Le sujet applique la physique des plasmas à la fusion thermonucléaire, en trois parties. Il étudie le confinement de particules chargées par un champ magnétique, la diffusion ambipolaire du plasma avec et sans champ magnétique, puis deux moyens de chauffer le plasma : l'induction et les ondes électromagnétiques. De nombreux résultats intermédiaires sont fournis.

1Partie I : confinement magnétique du plasmaChamp d'un solénoïde par le théorème d'Ampère, mouvement circulaire d'une particule chargée étudié dans la base de Frenet, puis bouteille magnétique et moment magnétique du cation.
2Partie II : diffusion du plasmaÉtablissement de l'équation de diffusion ambipolaire par un bilan local, résolution par séparation des variables, puis effet d'un champ magnétique sur la diffusion.
3Partie III : échauffement du plasmaTempérature nécessaire à la fusion, chauffage ohmique par induction mutuelle, puis propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma et résonance cyclotron.

Difficulté moyenne. Le jury juge la longueur adaptée et note une nette hausse de la moyenne, mais la partie I a été la moins réussie et les questions 10 et 15 ont dérouté plus de la moitié des candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,45 / 20 · écart-type 3,49 · 4 148 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,45/ 20
Écart-type: 3,49
Présents: 4 148
Coefficient: 7
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 22 avril 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Base de Frenet mal connue · Question de cours sur le solénoïde imprécise · Situation légèrement différente du cours

Le bilan est positif : après plusieurs années de baisse, la moyenne augmente nettement et les copies indigentes sont moins nombreuses. La partie I, en magnétostatique et mécanique des particules chargées, a été la moins réussie. La partie II a donné beaucoup de bonnes réponses, et la partie III révèle des faiblesses sur l'induction mutuelle mais de bonnes bases sur les ondes dans les plasmas.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Base de Frenet mal connueQ3, Q4
La base de Frenet est souvent confondue avec la base polaire, et la trajectoire dessinée est parfois incohérente avec la force magnétique. Il faut aussi dire que le rayon de courbure est constant.
« Les lacunes relatives à la base de Frenet empêchent les candidats de produire une démonstration convaincante du caractère circulaire de la trajectoire. »
2
Question de cours sur le solénoïde impréciseQ1
Il fallait distinguer causes et conséquences dans l'analyse des symétries, supposer le solénoïde infini, dessiner le contour d'Ampère orienté et justifier les circulations nulles.
« Cette question de cours n'a que rarement été traitée avec le niveau de précision requis. »
3
Situation légèrement différente du coursQ10, Q15
Adapter la démonstration du rapport gyromagnétique ou le bilan local à un cadre un peu nouveau a mis en difficulté beaucoup de candidats.
« le léger décalage avec le traitement classique du cours désarçonne plus de la moitié des candidats »
4
Induction mutuelle et unitésQ32, Q33
Le flux doit être calculé sur le seul disque où le champ n'est pas nul, et le terme de mutuelle est souvent oublié ensuite.
« de nombreux candidats ignorent qu'une inductance mutuelle s'exprime en Henry »
5
Puissance et énergie confonduesQ35
Beaucoup confondent puissance et énergie et peinent à écrire l'énergie comme une intégrale.
« Le fait d'exprimer l'énergie sous la forme d'une intégrale semble très difficile pour nombre de candidats. »
6
Calcul arrangé pour retrouver l'énoncéQ41, Q43
Les correcteurs lisent les étapes intermédiaires. Mieux vaut signaler honnêtement un écart avec le résultat donné.
« certains candidats trafiquent leur calcul pour obtenir les signes de l'expression donnée dans l'énoncé »

Ce qui a été bien réussi

La méthode du bilan local pour la diffusion est connue de la majorité des candidats (Q14).
La loi de Fick est reconnue dans la grande majorité des copies (Q17).
La question Q22 a plus de 75 % de réponses justes et la question Q25 est très bien traitée.
La question ouverte Q30 a été mieux résolue que lors des sessions précédentes.
Les calculs sur les opérateurs vectoriels et la notation complexe sont bien menés (Q37, Q39, Q43).

