Forger les métaux par induction électromagnétique : rayonnement thermique, courants induits et chauffe d'un barreau
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Le sujet étudie le chauffage par induction d'une pièce d'acier en trois parties indépendantes. Il relie d'abord le rayonnement du corps noir puis du corps gris à la température de couleur observée par le forgeron. Il établit ensuite les courants induits dans le métal à partir des équations de Maxwell, avant de modéliser l'évolution de la température du barreau à l'aide de la transformation de Laplace.
1Partie 1 : rayonnement de l'acier chauffé et température de couleurLoi de Planck, lois de Wien et de Stefan, modèle du corps gris et lien avec la sensibilité de l'œil.
2Partie 2 : problème électromagnétiqueConductivité, effet de peau sous un inducteur plan, puis inducteur enroulé autour d'une plaque, puissance dissipée par effet Joule et fréquence optimale.
3Partie 3 : étude du problème thermiqueÉquation de la chaleur avec source, résolution par transformation de Laplace, ajout des pertes conducto-convectives et radiatives, puis effet de la température de Curie.
Difficulté moyenne. Beaucoup de questions des parties 1 et 2 sont jugées en général bien traitées, mais le rapport décrit les questions 21 à 29 de la partie thermique comme difficiles et sélectives.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Applications numériques négligées · Symétries invoquées dans le vide · Conditions aux limites mal exploitées
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Les questions de début de partie ont souvent été bien réussies, en particulier sur les lois du rayonnement et l'équation de la chaleur. La partie thermique a fortement départagé les candidats, car les questions 25 à 29 dépendaient d'un traitement exact des questions 21 et 22. Le jury insiste sur la rigueur des justifications, les unités et les applications numériques.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Applications numériques négligéesQ1, Q18
Certains recopient le résultat donné par l'énoncé au lieu de le calculer. En question 18, la fréquence associée au paramètre optimal est souvent mal calculée.
« certains candidats se contentant de fournir le résultat à trois décimales donné par l'énoncé »
2
Symétries invoquées dans le videQ9
Citer des invariances et des symétries ne permet de conclure que si l'on précise sur quelles grandeurs elles portent.
« Une fraction importante des copies met en avant des invariances et symétries, mais sans préciser de quelles grandeurs »
3
Conditions aux limites mal exploitéesQ11, Q15
Des épaisseurs de peau complexes apparaissent en question 11. En question 15, beaucoup reprennent la solution de la question 11, et peu exploitent la symétrie pour obtenir une solution en cosh.
4
Modèle inadapté pour le champ magnétiqueQ14
Calculer le champ créé par des spires ou un solénoïde n'était pas adapté, car le champ est ici imposé comme condition aux limites.
« le champ magnétique étant introduit ici comme une condition aux limites à la question 15, et non comme une grandeur à déterminer »
5
Condition aux limites dans le domaine de LaplaceQ21, Q22
Peu de candidats voient que l'équation de la question 21 n'a plus de terme source volumique. La traduction de la condition sur le gradient de température en z = 0 a ensuite bloqué la suite.
« Le principal écueil - discriminant là aussi - a été la conversion dans le domaine de Laplace de la condition aux limites »
6
Intuition à la place des équationsQ19, Q24
Certaines réponses reposent sur l'intuition sans établir rigoureusement les équations. En question 19, les différents termes de l'équation sont moins bien expliqués que l'équation elle-même.
« Question souvent traitée avec intuition, plus que sur l'établissement rigoureux des équations. »
Ce qui a été bien réussi
Les questions 1, 2, 10, 11 et 12 sont en général bien traitées.
L'évolution des lois de Wien et de Stefan est généralement bien traitée (question 5).
L'équation sur la température est très bien établie en question 19.
La transformée de Laplace de l'équation sur T et sa solution générale sont bien menées en question 22.
Les questions 30 et 31, indépendantes des précédentes, ont été relativement bien traitées.
Conseils du jury
Analyser le verbe de chaque question : « rappeler » une expression ne demande pas de la démontrer.
