X ENS Physique B PC 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2025

PHYSIQUE B (XEULS)

Production et caractérisation d'impulsions laser attosecondes

1. Dans le cadre du modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, déterminer l'expression de la période de révolution de l'électron dans son niveau fondamental, qu'on notera T_e, en fonction de q^2, de la constante réduite de Planck ℏ et de la masse de l'électron m.
   T_e est la durée caractéristique du mouvement d'un électron dans un atome ou une molécule. Sa valeur numérique, T_e = 1, 5 × 10^(− 16) s, est inférieure à la femtoseconde ( 1fs = 10^(− 15) s ). L'étude de ces mouvements est désignée par "science attoseconde" par un léger abus de langage, puisque l'ordre de grandeur est plutôt la centaine d'attosecondes.

I - Production de l'impulsion lumineuse

Focalisation d'une impulsion laser

2. On utilise un laser de longueur d'onde λ = 800 nm. Dans quel domaine du spectre électromagnétique se trouve-t-il?
3. Calculer numériquement la période T de l'onde émise par le laser, et le rang minimum des harmoniques de période inférieure à T_e.

Mouvement d'un électron dans le champ du laser et génération d'harmoniques

11. On assimile pour simplifier l'atome d'argon à un atome d'hydrogène, comme à la question 1. Lorsque l'atome est éclairé par le laser, l'électron voit le champ électrique du noyau et celui du laser. Pour étudier son mouvement dans la superposition de ces deux champs, nous considérons un modèle classique à une dimension, où l'électron se déplace sur un axe Ox, O étant la position du noyau, et x la direction du champ électrique du laser, E⃗ = − E_0 e⃗_x, où l'amplitude E_0 > 0 est supposée uniforme et constante. Exprimer l'énergie potentielle de l'électron, de charge − e, en fonction de q^2, eE_0 et x, et tracer l'allure de sa variation en fonction de x.
12. L'électron est dans un état d'énergie mécanique − I_P. Montrer que si E_0 dépasse une valeur dite de "saturation" et notée E_(sat), l'électron échappe à l'attraction du noyau et part à l'infini. Exprimer E_(sat) en fonction de I_P, q^2 et e.
13. Nommer l'effet quantique qui permet à l'électron de s'échapper, selon une certaine probabilité, même si E_0 < E_(sat).
14. On reprend le modèle unidimensionnel de la question 11, mais avec un champ extérieur qui varie au cours du temps selon E⃗(t) = − E_0 sinωte⃗_x. Écrire l'équation du mouvement de l'électron dans la superposition des deux champs, sous la forme d'une équation différentielle pour x(t). On écrira séparément deux équations différentielles suivant que x(t) > 0 ou x(t) < 0.
15. On s'intéresse au mouvement forcé, défini comme une solution x(t) de cette équation qui soit périodique, et de même période T = 2π/ω que le champ électrique. Sans chercher à déterminer x(t), justifier succinctement que cette solution vérifie aussi x(t + T/2) = − x(t).
16. Dans la décomposition de x(t) en série de Fourier, quelles sont les harmoniques compatibles avec cette condition?
17. On s'intéresse aux trajectoires pour lesquelles l'électron s'échappe de l'atome. On reprend l'équation du mouvement déterminée à la question 14, dans laquelle on néglige désormais le champ du noyau. Déterminer la solution générale de cette équation.
18. Calculer l'énergie cinétique moyenne de l'électron, notée U_P, en régime sinusoïdal forcé où x(t) est périodique. On exprimera U_P en fonction de eE_0, m et ω.
19. Intégrer l'équation du mouvement de la question 17 pour un électron partant de l'origine sans vitesse initiale à un temps t_i.
20. Tracer sur un même graphique l'allure de la variation de x en fonction de t/T pour t_i = 0, t_i = T/4 et t_i = T/2, pour t/T variant entre t_i/T et 1,5 .
21. La figure 1 donne l'allure de la variation de x(t) pour quatre autres valeurs de t_i. On remarque que pour ces valeurs, l'électron revient en x = 0 à un temps de retour qu'on notera t_r. Écrire l'équation reliant t_r à t_i, sans chercher à la résoudre.