Conseils du jury

Lire les paragraphes introductifs et suivre la logique de chaque sous-partie pour répondre aux questions de conclusion.
Citer les hypothèses et détailler les calculs, surtout quand le résultat est donné.
Pour une question ouverte, exposer la démarche et les hypothèses : un résultat juste sans démarche n'obtient pas tous les points.
Donner chaque application numérique avec son unité.
Utiliser un brouillon pour rendre une copie lisible, numérotée et sans ratures.
Le jury annonce qu'à partir de la session 2026 la calculatrice sera interdite : s'entraîner aux applications numériques à la main.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

46 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

46 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

PHYSIQUE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Des plasmas pour la fusion thermonucléaire

Présentation générale

Pour répondre à la raréfaction des énergies fossiles, il est nécessaire de trouver de nouvelles sources d'énergie décarbonées. Parmi celles-ci, la fusion thermonucléaire est une des pistes à long terme qui donne lieu à une coopération internationale sans précédent avec le projet de recherche ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor), dont les installations sont implantées à Cadarache, dans les Bouches-du-Rhône.

La fusion thermonucléaire consiste à faire entrer en collision deux noyaux légers pour obtenir un noyau plus lourd. Cette réaction nucléaire libère de grandes quantités d'énergie du fait qu'une partie de la masse des noyaux est convertie en énergie. Les efforts de recherche portent actuellement sur une réaction nucléaire impliquant deux isotopes de l'hydrogène : le deutérium

_1^2 D

et le tritium

_1^3 T

. La réaction nucléaire produit un noyau d'hélium

_2^4 He

et un neutron selon l'équation de réaction :

_1^2 D + _1^3 T \to _2^4 He + _0^1 n

Dans un réacteur de fusion, la matière est à l'état de plasma. On appelle plasma un état de la matière constitué d'ions, d'électrons libres et d'espèces neutres. Cet état résulte des très hautes températures atteintes dans le réacteur qui permettent l'ionisation des atomes.

Ce sujet aborde quelques aspects de la physique des plasmas dont la compréhension est essentielle pour la maîtrise de la fusion contrôlée. Dans la partie I, on s'intéressera au confinement magnétique du plasma de fusion dans le réacteur par l'étude du mouvement d'une particule chargée de ce plasma dans un champ magnétique. Dans la partie II, on complétera cette approche en tenant compte des collisions possibles entre particules du plasma, ce qui se traduit par un phénomène de diffusion. Enfin, dans la partie III, on envisagera quelques manières d'atteindre les températures nécessaires pour initier les réactions de fusion : chauffage ohmique par induction et propagation d'ondes électromagnétiques dans le plasma.

Les trois parties de ce problème sont indépendantes. Certains résultats de la sous-partie l. 1 seront toutefois utiles pour la suite et pourront être admis même s'ils n'ont pas été démontrés.

Données numériques

Permittivité diélectrique du vide :

ε_0 = 8, 85 \cdot 10^(- 12) F \cdot m^(- 1)

Perméabilité magnétique du vide :

μ_0 = 1, 26 \cdot 10^(- 6)H \cdot m^(- 1)

Charge élémentaire :

e = 1, 6 \cdot 10^(- 19)C

Masse de l'électron :

m_e = 9, 1 \cdot 10^(- 31) kg

Constante de Boltzmann :

k_B = 1, 4 \cdot 10^(- 23) J \cdot K^(- 1)

Formulaire

Formule du double rotationnel :

rot^(\to-)(rot^(\to-)A⃗) = grad^(\to-)(divA⃗) - ΔA⃗

Partie I - Confinement magnétique du plasma

Les plasmas créés pour réaliser la fusion thermonucléaire ayant des températures extrêmement élevées, ceux-ci ne peuvent être au contact direct de la paroi du réacteur qui fondrait ou serait fortement endommagée. Pour contenir ces plasmas, on doit donc réaliser un confinement immatériel : la méthode la plus étudiée à ce jour est le confinement magnétique. On se propose dans cette partie d'en comprendre le principe par l'étude du mouvement d'une unique particule chargée au sein du plasma : un cation de masse

m

et de charge électrique

+ e

(le cas d'un électron se traitant de manière similaire). On supposera que seule la force magnétique agit sur le cation et qu'aucune collision n'a lieu avec les autres espèces présentes dans le plasma.