Vérifier systématiquement l'homogénéité des résultats.
Donner les résultats numériques avec leurs unités et un nombre de chiffres significatifs adapté aux données.
Justifier les hypothèses, nommer les principes utilisés et définir explicitement les variables introduites.
Ne pas négliger les applications numériques, qui représentent une part importante des points.
Répondre par un raisonnement physique argumenté plutôt que par une paraphrase de l'énoncé.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Corrigé détaillé
32 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.
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32 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.
Le sujet étudie le chauffage par induction d'une pièce d'acier en trois parties indépendantes. Il relie d'abord le rayonnement du corps noir puis du corps gris à la température de couleur observée par le forgeron. Il établit ensuite les courants induits dans le métal à partir des équations de Maxwell, avant de modéliser l'évolution de la température du barreau à l'aide de la transformation de Laplace.
MARDI 18 AVRIL 2023
08h00-12h00
FILIERE PC - Epreuve n ^∘3
PHYSIQUE A (XE)
Durée: 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Forger les métaux grâce à l'induction électromagnétique
La découverte du phénomène d'induction électromagnétique par Oersted et Faraday au XIX ^e siècle a enclenché une révolution dans la modernité, conduisant notamment à l'invention de l'alternateur ou de moteur. Dans la vie de tous les jours, on connait également l'usage de l'induction électromagnétique comme dans le cas des plaques de cuisson.
Depuis quelques années, des dispositifs de chauffage par induction ont été développés dans le domaine de la forge. L'intérêt est de chauffer sans contact du métal, avec un excellent rendement énergétique puisque l'énergie électrique est convertie sous forme de chaleur au sein du matériau à chauffer. Cette technique de forge présente de par sa nature un bilan carbone quasi-nul, contrairement à la forge classique qui fait appel à la combustion. Dans ce sujet on s'intéresse au fonctionnement d'un tel dispositif et nous cherchons à mettre en évidence les différents phénomènes physiques en jeu.
Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes; la dernière question (32) fait appel à certains résultats de la partie 2.
Figure 1 - Métal chauffé par induction électromagnétique Crédits : David Hyde
1 Rayonnement de l'acier chauffé et température de couleur
Dans cette partie, on se place du côté du forgeron qui utilise un tel système de chauffe. On considère le régime permanent de chauffe d'une pièce en acier cylindrique. Ainsi, on suppose qu'à un instant t, la température de la pièce métallique est constante, notée T.
Lorsqu'un corps est à température non nulle, il émet un rayonnement électromagnétique. L'objectif de cette partie est d'interpréter la couleur perçue par le forgeron pour un acier chauffé par induction. On prendra comme cas de référence un acier chauffé à 1000 K , qui apparaît de couleur rouge-orangée.
1.1 Modèle du corps noir
Pour cette section, on assimile l'acier à un corps noir. Dans ce cas, le spectre rayonné s'obtient à l'aide de la loi de Planck :
L^0(λ, T) la puissance spectrale surfacique, ou irradiance spectrale (exprimée en J.m^(− 3).s^(− 1));
λ = (λ_0)/n la longueur d'onde (en m ) dans un milieu d'indice de réfraction n;
h = 6, 63 ⋅ 10^(− 34) J.s la constante de Planck;
c = (c_0)/n avec c_0 = 3.10^8 m ⋅ s^(− 1) la célérité de la lumière dans le vide;
k_B = 1, 38 ⋅ 10^(− 23) J.K^(− 1) la constante de Boltzmann
T la température de la surface du corps (en K) ; 98% de l'énergie du spectre émis par un corps noir est compris dans l'intervalle [(λ_(max))/2; 8λ_(max)] où λ_(max) est la longueur d'onde correspondant au maximum d'irradiance.
La loi de Wien permet de relier la longueur d'onde correspondant au maximum d'irradiance lumineuse donné par la loi de Planck en fonction de la température de surface du corps noir chauffé :
λ_(max) × T = 2, 899 ⋅ 10^(− 3) K ⋅ m
Démontrer cette loi à partir de la loi de Planck, en calculant une valeur approchée de l'extremum. On considèrera que la solution de l'équation e^(− x) = 1 − x/5 vaut x ≈ 5.
