Feuille d'entraînement : Rayonnement thermique

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique 2 PC 2024, Q23

   Le Soleil est assimilé à une sphère de rayon moyen R_s, émettant comme un corps noir à la température de surface uniforme T_s.

   D'après la loi de Stefan-Boltzmann rappelée dans l'énoncé, la puissance surfacique émise par la surface solaire vaut :

   p_{s,\mathrm{e}} = \sigma T_s^4

   La surface totale émettrice étant celle de la sphère solaire, soit S_s = 4\pi R_s^2, la puissance totale émise par le Soleil s'écrit :

   \mathcal{P}_{s,\mathrm{e}} = S_s\, p_{s,\mathrm{e}}

   On obtient ainsi :

   \boxed{\mathcal{P}_{s,\mathrm{e}} = 4\pi R_s^2 \sigma T_s^4}

   Résultat

   $${\mathcal{P}}_{s,\mathrm{e}}=4\pi R_s^2\sigma T_s^4$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 2 PC 2024, Q25

   Le flux de rayonnement solaire arrivant au niveau de Mars étant parallèle, la planète intercepte ce rayonnement sur sa section droite apparente, c'est-à-dire un disque d'aire :

   \Sigma_{\text{app}} = \pi R_m^2

   La puissance totale du rayonnement solaire incident sur Mars s'écrit donc, à l'aide de la puissance surfacique incidente p_{m,\mathrm{i}} établie à la question Q24 :

   \mathcal{P}_{m,\mathrm{i}} = p_{m,\mathrm{i}} \, \pi R_m^2

   D'après l'énoncé, une fraction \alpha de ce rayonnement incident est réfléchie vers l'espace (\mathcal{P}_{m,\mathrm{r}} = \alpha \mathcal{P}_{m,\mathrm{i}}). La puissance restante est absorbée par la planète :

   \mathcal{P}_{m,\mathrm{a}} = \mathcal{P}_{m,\mathrm{i}} - \mathcal{P}_{m,\mathrm{r}} = (1 - \alpha)\mathcal{P}_{m,\mathrm{i}}

   En remplaçant \mathcal{P}_{m,\mathrm{i}} puis p_{m,\mathrm{i}} = \frac{\mathcal{P}_{s,\mathrm{e}}}{4\pi r_m^2}, on obtient :

   \boxed{ \mathcal{P}_{m,\mathrm{a}} = (1 - \alpha)\pi R_m^2 \, p_{m,\mathrm{i}} = (1 - \alpha)\frac{R_m^2}{4 r_m^2}\,\mathcal{P}_{s,\mathrm{e}} }

   En fonction des caractéristiques du Soleil obtenues à la question Q23, cette expression s'écrit également :

   \mathcal{P}_{m,\mathrm{a}} = (1 - \alpha)\pi R_m^2 \sigma T_s^4 \left(\frac{R_s}{r_m}\right)^2

   Résultat

   $${\mathcal{P}}_{m,\mathrm{a}}=(1-\alpha )\pi R_m^2{p}_{m,\mathrm{i}}=(1-\alpha )\frac{R_m^2}{4r_m^2}{\mathcal{P}}_{s,\mathrm{e}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique 2 PC 2024, Q26

   La surface de la planète Mars est assimilée à une sphère de rayon R_m, soit d'aire totale :

   S_m = 4\pi R_m^2

   En modélisant la surface martienne comme un corps noir à la température uniforme T_m, la puissance surfacique émise en tout point de sa surface est donnée par la loi de Stefan-Boltzmann :

   p_{m,\mathrm{e}} = \sigma T_m^4

   Mars émettant un rayonnement thermique vers l'espace sur l'intégralité de sa surface, la puissance totale émise par la planète s'écrit :

   \mathcal{P}_{m,\mathrm{e}} = S_m\, p_{m,\mathrm{e}}

   soit finalement :

   \boxed{\mathcal{P}_{m,\mathrm{e}} = 4\pi R_m^2 \sigma T_m^4}

   Résultat

   $${\mathcal{P}}_{m,\mathrm{e}}=4\pi R_m^2\sigma T_m^4$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Polytechnique Physique A PC 2023, Q1

   L'irradiance spectrale du corps noir est donnée par la loi de Planck :