I. 1 - Confinement d'une particule chargée dans un champ magnétique stationnaire et uniforme

Le champ magnétique nécessaire au confinement du plasma est créé par un solénoïde d'axe (Oz) orienté par le vecteur unitaire

u_z^(\to-)

, constitué de

N

spires de rayon

a

, régulièrement réparties sur une longueur

d≫a

. Toutes les spires sont parcourues par un courant d'intensité

I

constante (figure 1).

Figure 1 - Schéma du solénoïde. Seules quelques spires sont représentées par souci de lisibilité

Q1. Montrer que le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est de la forme

B⃗ = B_0 u_z^(\to-)

, avec

B_0

une constante qu'on exprimera, entre autres, en fonction de l'intensité

I

. On admettra que le champ magnétique est nul à l'extérieur du solénoïde et on négligera les effets de bord.

On s'intéresse maintenant au mouvement d'un cation de masse

m

et de charge électrique

+ e

à l'intérieur de ce solénoïde, soumis au champ

B⃗ = B_0 u_z^(\to-)

Q2. Montrer que la puissance de la force magnétique est nulle. En déduire que l'énergie cinétique du cation se conserve. Par la suite, on notera

v_0

la norme constante de la vitesse du cation au cours de son mouvement.

On suppose d'abord que le cation a un mouvement dans un plan perpendiculaire au champ magnétique

B⃗ = B_0 u_z^(\to-)

Q3. Représenter sur un schéma le vecteur vitesse

v⃗

du cation, le vecteur champ magnétique

B⃗

perpendiculaire au plan de la feuille et la force magnétique

F_m^(\to-)

. Esquisser la courbure de la trajectoire puis représenter les vecteurs unitaires du repère de Frenet.

Q4. Donner l'expression de l'accélération du cation dans le repère de Frenet en fonction de sa vitesse

v_0

et du rayon de courbure

r

de la trajectoire. Montrer que la trajectoire du cation est circulaire, de rayon

r_L = (v_0)/(ω_c)

appelé rayon de Larmor, avec

ω_c = (eB_0)/m

la pulsation cyclotron.

On suppose maintenant que le cation possède une vitesse initiale

v_0

parallèle au champ magnétique

B⃗ = B_0 u_z^(\to-)

Q5. En projetant le principe fondamental de la dynamique selon

u_Z^(\to-)

, montrer que la composante

v_Z

de la vitesse du cation selon

u_z^(\to-)

est constante. En déduire que le mouvement est rectiligne. Peut-on affirmer que le cation est confiné ?

Pour une vitesse initiale quelconque du cation, le mouvement est une combinaison du mouvement circulaire perpendiculaire au champ magnétique et du mouvement rectiligne parallèle au champ magnétique : la trajectoire est alors hélicoïdale.

Q6. Actuellement, la majorité des recherches sur le confinement magnétique portent sur les tokamaks, pour lesquels les bobines produisant le champ magnétique ne forment pas un cylindre (comme pour le solénoïde) mais un tore (figure 2), qui est un cylindre refermé sur luimême. Le confinement magnétique du plasma est donc assuré par les bobines toroïdales (le rôle du solénoïde central sera étudié dans la sous-partie III.2). Quelle raison a conduit à retenir une géométrie toroïdale ?

Figure 2 - Schéma d'un tokamak

Q7. Calculer le rayon de Larmor d'un cation d'hélium

_2^4 He^+

(masse

m = 6, 6 \cdot 10^(- 27) kg

) de vitesse

v_0 = 3 \cdot 10^5 m \cdot s^(- 1)

dans le tokamak d'ITER produisant un champ magnétique

B_0 = 12 T

. Commenter, sachant que les rayons internes des bobines toroïdales sont de 2 m à l'horizontale et de

3, 4 m

à la verticale.

1.2 - Bouteille magnétique

Lors des premières recherches sur la fusion contrôlée, il a été envisagé de confiner le plasma à l'aide d'une " bouteille magnétique ", qui est un solénoïde dont le rayon des spires diminue lorsqu'on se rapproche de ses bords. L'allure des lignes de champ dans une bouteille magnétique est représentée sur la figure 3.

