Corrigé détaillé E3A Physique Chimie MP 2021

1. Énoncé de la troisième loi de Kepler

Pour un satellite de masse m en orbite képlérienne autour d'un astre attracteur de masse M (avec m \ll M), le rapport entre le carré de la période de révolution T et le cube du demi-grand axe a de la trajectoire est une constante indépendante du satellite :

2. Estimation de la masse de Jupiter

Les orbites des satellites étant quasi circulaires de rayon r, le demi-grand axe s'identifie au rayon (a = r). La masse de Jupiter s'exprime donc sous la forme :

En convertissant les distances en mètres et les périodes en secondes (1\text{ jour} = 86\,400\text{ s}) :

• Pour Io :

  \begin{aligned} r_1 &= 4{,}218 \cdot 10^5\text{ km} = 4{,}218 \cdot 10^8\text{ m} \\ T_1 &= 1{,}769\text{ jour} = 1{,}769 \times 86\,400\text{ s} \approx 1{,}5284 \cdot 10^5\text{ s} \\ M_{J,\text{Io}} &= \frac{4\pi^2 \times (4{,}218 \cdot 10^8)^3}{6{,}67 \cdot 10^{-11} \times (1{,}5284 \cdot 10^5)^2} \approx 1{,}90 \cdot 10^{27}\text{ kg} \end{aligned}

• Pour les autres satellites :

  • Europe : M_{J,\text{Europe}} \approx 1{,}90 \cdot 10^{27}\text{ kg}
  • Ganymède : M_{J,\text{Ganymède}} \approx 1{,}90 \cdot 10^{27}\text{ kg}
  • Callisto : M_{J,\text{Callisto}} \approx 1{,}90 \cdot 10^{27}\text{ kg}

La moyenne sur les quatre satellites donne :

3. Comparaison avec la valeur fournie

La valeur fournie en fin de sujet (Document 2) est M_{J,\text{énoncé}} = 1{,}97 \cdot 10^{27}\text{ kg}. L'écart relatif est :

L'accord est très satisfaisant ; le faible écart s'explique par les incertitudes sur les paramètres orbitaux et par l'approximation d'une orbite rigoureusement circulaire.

La planète Jupiter est modélisée par une sphère de rayon R_J. Son volume s'écrit :

La masse volumique moyenne \rho_J de Jupiter est alors définie par le rapport de sa masse M_J sur son volume V_J :

D'après les données fournies en fin de sujet :

• M_J = 1{,}97 \cdot 10^{27}\text{ kg} ;
• R_J = 7{,}0 \cdot 10^4\text{ km} = 7{,}0 \cdot 10^7\text{ m}.

L'application numérique donne :

En conservant deux chiffres significatifs compte tenu de la précision sur le rayon R_J :

Remarque : En utilisant la valeur estimée à la question Q1 (M_J \approx 1{,}90 \cdot 10^{27}\text{ kg}), on obtient \rho_J \approx 1{,}3 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}.

Les trajectoires de la Terre et de Jupiter étant modélisées par des cercles coplanaires et concentriques de rayons respectifs d_T et d_J, la distance D entre la Terre et Jupiter varie au cours du temps entre deux valeurs extrêmes :

• une distance maximale à la conjonction : D_{\max} = d_J + d_T ;
• une distance minimale à l'opposition : D_{\min} = d_J - d_T.

D'après la figure 2, l'angle \alpha représente le diamètre apparent sous lequel Jupiter est observée depuis la Terre. Cet angle est maximal lorsque la distance entre les deux planètes est minimale :

Puisque le rayon de Jupiter R_J est très petit devant la distance Terre-Jupiter (R_J \ll D_{\min}), on se place dans le cadre de l'approximation des petits angles :

L'angle maximal \alpha_{\max} s'exprime donc sous la forme :

Application numérique avec les données :

• R_J = 7{,}0 \cdot 10^4\text{ km}
• d_J = 7{,}80 \cdot 10^8\text{ km}
• d_T = 1{,}50 \cdot 10^8\text{ km}

En conservant deux chiffres significatifs :

1. Période de révolution sidérale T_J de Jupiter

Dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen, la troisième loi de Kepler s'applique à toute planète de masse négligeable devant celle du Soleil en orbite circulaire de rayon d :

En appliquant cette loi à la Terre et à Jupiter, on obtient :

D'où l'expression de la période sidérale de Jupiter :

Application numérique :

2. Durée s'écoulant entre deux oppositions (période synodique T_{\mathrm{syn}})

L'opposition correspond à la configuration où le Soleil, la Terre et Jupiter sont alignés dans cet ordre. Les deux planètes tournent autour du Soleil dans le même sens avec des vitesses angulaires respectives :

Comme d_T < d_J, on a \omega_T > \omega_J : la Terre tourne plus vite que Jupiter. Une nouvelle opposition se produit dès que la Terre a pris un tour complet d'avance sur Jupiter, soit un écart angulaire de 2\pi :

On en déduit l'expression de la période synodique :

Application numérique :

• Condition de non-accommodation de l'œil : Un œil normal (emmétrope), supposé sans défaut, n'accommode pas lorsqu'il observe un objet situé à son punctum remotum, qui est situé à l'infini. L'image définitive fournie par la lunette astronomique doit donc être rejetée à l'infini.

• Position relative de l'objectif et de l'oculaire : L'astre observé étant situé à une distance quasi-infinie, l'objectif (\mathcal{L}_1) en donne une image intermédiaire A_1B_1 située dans son plan focal image, soit en F'_1.

  Pour que l'oculaire (\mathcal{L}_2) donne de cette image intermédiaire une image finale à l'infini, A_1B_1 doit nécessairement être située dans le plan focal objet de l'oculaire, soit en F_2.

  Les foyers F'_1 et F_2 doivent donc être confondus :

  \boxed{F'_1 = F_2}

  La distance séparant les centres optiques des deux lentilles convergentes vaut alors :

  \boxed{O_1O_2 = O_1F'_1 + F_2O_2 = f'_1 + f'_2}

  Avec f'_1 = 100\text{ cm} et f'_2 = 10\text{ cm}, l'encombrement de l'instrument est de O_1O_2 = 110\text{ cm}.