   L^0(\lambda, T) = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{hc}{\lambda k_B T}} - 1}

   Introduisons la variable adimensionnée :

   x = \frac{hc}{\lambda k_B T} \quad \implies \quad \lambda = \frac{hc}{k_B T} \frac{1}{x}

   La fonction L^0(\lambda, T) se réécrit à température T fixée :

   L^0(\lambda, T) = \frac{2\pi (k_B T)^5}{h^4 c^3} \, \frac{x^5}{\mathrm{e}^x - 1}

   Comme \lambda décroît strictement avec x, le maximum de L^0 par rapport à \lambda s'obtient en annulant la dérivée de L^0 par rapport à \lambda :

   \frac{\partial L^0}{\partial \lambda} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\lambda} \frac{\partial L^0}{\partial x} = -\frac{x}{\lambda} \frac{\partial L^0}{\partial x} = 0 \iff \frac{\partial L^0}{\partial x} = 0

   Dérivons la fonction g(x) = \frac{x^5}{\mathrm{e}^x - 1} par rapport à x :

   \begin{aligned} g'(x) &= \frac{5 x^4 (\mathrm{e}^x - 1) - x^5 \mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x - 1)^2} = \frac{x^4 \mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x - 1)^2} \left[ 5(1 - \mathrm{e}^{-x}) - x \right] \end{aligned}

   Pour x > 0, l'annulation de la dérivée conduit à la relation :

   \begin{aligned} 5(1 - \mathrm{e}^{-x}) - x = 0 \iff \mathrm{e}^{-x} = 1 - \frac{x}{5} \end{aligned}

   L'énoncé indique que la solution de cette équation transcendante vaut x \approx 5 (la valeur numérique exacte étant x_0 \approx 4{,}965). Par définition de x, à l'extremum \lambda = \lambda_{\max} :

   \frac{hc}{\lambda_{\max} k_B T} = x_0 \implies \lambda_{\max} T = \frac{hc}{x_0 k_B}

   Calculons la constante associée en prenant l'air (ou le vide) pour lequel l'indice de réfraction vaut n = 1, soit c = c_0 = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

   • avec la valeur précise x_0 \approx 4{,}965 :

     \lambda_{\max} T = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \times 3{,}00 \cdot 10^8}{4{,}965 \times 1{,}38 \cdot 10^{-23}} \approx 2{,}899 \cdot 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{m}

   • avec l'approximation suggérée x \approx 5 :

     \lambda_{\max} T \approx \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \times 3{,}00 \cdot 10^8}{5 \times 1{,}38 \cdot 10^{-23}} \approx 2{,}88 \cdot 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{m}

   On retrouve ainsi la loi du déplacement de Wien :

   \boxed{\lambda_{\max} \times T = 2{,}899 \cdot 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{m}}

   Résultat

   $${\lambda }_{\max }\times T=2,899\cdot 10^{-3}\text{ K}\cdot \text{m}$$

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5. Exercice 5Polytechnique Physique A PC 2023, Q2

   La puissance surfacique totale émise par le corps noir s'obtient en intégrant la loi de Planck sur toutes les longueurs d'onde du spectre :

   P_{\text{ray}} = \int_0^{+\infty} L^0(\lambda, T) \, \mathrm{d}\lambda = \int_0^{+\infty} \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{hc}{\lambda k_B T}} - 1} \, \mathrm{d}\lambda

   Introduisons le changement de variable sans dimension :

   x = \frac{hc}{\lambda k_B T} \quad \implies \quad \lambda = \frac{hc}{k_B T} \frac{1}{x} \quad \text{et} \quad \mathrm{d}\lambda = -\frac{hc}{k_B T} \frac{\mathrm{d}x}{x^2}

   Pour les bornes d'intégration :

   • lorsque \lambda \to 0, x \to +\infty ;
   • lorsque \lambda \to +\infty, x \to 0.

