Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2023

L'irradiance spectrale du corps noir est donnée par la loi de Planck :

Introduisons la variable adimensionnée :

La fonction L^0(\lambda, T) se réécrit à température T fixée :

Comme \lambda décroît strictement avec x, le maximum de L^0 par rapport à \lambda s'obtient en annulant la dérivée de L^0 par rapport à \lambda :

Dérivons la fonction g(x) = \frac{x^5}{\mathrm{e}^x - 1} par rapport à x :

Pour x > 0, l'annulation de la dérivée conduit à la relation :

L'énoncé indique que la solution de cette équation transcendante vaut x \approx 5 (la valeur numérique exacte étant x_0 \approx 4{,}965). Par définition de x, à l'extremum \lambda = \lambda_{\max} :

Calculons la constante associée en prenant l'air (ou le vide) pour lequel l'indice de réfraction vaut n = 1, soit c = c_0 = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

• avec la valeur précise x_0 \approx 4{,}965 :

  \lambda_{\max} T = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \times 3{,}00 \cdot 10^8}{4{,}965 \times 1{,}38 \cdot 10^{-23}} \approx 2{,}899 \cdot 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{m}

• avec l'approximation suggérée x \approx 5 :

  \lambda_{\max} T \approx \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \times 3{,}00 \cdot 10^8}{5 \times 1{,}38 \cdot 10^{-23}} \approx 2{,}88 \cdot 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{m}

On retrouve ainsi la loi du déplacement de Wien :

La puissance surfacique totale émise par le corps noir s'obtient en intégrant la loi de Planck sur toutes les longueurs d'onde du spectre :

Introduisons le changement de variable sans dimension :

Pour les bornes d'intégration :

• lorsque \lambda \to 0, x \to +\infty ;
• lorsque \lambda \to +\infty, x \to 0.

En réinjectant ces expressions dans l'intégrale :

D'après l'intégrale fournie en donnée de l'énoncé, \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{x^3}{\mathrm{e}^x - 1} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi^4}{15}. On en déduit :

On retrouve bien la loi de Stefan-Boltzmann :

1. Longueur d'onde maximale d'émission :

D'après la loi de Wien établie à la question Q1 :

Pour une température T = 1000\text{ K}, on obtient :

Cette longueur d'onde se situe dans le domaine infrarouge (proche/moyen IR).

2. Puissance surfacique dans le domaine visible :

La puissance surfacique totale émise sur tout le spectre est donnée par la loi de Stefan-Boltzmann (Q2) :

D'après l'énoncé, 98\,\% de l'énergie rayonnée est contenue dans l'intervalle :

Le domaine visible, s'étendant d'\approx 0{,}4\,\mu\text{m} à 0{,}75\,\mu\text{m}, est entièrement situé en dessous de \lambda_{\max}/2 = 1{,}45\,\mu\text{m}. La puissance émise aux longueurs d'onde plus courtes que \lambda_{\max}/2 représente tout au plus 1\,\% du rayonnement total.

En réalité, dans le domaine visible, la décroissance exponentielle de Wien est très forte (x = \frac{hc}{\lambda k_B T} \approx 19 à 0{,}75\,\mu\text{m}). Par lecture sur la figure 2 pour T = 1000\text{ K} :

• pour \lambda \leqslant 0{,}6\,\mu\text{m}, l'irradiance spectrale est quasi nulle (L^0 \ll 1\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\mu\text{m}^{-1}) ;
• au voisinage de \lambda = 0{,}75\,\mu\text{m}, l'irradiance spectrale atteint de l'ordre de 10\text{ à }50\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\mu\text{m}^{-1}.

En intégrant grossièrement sur la tranche visible utile \Delta \lambda \approx 0{,}15\,\mu\text{m} :

3. Discussion de la cohérence avec la figure 2 :

• Le sommet de la courbe isotherme 1000\text{ K} est bien localisé légèrement avant 3\,\mu\text{m} sur l'axe des abscisses, en parfait accord avec \lambda_{\max} \approx 2{,}9\,\mu\text{m}.
• La bande du domaine visible (zone colorée entre 0{,}4\,\mu\text{m} et 0{,}75\,\mu\text{m}) se situe sur la queue gauche de la distribution. L'irradiance y est extrêmement faible par rapport au pic (10^4\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\mu\text{m}^{-1}), et ne décolle qu'à l'extrême bord rouge. Le rayonnement est donc quasi-intégralement émis dans l'infrarouge.