• Propriétés du système global : Un objet situé à l'infini ayant son image à l'infini, ce système optique ne possède pas de foyers à distance finie.

  Un tel système est qualifié de système afocal (la lunette est réglée en configuration afocale).

1. Conditions de Gauss

Les conditions de Gauss sont satisfaites lorsque le système optique fonctionne dans l'approximation des rayons paraxiaux :

• les rayons lumineux sont peu inclinés par rapport à l'axe optique (petits angles d'incidence) ;
• les rayons traversent les dioptres ou lentilles au voisinage immédiat de l'axe optique (proches des centres optiques).

Ces conditions assurent un stigmatisme et un aplanétisme approchés, limitant ainsi considérablement les aberrations géométriques.

2. Marche du rayon lumineux et identification de l'angle \alpha'

D'après la question Q5, la lunette est afocale, de sorte que le foyer principal image de l'objectif F'_1 est confondu avec le foyer principal objet de l'oculaire F_2 :

Pour construire le trajet du rayon incident incliné d'un angle \alpha sur l'axe optique (\Delta) :

• On trace le rayon auxiliaire (fictif) parallèle au rayon incident et passant par le centre optique O_1 de l'objectif. Ce rayon n'est pas dévié et coupe le plan focal image commun en B_1, foyer secondaire image de (\mathcal{L}_1) ;
• Le rayon incident, après traversée de (\mathcal{L}_1) en un point I_1, passe nécessairement par ce point image B_1 et atteint l'oculaire (\mathcal{L}_2) en I_2 ;
• Puisque B_1 appartient au plan focal objet de (\mathcal{L}_2), tous les rayons issus de B_1 émergent de l'oculaire parallèlement entre eux, dans la direction de la droite (B_1 O_2) ;
• Le rayon émergent issu de I_2 est donc parallèle à la droite (B_1 O_2) et forme avec l'axe optique l'angle \alpha' sous lequel la planète est vue à travers l'instrument.

L'objet (Jupiter) étant situé à l'infini, l'objectif (\mathcal{L}_1) en donne une image intermédiaire A_1 B_1 située dans son plan focal image, qui coïncide avec le plan focal objet de l'oculaire (\mathcal{L}_2) (F'_1 \equiv F_2 \equiv A_1).

Dans le cadre de l'approximation paraxiale de Gauss, l'angle incident \alpha et la dimension algébrique de l'image intermédiaire vérifient :

Cette image intermédiaire sert d'objet pour l'oculaire. Comme elle est située dans son plan focal objet, les rayons émergent parallèles entre eux sous un angle \alpha' donné par :

(le signe négatif traduit le fait que le faisceau émergent est incliné vers le haut alors que B_1 est situé sous l'axe optique).

Le grossissement angulaire de la lunette afocale s'écrit donc :

En valeur absolue, le grossissement vaut :

Application numérique : Avec f'_1 = 100\text{ cm} et f'_2 = 10\text{ cm} :

Discernabilité de Jupiter :

Convertissons le pouvoir de résolution de l'œil en radians :

D'après la question Q3, le diamètre apparent maximal de Jupiter à l'œil nu est :

Comme \alpha_{\max} < \varepsilon_{\text{œ{}il}}, Jupiter ne peut pas être résolue à l'œil nu : elle est perçue comme un point lumineux.

À travers la lunette astronomique, le diamètre apparent sous lequel Jupiter est vue devient :

On constate que :

\boxed{\text{\text{Le diamètre apparent à travers la lunette dépasse largement la limite de résolution de l'œ{}il :}}} Jupiter n'apparaît plus comme un point, mais comme un disque étendu et peut donc être correctement discernée.

On étudie l'objet \mathrm{M} de masse m dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. En négligeant les frottements atmosphériques, l'objet n'est soumis qu'à la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre (assimilée à une distribution sphérique de masse M_T).

Cette force dérive d'une énergie potentielle gravitationnelle :

en choisissant l'origine de l'énergie potentielle à l'infini (E_p(\infty) = 0).

L'énergie mécanique de l'objet s'écrit :

Puisque la seule force appliquée est conservative, l'énergie mécanique se conserve au cours du mouvement : \Delta E_m = 0.

• À l'état initial (à la surface de la Terre, r = R_T) :

  E_m(i) = \frac{1}{2} m v_\ell^2 - \frac{\mathscr{G} M_T m}{R_T}

• À l'état final (r \to \infty) : pour que la vitesse de lancement soit minimale, l'objet doit arriver à l'infini avec une vitesse nulle (v_\infty = 0), d'où :

  E_m(f) = E_c(\infty) + E_p(\infty) = 0

La conservation de l'énergie mécanique impose E_m(i) = E_m(f) = 0, soit :

À la surface de la Terre, l'intensité de la pesanteur g s'identifie au champ de gravitation :

On en déduit l'expression de la deuxième vitesse cosmique (vitesse de libération) :

Application numérique : Avec g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et R_T = 6{,}4 \cdot 10^3\text{ km} = 6{,}4 \cdot 10^6\text{ m} :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Le centre O de Jupiter peut être considéré comme immobile dans le référentiel héliocentrique dans deux contextes complémentaires :

• Négligeabilité de l'action de la sonde sur la planète : la masse de la sonde est infime devant celle de Jupiter (m \ll M_J). Le centre de masse du système {Jupiter + sonde} est pratiquement confondu avec le centre O de Jupiter, de sorte que l'action en retour de la sonde sur Jupiter est rigoureusement négligeable.
• Échelle de temps de l'étude : la période de révolution orbitale de Jupiter autour du Soleil est d'environ T_J \approx 11{,}9\text{ ans} (d'après la question Q4), soit près de 4\,330\text{ jours}. Sur une durée d'étude courte devant cette période orbitale (comme une fraction de révolution de la sonde de période 53\text{ jours}), le mouvement orbital de Jupiter autour du Soleil peut être assimilé localement à un mouvement rectiligne uniforme, voire à une quasi-immobilité.

