Corrigé détaillé Centrale Physique 2 PC 2024

Le champ de pesanteur \vec{g}(M) en un point M est défini dans le référentiel lié à la surface de la planète (référentiel martien). Ce référentiel n'étant pas galiléen en raison de la rotation propre de Mars sur elle-même à la vitesse angulaire \omega, le poids d'un point matériel de masse m immobile dans ce référentiel s'écrit comme la somme de la force d'attraction gravitationnelle exercée par la planète et de la force d'inertie d'entraînement (axifuge) :

où \vec{\mathcal{G}}(M) désigne le champ d'attraction gravitationnelle pur et H le projeté orthogonal de M sur l'axe de rotation martien.

Le champ de pesanteur s'exprime donc par :

Assimiler le champ de pesanteur \vec{g}(M) au champ gravitationnel \vec{\mathcal{G}}(M) constitue ainsi une approximation consistant à :

1. Négliger le terme d'inertie d'entraînement axifuge devant le champ gravitationnel (\omega^2 R_m \ll \|\vec{\mathcal{G}}\|).
2. Négliger les forces de marée différentielles exercées par les autres corps célestes (le Soleil et les satellites Phobos et Deimos).

D'après la loi de Coulomb, la force d'interaction électrostatique exercée par la particule ponctuelle de charge q_1 située en M_1 sur la particule de charge q_2 située en M_2, séparées par une distance d = M_1 M_2, s'écrit :

où \varepsilon_0 désigne la permittivité diélectrique du vide et \vec{u}_{1 \to 2} = \frac{\vec{M_1 M_2}}{d} est le vecteur unitaire orienté de M_1 vers M_2.

La force gravitationnelle exercée par une masse ponctuelle m_1 située en M_1 sur une masse ponctuelle m_2 située en M_2 s'écrit :

où \vec{u}_{1 \to 2} = \frac{\vec{M_1M_2}}{d}. Le champ de gravitation \vec{g} créé au point M_2 par la masse m_1 est défini par \vec{F}_{1 \to 2} = m_2\,\vec{g}(M_2), soit :

En comparant avec l'expression du champ électrostatique créé par une charge ponctuelle q_1 au point M_2 (d'après la question Q2) :

on dégage l'analogie formelle suivante :

En électrostatique, le théorème de Gauss s'énonce pour une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur :

Par substitution directe grâce au dictionnaire d'analogie, on obtient le théorème de Gauss gravitationnel :

Énoncé : Le flux sortant du champ gravitationnel \vec{g} à travers toute surface fermée \Sigma est égal au produit de la constante -4\pi G par la masse totale M_{\text{int}} contenue à l'intérieur du volume délimité par \Sigma.

La distribution de masse de la planète Mars présente une symétrie sphérique de centre O.

• Invariances : La répartition de masse est invariante par toute rotation autour de O, donc les composantes du champ ne dépendent ni de \theta ni de \varphi : \vec{g}(M) = \vec{g}(r).

• Symétries : Tout plan contenant le centre O et le point M est un plan de symétrie matérielle. Le champ \vec{g}(M) appartient nécessairement à l'intersection de tous ces plans de symétrie, c'est-à-dire à la droite (OM). Il est donc purement radial :

  \vec{g}(M) = g(r)\,\vec{u}_r

Choisissons comme surface de Gauss \Sigma la sphère de centre O et de rayon r \geqslant R_m, orientée par sa normale unitaire sortante \vec{n}_{\text{ext}} = \vec{u}_r.

Le flux du champ gravitationnel à travers \Sigma s'écrit :

Dans l'espace extérieur à Mars (r \geqslant R_m), la surface de Gauss englobe la totalité de la masse de la planète, notée m_m :

D'après le théorème de Gauss gravitationnel établi à la question Q3 :

d'où :

On en déduit l'expression vectorielle de l'accélération de la pesanteur dans l'espace autour de Mars :

D'après le résultat de la question Q4, le champ de pesanteur martien pour un point M situé à la distance r \geqslant R_m du centre s'écrit :

Au niveau du sol martien, en r = R_m, l'accélération de la pesanteur vaut :

En effectuant le rapport membre à membre de ces deux expressions, on obtient :

L'intensité g_0 = \|\vec{g}_0\| de l'accélération de la pesanteur au sol s'exprime donc par :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}
• m_m = 6{,}42 \times 10^{23}\text{ kg}
• R_m = 3{,}39 \times 10^3\text{ km} = 3{,}39 \times 10^6\text{ m}

L'équivalent volumique des forces de pression s'exerçant en un point M au sein d'un fluide s'écrit :

Pour établir l'équation locale de la statique des fluides :

• Système : un élément mésoscopique de fluide de volume \mathrm{d}\tau centré en M, de masse \mathrm{d}m = \mu(M)\,\mathrm{d}\tau.
• Référentiel : le référentiel lié à la planète Mars, supposé galiléen.