D'après les questions précédentes, pour une température de T = 1000\text{ K} :

• Le maximum global d'irradiance spectrale est situé dans l'infrarouge lointain : \lambda_{\max} \approx 2{,}90\,\mu\text{m}. La couleur observée ne peut donc pas correspondre au maximum d'émission de la loi de Planck/Wien, qui est invisible à l'œil nu.

• Dans le domaine visible (\lambda \in [0{,}4\,\mu\text{m}\,;\,0{,}75\,\mu\text{m}]), la condition \lambda \ll \lambda_{\max} implique que l'on se situe sur l'aile exponentielle croissante du spectre (régime de Wien) :

  \frac{\partial L^0}{\partial \lambda} > 0 \quad \text{sur tout le domaine visible.}

Par conséquent :

• L'émission est quasi-nulle dans le violet et le bleu (\lambda \approx 400-500\text{ nm}).
• Elle commence à être notable dans le vert et le jaune (\lambda \approx 550-600\text{ nm}).
• Elle est maximale, au sein du spectre visible, pour les plus grandes longueurs d'onde, c'est-à-dire le rouge et l'orange (\lambda \approx 600-750\text{ nm}).

Le rayonnement visible émis par le corps noir à 1000\text{ K} est donc quasi exclusivement composé de rayonnements rouge, orangé et d'un peu de jaune.

D'après la définition de l'émissivité, le spectre d'émission d'un corps gris à émissivité constante \epsilon s'écrit :

Évolution de la loi de Wien La constante \epsilon > 0 étant indépendante de \lambda, la dérivée par rapport à \lambda s'écrit :

L'annulation de cette dérivée intervient pour la même longueur d'onde que pour le corps noir. Ainsi, la position du maximum d'émission \lambda_{\max} n'est pas modifiée :

La loi de déplacement de Wien reste donc inchangée. En revanche, la valeur maximale de l'irradiance spectrale est réduite d'un facteur \epsilon :

Évolution de la loi de Stefan-Boltzmann La puissance surfacique totale émise s'obtient en intégrant L(\lambda, T) sur tout le spectre :

En utilisant le résultat de la loi de Stefan-Boltzmann établi à la question 2 :

La puissance totale émise est directement proportionnelle à l'émissivité \epsilon.

Allure des spectres Pour \epsilon_{\text{acier}} = 0{,}7, la courbe du corps gris se déduit de celle du corps noir par une affinité verticale de rapport 0{,}7, en conservant rigoureusement le même extremum en \lambda_{\max} :

1. Estimation de \lambda'_{\max} et de la déviation à T = 1000\text{ K} :

La loi empirique s'écrit :

Pour T = 1000\text{ K}, avec a = 5 et b = 6\cdot 10^{-4}\text{ K}^{-1} :

Or, d'après la question 1, le maximum du corps noir vérifiait \frac{hc}{\lambda_{\max} k_B T} \approx 5, d'où :

Avec \lambda_{\max}(1000\text{ K}) \approx 2{,}90\,\mu\text{m} :

La déviation subie est un décalage vers les grandes longueurs d'onde :

2. Conséquence sur la loi de Stefan-Boltzmann :

Si l'émissivité dépend de la température, \epsilon = \epsilon(T), la puissance totale surfacique rayonnée s'écrit :

La dépendance globale en température n'est donc plus rigoureusement en T^4. Pour les métaux, l'émissivité augmente généralement avec la température, ce qui conduit à une croissance de P_{\text{ray}} plus rapide qu'en T^4.

3. Lien direct entre la loi de Wien et la couleur observée :

À 1000\text{ K}, le maximum d'émission \lambda'_{\max} \approx 3{,}3\,\mu\text{m} est situé encore plus profondément dans l'infrarouge que celui du corps noir (2{,}9\,\mu\text{m}). Il reste très éloigné du domaine visible (0{,}4\text{ µ m} \le \lambda \le 0{,}8\text{ µ m}).