Le référentiel jupiterocentrique \mathscr{R} est en translation par rapport au référentiel héliocentrique (supposé galiléen). L'accélération d'entraînement d'un point lié à \mathscr{R} est donc l'accélération du centre de Jupiter : \vec{a}_e = \vec{a}(O)_{/\text{hélio}}.

• Si l'on néglige le mouvement orbital de Jupiter sur la durée d'observation (\vec{a}(O)_{/\text{hélio}} \approx \vec{0}), le référentiel jupiterocentrique est immobile par rapport au référentiel héliocentrique galiléen, donc galiléen.
• Plus rigoureusement, le référentiel jupiterocentrique étant en chute libre dans le champ gravitationnel solaire, le champ des forces d'inertie d'entraînement -m\vec{a}(O)_{/\text{hélio}} compense exactement la force gravitationnelle exercée par le Soleil sur la sonde (terme de marée solaire négligeable compte tenu de la très faible extension de l'orbite de la sonde par rapport à la distance héliocentrique d_J).

On étudie la sonde Juno, assimilée au point matériel P de masse m, dans le référentiel jupiterocentrique \mathscr{R} supposé galiléen (d'après la question Q9).

La sonde est soumise à la seule interaction gravitationnelle de Jupiter :

Il s'agit d'une force centrale de centre O. Le moment de cette force par rapport au pôle O est donc nul à chaque instant :

Le point O étant fixe dans le référentiel galiléen \mathscr{R}, le théorème du moment cinétique appliqué au point P en O s'écrit :

Par conséquent :

Le moment cinétique est bien un vecteur constant au cours du mouvement.

Pour en déduire la nature de la trajectoire, effectuons le produit scalaire du vecteur position \vec{r} = \overrightarrow{OP} avec \overrightarrow{L_{O,P/\mathscr{R}}} :

Cette relation découle des propriétés du produit mixte, nul dès lors que deux vecteurs sont colinéaires.

La sonde étant sur une orbite non dégénérée, la vitesse initiale n'est pas colinéaire à la position initiale, donc \overrightarrow{L_{O,P/\mathscr{R}}} \neq \vec{0}. Le vecteur position \overrightarrow{OP} reste orthogonal au vecteur constant \overrightarrow{L_{O,P/\mathscr{R}}}.

Ce plan est le plan fixe passant par le centre O de Jupiter, orthogonal au vecteur moment cinétique \overrightarrow{L_{O,P/\mathscr{R}}}, et contenant la position initiale P_0 ainsi que le vecteur vitesse initiale \vec{v}_0.

Dans le repère polaire associé à la base orthonormée directe (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta), le point P est repéré par rapport au centre O par :

Le vecteur vitesse de la sonde dans le référentiel jupiterocentrique \mathscr{R} s'obtient par dérivation temporelle du vecteur position :

Or, la base locale tourne à la vitesse angulaire \dot{\theta} :

On en déduit l'expression de la vitesse :

D'après la question Q11, les vecteurs position et vitesse de la sonde s'écrivent :

Le vecteur \vec{C} s'exprime donc par le produit vectoriel :

Sachant que (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z) est une base orthonormée directe, on a :

Il vient ainsi :

D'après la question Q10, le moment cinétique \overrightarrow{L_{O,P/\mathscr{R}}} est un vecteur constant au cours du temps, donc le vecteur \vec{C} est également un vecteur constant.

En projetant sur l'axe fixe (\vec{u}_z), la composante scalaire C = \vec{C} \cdot \vec{u}_z est constante, d'où :

La quantité r^2 \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} est donc bien une constante du mouvement, égale à la constante des aires C.

D'après la question Q11, le vecteur vitesse de la sonde dans le référentiel jupiterocentrique \mathscr{R} s'écrit \overrightarrow{v_{P/\mathscr{R}}} = \dot{r}\,\vec{u}_r + r\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta. L'énergie cinétique de la sonde est donc :

D'après la question Q12, la constante des aires vaut C = r^2\dot{\theta}, ce qui permet d'exprimer la composante orthoradiale en fonction de C :

La sonde n'est soumise qu'à la force d'interaction gravitationnelle exercée par Jupiter :

Cette force est conservative et dérive d'une énergie potentielle E_p(r) vérifiant :

En intégrant et en choisissant classiquement l'origine des potentiels à l'infini (E_p(\infty) = 0), on obtient :

L'énergie mécanique totale \mathscr{E}_m de la sonde s'écrit donc :

En regroupant les termes ne dépendant que de la coordonnée radiale r, on identifie l'énergie potentielle effective U_{\text{eff}}(r) :

Conservation de l'énergie mécanique : Dans le référentiel jupiterocentrique \mathscr{R} supposé galiléen (question Q9), la seule force appliquée à la sonde est la force gravitationnelle, qui est conservative et ne dépend pas explicitement du temps (\partial E_p/\partial t = 0). Aucune force non conservative n'effectue de travail. D'après le théorème de l'énergie mécanique, l'énergie mécanique totale \mathscr{E}_m est rigoureusement constante au cours du temps :

D'après la question Q13, l'énergie potentielle effective s'écrit :

1. Étude de U_{\text{eff}}(r) :

• Au voisinage de l'origine (r \to 0^+), le terme répulsif centrifuge domine : \lim_{r \to 0^+} U_{\text{eff}}(r) = +\infty.
• À l'infini (r \to +\infty), le potentiel tend vers zéro par valeurs négatives : \lim_{r \to +\infty} U_{\text{eff}}(r) = 0^-.

