Le sujet explore les propriétés de l'hélium 4 superfluide à basse température en trois parties largement indépendantes, pour une trentaine de questions. Il mobilise la thermodynamique et les changements d'état, la mécanique des fluides, les interférences et la propagation d'ondes électromagnétiques, jusqu'à une détermination de l'équation d'état de l'hélium superfluide.

1Partie 1 : l'hélium liquide à basse températureRaisonnements qualitatifs sur le diagramme de phase, l'écoulement parfait et un argument de mécanique quantique.
2Partie 2 : états métastables de l'hélium liquideTension superficielle et cavitation décrite par le facteur de Boltzmann, puis pression négative autour de l'équation de Van der Waals et de l'hydrostatique.
3Partie 3.1 : mesure de la masse volumique par interférométrieInterféromètre de Jamin à division d'amplitude, différences de marche, incertitudes et lien entre chemin optique et déphasage.
4Partie 3.2 : mesure de la fréquence BrillouinFaisceau gaussien, diffusion Brillouin, électrostriction, propagation d'ondes en notation complexe et amplification de l'onde.

Difficile. Le jury juge le sujet particulièrement discriminant : malgré un barème généreux, seul un quart des candidats a fourni l'effort de synthèse attendu.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,61 / 20 · écart-type 3,56 · 1 328 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,61/ 20
Écart-type: 3,56
Présents: 1 328
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 27 avril 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Diagramme de phase de l'eau pris pour la règle · Fluide parfait mal défini · Facteur de Boltzmann et pression cinétique oubliés

Selon le jury, le sujet ne présentait pas de difficulté technique insurmontable, mais demandait de mobiliser de nombreux chapitres hors des situations directement tirées du cours. La plupart des candidats ont traité les deux tiers de l'énoncé, et une poignée l'a traité presque entièrement. Des lacunes sur des points élémentaires ont fait décrocher beaucoup de candidats au fil du sujet.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Diagramme de phase de l'eau pris pour la règleQ2
Un tiers des candidats oublie que la pente négative de la frontière solide-liquide de l'eau est une exception.
2
Fluide parfait mal définiQ3
Beaucoup confondent écoulement parfait, incompressibilité et caractère irrotationnel. Certains associent même une viscosité nulle à un petit nombre de Reynolds.
« un fluide parfait est un fluide pour lequel les effets de viscosité et de conductivité thermique sont négligés »
3
Facteur de Boltzmann et pression cinétique oubliésQ6, Q10
Moins de la moitié pense à la statistique de Boltzmann pour le taux de cavitation, et l'interprétation cinétique de la pression d'un gaz parfait est rarement connue.
4
Signes changés pour obtenir le résultatQ8
Des expressions exponentielles sont obtenues par des raisonnements illicites. Le jury examine chaque étape et repère les changements de signe opportuns.
5
Géométrie et interférométrieQ15 à Q19
L'interféromètre de Jamin est pris pour un dispositif à division du front d'onde, la ressemblance avec le Michelson en lame d'air n'est pas vue et les différences de marche sont mal calculées.
6
Racine carrée complexe et notation complexeQ22, Q24 à Q27
La moitié des candidats ne sait pas extraire la racine carrée d'un nombre complexe, et l'emploi constant de la notation complexe en fin de sujet a déstabilisé beaucoup de copies.

Ce qui a été bien réussi

La plupart des candidats qui ont établi la formule de la Q4 ont tenté l'application numérique.
La Q5 sur la tension superficielle a été bien réussie.
Le début de la Q21 a été très bien traité.
Les formules du waist et de la longueur de Rayleigh sont souvent connues (Q20).

Conseils du jury

Utiliser la dérivée logarithmique pour les calculs d'incertitudes.
Revoir la géométrie du triangle et les produits scalaire et vectoriel pour les calculs de différence de marche.
Présenter un raisonnement honnête dont chaque étape se vérifie, plutôt que viser la formule finale.
Commenter les applications numériques lorsque l'énoncé le demande.
Répondre de façon concise aux questions qualitatives.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

32 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

32 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Description

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ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2022

MERCREDI 27 AVRIL 2022
08h00-12h00
FILIERE PC - Epreuve n

^\circ5

PHYSIQUE B (XEULS)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Étude de l'hélium superfluide métastable

Introduction

Dans ce sujet, nous nous intéressons à l'hélium 4 (ou

^4 He

) à basse température, que nous appellerons simplement hélium par la suite. La première partie permet d'aborder les propriétés singulières de l'hélium liquide à basse température. L'hélium liquide peut être préparé dans des états dits "métastables" : la description de ces états fera l'objet de la seconde partie. Enfin, la troisième partie traite de l'étude expérimentale de l'hélium métastable par deux techniques : la mesure de la masse volumique par interférométrie et la mesure de la "fréquence Brillouin" par diffusion Brillouin. Ces deux mesures permettent de remonter à l'équation d'état de l'hélium métastable. Ces trois parties, ainsi que les sous-parties 3.1 et 3.2, sont dans une large mesure indépendantes.

