'expression de T(x), la température au sein des logements en fonction de l'abscisse x est :

Puisque T_0 > T_e et \xi > 0, la fonction x \mapsto T_i(x) est strictement décroissante sur [0, L]. La température minimale dans la résidence est donc atteinte pour le logement situé à l'extrémité du réseau (x = L) :

Pour que chaque logement ait une température au moins égale à T_{\min} = 19\,^\circ\text{C}, il suffit que T_i(L) \geqslant T_{\min}. À la limite d'égalité, on obtient la température de consigne minimale T_0 :

ce qui donne en isolant T_0 :

Application numérique :

• r_1 + r_2 = 1{,}05 + 0{,}32 = 1{,}37\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}\cdot\text{m} ;
• 1 + \dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{1{,}37}{0{,}32} \approx 4{,}281 ;
• \xi = 1{,}0 \times 4{,}18 \times 10^3 \times 1{,}37 \approx 5{,}727 \times 10^3\text{ m} = 5{,}73\text{ km} ;
• \dfrac{L}{\xi} = \dfrac{2{,}0 \times 10^3}{5{,}727 \times 10^3} \approx 0{,}3492 \implies \exp\left(\dfrac{L}{\xi}\right) \approx 1{,}418 ;
• T_{\min} - T_e = 19 - 7 = 12\,^\circ\text{C}.

On en déduit l'élévation de température requise :

La puissance thermique perdue vers l'extérieur par un tronçon de logement de longueur \mathrm{d}x est donnée par :

1. Cas d'un réseau parfaitement équilibré Tous les logements sont maintenus à la température de consigne T_{\min} = 19\,^\circ\text{C}. La puissance de chauffage nécessaire correspond exactement aux déperditions :

2. Cas du réseau non équilibré D'après les questions Q28 et Q29, le profil de température au sein des logements s'écrit :

La condition d'obtention de T_{\min} en bout de chaîne (x = L) impose :

On en déduit l'expression du profil de température intérieur :

La puissance totale dissipée (et donc fournie par la chaudière à l'eau) vaut alors :

3. Surcoût énergétique relatif Le surcoût relatif \delta = \frac{P - P_{\text{eq}}}{P_{\text{eq}}} s'exprime simplement par :

Avec \xi = Q_m c (r_1 + r_2) = 1{,}0 \times 4180 \times (1{,}05 + 0{,}32) \approx 5{,}73 \times 10^3\text{ m} et L = 2{,}0 \times 10^3\text{ m} :

La conservation du débit massique au point de séparation en x = 0 s'écrit :

Sur le tronçon x \in [0, x_J], l'eau s'écoule avec ce débit massique Q_{m,1}. D'après l'équation différentielle établie à la question Q27, la longueur caractéristique associée est :

avec r = r_1 + r_2. La température de l'eau juste en amont de la jonction J (en x = x_J^-) vaut ainsi, d'après la question Q28 :

La dérivation étant calorifugée, l'eau y circule sans échange thermique avec l'extérieur ; elle atteint donc le point de jonction J à la température d'entrée T_0.

Au point de jonction J, les deux écoulements se mélangent pour reformer un débit total Q_m. En régime stationnaire, en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle ainsi que les pertes thermiques locales au niveau du raccord, le premier principe pour un système ouvert s'exprime par la conservation du débit d'enthalpie :

Pour un fluide incompressible et indilatable de capacité thermique massique c constante, l'enthalpie massique vérifie \mathrm{d}h = c\,\mathrm{d}T, soit h(T) = c\,(T - T_{\text{ref}}). Le bilan enthalpique se simplifie alors en :

soit :

En substituant l'expression de T(x_J^-), on obtient la température de l'eau juste après la jonction :

Sur la figure 14, la température minimale de chaque configuration s'observe soit juste avant la jonction (x \to x_J^- avec x_J = 1\,000\text{ m}), soit en fin de réseau (x = L = 2\,000\text{ m}) :

• Pour Q_{m,2}/Q_m = 0{,}6, la température atteint son minimum en x = x_J^- avec T_i(x_J^-) \approx 19{,}1\,^\circ\text{C}, et vaut environ 19{,}4\,^\circ\text{C} en x = L. La condition de confort T_i(x) \ge 19\,^\circ\text{C} est donc satisfaite sur tout le réseau.
• Cette courbe est celle qui se situe le plus bas sur l'ensemble du domaine [0, L] : la surchauffe inutile des logements proches de la chaudière est fortement atténuée (la température moyenne dans la résidence passe d'environ 21{,}6\,^\circ\text{C} pour Q_{m,2} = 0 à environ 21{,}0\,^\circ\text{C} pour Q_{m,2}/Q_m = 0{,}6). Les déperditions thermiques vers l'extérieur étant proportionnelles à l'écart (T_i - T_e), c'est ce réglage qui procure le gain énergétique maximal.