2. On peut également démontrer une autre loi à partir de la loi de Planck, la loi de StefanBoltzmann. En intégrant la loi de Planck sur l'ensemble du spectre électromagnétique, montrer que la puissance surfacique rayonnée se met sous la forme :
P_(ray) = σ_0 T^4 avec σ_0 = (2π^5 k_B^4)/(15h^3 c^2)
Donnée : ∫_0^(+ ∞)(x^3)/(e^x − 1)dx = (π^4)/(15)
3. D'après la loi de Planck, quelle est la longueur d'onde maximale d'émission pour une température de chauffe de 1000 K? Quelle puissance surfacique de ce spectre est située dans le domaine visible? Discuter de la cohérence de vos résultats à l'aide de la figure 2 .
4. Le spectre observé à 1000 K est-il en accord avec la couleur jaune-orangée observée?
Figure 2 - Loi de Planck pour plusieurs températures. Crédits : CC BY-SA 4.0
1.2 Modèle du corps gris
Pour un corps réel, le spectre émis ne correspond pas toujours à celui du modèle du corps noir. Il faut tenir compte d'un facteur correctif appelé émissivité, ε. Elle est définie comme le rapport entre l'irradiance spectrale réelle du corps à une température donnée L(λ, T), et celle émise par un corps noir à la même température L^0(λ, T) :
ε = (L(λ, T))/(L^0(λ, T))
L'émissivité des matériaux varie en fonction de la structure de la surface (rugosité et composition chimique notamment), et n'est pas constante en fonction de la longueur d'onde d'émission. Cette dépendance spectrale n'étant pas triviale à définir et à modéliser pour tous les matériaux, on considère successivement deux modèles simplifiés :
Une émissivité moyenne constante, indépendante de la longueur d'onde.
Une émissivité variant avec la température.
Dans le cas du premier modèle, où l'émissivité est supposée constante, décrire comment évoluent les lois de Wien et de Stefan-Boltzmann. Tracer alors sur un même graphique l'allure du spectre du corps noir et celui du corps gris avec ε_(acier) = 0, 7.
Dans le cas du deuxième modèle, on suppose que l'émissivité dépend de la température. Cette variation est caractérisée par la loi empirique suivante :
(hc)/(λ_(max)^′ k_B T) = a − bT avec a = 5 et b = 6.10^(− 4) K^(− 1)
Pour une température de 1000 K , estimer λ_(max)^′, la déviation subie par λ_(max) suivant ce modèle. Qu'en est-il de la loi de Stefan? Ces changements éventuels permettent-ils de relier directement la loi de Wien à la couleur observée du métal chauffé ?
1.3 La température de couleur, l'outil du forgeron
Lorsqu'il chauffe un métal, un forgeron se sert de la couleur perçue pour déterminer la température en temps réel du métal. Il se sert d'un étalonnage visuel, notion que l'on appelle «température de couleur ». Il s'agit de la température qu'aurait un corps noir émettant un spectre dont le maximum d'irradiance spectrale correspond à la couleur perçue de l'objet.
Pour comprendre la couleur perçue d'un objet, il faut tenir compte des photorécepteurs de l'œil responsables de l'interprétation de la couleur : les cônes. L'œil humain présente sur la rétine une multitude de cellules présentant chacune trois cônes, permettant de capter les trois couleurs primaires en synthèse additive (le bleu, le vert et le rouge) avec une certaine bande passante. On donne la courbe des fonctions colorimétriques des cônes de l'œil humain dans la figure 3.