   En réinjectant ces expressions dans l'intégrale :

   \begin{aligned} P_{\text{ray}} &= \int_{+\infty}^0 2\pi h c^2 \left( \frac{k_B T}{hc} x \right)^5 \frac{1}{\mathrm{e}^x - 1} \left( -\frac{hc}{k_B T} \frac{\mathrm{d}x}{x^2} \right) \\ &= 2\pi h c^2 \left( \frac{k_B T}{hc} \right)^4 \int_0^{+\infty} \frac{x^3}{\mathrm{e}^x - 1} \, \mathrm{d}x \end{aligned}

   D'après l'intégrale fournie en donnée de l'énoncé, \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{x^3}{\mathrm{e}^x - 1} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi^4}{15}. On en déduit :

   \begin{aligned} P_{\text{ray}} &= 2\pi h c^2 \frac{k_B^4 T^4}{h^4 c^4} \times \frac{\pi^4}{15} \\ &= \left( \frac{2\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^2} \right) T^4 \end{aligned}

   On retrouve bien la loi de Stefan-Boltzmann :

   \boxed{P_{\text{ray}} = \sigma_0 T^4 \quad \text{avec} \quad \sigma_0 = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15 h^3 c^2}}

   Résultat

   $$P_{\text{ray}}={\sigma }_0{T}^4\text{avec}{\sigma }_0=\frac{2{\pi }^5{k}_B^4}{15h^3{c}^2}$$

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6. Exercice 6Polytechnique Physique A PC 2023, Q30

   Les pertes surfaciques à l'interface vers l'air ambiant à la température T_0 = 20\,^\circ\text{C} = 293\text{ K} se composent de :

   • la puissance conducto-convective :

     \varphi_{\text{conv}} = h(T - T_0)

   • la puissance radiative nette émise vers l'environnement (assimilé à un corps noir à T_0) avec \epsilon = 1 :

     \varphi_{\text{ray}} = \sigma_0 (T^4 - T_0^4)

   1. À basse température (T \approx 20\,^\circ\text{C} = 293\text{ K}) :

   Pour un faible écart de température T - T_0 \ll T_0, on peut linéariser la loi de Stefan-Boltzmann :

   T^4 - T_0^4 = (T - T_0)(T + T_0)(T^2 + T_0^2) \approx 4 T_0^3 (T - T_0)

   ce qui permet d'introduire un coefficient d'échange radiatif :

   \begin{aligned} h_{\text{rad}} &= 4 \sigma_0 T_0^3 \\ &= 4 \times 5{,}67\cdot 10^{-8} \times (293)^3 \approx 5{,}7\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} \end{aligned}

   Ce coefficient est du même ordre de grandeur que le coefficient convectif h = 10\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} :

   h_{\text{rad}} \sim h

   2. À haute température (T = 1200\,^\circ\text{C} = 1473\text{ K}) :

   Calculons numériquement les densités de flux :

   \begin{aligned} \varphi_{\text{conv}} &= 10 \times (1473 - 293) = 1{,}18\cdot 10^4\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} \approx 12\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2} \\ \varphi_{\text{ray}} &= 5{,}67\cdot 10^{-8} \times \left[(1473)^4 - (293)^4\right] \approx 5{,}67\cdot 10^{-8} \times (1{,}473\cdot 10^3)^4 \\ &\approx 5{,}67\cdot 10^{-8} \times 4{,}71\cdot 10^{12} \approx 2{,}67\cdot 10^5\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} \approx 270\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2} \end{aligned}

   Le terme radiatif l'emporte très largement sur le terme convectif :

   \frac{\varphi_{\text{ray}}}{\varphi_{\text{conv}}} \approx \frac{270}{12} \approx 23 \gg 1

   (De façon équivalente, le coefficient radiatif effectif h_{\text{rad}} = \varphi_{\text{ray}}/(T - T_0) \approx 230\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} \gg h).

   3. Hypothèses simplificatrices :

   • À basse température (T \lesssim 200\text{ à } 300\,^\circ\text{C}) : le rayonnement peut être linéarisé. Les deux modes de transfert sont comparables et peuvent être regroupés en un coefficient d'échange global linéaire :

     \boxed{h_{\text{global}} = h + 4\sigma_0 T_0^3 \approx 16\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}}

     ce qui préserve la linéarité du problème thermique.

   • À haute température (T \gtrsim 800\text{ à } 1200\,^\circ\text{C}) : les pertes convectives sont négligeables devant les pertes radiatives :

     \boxed{\varphi_{\text{pertes}} \approx \sigma_0 T^4 \gg \varphi_{\text{conv}}}

     Le problème devient alors fortement non linéaire en surface.