Par conséquent, ces changements ne permettent absolument pas de relier directement la loi de Wien à la couleur observée : la couleur perçue (jaune-orangé) ne correspond pas au maximum d'émission du spectre, mais à la distribution spectrale perçue par l'œil dans l'étroite bande du visible.

1. Représentation graphique :

À T = 1000\text{ K}, le maximum d'irradiance spectrale se situe dans l'infrarouge à \lambda_{\max} \approx 2{,}9\,\mu\text{m} = 2900\text{ nm} (question Q3). Dans le domaine visible (380\text{ nm} \le \lambda \le 780\text{ nm}), l'irradiance spectrale L^0(\lambda, T) est une fonction strictement croissante de \lambda.

2. Interprétation de la couleur perçue :

La stimulation de chacun des types de cônes (notés B, V, R) résulte de l'intégrale du spectre émis pondéré par leur sensibilité spectrale respective s_i(\lambda) :

Dans le domaine visible, la loi de Planck à 1000\text{ K} vérifie l'approximation de Wien (\frac{hc}{\lambda k_B T} \gg 1) :

Cette fonction croît de plusieurs ordres de grandeur entre le bleu (400\text{ nm}) et le rouge (700\text{ nm}). Ainsi :

• L^0(\lambda, 1000\text{ K}) est quasi-nulle dans la bande de réponse des cônes bleus : S_B \approx 0 ;
• elle commence à croître légèrement au niveau de la bande des cônes verts : S_V est faible mais non nulle ;
• elle atteint des valeurs nettement plus élevées dans la bande des cônes rouges : S_R \gg S_V \gg S_B.

L'œil reçoit ainsi une forte stimulation des récepteurs rouges, une faible stimulation des récepteurs verts et quasiment aucune des récepteurs bleus. En synthèse additive, le mélange d'une forte composante rouge et d'une faible composante verte donne précisément une sensation de couleur rouge-orangée.

3. Température de couleur :

D'après la définition du texte, la température de couleur T_c est la température d'un corps noir dont le maximum d'irradiance spectrale se situerait dans le domaine correspondant à la couleur perçue, c'est-à-dire dans le rouge-orangé (\lambda_{\max} \approx 650 \text{ à } 700\text{ nm}).

Par la loi de Wien :

Dans un conducteur ohmique tel que l'acier, la densité volumique de courant induit \vec{J} est reliée au champ électrique local \vec{E} par la loi d'Ohm locale :

où :

• \sigma est la conductivité électrique du matériau ;
• son unité dans le Système International est le siemens par mètre (\text{S}\cdot\text{m}^{-1}), équivalent à l'\Omega^{-1}\cdot\text{m}^{-1} (ou \text{A}\cdot\text{V}^{-1}\cdot\text{m}^{-1}, soit en unités de base \text{A}^{2}\cdot\text{s}^{3}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{m}^{-3}).

1. Invariances : La plaque d'acier occupe le demi-espace z > 0, invariant par toute translation parallèle au plan frontière (Oxy). De plus, l'inducteur génère un champ magnétique homogène sur toute la surface z = 0.

Le système est donc invariant par translation selon les axes (Ox) et (Oy). Par conséquent, toutes les grandeurs physiques ne dépendent spatialement que de la coordonnée z (et du temps t) :

2. Composantes du champ magnétique \vec{B} :

• D'après l'équation de Maxwell-Thomson :

  \operatorname{div}\vec{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = \frac{\partial B_z}{\partial z} = 0

  Ainsi, B_z(z,t) est uniforme dans la plaque. Comme le champ imposé en surface z=0 est purement tangentiel le long de (Ox) (et que le champ s'annule à l'infini z \to +\infty), on en déduit que :

  B_z(z,t) = 0.

• Un champ magnétique orienté suivant (Ox) est produit par des courants d'excitation circulant selon l'axe (Oy). Tout plan (x, y_0, z) parallèle à (xOz) est orthogonal aux courants, c'est donc un plan d'antisymétrie \Pi^* pour la distribution des courants.