Figure 3 - Fonctions colorimétriques des cônes de l'oeil humain. Crédits : By User :Acdx - Own work, CCBY − SA4.0
Représenter l'allure du spectre d'un corps noir chauffé à 1000 K . Superposer sur le même graphique l'allure des fonctions colorimétriques de l'œil. Interpréter la couleur rouge-orangée observée de l'acier lorsqu'il est chauffé à 1000 K en intégrant le spectre émis avec une pondération donnée par les fonctions colorimétriques de l'œil. À quelle température de couleur cela correspondil?
2 Problème électromagnétique
Dans cette partie, on s'intéresse à l'origine microscopique de l'échauffement de la pièce d'acier, à savoir le phénomène d'induction électromagnétique. L'objectif est de trouver les meilleurs paramètres de travail pour optimiser la puissance transmise à la pièce métallique.
2.1 Inducteur placé au dessus d'une plaque semi-infinie
Dans un premier temps, on s'intéresse à une plaque d'acier semi-infinie contenue dans le demiespace z > 0. On utilise un inducteur placé en-dessous de la plaque pour générer un champ magnétique homogène aligné suivant l'axe ( Ox ) à la surface de celle-ci. On cherche à déterminer les courants induits dans la pièce d'acier. Pour cela, nous devons calculer les champs magnétique B⃗(r⃗, t) et électrique E⃗(r⃗, t) dans l'acier.
Dans le contexte de ce problème, les équations de Maxwell s'écrivent :
où on a introduit μ_r, appelée perméabilité relative, qui permet de tenir compte des propriétés magnétiques de l'acier.
8. Donner la relation reliant les courants induits J⃗ en fonction du champ électrique E⃗ en prenant soin de détailler la constante introduite et ses unités.
9. Définir les symétries et invariances du système afin de réduire le nombre de composantes non nulles et leurs dépendances.
10. Établir l'équation vérifiée par l'unique composante non nulle du champ B⃗ lorsque l'excitation est sinusoïdale à la pulsation ω (on choisira la convention B⃗(r⃗, t) = B⃗(r⃗)e^(− jωt) ).
11. Déterminer la solution de cette équation (en introduisant B_s la valeur de B en z = 0 ). On prendra soin d'introduire une épaisseur de peau δ à définir.
12. Tracer l'évolution du module |B(z)| et discuter de l'influence de la fréquence et de la perméabilité relative μ_r du matériau.
13. Montrer que la puissance volumique dissipée par effet Joule P_J = 1/(2μ_0 μ_r)‖E⃗ ∧ B^∗^(→−)‖ peut se mettre sous la forme :
P_J = P_0 e^(− (2z)/δ)
Ce premier calcul est un cas de référence sur lequel on essaie de se ramener lorsque la géométrie est modifiée.
2.2 Inducteur enroulé autour d'une plaque métallique
Passons au cas d'une géométrie plus proche de la réalité. On considère désormais une plaque métallique comme représentée sur le schéma suivant :
14. En adaptant les équations de Maxwell à la nouvelle géométrie du problème (considérée comme infinie dans la direction Ox ), déterminer l'équation vérifiée par le champ B⃗ lorsque les bobines sont traversées par des courants sinusoïdaux à la pulsation ω.
15. Dans l'hypothèse d'une plaque mince ( h≪d ) on peut négliger la dépendance suivant y. Dans ce cas, écrire le champ magnétique dans la plaque. On notera à nouveau B_s le champ magnétique à la surface.
16. Exprimer le vecteur densité de courant J⃗.
17. Montrer que la puissance dissipée par effet Joule sur une épaisseur de la plaque se met sous la forme : P_J = P_0 f(ξ) où P_0 est identique à celui de la question 13, ξ est défini par ξ = h/(2δ) et :
f(ξ) = (shξ − sinξ)/(chξ + cosξ)
On donne l'allure de la fonction f sur la courbe suivante :
En s'aidant de la figure, déterminer quelle est la meilleure fréquence de travail pour maximiser la puissance dissipée par effet Joule dans la plaque. Cette valeur vous paraît-elle raisonnable pour une plaque d' 1 mm d'épaisseur faite d'acier (de perméabilité relative μ_r = 100 et de conductivité électrique σ = 10^7 S/m.) ?