   Résultat

   $$h_{\text{global}}=h+4{\sigma }_0{T}_0^3\approx 16\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}\cdot {\text{K}}^{-1}$$

   $${\phi }_{\text{pertes}}\approx {\sigma }_0{T}^4\gg {\phi }_{\text{conv}}$$

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7. Exercice 7ENS Physique C PC 2021, Q32

   D'après l'équation (5) de la partie 1.4, la loi de déplacement de Wien relie la température T du corps noir à la longueur d'onde \lambda_m d'émission maximale :

   \lambda_m T = 2,898 \times 10^{-3} \text{ m}\cdot\text{K}

   Pour la surface terrestre à la température moyenne T_0 = 288\text{ K} (précisée dans l'introduction de la partie 5.1), on obtient :

   \begin{aligned} \lambda_m &= \frac{2,898 \times 10^{-3}}{288} \approx 1,01 \times 10^{-5}\text{ m} \end{aligned}

   Soit, avec le nombre de chiffres significatifs requis :

   \boxed{\lambda_m \approx 10\text{ }\mu\text{m}}

   D'après les données de la partie 1.4, 98\,\% de l'énergie rayonnée par un corps noir (ce qui constitue l'essentiel de l'énergie) est concentré dans l'intervalle [0,5\,\lambda_m \,;\, 8\,\lambda_m]. Les bornes de ce domaine sont donc :

   \begin{aligned} \lambda_{\min} &= 0,5\,\lambda_m \approx 5\text{ }\mu\text{m} \\ \lambda_{\max} &= 8\,\lambda_m \approx 80\text{ }\mu\text{m} \end{aligned}

   L'essentiel de l'énergie est donc émis dans le domaine :

   \boxed{[\lambda_{\min}, \lambda_{\max}] \approx [5\text{ }\mu\text{m}, 80\text{ }\mu\text{m}]}

   Résultat

   $${\lambda }_m\approx 10\mu \text{m}$$

   $$[{\lambda }_{\min },{\lambda }_{\max }]\approx [5\mu \text{m},80\mu \text{m}]$$

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8. Exercice 8ENS Physique C PC 2021, Q35

   Considérons le rayonnement se propageant selon +\vec{e}_z à travers la tranche d'atmosphère comprise entre z et z+\mathrm{d}z. Le bilan de flux énergétique s'écrit :

   I_\lambda(z + \mathrm{d}z) = I_\lambda(z) - \delta I_{\lambda,\mathrm{abs}} + \delta I_{\lambda,\text{émis}}

   D'après l'énoncé :

   • l'énergie absorbée par la tranche est \delta I_{\lambda,\mathrm{abs}} = I_\lambda k_\lambda \rho\,\mathrm{d}z ;
   • l'énergie émise par la tranche dans la direction \vec{e}_z est \delta I_{\lambda,\text{émis}} = A_\lambda k_\lambda \rho\,\mathrm{d}z.

   La variation du flux énergétique le long de la verticale s'exprime donc par :

   \begin{aligned} \mathrm{d}I_\lambda &= I_\lambda(z + \mathrm{d}z) - I_\lambda(z) \\ &= - I_\lambda k_\lambda \rho\,\mathrm{d}z + A_\lambda k_\lambda \rho\,\mathrm{d}z \\ &= (A_\lambda - I_\lambda)\,k_\lambda \rho\,\mathrm{d}z \end{aligned}

   La variable d'épaisseur optique \tau_\lambda étant définie par \mathrm{d}\tau_\lambda = - k_\lambda \rho\,\mathrm{d}z, on a k_\lambda \rho\,\mathrm{d}z = -\mathrm{d}\tau_\lambda. Il vient alors :

   \begin{aligned} \mathrm{d}I_\lambda &= (A_\lambda - I_\lambda)(-\mathrm{d}\tau_\lambda) \\ &= (I_\lambda - A_\lambda)\,\mathrm{d}\tau_\lambda \end{aligned}

   On obtient ainsi l'équation de transfert radiatif :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}I_\lambda}{\mathrm{d}\tau_\lambda} = I_\lambda - A_\lambda}

   où A_\lambda = \frac{B_\lambda}{\pi} d'après la partie 1.4.