• La dérivée par rapport à r s'exprime par :

  \frac{\mathrm{d}U_{\text{eff}}}{\mathrm{d}r}(r) = -\frac{mC^2}{r^3} + \frac{\mathscr{G}mM_J}{r^2} = \frac{m}{r^3}\left(\mathscr{G}M_J r - C^2\right)

  Cette dérivée s'annule pour un unique rayon r_0 :

  r_0 = \frac{C^2}{\mathscr{G}M_J}

  En ce point, le potentiel effectif atteint son minimum absolu noté U_{\min} :

  U_{\min} = U_{\text{eff}}(r_0) = \frac{mC^2}{2\left(\frac{C^2}{\mathscr{G}M_J}\right)^2} - \frac{\mathscr{G}mM_J}{\frac{C^2}{\mathscr{G}M_J}} = -\frac{m(\mathscr{G}M_J)^2}{2C^2} < 0

2. Discussion des trajectoires en fonction de \mathscr{E}_m :

L'énergie cinétique radiale \frac{1}{2}m\dot{r}^2 = \mathscr{E}_m - U_{\text{eff}}(r) étant nécessairement positive ou nulle, le mouvement n'est possible que dans les domaines où \mathscr{E}_m \ge U_{\text{eff}}(r).

• Cas \mathscr{E}_m < U_{\min} : Aucune région de l'espace ne vérifie \mathscr{E}_m \ge U_{\text{eff}}(r) : le mouvement est impossible.
• Cas \mathscr{E}_m = U_{\min} : Le seul rayon accessible est r = r_0. La vitesse radiale est constamment nulle (\dot{r} = 0), la distance au centre reste constante : la trajectoire est un cercle de rayon r_0. C'est un état lié.
• Cas U_{\min} < \mathscr{E}_m < 0 : Le mouvement est confiné dans l'intervalle fini [r_{\min}, r_{\max}], où r_{\min} (périastre) et r_{\max} (apoastre) sont les points de rebroussement où \dot{r} = 0. La sonde ne peut s'éloigner indéfiniment de Jupiter : la trajectoire est une ellipse dont Jupiter occupe l'un des foyers. Il s'agit d'un état lié.
• Cas \mathscr{E}_m = 0 : Le domaine accessible est r \in [r_{\min}, +\infty[. La sonde peut s'éloigner à l'infini avec une vitesse résiduelle nulle : la trajectoire est une parabole. C'est le cas limite d'un état de diffusion.
• Cas \mathscr{E}_m > 0 : Le domaine accessible est r \in [r_{\min}, +\infty[. La sonde provient de l'infini, s'approche jusqu'au périastre r_{\min}, puis repart vers l'infini avec une vitesse résiduelle non nulle (v_\infty = \sqrt{2\mathscr{E}_m/m}) : la trajectoire est une hyperbole. Il s'agit d'un état de diffusion.

1. Détermination du demi-grand axe a :

D'après la troisième loi de Kepler appliquée au mouvement orbital de la sonde autour de Jupiter (en négligeant la masse de la sonde devant celle de la planète géante) :

Avec les valeurs numériques fournies :

• \mathscr{G} = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} ;
• M_J = 1{,}97 \cdot 10^{27}\text{ kg} ;
• T = 53\text{ jours} = 53 \times 86\,400\text{ s} \approx 4{,}579 \cdot 10^6\text{ s}.

L'application numérique donne :

2. Expression de \mathscr{E}_m et première relation liant r_{\min}, r_{\max} et a :

Pour une trajectoire képlérienne elliptique de demi-grand axe a, l'énergie mécanique s'écrit :

Sur une ellipse où le centre de force O occupe l'un des foyers, le grand axe correspond à la somme de la distance au péricentre r_{\min} et de la distance à l'apocentre r_{\max} :

3. Établissement de la relation pour le produit r_{\min} r_{\max} :

D'après l'expression établie à la question Q13 :

Aux points extrémaux de la trajectoire (péricentre r_{\min} et apocentre r_{\max}), la distance r(t) passe par un extremum, d'où \dot{r} = 0. Les distances r_{\min} et r_{\max} sont donc les deux solutions réelles de l'équation \mathscr{E}_m = U_{\mathrm{eff}}(r) :

En multipliant par r^2 et en réorganisant sous forme d'équation polynomiale du second degré en r :

Puisque \mathscr{E}_m \neq 0, cette équation du second degré admet pour racines r_{\min} et r_{\max}. Le produit des racines d'une équation de la forme A r^2 + B r + C_0 = 0 vaut r_{\min} r_{\max} = \frac{C_0}{A}. Ici :

On en déduit directement :

Par définition du champ de gravitation \overrightarrow{G}(P), la force gravitationnelle \vec{F} exercée par la distribution de masse sur un point matériel P de masse m s'exprime sous la forme :

En électrostatique, le champ électrique \vec{E} créé par une distribution continue de charges stationnaire de densité volumique \rho vérifie les équations locales (équation de Maxwell-Gauss et caractère irrotationnel) :

En comparant avec les équations (3) régissant le champ de gravitation stationnaire :

on identifie l'analogie formelle suivante :

Différence fondamentale :

• La masse m (et donc la masse volumique \varrho) est une grandeur toujours strictement positive. Par conséquent, l'interaction gravitationnelle entre deux corps matériels est toujours attractive.
• En revanche, la charge électrique q (et la densité \rho) peut être de signe positif ou négatif. Ainsi, les forces électrostatiques peuvent être aussi bien attractives (charges de signes contraires) que répulsives (charges de même signe).

Ce caractère exclusivement attractif de la gravitation se traduit mathématiquement par la présence du signe négatif devant la constante 4\pi\mathscr{G} dans l'équation de divergence locale.

L'équation qui assure l'existence d'un potentiel gravitationnel scalaire \Phi est celle traduisant l'irrotationnalité du champ de gravitation :

En effet, sur un domaine simplement connexe, tout champ vectoriel de rotationnel nul dérive d'un potentiel scalaire, car l'identité vectorielle \overrightarrow{\operatorname{rot}}(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,f) = \vec{0} est vérifiée pour tout champ scalaire f.