Figure 1 -

22. Lorsque l'électron revient au point de départ, il peut se recombiner avec le noyau. Ce modèle est connu sous le nom de "modèle en trois étapes" : l'électron est arraché de l'atome, puis fait une excursion dans le champ du laser, puis se recombine avec l'atome. L'énergie libérée dans la recombinaison est la somme de l'énergie d'ionisation, I_P, et de l'énergie cinétique E_c(t_r) de l'électron à t = t_r. Cette énergie est rayonnée sous forme d'un unique photon. Exprimer la pulsation de l'onde électromagnétique correspondant à ce photon.
23. Sur la figure 1, indiquer la courbe pour laquelle l'énergie cinétique E_c(t_r) est maximale. Quelle est la courbe pour laquelle elle est minimale?
24. Exprimer E_c(t_r) en fonction de U_P, ωt_i et ωt_r.
25. La figure 2 représente la variation de E_c(t_r) en fonction de t_r/T. Recopiez sommairement cette courbe sur votre copie et indiquez les valeurs de t_i en différents points, en vous appuyant sur les résultats précédents.

Figure 2 -

26. La figure 3 représente, sur une échelle des ordonnées logarithmique, la variation de l'intensité de la lumière rayonnée lors de la recombinaison électron-noyau en fonction de la fréquence, cette dernière étant en unité de la fréquence du laser. Comment interprétez-vous l'allure de cette variation? La condition de la question 3 est-elle vérifiée? En utilisant le résultat de la question

Figure 3 -

II - Mesure de la durée de l'impulsion

Largeur du paquet d'ondes

Mesure des phases relatives

Figure 4 - Nombre de photoélectrons d'énergie E_q − I_P en fonction du retard τ et de q, les zones les plus claires correspondant aux plus grands nombres [extrait de l'article "Physics of attosecond pulses produced via high harmonic generation", par Katalin Varjù, Per Johnsson, Johan Mauritsson, Anne L'Huillier, Rodrigo López-Martens, Am. J. Phys. 77, 389-395 (2009)].

33. La mesure de l'énergie cinétique de l'électron donne accès à la valeur de q (voir la fin du problème). La figure 4 représente le nombre d'électrons émis en fonction de τ et q. Commenter cette figure à la lueur de la figure 3 et des deux dernières questions, en distinguant les valeurs de q paires et impaires. Vérifier que la valeur de T déduite de cette figure est compatible avec celle obtenue à la question 3.
34. Comment, sur la figure 4 , peut-on vérifier si φ_(q + 2) − φ_q est indépendant de q ?
35. Dans ce cas, donner une estimation de la durée de l'impulsion du faisceau d'harmoniques.

III - Spectromètre magnétique

Figure 5 - Lignes de champ et trajectoires des électrons (projetées sur le plan de la figure).

39. Indiquer comment varie la norme du champ magnétique de gauche à droite le long d'une ligne de champ.
40. Lorsque le champ vu par l'électron varie lentement le long de sa trajectoire, son mouvement dans le plan perpendiculaire reste approximativement circulaire, mais avec un rayon qui varie peu à peu. On admet que la variation de ce rayon est telle que le moment cinétique J déterminé à la question 37 reste constant. On considère pour simplifier que le champ est uniforme sur chacune des surfaces d'entrée et de sortie du spectromètre, et on note B_i et B_f les normes correspondantes. Déterminer la relation entre l'inclinaison initiale θ_i et finale θ_f de la trajectoire.
41. Les électrons produits par l'effet photoélectrique ont des directions aléatoires. Le but est de recueillir tous ceux qui entrent dans le spectromètre, et d'aligner rapidement leur trajectoires avec l'axe z. On choisit donc des valeurs de B_f et B_i telles que θ_f soit petit, et on fabrique un spectromètre suffisamment long pour que la plus grande partie de la trajectoire se fasse dans un champ uniforme B_f. On mesure le temps séparant l'impulsion laser, qui produit les électrons, et leur détection à la sortie du spectromètre. Connaissant la longueur L du spectromètre, on en déduit leur vitesse, et donc leur énergie cinétique. Du fait de l'inclinaison θ_f non nulle, la longueur parcourue par les électrons n'est pas exactement L. En déduire l'incertitude relative sur la vitesse en fonction du rapport B_f/B_i.