La valeur qui semble la plus intéressante du point de vue de l'efficacité énergétique est donc :

Remarque : La valeur \dfrac{Q_{m,2}}{Q_m} = 0{,}5 est également un choix défendable : elle assure une séparation équitable des débits (Q_{m,1} = Q_{m,2}), conserve une marge de sécurité plus grande vis-à-vis du seuil des 19\,^\circ\text{C} (T_{\min} \approx 19{,}3\,^\circ\text{C}) et limite le saut thermique ressenti de part et d'autre de la jonction J (\Delta T_J \approx 1{,}8\,^\circ\text{C} contre 2{,}5\,^\circ\text{C} pour le cas 0{,}6).

En régime stationnaire, la puissance thermique totale dissipée par l'ensemble des logements vers l'extérieur s'obtient en intégrant les pertes à travers les parois de conductance linéique g_2 = 1/r_2 :

où \overline{T_i} = \frac{1}{L}\int_0^L T_i(x)\,\mathrm{d}x est la température intérieure moyenne des logements.

L'énergie thermique consommée sur une période donnée étant directement proportionnelle à cette puissance, l'économie relative d'énergie \eta s'écrit :

Estimons les températures moyennes par la méthode des trapèzes à partir des profils de la figure 14 :

• Réseau non équilibré (Q_{m,2}/Q_m = 0) :
  En relevant T_i(0) \approx 24{,}0\,^\circ\text{C}, T_i(L/2) \approx 21{,}4\,^\circ\text{C} et T_i(L) \approx 19{,}3\,^\circ\text{C} :

  \overline{T_i}_{\text{non-éq}} \approx \frac{1}{2}\left(\frac{24{,}0 + 21{,}4}{2} + \frac{21{,}4 + 19{,}3}{2}\right) \approx 21{,}5\,^\circ\text{C}

  L'écart moyen à l'extérieur vaut donc :

  \overline{T_i}_{\text{non-éq}} - T_e \approx 21{,}5 - 7{,}0 = 14{,}5\,^\circ\text{C}

• Réseau équilibré (Q_{m,2}/Q_m = 0{,}6) :
  Sur le premier tronçon amont (x \in [0, L/2]), la température décroît de 24{,}0\,^\circ\text{C} à environ 19{,}1\,^\circ\text{C} :

  \overline{T}_{i,1} \approx \frac{24{,}0 + 19{,}1}{2} \approx 21{,}55\,^\circ\text{C}

  Sur le second tronçon aval (x \in [L/2, L]), après la jonction, la température passe de 21{,}5\,^\circ\text{C} à environ 19{,}3\,^\circ\text{C} :

  \overline{T}_{i,2} \approx \frac{21{,}5 + 19{,}3}{2} \approx 20{,}40\,^\circ\text{C}

  La température moyenne globale est alors :

  \overline{T_i}_{\text{éq}} = \frac{\overline{T}_{i,1} + \overline{T}_{i,2}}{2} \approx 21{,}0\,^\circ\text{C}

L'abaissement moyen de la température intérieure est donc :

On en déduit l'économie relative d'énergie :

Compte tenu de la précision des lectures graphiques (une valeur comprise entre 3\,\% et 5\,\% est recevable) :

1. Expression littérale de l'épaisseur d'isolant

La puissance thermique dissipée s'écrit P_c = G_{\text{tot}}\,(T_i - T_e), où la conductance thermique globale initiale de la résidence vaut la somme des conductances des différents éléments :

D'après les données du tableau 1 :

Toutes choses égales par ailleurs (T_i - T_e = \text{cte}), réduire les déperditions d'une fraction \mu impose que la nouvelle conductance totale vaille G'_{\text{tot}} = (1 - \mu)\,G_{\text{tot}}, soit :

L'isolation thermique par l'extérieur ajoute une résistance thermique surfacique de conduction R_{\text{iso}} = \frac{e_{\text{iso}}}{\lambda} en série avec la résistance surfacique initiale du mur nu R_{\text{murs}} = \frac{1}{U_{\text{murs}}}. La nouvelle résistance surfacique s'écrit donc :

En remplaçant G'_{\text{murs}} par son expression, on en déduit :

Comme G_{\text{murs}} = U_{\text{murs}}\,S_{\text{murs}}, il vient :

2. Application numérique et nombre de couches

Pour \mu = 0{,}45 et \lambda = 0{,}037\text{ W}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{m}^{-1} :

Chaque panneau de laine de roche ayant une épaisseur normalisée e_0 = 12\text{ cm} > 7{,}0\text{ cm}, il suffit d'installer :

Avec cette unique couche de 12\text{ cm}, la nouvelle conductance des murs devient :

La réduction relative réelle des déperditions atteint alors :