Figure 3 - Lignes de champ d'une bouteille magnétique

Q8. Comment évolue qualitativement l'intensité du champ magnétique lorsqu'on se rapproche des bords de la bouteille magnétique (c'est-à-dire lorsque

|z|

augmente) ? Représenter graphiquement l'allure de la norme du champ magnétique

B(z)

sur l'axe (

Oz

On s'intéresse au mouvement d'un cation de masse

m

dans cette bouteille magnétique autour de l'axe (Oz). Son vecteur vitesse est

v⃗ = v_⊥^(\to-) + v_‖^(\to-)

, où

v_⊥^(\to-)

désigne la vitesse dans le plan perpendiculaire à

u_z^(\to-)

, et

v_‖^(\to-)

la vitesse selon

u_z^(\to-)

Q9. Rappeler, schéma à l'appui, la définition du moment magnétique

μ⃗

d'une boucle de courant plane.

Q10. Au voisinage de l'axe (

Oz

), le champ magnétique est localement uniforme et orienté selon

u_z^(\to-)

B⃗ = Bu_z^(\to-)

. Dans cette question, on suppose comme dans la

Q4

que le mouvement du cation est circulaire, uniforme et de vitesse

v_⊥

, perpendiculairement au champ magnétique. Montrer que le moment magnétique

μ⃗

associé au cation a pour expression :

μ⃗ = - (mv_⊥^2)/(2B)u_z^(\to-).

L'expression du moment magnétique établie à la

Q10

reste en première approximation valable malgré les déplacements du cation selon l'axe (Oz). En outre, on peut montrer que ce moment magnétique reste constant au cours du mouvement. Ainsi, le cation peut être assimilé à un dipôle magnétique rigide se déplaçant selon l'axe (Oz), auquel on associe une énergie potentielle de la forme

E_p = - μ⃗ \cdot B⃗

Q11. Montrer que

E = 1/2mv_‖^2 + E_p

est une constante. Quelle signification physique peut-on donner aux termes

1/2mv_‖^2

E

du point de vue du dipôle magnétique?

Q12. Tracer l'allure de

E_p(z)

. Discuter qualitativement les différents mouvements possibles du cation dans la bouteille magnétique en fonction de la valeur de

E

(états libres ou états liés). Dans quel cas peut-on dire que la bouteille magnétique se comporte comme un " miroir magnétique ", c'est-à-dire que le cation repart dans la direction opposée sur les bords de la bouteille?

Q13. Quel défaut présente la bouteille magnétique pour le confinement du plasma?

Partie II - Diffusion du plasma

L'étude menée dans la partie I est insuffisante au sens où elle néglige la possibilité de collisions, ce qui se traduit au niveau macroscopique par un phénomène de diffusion. On se propose dans cette partie d'étudier la diffusion d'un plasma faiblement ionisé, c'est-à-dire un plasma dans lequel les collisions ont lieu presque exclusivement entre des particules chargées et des espèces neutres : il ne s'agit certes pas des conditions réelles d'un plasma de fusion, mais cette étude permet néanmoins de dégager certaines propriétés physiques spécifiques à la diffusion dans les plasmas. Dans les sous-parties II. 1 et II.2, on étudiera la diffusion en l'absence de champ magnétique, puis dans la sous-partie II.3, on discutera qualitativement l'effet du champ magnétique sur la diffusion.

II. 1 - Équation de diffusion ambipolaire

On assimile le plasma à un milieu constitué d'ions de charge

+ e

, d'électrons libres de charge

- e

et d'espèces neutres. Le plasma est contenu entre deux parois conductrices infinies situées aux abscisses

x = 0

x = L

(figure 4). On suppose qu'il y a invariance du milieu selon toute direction parallèle à ces plaques, si bien que les caractéristiques du plasma ne dépendent que de l'abscisse

x

et du temps

t

. Pour toutes les grandeurs physiques introduites, l'indice

i

se rapporte aux ions, l'indice

e

aux électrons. On note

n_i(x, t)

n_e(x, t)

les densités volumiques d'ions et d'électrons (exprimées en

m^(- 3)

j⃗_i = j_i(x, t)u_x^(\to-)

j⃗_e = j_e(x, t)u_x^(\to-)

les vecteurs densité de flux d'ions et d'électrons (exprimés en

m^(- 2) \cdot s^(- 1)

). On néglige la possibilité de recombinaison entre les ions et les électrons au sein du plasma.

Figure 4 - Géométrie de l'enceinte contenant le plasma

Q14. Établir l'équation locale de conservation des électrons :

(\partialn_e)/(\partialt) + (\partialj_e)/(\partialx) = 0.