3 Étude du problème thermique
Dans cette partie, on cherche à établir l'évolution de la température au sein du matériau. Pour cela, on considère à nouveau un matériau semi-infini situé dans le demi-espace z > 0 excité par un champ magnétique uniforme à son interface.
3.1 Évolution de la température dans un matériau isolé
Dans cette partie, on suppose que la seule source de chaleur est la puissance induite par effet Joule (résultat de la question 13) et on suppose le matériau isolé thermiquement de son environnement.
19. Montrer que dans ces conditions l'équation vérifiée par le champ de température T(z, t) au sein du matériau peut s'écrire sous la forme :
où ρ est la masse volumique, c_p la capacité thermique massique à pression constante et k la conductivité thermique du matériau. Expliquer chaque terme de cette équation.
20. On émet l'hypothèse d'un fort confinement de la source inductive. Dans ces conditions, montrer que la puissance volumique devient une puissance surfacique dont on définit la valeur en intégrant le résultat de la question 13 pour z allant de 0 à + ∞. On introduira la notation P_s = (2P_0)/δ.
21. Réécrire l'équation vérifiée par la variable réduite Tˆ(z, t) = T(z, t) − T_0 où T_0 est la température ambiante de l'air autour de la pièce avant le chauffage. Vérifier que les conditions aux limites du problème se mettent sous la forme :
Pour résoudre cette équation il est d'usage d'utiliser une transformation mathématique, appelée transformation de Laplace. Cette transformation étant hors programme on vous propose un exemple pour vous approprier la méthodologie.
Transformation de Laplace :
La transformée de Laplace d'une fonction f(t) définie sur ]0, ∞[ est la fonction f~(s) de la variable s (que l'on note par abus f(s) ) donnée par :
f(s) = ∫_0^∞e^(− st)f(t)dt
Pour résoudre un système d'équations aux dérivées partielles, on "transforme" nos équations différentielles afin de travailler sur la fonction f(s) en utilisant la table de transformées de Laplace suivante :
f(t)
f(s)
f^′(t)
sf(s) − f(t = 0)
f^(′′)(t)
s^2 f(s) − sf(t = 0) − f^′(t = 0)
(∂f(x, t))/(∂x)
(∂f(x, s))/(∂x)
A = constante
A/s
At
A/(s^2)
A√t
(A√π)/(2s^(3/2))
A/(√t)
(A√π)/(√s)
At^n
(An!)/(s^((n + 1)))
Ae^(− t/τ)
(Aτ)/(1 + τs)
At^n e^(at)
(An!)/((s − a)^(n + 1))
Puis on calcule finalement f(t) à partir des mêmes tables. Exemple : On cherche à résoudre l'équation : (d^2 z(t))/(dt^2) = g(g est une constante) avec _– les conditions initiales z˙(t = 0) = v_0 et z(t = 0) = 0.
En prenant la transformée de Laplace de notre système on obtient :
s^2 z(s) − s × 0 − v_0 = g/s d'où on tire z(s) = g/(s^3) + (v_0)/(s^2)
Finalement, en appliquant la transformation de Laplace inverse terme à terme on obtient :
z(t) = (gt^2)/2 + tv_0
Réaliser la transformation de Laplace de l'équation précédente et donner la solution dans le domaine de Laplace du champ de température Tˆ(z, s).
Malgré l'aide de la transformée de Laplace, dans ce problème il reste finalement difficile d'exprimer la solution Tˆ(z, t). Cependant, on peut aisément trouver les comportements asymptotiques.
23. On propose de calculer dans un premier temps un développement limité à l'ordre 1 en z lorsque z → 0 de Tˆ(z, s). Puis, en utilisant la table de transformées de Laplace, calculer le comportement de Tˆ(z, t) au voisinage de z = 0.
24. À partir des comportements limites, tracer l'allure de Tˆ(z, t) à t fixé.