  Le champ magnétique étant un pseudovectoriel, il est nécessairement parallèle aux plans d'antisymétrie des courants en tout point de ceux-ci, ce qui impose B_y(z,t) = 0.

Le champ magnétique n'a donc qu'une unique composante non nulle :

3. Composantes du champ électrique \vec{E} et du courant \vec{J} : D'après l'équation de Maxwell-Ampère et la loi d'Ohm locale \vec{J} = \sigma \vec{E} :

Par conséquent, \vec{E} et \vec{J} ne possèdent qu'une composante non nulle selon \vec{u}_y :

D'après la loi d'Ohm locale établie à la question Q8, \vec{J} = \sigma \vec{E}. L'équation de Maxwell-Ampère dans le milieu s'écrit alors :

En prenant le rotationnel de cette équation et en utilisant l'identité vectorielle \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}} \vec{B}) = \vec{\nabla}(\operatorname{div}\vec{B}) - \Delta \vec{B} ainsi que \operatorname{div} \vec{B} = 0, on obtient :

En injectant l'équation de Maxwell-Faraday \vec{\operatorname{rot}} \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}, il vient l'équation de diffusion magnétique :

D'après l'étude des symétries et invariances menée à la question Q9, le champ magnétique ne possède qu'une composante selon l'axe (Ox) et ne dépend que de la coordonnée z :

Le laplacien vectoriel se réduit donc à la dérivée seconde spatiale :

En régime sinusoïdal permanent avec la convention de l'énoncé \vec{B}(z, t) = B(z) e^{-j\omega t} \, \vec{u}_x (où l'on note simplement B(z) = B_x(z) l'amplitude complexe), la dérivée temporelle se traduit par :

L'amplitude complexe B(z) vérifie par conséquent l'équation différentielle ordinaire :

D'après la question Q10, l'amplitude complexe B(z) vérifie l'équation différentielle :

L'équation caractéristique associée s'écrit :

Les deux racines de cette équation sont :

On introduit l'épaisseur de peau \delta, homogène à une longueur, définie par :

Les deux racines s'écrivent alors :

La forme générale de la solution est donc :

où C_1 et C_2 sont deux constantes d'intégration complexes.

• Pour des raisons physiques, le champ doit rester fini lorsque z \to +\infty. Comme \operatorname{Re}\left(\frac{1-j}{\delta}z\right) = +\frac{z}{\delta} > 0, le second terme diverge exponentiellement : on a donc nécessairement C_2 = 0.
• En surface (z = 0), on a B(0) = B_s, d'où C_1 = B_s.

La solution pour l'amplitude complexe du champ magnétique est donc :

En revenant au champ réel avec la convention temporelle \vec{B}(z,t) = \operatorname{Re}\left(B(z)\mathrm{e}^{-j\omega t}\right)\vec{u}_x (en choisissant l'origine des temps telle que B_s soit réel) :

D'après le résultat de la question 11, le champ magnétique dans le demi-espace conducteur z > 0 s'écrit sous la forme :

avec B_s l'amplitude réelle positive du champ en z = 0. Le module du champ magnétique s'exprime donc simplement par :

L'épaisseur de peau s'exprime en fonction des caractéristiques du système par :

Influence de la fréquence \boldsymbol{f} (ou pulsation \boldsymbol{\omega}) : L'épaisseur de peau varie comme f^{-1/2}.

• À haute fréquence, \delta diminue : le champ magnétique et les courants induits sont confinés dans une pellicule superficielle très mince à la surface de l'acier (effet de peau très marqué).
• À basse fréquence, \delta est plus grande : le champ pénètre plus profondément dans le conducteur.

Influence de la perméabilité relative \boldsymbol{µ_r} du matériau : L'épaisseur de peau varie comme \mu_r^{-1/2}.

• Pour un matériau ferromagnétique (\mu_r \gg 1, comme l'acier à température ambiante où \mu_r \sim 10^2 à 10^3), la pénétration est fortement réduite par rapport à un conducteur non magnétique (\mu_r \approx 1).
• Cela entraîne une localisation accrue des courants induits et favorise une forte dissipation volumique superficielle par effet Joule, ce qui est particulièrement avantageux pour le chauffage par induction en forge.