Donner par analogie l'équation locale de conservation des ions.

Q15. Les parois étant conductrices, les électrons libres et les ions arrivant sur les parois se recombinent entre eux de façon quasi-instantanée, si bien que

n_i = n_e = 0

sur les parois. En effectuant un bilan de charge électrique sur la paroi située en

x = L

, établir la relation

j_i(x = L, t) = j_e(x = L, t)

On suppose la quasi-neutralité du plasma, c'est-à-dire que

n_i(x, t) = n_e(x, t) = n(x, t)

dans le plasma.

Q16. À l'aide des résultats des deux questions précédentes, montrer que

j_i(x, t) = j_e(x, t)

.
Du fait de la présence des charges, un champ électrique

E⃗ = E(x, t)u_x^(\to-)

existe dans le plasma. Les vecteurs densité de flux obéissent alors à des relations de la forme :

{ȷ⃗_i = nμ_i E⃗ − D_i gradn^(→−); ȷ⃗_e = − nμ_e E⃗ − D_e gradn^(→−)

avec

μ_i

μ_e

les mobilités, et

D_i

D_e

les coefficients de diffusion des ions et des électrons.
Q17. Comment s'appelle la loi associée au terme

- Dgradn^(\to-)

apparaissant dans ces deux expressions ? Que traduit physiquement le terme

\pm nμE⃗

Q18. Après avoir exprimé

E(x, t)

en fonction de

(\partialn)/(\partialx)

, montrer que

j = j_i = j_e = - D_a(\partialn)/(\partialx)

avec

D_a

le coefficient de diffusion ambipolaire, qu'on exprimera en fonction de

μ_i, μ_e, D_i

et de

D_e

Q19. En déduire l'équation de diffusion ambipolaire:

(\partialn)/(\partialt) = D_a(\partial^2 n)/(\partialx^2)

II. 2 - Résolution de l'équation de diffusion ambipolaire

On souhaite résoudre l'équation de diffusion ambipolaire établie à la

Q19

. Pour cela, on recherche des solutions sous la forme

n(x, t) = F(t)G(x)

, où

F

G

sont deux fonctions à déterminer.

Q20. Montrer que l'équation de diffusion ambipolaire se ramène au système d'équations différentielles :

{(dF)/(dt) + F/τ = 0; (d^2 G)/(dx^2) + G/(D_a τ) = 0

avec

τ

une constante homogène à un temps, qui sera introduite au cours du calcul et qu'on supposera positive dans les questions suivantes.

Q21. En déduire

n(x, t)

en fonction de

τ, D_a

et de deux constantes d'intégration qu'on ne cherchera pas à déterminer à ce stade.

Q22. On rappelle que sur les parois,

n = 0

à tout instant. En utilisant ces conditions aux limites, montrer qu'il existe des modes de diffusion

n_p(x, t)

indicés par un entier

p \in ℕ^*

tel que le temps

τ

caractéristique du mode

p

a pour expression :

τ_p = 1/(D_a)(L/(pπ))^2

Par application du théorème de superposition des solutions, on écrit la solution complète de l'équation de diffusion sous la forme :

n(x, t) = \sum_p n_p(x, t).

Q23. Si tous les modes de diffusion sont a priori présents à l'instant initial, seul le mode

p = 1

perdure de façon visible. Expliquer pourquoi. Donner l'expression de

n_1(x, t)

en fonction de

D_a, L

et d'une constante multiplicative, puis tracer

n_1(x)

sur l'intervalle

[0, L]

pour deux instants

t_1

t_2 > t_1

. Expliquer qualitativement pourquoi la densité de charge du plasma diminue au cours du temps.

II. 3 - Diffusion en présence de champ magnétique

De façon générale, le phénomène de diffusion peut être interprété au niveau microscopique par un modèle de " marche au hasard ". Une entité diffusante subit des collisions avec les autres entités du milieu et repart dans une direction aléatoire après chaque collision (figure 5).