25. Tracer finalement l'allure de Tˆ(z = 0, t) en fonction du temps. Commenter la dépendance en temps de la solution trouvée ainsi que la solution aux temps longs. Selon ce modèle, peut-on atteindre la température de fusion de l'acier?
3.2 Ajout du transfert conducto-convect if
Désormais, on tient compte du transfert conducto-convectif ayant lieu à l'interface entre la plaque et l'air environnant. Cela modifie la condition limite à l'interface z = 0 :
k(∂Tˆ)/(∂z)|_(z = 0) = − P_s + hTˆ(0, t)
En déduire la nouvelle solution du champ de température Tˆ(z, s).
Évaluer la valeur finale du champ de température en utilisant le théorème de la valeur finale :
lim_(t → + ∞)Tˆ(z, t) = lim_(s → 0)sTˆ(z, s)
Que devient l'expression précédente de Tˆ(z, s) lorsque s → + ∞ ? Sachant que cette limite équivaut à regarder ce qu'il se passe au voisinage de t → 0, commenter ce résultat au regard du résultat obtenu en l'absence de convection.
Tracer l'allure de Tˆ(z = 0, t) en précisant les comportements asymptotiques décrits précédemment. Sous quelle condition peut-on atteindre la fusion de l'acier?
3.3 Ajout du rayonnement
Finalement il faut ajouter les pertes par rayonnements étudiées dans la partie 1 , qui sont données par la loi de Stefan-Boltzmann corrigée : P_(ray) = εσ_0 T^4, où l'on a introduit les grandeurs suivantes :
P_(ray) est la puissance surfacique rayonnée
σ_0 = 5, 67.10^(− 8) W.m^(− 2).K^(− 4) la constante de Stefan-Boltzmann
T la température de surface (en K)
ε le coefficient d'émissivité du matériau (0 < ε < 1) considéré comme égal à 1 ici.
Comparer les termes convectifs ( h = 10 W.m^(− 2).K^(− 1) ) et radiatifs pour des températures comprises entre 20^∘C et 1200^∘C. Déterminer ainsi les hypothèses simplificatrices qui peuvent être faites selon la gamme de températures dans laquelle se situe le métal.
31. Le forgeron observe la couleur de son métal avant que celui-ci ne fonde vers 1500^∘C. Est-ce cohérent avec les comportements trouvés? Quel rôle joue le rayonnement vis-à-vis de la puissance à fournir au cours de la chauffe ?
3.4 Température de Curie
Dans le cas de l'acier, un autre phénomène surprenant s'ajoute au problème : pour une température proche de 760^∘C, appelée température de Curie ( T_c ), les propriétés magnétiques de l'acier changent. Il passe subitement de l'état de ferromagnétique μ_r≫1 à l'état paramagnétique ( μ_r ≈ 1 ). À partir des observations faites dans les sections précédentes (profil de température et courants induits) décrire la distribution de température pour l'interface d'un milieu semi-infini dans les trois cas suivants :
— T≪T_c
T≫T_c
T ≈ T_c
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet X physique A PC 2023 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet X physique A PC 2023 ?
+
Sur le rayonnement thermique (corps noir, lois de Wien et de Stefan), l'induction et l'effet de peau à partir des équations de Maxwell, puis la diffusion thermique avec pertes par convection et rayonnement, résolue par transformation de Laplace.
Quelle est la moyenne de l'épreuve X physique A PC 2023 ?
+
Le rapport indique une moyenne de 9,30 sur 20 pour les 1309 candidats français, avec un écart-type de 3,14.
Quelles erreurs le jury de X physique A PC 2023 a-t-il relevées ?
+
Des applications numériques négligées, des symétries invoquées sans préciser les grandeurs concernées en Q9, des conditions aux limites mal exploitées en Q15, et surtout la traduction de la condition aux limites dans le domaine de Laplace en Q22.
Les parties du sujet X physique A PC 2023 sont-elles indépendantes ?
+
Oui, les trois parties sont indépendantes. Seule la dernière question, la 32, utilise des résultats de la partie 2.
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Commentaires• Polytechnique Physique A PC 2023
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