Au signe près, la relation entre le champ gravitationnel \vec{G} et son potentiel \Phi s'écrit :

Prenons la divergence de cette expression et utilisons la définition du laplacien scalaire donnée en fin de sujet, \Delta \Phi = \operatorname{div}(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,\Phi) :

Or, d'après la première équation locale de (3) :

On en déduit :

Pour retrouver l'équation de Poisson imposée par l'énoncé, à savoir \Delta \Phi = 4\pi\mathscr{G}\varrho, il convient de choisir le signe moins :

On obtient bien alors l'équation de Poisson :

1. Énoncé du théorème de Gauss en électrostatique

Le flux du champ électrostatique \vec{E} à travers toute surface fermée \Sigma, orientée vers l'extérieur et englobant un volume \mathcal{V}_{\text{int}}, est égal au quotient par la permittivité diélectrique du vide \varepsilon_0 de la charge électrique totale Q_{\text{int}} contenue à l'intérieur de \Sigma :

où \overrightarrow{\mathrm{d}S_M} est l'élément d'aire orienté suivant la normale sortante à la surface \Sigma, et \varrho_e la distribution volumique de charge.

2. Analogie électrostatique - gravitation

D'après les équations locales régissant le champ gravitationnel (relation 3 de l'énoncé) comparées à l'équation de Maxwell-Gauss \operatorname{div} \vec{E} = \dfrac{\varrho_e}{\varepsilon_0}, les correspondances sont :

• Champ de force : \vec{E} \longleftrightarrow \vec{G} ;
• Densité volumique de source : \varrho_e \longleftrightarrow \varrho (masse volumique) ;
• Facteur de couplage : \dfrac{1}{\varepsilon_0} \longleftrightarrow -4\pi\mathscr{G} ;
• Source totale intérieure : Q_{\text{int}} \longleftrightarrow M_{\text{int}} = \iiint_{\mathcal{V}_{\text{int}}} \varrho(P) \, \mathrm{d}\tau.

3. Obtention de la relation (5)

En appliquant directement cette transposition formelle au théorème de Gauss électrostatique, on obtient le théorème de Gauss gravitationnel :

Remarque : On retrouve immédiatement ce résultat par application du théorème de la divergence (Green-Ostrogradski) combiné à l'équation locale \operatorname{div}\vec{G} = -4\pi\mathscr{G}\varrho :

1. Étude des invariances : La distribution de masse possède une géométrie sphérique et sa masse volumique \varrho(r) ne dépend que de la coordonnée radiale r. Elle est donc invariante par toute rotation d'angles \theta et \varphi autour du centre O. Le champ gravitationnel \overrightarrow{G}(M) ne dépend donc pas des coordonnées angulaires \theta et \varphi :

2. Étude des symétries : Soit M(r, \theta, \varphi) un point de l'espace. Tout plan contenant la droite (OM) est un plan de symétrie de la distribution de masse. En particulier :

• Le plan méridien (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta) est plan de symétrie de la distribution ;
• Le plan (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\varphi) est également plan de symétrie de la distribution.

Le champ gravitationnel étant un vecteur polaire (analogue au champ électrostatique, issu d'une force centrale en 1/r^2), le vecteur \overrightarrow{G}(M) appartient à tous les plans de symétrie de la distribution passant par M.

Il est donc porté par l'intersection de ces plans, c'est-à-dire la droite (OM) de vecteur directeur \vec{u}_r :

3. Sens du champ de gravitation : La masse étant une grandeur toujours positive (\varrho \ge 0), l'interaction gravitationnelle est exclusivement attractive. La force gravitationnelle \vec{F} = m\,\overrightarrow{G}(M) exercée sur une masse d'épreuve m > 0 est donc constamment dirigée vers le centre attracteur O.

Le champ gravitationnel est par conséquent centripète, c'est-à-dire orienté vers O, dans le sens opposé à \vec{u}_r. En notant G(r) = \|\overrightarrow{G}(M)\| > 0 la norme du champ, sa composante radiale est G_r(r) = -G(r). On en déduit :

La masse M(r) contenue dans la boule \mathcal{B}(r) de rayon r centrée en O est donnée par l'intégrale volumique de la masse volumique \varrho :

En coordonnées sphériques (r', \theta, \varphi), l'élément de volume s'écrit :

Comme la distribution ne dépend que de la coordonnée radiale r', la fonction \varrho(r') est indépendante des angles \theta et \varphi. On peut ainsi séparer les intégrales :

On obtient bien la relation demandée :

La matière étant confinée dans la boule de rayon R (soit \varrho(r) = 0 pour tout r > R), la masse totale de la planète M_J s'identifie à la masse contenue dans la sphère de rayon R :

Pour déterminer le champ de gravitation pour r > R, choisissons comme surface de Gauss \Sigma la sphère de centre O et de rayon r > R, orientée par le vecteur normal unitaire sortant \vec{n} = \vec{u}_r. L'élément d'aire s'écrit \overrightarrow{\mathrm{d}S}_M = \mathrm{d}S\,\vec{u}_r.

D'après la question Q20, le champ gravitationnel est radial et s'écrit \overrightarrow{G}(M) = -G(r)\,\vec{u}_r. Le flux gravitationnel sortant à travers \Sigma vaut :

La masse contenue à l'intérieur de \Sigma étant égale à la masse totale de Jupiter (M_{\mathrm{int}} = M(R) = M_J), le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel (question Q19) donne :

On en déduit immédiatement la norme du champ gravitationnel à l'extérieur de la planète :

ce qui correspond vectoriellement à :

D'après la question Q18, le champ de gravitation dérive du potentiel gravitationnel selon la relation \vec{G} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,\Phi. Par symétrie sphérique, \Phi ne dépend que de r, donc :

Il vient ainsi :

Par intégration pour r > R :

où C est une constante d'intégration. La condition d'un potentiel nul à l'infini (\lim_{r\to+\infty}\Phi(r) = 0) impose C = 0. On obtient donc :

Dans le référentiel jupiterocentrique supposé galiléen, le point matériel P (qui est fixe dans le référentiel lié à Jupiter) effectue un mouvement de rotation circulaire uniforme autour de l'axe (Oz) à la vitesse angulaire constante \omega_{\text{sid}}.

En notant H le projeté orthogonal de P sur l'axe polaire (Oz), le rayon de la trajectoire circulaire de P est la distance à l'axe :

où \theta est la colatitude.