3. Intérêt d'une couche supplémentaire

Si l'on ajoute une seconde couche de laine de roche (e = 24\text{ cm}), la conductance des murs devient :

Le gain supplémentaire sur les déperditions totales n'est que de :

L'ajout d'une couche supplémentaire n'est pas intéressant, pour trois raisons majeures :

• Rendements fortement décroissants : la première couche permet d'économiser 47{,}9\,\% de la facture globale, contre seulement 2{,}2\,\% pour la deuxième.
• Coût prohibitif : une couche supplémentaire représente un investissement de 250\text{ €}\cdot\text{m}^{-2} \times 5650\text{ m}^2 \approx 1{,}4\text{ M€}, difficilement amortissable au vu du faible gain marginal d'énergie.
• Déperditions résiduelles situées ailleurs : après la première couche, les murs ne représentent plus que 1587 / (1587 + 16134) \approx 9\,\% des pertes de chaleur. Il est bien plus pertinent d'investir ces fonds dans l'isolation de la toiture ou le remplacement des ouvrants (fenêtres).

Pour un cycle ditherme décrit par le fluide frigorigène, les premier et second principes s'écrivent :

Dans le cas d'un fonctionnement réversible (S_{\mathrm{cr}} = 0), on en déduit :

L'efficacité thermodynamique (ou coefficient de performance) d'une pompe à chaleur est définie par le rapport entre la chaleur utile cédée à la source chaude (-Q_C > 0) et le travail électrique reçu (W > 0) :

Avec T_C = 70 + 273{,}15 = 343{,}15\text{ K} et T_F = 7 + 273{,}15 = 280{,}15\text{ K}, on a \Delta T = T_C - T_F = 63\text{ K} :

D'après la documentation technique de la machine (figure D du document réponse), pour une température d'eau en sortie de 70\,^\circ\text{C} et une température extérieure de +7\,^\circ\text{C}, les valeurs constructeur sont :

• En mode « priorité COP » : \mathrm{COP} = 1{,}76 ;
• En mode « priorité puissance » : \mathrm{COP} = 1{,}80.

Détaillons la construction et les coordonnées de chaque point caractéristique sur le diagramme (p, h) de la figure C :

• État 1 : Le fluide est sous forme de vapeur surchauffée à p_1 = 6{,}0\text{ bar} et T_1 = 10\,^\circ\text{C}. Sur le diagramme, on se place sur la ligne horizontale p = 6{,}0\text{ bar} et on repère l'isotherme 10\,^\circ\text{C} (située à droite de la courbe de rosée x = 1). On lit :

  h_1 \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad s_1 \approx 1{,}80\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}.

• Transformation 1 \to 2 (compression isentropique) : Le fluide suit la courbe d'entropie constante s = s_1 \approx 1{,}80\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} en montant vers la droite jusqu'à croiser l'isotherme T_2 = 90\,^\circ\text{C}. À cette intersection, on relève :

  p_2 \approx 30\text{ bar} \quad \text{et} \quad h_2 \approx 452\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

• Transformation 2 \to 3 (refroidissement et liquéfaction isobares) : La transformation est isobare à la pression p_2 \approx 30\text{ bar}. Le fluide se refroidit d'abord à l'état de vapeur jusqu'à la température de rosée (désurchauffe), puis se condense totalement à travers la zone diphasique jusqu'à la courbe d'ébullition (titre en vapeur x_3 = 0). Le point 3 se situe sur la courbe d'ébullition à p_3 = 30\text{ bar}. On y lit :

  p_3 \approx 30\text{ bar} \quad \text{et} \quad h_3 \approx 305\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

• Transformation 3 \to 4 (détente isenthalpique) : La détente dans le détendeur est modélisée par une transformation adiabatique sans travail utile, donc isenthalpique : h_4 = h_3. Elle est représentée par un segment de droite vertical descendant jusqu'à la basse pression p_4 = p_1 = 6{,}0\text{ bar} :

  p_4 = 6{,}0\text{ bar} \quad \text{et} \quad h_4 = h_3 \approx 305\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

  L'état 4 se situe dans le domaine diphasique liquide-vapeur (x_4 \approx 0{,}3).

• Transformation 4 \to 1 (vaporisation et surchauffe isobares) : Le fluide s'évapore totalement dans l'évaporateur puis est surchauffé jusqu'à 10\,^\circ\text{C} à la pression constante p = 6{,}0\text{ bar} au contact de la source froide. Cette évolution est représentée par un segment horizontal joignant le point 4 au point 1.

Le cycle thermodynamique décrit par le fluide frigorigène est moteur au sens géométrique mais récepteur d'énergie (cycle frigorifique parcouru dans le sens horaire dans le plan (p, h)).