• Bilan des forces appliquées à cet élément de volume :

  • résultante des forces de pression de contact : \mathrm{d}\vec{F}_p = \vec{f}_p\,\mathrm{d}\tau = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,P\,\mathrm{d}\tau ;
  • force gravitationnelle (poids) : \mathrm{d}\vec{P} = \mathrm{d}m\,\vec{g}(M) = \mu(M)\,\vec{g}(M)\,\mathrm{d}\tau.

Le fluide étant à l'équilibre statique dans ce référentiel, la condition d'équilibre mécanique s'écrit :

Cette relation étant vraie pour tout volume élémentaire \mathrm{d}\tau, on en déduit l'équation locale de la statique des fluides :

D'après l'énoncé, le champ de pesanteur est radial et d'intensité uniforme :

En coordonnées sphériques, la pression ne dépend que de la variable radiale r, d'où :

L'équation locale de la statique des fluides établie à la question Q6 s'écrit alors en projection sur \vec{u}_r :

L'atmosphère étant assimilée à un gaz parfait de masse molaire M_a à température uniforme T_0, la loi des gaz parfaits donne :

On en déduit l'équation différentielle linéaire du premier ordre régissant la pression :

En posant la hauteur d'échelle H définie par :

l'équation devient \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r} + \dfrac{P}{H} = 0, dont la solution générale est :

La constante d'intégration C_0 est déterminée par la condition limite au niveau du sol martien, soit en r = R_m :

On en déduit l'expression du préfacteur C_0 :

ce qui conduit à la loi barométrique sous forme usuelle : P(r) = P_0 \exp\left(-\dfrac{r - R_m}{H}\right).

Les masses molaires des différents constituants sont obtenues à partir des données de l'énoncé :

L'énoncé précise que la composition est donnée en fractions massiques w_i. Pour une masse totale m_{\text{tot}} de gaz, la quantité de matière totale s'écrit :

La masse molaire moyenne M_a = \frac{m_{\text{tot}}}{n_{\text{tot}}} est donc la moyenne harmonique pondérée par les fractions massiques :

Application numérique :

D'après la question Q7, la hauteur d'échelle s'exprime selon :

Avec R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, T_0 = 210\text{ K}, g_0 \approx 3{,}73\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (déterminé en Q5) et M_a = 43{,}4 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} :

L'atmosphère martienne est modélisée par un gaz parfait de masse molaire M_a à température uniforme T_0. Pour un volume V de gaz contenant une masse m (soit une quantité de matière n = \frac{m}{M_a}), l'équation d'état s'écrit :

En introduisant la masse volumique \mu = \frac{m}{V}, il vient :

Au niveau du sol martien, pour r = R_m, la pression vaut P(R_m) = P_0. La masse volumique au sol \mu_0 = \mu(R_m) s'exprime donc par :

D'après la question Q7, la pression décroît exponentiellement avec la coordonnée radiale selon :

La température T_0 étant uniforme dans toute l'atmosphère, la masse volumique est directement proportionnelle à la pression, d'où :

La distribution de masse volumique \mu(r) étant à symétrie sphérique, la masse contenue dans une coquille sphérique comprise entre les rayons r et r + \mathrm{d}r s'écrit :

La masse totale de l'atmosphère, supposée d'extension infinie, est donc :

Posons le changement de variable u = \frac{r - R_m}{H}, soit r = R_m + H u et \mathrm{d}r = H\,\mathrm{d}u. Les bornes deviennent u = 0 en r = R_m et u \to +\infty lorsque r \to +\infty. Il vient :

L'intégrale se développe alors sous la forme :

D'après les intégrales données en fin d'énoncé :

On en déduit :

Or, d'après les questions Q7 et Q9 :

On retrouve ainsi l'expression demandée :

Expression approchée et application numérique :

D'après la question Q8, la hauteur d'échelle vaut H \approx 10{,}8\text{ km}, tandis que le rayon de Mars vaut R_m = 3{,}39 \times 10^3\text{ km}. On a donc le rapport :

Par conséquent, 2H^2 \ll 2HR_m \ll R_m^2, si bien que 2H^2 + 2HR_m + R_m^2 \approx R_m^2. L'expression approchée de la masse totale de l'atmosphère est donc :

Avec P_0 = 600\text{ Pa}, R_m = 3{,}39 \times 10^6\text{ m} et g_0 \approx 3{,}73\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

1. Interprétation physique
Le libre parcours moyen \ell représente la distance moyenne parcourue par une particule (atome ou molécule) d'un fluide entre deux collisions successives avec d'autres particules du milieu.