L'accélération d'un point en mouvement circulaire uniforme est purement centripète, dirigée vers le centre de rotation H :

où \vec{u}_\rho est le vecteur unitaire radial des coordonnées cylindriques lié à l'axe (Oz).

Dans le plan méridien contenant l'axe (Oz) et le point P, le vecteur unitaire \vec{u}_\rho se décompose dans la base sphérique locale (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta) selon :

En substituant cette projection dans l'expression de l'accélération, on obtient :

La forme aplatie aux pôles et renflée à l'équateur s'explique par la rotation propre rapide de Jupiter sur elle-même (T_{\text{sid}} \approx 0{,}41\text{ jour} \approx 9{,}8\text{ h}).

Plaçons-nous dans le référentiel tournant lié à Jupiter, non galiléen. Tout élément de fluide de masse \delta m, situé à une distance \rho = r\sin\theta de l'axe de rotation (Oz), subit en plus de l'attraction gravitationnelle :

• une force d'inertie d'entraînement centrifuge dirigée orthogonalement vers l'extérieur de l'axe de rotation :

  \vec{f}_{\text{ie}} = \delta m\,\omega_{\text{sid}}^2\,\vec{HP} = \delta m\,\omega_{\text{sid}}^2\,r\sin\theta\,\vec{u}_\rho

• Aux pôles (\theta = 0 ou \pi) : la distance à l'axe de rotation est nulle (\rho = 0), la force centrifuge est donc nulle. Seule l'attraction gravitationnelle s'exerce, sans effet d'éloignement.
• À l'équateur (\theta = \pi/2) : la distance à l'axe est maximale (\rho = R_E), la force centrifuge centrifuge est dirigée radialement vers l'extérieur, en opposition directe avec l'attraction gravitationnelle. Elle diminue la pesanteur effective locale.

Jupiter étant une planète géante essentiellement fluide (gazeuse et liquide), sa surface s'ajuste pour adopter une surface d'équilibre équipotentielle du champ de pesanteur effectif (combinant potentiel gravitationnel et potentiel centrifuge). Cette surface libre d'équilibre présente un renflement à l'équateur et un aplatissement aux pôles, ce qui conduit à :

Pour une boule pleine de rayon R_J, à répartition volumique de masse homogène \varrho (évaluée en Q2), la masse totale s'écrit :

D'après l'énoncé, le moment d'inertie diamétral d'une telle distribution sphérique homogène vaut :

On en déduit la valeur de la constante sans dimension K :

Le moment d'inertie diamétral s'écrit de manière générale pour une distribution sphérique de masse volumique \varrho(r) :

La constante K = \frac{I_J}{M_J R_J^2} est donc un indicateur direct de la concentration radiale de masse au sein de la planète :

• Si la masse est uniformément répartie, on a K = 0{,}40 (d'après la question Q25) ;
• Si la masse est d'autant plus concentrée vers le centre, les éléments de masse se situent à plus faible distance r, ce qui réduit I_J et conduit à K < 0{,}40 (en réalité, K \approx 0{,}25 pour Jupiter) ;
• Inversement, une répartition surfacique conduirait à K = \frac{2}{3} \approx 0{,}67.

L'estimation de K par la sonde Juno présente donc deux intérêts majeurs :

1. Sonder la structure interne : elle permet de contraindre les modèles de structure interne (figure 6) en quantifiant la présence, la masse et l'extension d'un noyau dense d'éléments lourds (silicates, fer) et la transition vers l'hydrogène métallique ;
2. Trancher entre les scénarios de formation (décrits en introduction) : confirmer l'existence d'un noyau massif d'une dizaine de masses terrestres soutient le premier scénario (nucléation par accrétion solide puis effondrement gazeux), tandis qu'un noyau diffus ou absent favoriserait le second scénario (effondrement gravitationnel direct du nuage protosolaire).

La densité de probabilité de la vitesse s'écrit, d'après l'équation (8) :

Pour v_r > 0, la fonction f(v_r) est strictement positive. La recherche du maximum de f équivaut à la recherche du maximum de sa fonction logarithme népérien :

En dérivant par rapport à v_r :

La dérivée s'annule pour une valeur positive v_c vérifiant :

Comme la dérivée seconde est :

cette valeur correspond bien à un maximum unique de la distribution.

La vitesse la plus probable d'agitation thermique vaut ainsi :

avec M = m \mathscr{N}_A la masse molaire de l'espèce considérée et R = k_B \mathscr{N}_A la constante des gaz parfaits.

1. Vitesse de libération de Jupiter

Par un bilan énergétique analogue à celui de la question Q8, la vitesse de libération à la surface de Jupiter s'écrit :

Application numérique :

À comparer à la vitesse de libération terrestre :

2. Vitesses thermiques caractéristiques

La vitesse la plus probable d'agitation thermique obtenue à la question Q27 s'écrit :

avec R = \mathscr{N}_A k_B \approx 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

• Sur Jupiter : dans les couches supérieures, la figure 6 indique une température T_J \approx 165\text{ K}.

  \begin{aligned} v_{c, J}(\mathrm{H}_2) &= \sqrt{\frac{2 \times 8{,}31 \times 165}{2{,}0 \cdot 10^{-3}}} \approx 1{,}17 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 1{,}2\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} \\ v_{c, J}(\mathrm{He}) &= \sqrt{\frac{2 \times 8{,}31 \times 165}{4{,}0 \cdot 10^{-3}}} \approx 0{,}83 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 0{,}8\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}
• Sur Terre : à température ambiante (T_T \approx 300\text{ K}), v_{c, T}(\mathrm{H}_2) \approx 1{,}6\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}, et dans la haute atmosphère (exosphère où a lieu l'échappement, T \sim 1\,000\text{ K}), cette vitesse atteint environ 2{,}9\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}.