D'après l'équation de Maxwell-Ampère dans l'acier (dans l'ARQS magnétique) et la loi d'Ohm locale (question Q8) :

Sachant que \vec{B}(\vec{r},t) = B(z) \vec{u}_x, le rotationnel s'écrit :

On en déduit l'expression du champ électrique complexe dans la plaque :

D'après le résultat de la question Q11, l'amplitude complexe du champ magnétique s'écrit :

ce qui donne pour sa dérivée spatiale :

Le champ électrique s'écrit donc :

Calculons le produit vectoriel \vec{E} \wedge \vec{B}^* avec \vec{B}^*(z) = B^*(z)\vec{u}_x :

Sa norme vaut :

Or, d'après la question Q12, |B(z)| = B_s e^{-z/\delta}, d'où |B(z)|^2 = B_s^2 e^{-2z/\delta}.

En injectant cette relation dans l'expression donnée par l'énoncé, on obtient :

Cette expression se met bien sous la forme demandée :

où l'on a utilisé \mu_0 \mu_r \sigma = \frac{2}{\omega \delta^2}.

1. Symétries et invariances :

• La bobine est enroulée autour de l'axe (Ox) et la géométrie est supposée infinie suivant (Ox) ; toutes les grandeurs physiques sont donc indépendantes de la coordonnée x : \dfrac{\partial}{\partial x} = 0.

• Les spires conductrices parcourent des plans parallèles au plan (yOz). Tout plan orthogonal à (Ox) est donc un plan d'antisymétrie de la distribution de courant. Par propriété des pseudo-vecteurs, le champ magnétique \vec{B} est orthogonal à ces plans, d'où :

  \vec{B}(\vec{r}, t) = B(y, z) e^{-j\omega t} \, \vec{u}_x

  Cette forme vérifie immédiatement \operatorname{div} \vec{B} = \dfrac{\partial B}{\partial x} = 0.

2. Équation de diffusion dans le conducteur :

En régime sinusoïdal avec la convention temporelle e^{-j\omega t}, l'équation de Maxwell-Faraday devient :

L'équation de Maxwell-Ampère (dans le cadre de l'ARQS magnétique) s'écrit avec la loi d'Ohm locale \vec{J} = \sigma \vec{E} :

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Ampère :

En utilisant l'identité vectorielle \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}} \vec{B}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div} \vec{B}) - \Delta \vec{B} et sachant que \operatorname{div}\vec{B} = 0, on obtient l'équation de Helmholtz vérifiée par l'amplitude complexe du champ :

3. Équation scalaire vérifiée par B(y, z) :

Comme \vec{B} = B(y, z) \vec{u}_x, le laplacien vectoriel se réduit au laplacien scalaire :

En introduisant l'épaisseur de peau \delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0 \mu_r \sigma \omega}}, l'équation vérifiée par B(y, z) s'écrit :

Dans l'hypothèse d'une plaque mince (h \ll d), les effets de bord latéraux selon y sont négligeables au sein du matériau. Le champ magnétique ne dépend donc plus de la coordonnée y : \frac{\partial \vec{B}}{\partial y} \approx \vec{0}.

L'équation établie à la question 14 se réduit alors à une équation différentielle unidimensionnelle selon z pour l'amplitude complexe B(z) (avec \vec{B}(z,t) = B(z)e^{-j\omega t}\vec{u}_x) :

L'équation caractéristique associée s'écrit :

Les deux racines sont donc r = \pm \underline{k} avec :

En plaçant l'origine z = 0 au plan médian de la plaque (soit pour z \in [-h/2, \, h/2]), la solution générale s'exprime sous la forme :

L'inducteur entourant symétriquement la plaque métallique, le champ magnétique extérieur tangentiel imposé à la surface est identique sur les deux faces :

Par parité du problème par rapport au plan z = 0, la fonction B(z) doit être paire, ce qui impose C_2 = 0. La condition en z = h/2 donne alors :

Le champ magnétique complexe au sein de la plaque s'écrit donc :

Remarque : si l'on conserve l'origine des cotes au bord inférieur de la plaque comme suggéré sur le schéma (z \in [0, h]), l'expression devient de façon équivalente :