2. Estimation au niveau du sol martien
D'après l'expression fournie par l'énoncé, le libre parcours moyen au sol martien (r = R_m) s'écrit :

En utilisant la relation établie à la question Q9, \mu_0 = \frac{P_0 M_a}{R T_0}, cette expression se simplifie en :

La taille caractéristique d'une petite molécule (principalement \mathrm{CO}_2 ici) est de l'ordre de quelques dixièmes de nanomètre, soit classiquement :

Avec R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, T_0 = 210\text{ K}, \mathcal{N}_a = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} et P_0 = 600\text{ Pa} :

Selon la valeur retenue pour a (entre 0{,}1\text{ nm} et 0{,}3\text{ nm}), on obtient :

3. Commentaire

• Comparaison avec la Terre : dans l'atmosphère terrestre au niveau du sol (P \approx 10^5\text{ Pa}, T \approx 290\text{ K}), le libre parcours moyen est d'environ 70\text{ nm}. La pression au sol sur Mars étant environ 170 fois plus faible, le libre parcours moyen y est environ deux ordres de grandeur plus grand.
• Hypothèse des milieux continus : bien que grand devant les échelles microscopiques, \ell_0 demeure microscopique devant toute échelle caractéristique macroscopique L de l'écoulement ou la hauteur d'échelle H \approx 11\text{ km} (Kn = \ell_0/H \sim 10^{-8} \ll 1), ce qui justifie pleinement l'approche continue de la mécanique des fluides au niveau du sol martien.

D'après la question Q9, la masse volumique de l'atmosphère isotherme varie selon :

Le libre parcours moyen étant inversement proportionnel à \mu(r), il s'écrit en tout point à la distance r du centre :

L'exobase, située à l'altitude r - R_m = e, est définie comme la frontière à partir de laquelle le libre parcours moyen devient supérieur ou égal à la longueur caractéristique de décroissance de l'atmosphère, soit la hauteur d'échelle H :

On en déduit l'expression de l'épaisseur e de l'atmosphère :

Application numérique : Avec H \approx 1{,}08 \times 10^4\text{ m} (question Q8) et l'estimation obtenue pour a \approx 0{,}3\text{ nm} à la question Q11 :

le rapport vaut :

On obtient :

Confrontation aux données : La table des caractéristiques fournit e = 2{,}20 \times 10^2\text{ km}. L'accord est remarquable (écart relatif inférieur à 5\,\%) au vu de la simplicité du modèle isotherme et de l'incertitude sur le diamètre effectif des molécules de gaz.

1. Calcul de la vitesse de libération

Une particule de masse m située à l'altitude de l'exobase (r = R_m + e) peut s'échapper de l'attraction martienne si son énergie mécanique dans le référentiel martien est positive ou nulle :

La vitesse de libération minimale à l'exobase est donc :

Avec les données de l'énoncé :

• G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}
• m_m = 6{,}42 \times 10^{23}\text{ kg}
• R_m + e = 3{,}39 \times 10^6 + 2{,}20 \times 10^5 = 3{,}61 \times 10^6\text{ m}

(Au niveau du sol, on trouve v_{\text{lib},0} = \sqrt{\frac{2 G m_m}{R_m}} \approx 5{,}0\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}).

2. Identification du principal élément subissant l'échappement de Jeans

L'échappement de Jeans intervient lorsque les particules possèdent une vitesse thermique v > v_{\text{lib}} \approx 4{,}9\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}.

D'après le graphe de droite de la figure 2, à v \approx 4{,}9\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} :

• Pour l'atome d'hydrogène \mathrm{H} (M = 1\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}), la proportion d'atomes ayant une vitesse supérieure à v_{\text{lib}} est d'environ 10^{-3} à 10^{-4}.
• Pour le dihydrogène \mathrm{H}_2 (M = 2\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}), cette fraction est encore d'environ 10^{-8}.
• Dès M \geqslant 4\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} (hélium \mathrm{He}), cette proportion chute en dessous de 10^{-18}, devenant extrêmement faible.

Le principal élément chimique subissant l'échappement de Jeans est donc l'hydrogène \mathrm{H} (sous forme atomique \mathrm{H} ou moléculaire \mathrm{H}_2).

Conclusion : En raison d'un renouvellement permanent de la queue de distribution maxwellienne par collisions à l'exobase, une proportion de 10^{-3} suffit pour vidanger quasi totalement un réservoir de gaz sur des échelles de temps géologiques (milliards d'années). L'hydrogène s'est ainsi échappé massivement dans l'espace interplanétaire. Comme cet hydrogène provenait en grande partie de la photodissociation de la vapeur d'eau (\mathrm{H}_2\mathrm{O}) en haute atmosphère, cela explique également l'assèchement progressif de Mars.

3. Justification de la composition actuelle de l'atmosphère martienne

Pour les espèces chimiques plus lourdes constituant l'atmosphère :

• Le diazote \mathrm{N}_2 (M = 28\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}),
• L'argon \mathrm{Ar} (M = 40\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}),
• Le dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2 (M = 44\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}),

la proportion de molécules ayant une vitesse supérieure à v_{\text{lib}} \approx 4{,}9\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} est strictement infinitésimale (bien inférieure à 10^{-75} sur le graphe de droite).

Ces gaz lourds ne peuvent donc pas s'échapper de manière significative par échappement thermique de Jeans et restent piégés par le champ de pesanteur martien. Cela justifie parfaitement la composition actuelle de l'atmosphère martienne, dominée très largement par le dioxyde de carbone (96\,\%), complété par l'argon (2\,\%) et le diazote (2\,\%).