3. Condition d'échappement atmosphérique (mécanisme de Jeans)

Pour qu'un gaz soit retenu gravitationnellement sur des échelles de temps géologiques (plusieurs milliards d'années), la vitesse de libération doit être nettement supérieure à la vitesse thermique : le critère d'échappement de Jeans impose typiquement :

En effet, la distribution des vitesses possède une queue exponentielle en \exp\!\left(-\frac{v_r^2}{v_c^2}\right) :

• Pour la Terre :

  \frac{v_{\ell, T}}{v_{c, T}(\mathrm{H}_2)} \sim 4 \text{ à } 7

  Cette valeur est insuffisante pour empêcher l'évaporation : une fraction non négligeable de particules légères (\mathrm{H}_2, \mathrm{He}) possède à chaque instant une vitesse supérieure à v_{\ell, T}. Ces gaz se sont donc progressivement échappés de l'atmosphère terrestre au cours des temps géologiques.

• Pour Jupiter :

  \frac{v_{\ell, J}}{v_{c, J}(\mathrm{H}_2)} \approx \frac{61}{1{,}2} \approx 50 \gg 6

  Le puits de potentiel gravitationnel est extrêmement profond et la température y est plus faible. La probabilité qu'une entité atteigne la vitesse de libération est proportionnelle à \mathrm{e}^{-50^2} = \mathrm{e}^{-2500} \approx 0 : l'échappement thermique est strictement impossible.

Considérons le système fermé constitué par la tranche de plaque indéformable comprise entre les sections planes d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, d'épaisseur \mathrm{d}x et de surface S orthogonale à l'axe (Ox).

Le problème est unidimensionnel selon l'axe (Ox), de sorte que la température ne dépend que de x : T(x). En régime stationnaire, l'énergie interne U du système est constante au cours du temps, soit \dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = 0.

Le bilan de puissance thermique sur cette tranche élémentaire, en l'absence de source interne d'énergie, s'écrit :

où \Phi(x) est le flux thermique algébrique traversant la section S à l'abscisse x dans le sens de \vec{u}_x.

Or, d'après la loi de Fourier unidimensionnelle, le vecteur densité de courant thermique est :

Le flux thermique à travers la section orientée S\vec{u}_x s'exprime donc par :

La conservation du flux thermique impose :

La conductivité thermique \lambda étant uniforme et non nulle, il vient :

Par intégration successive, le profil de température est linéaire :

où A et B sont des constantes déterminées par la continuité de la température aux limites :

• en x = 0, T(0) = T_1 \implies B = T_1 ;
• en x = e, T(e) = T_2 \implies A\,e + T_1 = T_2 \implies A = \dfrac{T_2 - T_1}{e}.

On en déduit l'expression du profil de température dans la plaque :

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de courant thermique dans la plaque s'écrit :

La puissance thermique transférée depuis le milieu 1 (x < 0) vers le milieu 2 (x > e) correspond au flux du vecteur \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} à travers une section plane d'aire S orientée selon \vec{u}_x :

D'après le profil linéaire de température établi à la question Q29, T(x) = T_1 + \dfrac{T_2 - T_1}{e}\,x, la dérivée spatiale est constante et vaut :

En injectant cette relation dans l'expression de la puissance thermique, on obtient :

En électrocinétique, un conducteur ohmique parcouru par une intensité électrique I du potentiel V_1 vers le potentiel V_2 obéit à la loi d'Ohm :

L'analogie formelle entre la conduction électrique et la conduction thermique stationnaire associe :

• la différence de potentiel électrique V_1 - V_2 à la différence de température T_1 - T_2 (qui constitue la force motrice du transfert) ;
• le courant électrique I (débit de charge) à la puissance thermique \mathscr{P}_{1\to 2} (débit d'énergie thermique) ;
• la conductivité électrique \gamma à la conductivité thermique \lambda.

D'après le résultat de la question Q30, la puissance thermique s'écrit :

On peut donc mettre cette relation sous la forme analogue à la loi d'Ohm :

Par identification directe, on en déduit l'expression de la résistance thermique de la plaque :

En régime stationnaire et en l'absence de pertes latérales, la puissance thermique \mathscr{P} est uniforme le long de l'axe (Ox) et traverse successivement chacune des couches. Les différentes couches sont donc associées en série thermique.

D'après le résultat de la question Q31, la résistance thermique d'une couche d'épaisseur e_i, de conductivité \lambda_i et de surface transverse S vaut :

L'empilement comporte N plaques métalliques et N+1 cartes électroniques. La résistance thermique totale R_e s'écrit par additivité :

Comme le nombre de couches est très grand (N \gg 1), on a N+1 \approx N, d'où :

L'épaisseur totale de l'empilement vaut :

Si l'on modélise cet empilement par un bloc homogène de même section S, d'épaisseur L (ou d'épaisseur e = L) et de conductivité thermique équivalente \lambda, sa résistance thermique s'écrit :

En identifiant les deux expressions de R_e :

soit :

On en déduit l'expression de la conductivité thermique équivalente \lambda :

• Premier cas : \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_0

  En posant \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_0, l'expression de \lambda devient :

  \lambda = \frac{e_1 + e_2}{\dfrac{e_1}{\lambda_0} + \dfrac{e_2}{\lambda_0}} = \frac{e_1 + e_2}{\dfrac{e_1 + e_2}{\lambda_0}} = \lambda_0
  \boxed{\lambda = \lambda_1 = \lambda_2}

  Ce résultat est tout à fait pertinent : si les deux milieux constitutifs possèdent la même conductivité thermique, l'ensemble se comporte vis-à-vis de la conduction comme un milieu continu homogène de conductivité \lambda_0, indépendamment des épaisseurs respectives e_1 et e_2.

• Deuxième cas : e_1 \ll e_2 avec \lambda_1 et \lambda_2 du même ordre de grandeur

  Puisque \lambda_1 et \lambda_2 sont du même ordre de grandeur, la condition e_1 \ll e_2 implique :

  e_1 + e_2 \approx e_2 \quad \text{et} \quad \frac{e_1}{\lambda_1} \ll \frac{e_2}{\lambda_2} \implies \frac{e_1}{\lambda_1} + \frac{e_2}{\lambda_2} \approx \frac{e_2}{\lambda_2}

  En effectuant le quotient au premier ordre :

  \lambda \approx \frac{e_2}{\dfrac{e_2}{\lambda_2}} = \lambda_2
  \boxed{\lambda \approx \lambda_2}

  Ce résultat est physiquement attendu : si l'épaisseur des cartes est négligeable devant celle des plaques de séparation, l'empilement est quasi exclusivement constitué du matériau métallique (milieu 2), dont la résistance thermique impose le comportement de l'ensemble.