Figure 5 - Marche au hasard : la boule blanche représente l'entité diffusante, les boules noires les autres entités du milieu avec lesquelles elle est susceptible de rentrer en collision

Q24. On suppose que le coefficient de diffusion

D

peut s'exprimer en fonction de la vitesse quadratique moyenne

v^*

de l'espèce diffusante et de la durée moyenne

τ^*

entre deux collisions. Par analyse dimensionnelle, exprimer

D

en fonction de

v^*

et de

τ^*

, à un facteur sans dimension près, qui sera pris égal à 1 . Donner une explication physique de la dépendance de

D

avec

τ^*

Lorsque dans un plasma, on ajoute un champ magnétique stationnaire et uniforme, la diffusion devient anisotrope. Les coefficients de diffusion des ions et des électrons parallèlement au champ magnétique sont les mêmes qu'en l'absence de champ magnétique. En revanche, perpendiculairement au champ magnétique, le coefficient de diffusion

D_i^'

des ions peut s'exprimer en fonction du coefficient de diffusion

D_i

en l'absence de champ magnétique :

D_i^' = (D_i)/(1 + (ω_c τ^*)^2)

où

ω_c

désigne la pulsation cyclotron de l'ion introduite dans la Q4, et

τ^*

la durée moyenne entre deux collisions avec une espèce neutre. Une relation analogue peut être établie pour les électrons.

On dit que le plasma est magnétisé si la présence du champ magnétique diminue notablement la diffusion perpendiculaire au champ magnétique et qu'il est non magnétisé si son influence est négligeable sur cette diffusion.

Q25. À quelle condition sur le terme

ω_c τ^*

peut-on affirmer que le plasma est magnétisé ? À quelle condition est-il non magnétisé ?

Q26. Montrer que pour un plasma non magnétisé,

D_i^'

est proportionnel à

τ^*

, tandis que pour un plasma magnétisé,

D_i^'

est proportionnel à l'inverse de

τ^*

. Vérifier qu'un plasma magnétisé l'est d'autant plus que le champ magnétique est intense.

Pour interpréter qualitativement la dépendance inhabituelle du coefficient de diffusion avec

τ^*

apparaissant dans un plasma magnétisé, on a représenté sur la figure 6 la trajectoire d'une charge dans un plasma pour deux valeurs de

ω_c τ^*

Figure 6 - Trajectoires d'une charge électrique pour deux valeurs de

ω_c τ^*

. La boule blanche représente la particule chargée et ses collisions avec les espèces neutres (boules noires)

Q27. Identifier, en justifiant votre réponse, quelle figure correspond à un plasma magnétisé.
Q28. Expliquer qualitativement, en vous appuyant sur la figure 6, pourquoi

D_i^'

est d'autant plus faible que

τ^*

est élevé dans un plasma magnétisé.

Q29. Justifier brièvement l'intérêt d'un fort champ magnétique pour confiner un plasma de fusion tel que celui présent dans un tokamak (figure 2). On admettra que les conclusions qualitatives concernant l'influence du champ magnétique restent valables pour un plasma de fusion.

Partie III - Échauffement du plasma

Pour rendre possible la fusion, il faut vaincre la barrière coulombienne qui s'oppose au rapprochement des deux noyaux d'hydrogène. C'est la raison pour laquelle il est préalablement nécessaire d'échauffer le plasma jusqu'à ce que les réactions de fusion s'initient. L'objectif est ensuite d'atteindre le seuil d'ignition, c'est-à-dire le moment où l'énergie libérée par les réactions de fusion suffit à maintenir la température nécessaire à la fusion.

III. 1 - Température à atteindre pour initier la fusion

La question suivante nécessite une prise d'initiative en modélisant la situation proposée. II est attendu de préciser chaque notation introduite, d'expliciter les hypothèses effectuées, de mener de bout en bout un calcul littéral, puis d'effectuer l'application numérique.

Q30. La taille typique des noyaux d'hydrogène est de

10^(- 15) m

. En raisonnant dans le cadre de la mécanique classique, estimer l'ordre de grandeur de la température nécessaire pour que les réactions de fusion démarrent.

Q31. La température à atteindre est en fait de l'ordre de 150 millions de degrés. Quel phénomène quantique est à l'origine de l'écart avec la température obtenue à la question précédente?

III. 2 - Chauffage ohmique par induction

Dans les tokamaks (figure 2), une partie de l'échauffement est réalisé par induction. Un solénoïde situé au centre du tokamak produit un champ magnétique

B_1^(\to-)

dépendant du temps. Le plasma, de géométrie torique, entoure ce solénoïde central : il est alors parcouru par un intense courant induit qui, par effet Joule, échauffe le plasma. On se propose de modéliser sommairement cette situation.