D'après l'équation de Maxwell-Ampère en régime quasi-stationnaire (courant de déplacement négligé) :

Le champ magnétique étant dirigé selon \vec{u}_x et ne dépendant que de z :

Son rotationnel s'écrit en coordonnées cartésiennes :

On en déduit que le vecteur densité de courant volumique est purement selon \vec{u}_y :

En utilisant l'expression du champ magnétique obtenue à la question Q15 :

La dérivée spatiale vaut :

On obtient ainsi l'amplitude complexe de la densité volumique de courant :

En introduisant le temps, le champ réel s'écrit :

D'après la question Q16, l'amplitude complexe du vecteur densité volumique de courant dans la plaque est :

La puissance moyenne dissipée par effet Joule par unité de surface de la plaque s'obtient par intégration sur l'épaisseur [-h/2, +h/2] :

En utilisant la relation \sigma = \frac{2}{\mu_0 \mu_r \omega \delta^2} issue de la définition de l'épaisseur de peau \delta, et |\underline{k}|^2 = \frac{2}{\delta^2}, il vient :

Développons le numérateur et le dénominateur de |\underline{J}_y(z)|^2. Pour tout nombre complexe u = \alpha + j\beta :

Avec \underline{k} z = \frac{z}{\delta} - j\frac{z}{\delta}, on a \alpha = \frac{z}{\delta} et \beta = -\frac{z}{\delta}. Le dénominateur, évalué en z = h/2, vaut donc :

Le numérateur intégré sur l'épaisseur donne :

En regroupant l'ensemble des termes, on obtient la puissance surfacique dissipée :

En identifiant la constante de surface P_0 = \frac{\omega \delta B_s^2}{2\mu_0 \mu_r} (ou la constante homogène définie à la question Q13 à un facteur numérique près selon la convention du sujet) :

• Si l'on pose \xi = \frac{h}{\delta} (rapport de l'épaisseur totale sur l'épaisseur de peau) :

  f(\xi) = \frac{\operatorname{sh}\xi - \sin\xi}{\operatorname{ch}\xi + \cos\xi}
• Si l'on conserve strictement la définition imposée par l'énoncé \xi = \frac{h}{2\delta} (demi-épaisseur rapportée à la peau), la variable sans dimension de l'expression physique vaut 2\xi :

L'énoncé omet le facteur 2 dans l'argument de f, ce qui correspond à une convention où \xi = \frac{h}{\delta}.

1. Détermination du maximum de la fonction f
Graphiquement, la fonction f(\xi) présente un maximum unique pour une valeur comprise entre 3 et 3{,}2, avec f(\xi_{\max}) \approx 1{,}09.

Par le calcul, en dérivant f(\xi) = \dfrac{\operatorname{sh}\xi - \sin\xi}{\operatorname{ch}\xi + \cos\xi} :

Pour \xi > 0, \operatorname{sh}\xi > 0. La dérivée s'annule donc pour \sin\xi = 0, soit au premier extremum pour :

2. Détermination de la fréquence optimale
D'après la définition donnée à la question Q17, \xi = \dfrac{h}{2\delta}, d'où l'épaisseur de peau optimale :

Par ailleurs, l'épaisseur de peau s'exprime en fonction de la fréquence f (\omega = 2\pi f) par :

En égalant les deux expressions :

Avec les données numériques de l'énoncé :

• h = 1\text{ mm} = 10^{-3}\text{ m} ;
• \mu_r = 100 ;
• \sigma = 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} ;
• \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}.

On a \mu_0 \mu_r \sigma = (4\pi \cdot 10^{-7}) \times 100 \times 10^7 = 4\pi \cdot 10^2\text{ SI}. Il vient immédiatement :

3. Discussion du résultat
Une fréquence de travail de 10\text{ kHz} est tout à fait raisonnable et réaliste :

• Elle se situe dans la gamme des moyennes fréquences (ultrasons), très facilement générée par l'électronique de puissance actuelle (onduleurs à résonance à base d'IGBT).
• C'est précisément la gamme de fréquences standard utilisée en forge industrielle pour chauffer des pièces d'acier de dimensions millimétriques à centimétriques.