Le fluide frigorigène échange du travail avec le compresseur et de la chaleur avec les deux sources. En régime stationnaire, le premier principe appliqué à une masse unité de fluide traversant chaque organe donne :

• le travail massique reçu par le fluide au niveau du compresseur (transformation 1–2 adiabatique) :

  w = h_2 - h_1 > 0

• le transfert thermique massique cédé à la source chaude lors du refroidissement et de la liquéfaction isobares (transformation 2–3) :

  q_C = h_3 - h_2 < 0 \implies |q_C| = h_2 - h_3

Le coefficient de performance thermique s'écrit donc :

D'après les valeurs d'enthalpies massiques relevées sur le diagramme (p, h) à la question Q37 :

• h_1 \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_2 \approx 452\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_3 \approx 305\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

On obtient :

D'où la valeur numérique du coefficient de performance :

(une lecture conduisant à 4{,}2 \leqslant \mathrm{COP} \leqslant 4{,}8 est tout à fait acceptable compte tenu de l'imprécision graphique).

Comparaison avec la documentation technique : La figure D indique, pour une eau en sortie à 70\,^\circ\text{C} et une température extérieure de +7\,^\circ\text{C} :

Le COP du cycle modélisé (\approx 4{,}6) est très supérieur au COP réel constructeur (\approx 1{,}8), tout en restant inférieur au maximum théorique de Carnot calculé à la question Q36 (\mathrm{COP}_{\mathrm{rev}} \approx 5{,}45).

Explication des différences : L'écart notable s'explique par les nombreuses irréversibilités et pertes négligées dans la modélisation :

• Irréversibilités internes au compresseur : la compression réelle n'est pas isentropique (rendement isentropique de compression \eta_{\text{is}} \approx 0{,}65\text{ à } 0{,}75), ce qui accroît significativement le travail électrique consommé. De plus, il existe des pertes mécaniques et électriques dans le moteur du compresseur.
• Pincements thermiques aux échangeurs : les transferts thermiques nécessitent des écarts finis de température (\Delta T \sim 5\text{ à } 10\,^\circ\text{C}). Le fluide doit donc s'évaporer à une température inférieure à 7\,^\circ\text{C} (vers 0\,^\circ\text{C}) et condenser à une température supérieure à 70\,^\circ\text{C} (vers 75\text{--}80\,^\circ\text{C}), ce qui augmente le rapport des pressions et le travail de compression nécessaire.
• Pertes de charge : les écoulements dans les échangeurs et tubulures ne sont pas parfaitement isobares.
• Consommation des auxiliaires : la documentation intègre la puissance électrique absorbée par les ventilateurs de l'unité extérieure, les pompes de circulation et l'électronique de régulation.

D'après la figure D, pour une eau sortant à 70\,^\circ\text{C} et un air extérieur à +7\,^\circ\text{C}, la pompe à chaleur fournit en mode « priorité puissance » une puissance thermique nominale :

Au niveau du condenseur (étape 2 \to 3), le fluide frigorigène cède par unité de masse à la source chaude le transfert thermique :

En régime stationnaire, la puissance thermique totale cédée s'écrit :

Avec les valeurs d'enthalpie déterminées à la question Q37 (h_2 \approx 452\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et h_3 \approx 305\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, soit h_2 - h_3 \approx 147\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) :

Commentaire :

• La documentation technique (figure D) indique une charge totale en fluide frigorigène de 2 \times 5{,}5\text{ kg} = 11\text{ kg} (ce qui correspond à deux circuits indépendants de même puissance, chacun assurant la moitié du débit, soit environ 0{,}20\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}).

• Le temps de renouvellement complet de la charge de fluide dans la machine est de l'ordre de :

  \tau_{\text{cycle}} = \frac{m_{\text{charge}}}{D_m} = \frac{11}{0{,}40} \approx 28\text{ s}

  Le fluide effectue donc environ deux cycles par minute, ce qui est tout à fait typique d'une installation industrielle de pompe à chaleur à haute compacité.

D'après la question Q25, la puissance thermique nécessaire pour compenser les déperditions de la résidence par température extérieure minimale de référence (T_{e,\text{ref}} = -7\,^\circ\text{C}) est :

(La chaudière à gaz actuellement installée dispose d'une puissance nominale voisine de P_{\text{chaudière}} = 998\text{ kW}).

D'après le tableau de la figure D (document réponse), une pompe à chaleur en mode « priorité puissance » délivrant de l'eau à 70\,^\circ\text{C} fournit une puissance thermique nominale unitaire :

Le nombre minimal N de pompes à chaleur à installer en parallèle pour couvrir le besoin de dimensionnement P_c vaut :

Il faut donc associer :

(ou 15 si l'on tolère un très léger sous-dimensionnement lors du pic de froid).

Si l'on choisit plutôt de remplacer intégralement la puissance installée de la chaudière actuelle (998\text{ kW}), il faudrait :