On se place en coordonnées cylindriques (

r, θ, z

) d'axe (

Oz

). Le solénoïde central d'axe (

Oz

), de rayon

a_1

, est parcouru par un courant

i_1(t)

qui génère un champ magnétique

B_1^(\to-)(r, t)

, tel que

B_1^(\to-)(r < a_1, t) = βi_1(t)e_z\to

(avec

β

constant) et

B_1^(\to-)(r > a_1, t) = 0\to

. Le plasma est assimilé à une boucle de courant filiforme parcourue par

i_2(t)

, de même axe que le solénoïde central et de rayon

a_2 > a_1

(figure 7).

Figure 7 - Représentation schématique du système solénoïde central - plasma dans le tokamak

Q32. Exprimer l'inductance mutuelle

M

entre le solénoïde central et la boucle de courant, en fonction de

β

et de

a_1

. Calculer

M

pour le tokamak ITER, sachant que

a_1 = 2 m

et que le champ magnétique au centre du solénoïde est de 13 T pour un courant maximal de 46 kA .

On modélise l'interaction entre le solénoïde et le plasma par le circuit électrique représenté figure 8. Le solénoïde central, d'inductance propre

L_1

et de résistance

R_1

, est parcouru entre

t = 0

t = t_1

par le courant

i_1(t) = I_0(1 - t/(t_1))

avec

I_0

t_1

des constantes. La boucle de courant représentant le plasma a pour résistance

R_2

et pour inductance propre

L_2

; elle est parcourue par le courant

i_2(t)

Å Åt < 0

, le courant

i_2

est nul.

M

est l'inductance mutuelle entre les deux circuits.

Figure 8 - Circuit équivalent au système solénoïde central - plasma

Q33. Montrer que

i_2(t)

vérifie l'équation différentielle :

(di_2)/(dt) + (i_2)/(τ_2) = (I_0)/(τ_1)

avec

τ_1

τ_2

qui seront exprimés en fonction de

L_2, R_2, M

et de

t_1

.
Q34. En déduire

i_2(t)

. En supposant

t≪τ_2

, simplifier cette expression par un développement limité au premier ordre en

t/τ_2

Q35. Exprimer l'énergie reçue par

R_2

entre

t = 0

t = t_1

en fonction de

R_2, L_2, M, I_0

et de

t_1

, en supposant que

t_1≪τ_2

. Quel est l'effet de cette énergie sur le plasma?

Q36. Le physicien américain Lyman Spitzer a établi en 1950 que la résistivité

ρ

d'un plasma soumis à un champ magnétique dépendait de la température

T

du plasma proportionnellement à

T^(- 3/2)

. À partir de cette information, quelle critique peut-on émettre sur la modélisation effectuée dans cette partie?

III. 3 - Échauffement par ondes électromagnétiques

En complément du chauffage ohmique, l'utilisation d'ondes électromagnétiques est envisagée. On se place ici dans l'hypothèse d'un plasma dilué non relativiste. On munit l'espace d'une base orthonormée directe (

u_x^(\to-), u_y^(\to-), u_z^(\to-)

) et on suppose qu'une onde électromagnétique plane transversale de champ électrique

E⃗ = E_x(z, t)u_x^(\to-) + E_y(z, t)u_y^(\to-)

se propage selon

u_z^(\to-)

. Du fait du confinement magnétique, on tient compte de la présence d'un champ magnétique stationnaire et uniforme qu'on suppose colinéaire à la direction de propagation :

B_0^(\to-) = B_0 u_z^(\to-)

Q37. Écrire les équations de Maxwell. On notera

j⃗

la densité volumique de courant et

ρ

la densité volumique de charge.