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{I}_{\lambda }}{\mathrm{d}{\tau }_{\lambda }}=I_{\lambda }-A_{\lambda }$$

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9. Exercice 9ENS Physique C PC 2021, Q44

   À l'équilibre radiatif global du système Terre-atmosphère, la puissance totale émise sous forme de rayonnement infrarouge vers l'espace compense exactement la puissance solaire absorbée :

   \mathcal{P}_{\text{émise}} = \mathcal{P}_{\text{absorbée}}.

   La Terre, assimilée à une sphère de rayon R_T, intercepte le flux solaire incident F sur un disque de section efficace \pi R_T^2. Une fraction \alpha de ce flux étant réfléchie vers l'espace (albédo), la puissance solaire nette absorbée s'écrit :

   \mathcal{P}_{\text{absorbée}} = (1 - \alpha) F \times \pi R_T^2.

   Par ailleurs, l'émission thermique infrarouge s'effectue au sommet de l'atmosphère sur toute la sphère, soit une aire totale de 4\pi R_T^2. La puissance totale rayonnée vers l'espace vaut donc :

   \mathcal{P}_{\text{émise}} = U_{Lt} \times 4\pi R_T^2.

   L'égalité de ces deux puissances conduit immédiatement à :

   4\pi R_T^2 U_{Lt} = (1 - \alpha) F \pi R_T^2,

   d'où l'expression du flux thermique hémisphérique montant au sommet de l'atmosphère :

   U_{Lt} = \frac{(1 - \alpha) F}{4}.

   Application numérique : Avec F = 1360\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} et \alpha = 0{,}3, on a 1 - \alpha = 0{,}7 et :

   \begin{aligned} \frac{F}{4} &= \frac{1360}{4} = 340\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}, \\ U_{Lt} &= 0{,}7 \times 340 = 238\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}. \end{aligned}

   Avec deux chiffres significatifs, on obtient :

   \boxed{U_{Lt} = 2{,}4 \times 10^2\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} \quad (\text{soit } 240\text{ W}\cdot\text{m}^{-2})}.

   Résultat

   $$U_{Lt}=2,4\times 10^2\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2}(\text{soit }240\text{ W}\cdot {\text{m}}^{-2})$$

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10. Exercice 10Mines-Ponts Physique 2 PC 2017, Q1

    La luminosité L_\odot correspond à la puissance totale rayonnée par le Soleil à travers toute sa surface. En assimilant le Soleil à une sphère de rayon R_\odot émettant de façon isotrope et uniforme à la température de surface T_s, on intègre le flux radiatif surfacique \phi sur la sphère solaire :

    \begin{aligned} L_\odot &= \iint_{\mathcal{S}_\odot} \phi\,\mathrm{d}S = 4\pi R_\odot^2\,\phi \end{aligned}

    En utilisant la loi de Stefan-Boltzmann \phi = \sigma T_s^4, on obtient :

    \boxed{L_\odot = 4\pi R_\odot^2 \sigma T_s^4}

    Application numérique : D'après les données de l'énoncé :

    • R_\odot = 7 \cdot 10^8\text{ m},
    • \sigma = 6 \cdot 10^{-8}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4},
    • T_s \simeq 1000^{1/4}\cdot 10^3\text{ K} \implies T_s^4 \simeq 1000 \times (10^3)^4 = 10^{15}\text{ K}^4.

    On effectue le calcul :

    \begin{aligned} L_\odot &\simeq 4\pi \times (7\cdot 10^8)^2 \times 6\cdot 10^{-8} \times 10^{15} \\ &= 4\pi \times 49\cdot 10^{16} \times 6\cdot 10^7 \\ &= 1176\pi \cdot 10^{23}\text{ W} \end{aligned}

    Avec \pi \simeq \frac{22}{7}, on a 1176 \times \frac{22}{7} = 168 \times 22 = 3696 \simeq 3{,}7\cdot 10^3. Avec au maximum deux chiffres significatifs, on trouve :

    \boxed{L_\odot \simeq 3{,}7 \cdot 10^{26}\text{ W}}

    Résultat

    $$L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^2\sigma T_s^4$$

    $$L_{\odot }\simeq 3,7\cdot 10^{26}\text{ W}$$

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