La maille conventionnelle du germanium (structure diamant) est cubique d'arête a. Elle est constituée :

• d'atomes de germanium occupant les sommets et les centres des faces d'un réseau cubique à faces centrées (CFC) ;
• d'atomes de germanium occupant 4 des 8 sites tétraédriques disponibles, c'est-à-dire le centre de 4 petits cubes d'arête a/2 disposés en quinconce.

Chaque atome inséré dans un site tétraédrique se situe au centre d'un sous-cube d'arête a/2. Il est entouré de 4 atomes du réseau CFC situés aux sommets de ce sous-cube, formant un tétraèdre régulier centré sur le site. La distance à chacun de ces 4 plus proches voisins vaut :

La structure diamant pouvant être vue comme l'interpénétration de deux sous-réseaux CFC décalés du vecteur \left(\frac{a}{4},\frac{a}{4},\frac{a}{4}\right), tous les atomes de germanium sont chimiquement et cristallographiquement équivalents : un atome du sous-réseau CFC est également entouré tétraédriquement par 4 atomes occupant les sites tétraédriques adjacents.

La coordinence d'un atome de germanium est donc :

Dans la maille élémentaire cubique de volume V = a^3, les atomes de germanium occupent :

• les 8 sommets du cube, comptant pour 8 \times \frac{1}{8} = 1 atome ;
• les centres des 6 faces, comptant pour 6 \times \frac{1}{2} = 3 atomes ;
• la moitié des 8 sites tétraédriques, situés entièrement à l'intérieur de la maille, soit 4 \times 1 = 4 atomes.

Le nombre d'atomes par maille est donc :

Dans le modèle des sphères dures, le contact a lieu le long de la demi-diagonale d'un des huit sous-cubes d'arête a/2, entre un atome placé à un sommet et un atome situé dans le site tétraédrique correspondant (d'après la question Q34) :

Par définition, la compacité c de la structure s'écrit :

Numériquement :

La masse volumique \rho du cristal de germanium est définie par le quotient de la masse m_{\text{maille}} contenue dans la maille conventionnelle par le volume V = a^3 de cette maille :

D'après la question Q35, la maille conventionnelle cubique contient en propre N = 8 atomes de germanium.

Avec les données numériques de l'énoncé :

• N = 8 ;
• \mathscr{M}_{\mathrm{Ge}} = 72{,}6\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 72{,}6 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• \mathscr{N}_A = 6{,}02 \cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1} ;
• a = 5{,}66 \cdot 10^{-1}\text{ nm} = 5{,}66 \cdot 10^{-10}\text{ m}.

Le calcul numérique donne :

D'après l'étude du document 1 et les propriétés comparées des éléments alcalins, le remplacement des électrodes à base de lithium par des électrodes à base de sodium présente plusieurs intérêts majeurs :

• Abondance et coût : le sodium est un élément extrêmement abondant sur Terre (notamment sous forme de sel \mathrm{NaCl} dans les océans) et uniformément réparti, contrairement au lithium qui est une ressource géologiquement rare, coûteuse et concentrée dans un nombre restreint de pays.
• Impact environnemental et éthique : l'extraction du lithium, sa toxicité et son recyclage posent d'importantes difficultés environnementales et sociétales. De plus, la technologie sodium-ion permet de s'affranchir de l'usage du cobalt (souvent présent dans les cathodes de batteries Li-ion telles que \mathrm{LiCoO_2}), dont l'extraction soulève de graves problèmes éthiques et humains.

• Performances cinétiques et durabilité : les accumulateurs sodium-ion offrent :

  • un temps de recharge considérablement plus court (environ 5\text{ min} contre 4\text{ h} pour les batteries Li-ion) ;
  • une puissance délivrée plus importante ;
  • une durée de vie et une cyclabilité bien supérieures (environ 4 000 cycles, soit une dizaine d'années d'utilisation).

Configuration électronique du lithium : Le numéro atomique du lithium est Z = 3. Dans son état fondamental, le remplissage des sous-couches selon le principe de Pauli et la règle de Klechkowski donne :

Justification de la valeur très basse de E^\circ_{\text{Li}^+/\text{Li}_{(s)}} :

• L'atome de lithium ne possède qu'un seul électron de valence sur la sous-couche 2s. La perte de cet électron conduit au cation \text{Li}^+ de configuration stable en duet 1s^2, identique à celle du gaz noble hélium. L'énergie de première ionisation du lithium est donc faible.
• En phase condensée (solution), le cation \text{Li}^+ est de très petite taille, ce qui induit une densité de charge volumique très élevée et donc une enthalpie de solvatation particulièrement favorable (très exothermique).

Ces deux facteurs rendent l'oxydation de \text{Li}_{(s)} en \text{Li}^+ thermodynamiquement très favorable : le lithium métallique est un réducteur extrêmement puissant, ce qui explique la valeur très basse du potentiel standard (E^\circ = -3{,}0\text{ V}).

Autre propriété intéressante du lithium :

• Un potentiel standard aussi bas permet, lorsqu'on associe le lithium à une cathode de potentiel standard élevé (oxydant tel que \text{Li}_{1-x}\text{CoO}_2), d'obtenir une force électromotrice (tension de fonctionnement) élevée (de l'ordre de 3{,}6 à 4\text{ V}).
• Associée à la très faible masse molaire du lithium (M \approx 6{,}9\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}), cette tension élevée confère aux accumulateurs à base de lithium une densité d'énergie massique (ou énergie spécifique) exceptionnellement élevée, ce qui est un atout décisif pour les applications spatiales et les appareils nomades.