Q38. Montrer que le caractère transversal de l'onde implique

ρ = 0

.
Q39. Établir l'équation d'onde sur le champ électrique

E⃗

ΔE⃗ - 1/(c^2)(\partial^2 E⃗)/(\partialt^2) = μ_0(\partialγ⃗)/(\partialt)

où

c

sera exprimée en fonction de

ε_0

et de

μ_0

.
On souhaite maintenant déterminer

ȷ⃗

dans le plasma.
Q40. Pour quelle raison peut-on faire l'hypothèse que les ions du plasma ont une contribution négligeable devant celle des électrons dans l'expression de

γ⃗

? Par la suite, on n'envisagera que la contribution des électrons dans l'expression de

j⃗

On suppose que le champ électrique est une pseudo-onde plane progressive sinusoïdale à laquelle on associe une polarisation circulaire gauche (figure 9), qu'on écrit sous forme complexe :

E⃗_-(z, t) = E_0 exp(i(ωt - k_-z))u_x^(\to-) - iE_0 exp(i(ωt - k_-z))u_y^(\to-)

avec

ω

la pulsation et

k_-

le module d'onde complexe.
On étudie le mouvement d'un électron dans le plan

z = 0

sous l'effet conjugué du champ électrique

E⃗_-(z, t)

et du champ magnétique

B_0^(\to-)

. En régime permanent, sa vitesse a pour expression complexe :

v⃗_- = v_x_-exp(iωt)u_x^(\to-) + v_y_-exp(iωt)u_y^(\to-)

avecv_x_-

v_y_-

les amplitudes complexes. On considère que les seules forces s'exerçant sur l'électron sont la force électrique et la force magnétique liée au champ magnétique statique

B_0^(\to-)

. On néglige le poids de l'électron et la force magnétique liée au passage de l'onde.

Figure 9 - Onde de polarisation circulaire gauche se propageant parallèlement au champ magnétique

B_0^(\to-)

Q41. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'électron, montrer que

v_x_-

v_y_-

vérifient le système :

{v_x_– = (iα)/ω + (iω_c)/ωv_y_–; v_y_– = α/ω − (iω_c)/ωv_x_–

avec

ω_c = (eB_0)/(m_e)

la pulsation cyclotron et

α

à exprimer en fonction de

e, m_e

et de

E_0

.
La résolution de ce système d'équations permet d'établir la relation, vraie pour tout

z

v⃗_- = ie/(m_e(ω - ω_c))E_-\to.

Q42. Lorsque

ω = ω_c

, l'onde électromagnétique échauffe le plasma : expliquer pourquoi. On parle alors de chauffage à résonance cyclotronique électronique. Justifier le terme de résonance employé dans cette situation.

Q43. On note

n_0

la densité volumique d'électrons (en

m^(- 3)

) dans le plasma. Établir l'expression de

ȷ⃗_-

, puis montrer que la relation de dispersion de cette onde s'écrit :

k_-^2 = (ω^2)/(c^2)(1 - (ω_p^2)/(ω(ω - ω_c)))

avec

ω_p = \sqrt((n_0 e^2)/(m_e ε_0))

la pulsation plasma.
Q44. Calculer la pulsation plasma

ω_p

au sein du tokamak ITER dans lequel

n_0 = 1 \cdot 10^(20) m^(- 3)

.
Sur la figure 10, on a tracé

(ω^2)/(k_-^2)

en fonction de

ω

. On a introduit la pulsation

ω_g = (ω_c + \sqrt(ω_c^2 + 4ω_p^2))/2

Figure 10 - Relation de dispersion

Q45. Déterminer, en justifiant votre réponse, pour quel(s) intervalle(s) de pulsations l'onde peut se propager dans le plasma.

Q46. Déterminer la vitesse de phase de l'onde pour

ω = ω_c

. Interpréter.

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet CCINP Physique PC 2024 ?

Il porte sur la magnétostatique, le mouvement des particules chargées, la diffusion de particules, l'induction mutuelle et les ondes électromagnétiques dans les plasmas, autour de la fusion thermonucléaire.

Le sujet CCINP Physique PC 2024 était-il long ?

Non : le jury juge sa longueur adaptée, et de nombreux candidats l'ont abordé en entier. Les meilleures copies traitent toutes les questions.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en CCINP Physique PC 2024 ?

La base de Frenet mal connue, une question de cours sur le solénoïde imprécise, l'induction mutuelle mal maîtrisée, des confusions entre puissance et énergie et des unités fantaisistes.

La calculatrice sera-t-elle autorisée à l'épreuve de physique PC du CCINP ?

Selon le rapport 2024, la session 2025 est la dernière avec calculatrice. À partir de 2026, les applications numériques devront être faites à la main.

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