Indications

On donne

3\sqrt(50) ≃ 3, 5

Constantes fondamentales

célérité de la lumière dans le vide : $c ≃ 3 \times 10^8 m.s^(- 1)$
permittivité diélectrique du vide : $ε_0 ≃ 9 \times 10^(- 12) F.m^(- 1)$
constante de Planck : $h ≃ 7 \times 10^(- 34) J$ .s
constante de Planck réduite : $ℏ = h/2π ≃ 1 \times 10^(- 34)$ J.s
constante de Boltzmann : $k_B ≃ 1, 4 \times 10^(- 23) J.K^(- 1)$

Notations et grandeurs liées à l'hélium liquide

masse atomique : $m_(H_e) ≃ 7 \times 10^(- 27) kg$
polarisabilité atomique : $α$
pression de vapeur saturante (coexistence liquide-gaz) : $p_(sat)$
vitesse du son à $T ≃ 1 K : v ≃ 200 m.s^(- 1)$
indice optique : $n ≃ 1$

1 L'hélium liquide à basse température

Lorsque de l'hélium est refroidi en suivant la courbe de coexistence gaz-liquide, on observe une évolution rapide de sa capacité thermique massique à pression constante autour de la température

T_λ ≃ 2, 17 K

(voir Fig.1(a)).

Figure 1 - (a) Évolution de la capacité thermique massique à pression constante

c_p

de l'hélium à la pression de vapeur saturante en fonction de la température

T

. (b) Évolution de la masse volumique

ρ

de l'hélium à la pression de vapeur saturante en fonction de la température

T

On refroidit une masse $m$ d'hélium liquide à pression constante de $T = 5 K$ à $T = 1K$ avec une puissance de refroidissement $P_(th) < 0$ constante au cours du temps. Par application du premier principe, exprimer $dT/dt$ en fonction des données du problème. Donner l'allure de l'évolution temporelle de la température de l'hélium à partir de la courbe $c_p(T)$ .

Cette évolution rapide de

c_p(T)

est due à une transition de phase à la température

T_λ

(appelée "transition

λ

" à cause de la forme du pic de

c_p

proche de

T_λ

) d'une phase liquide I vers une phase liquide II, que l'on appelle aussi phase liquide "superfluide". C'est une transition de phase sans chaleur latente, et à laquelle il n'y a pas de discontinuité de la masse volumique (voir Fig.1(b)).

Le diagramme d'état (

p, T

) de l'hélium est représenté en Fig.2.
2. Donner le diagramme de phase (

p, T

) typique d'un corps pur en équilibre. Comparer avec celui de l'hélium. Que se passe-t-il lors du refroidissement d'un système le long de sa ligne de coexistence avec la phase gazeuse? Que se passe-t-il pour l'hélium?

L'hélium superfluide (i.e. en phase liquide II) a des propriétés très différentes de celles de la phase liquide I. En particulier, sa viscosité est extrêmement faible, au moins

10^6

fois plus faible que celle de la phase liquide I, et l'hélium superfluide peut s'écouler très facilement à travers un milieux poreux. On considère ainsi que l'écoulement de l'hélium est parfait.
3. Donner brièvement quelques caractéristiques d'un écoulement parfait.
4. Les propriétés surprenantes de l'hélium superfluide sont une manifestation directe d'effets quantiques. À partir des données fournies dans l'énoncé, donner la distance interatomique typique

a

de l'hélium en phase superfluide. Déterminer la longueur d'onde de de Broglie, notée

Λ

, en fonction de

k_B

h, T

m_(He)

en supposant que l'énergie cinétique

E_c

est de l'ordre de

3k_B T

. Donner la dépendance de la longueur d'onde de de Broglie en

T

. On considère que le fluide est quantique lorsque

Λ \sim a

. Donner

Figure 2 - Diagramme d'état de l'hélium. Le point (C) est le point critique. L'hélium-II est aussi appelé hélium superfluide.

un ordre de grandeur de la température à laquelle les effets quantiques apparaissent et commenter ce résultat.

2 États métastables de l'hélium liquide

L'hélium liquide à basse température, outre ses propriétés superfluides, a la caractéristique de pouvoir être obtenu avec une remarquable pureté. En effet, à quelques degrés Kelvin, toute impureté éventuellement présente dans le liquide est gelée sur les parois ou sédimente au fond du contenant. On peut ainsi, par filtrage, obtenir un liquide extrêmement pur. Cela offre la possibilité d'étudier les états "métastables" de l'hélium liquide. C'est ce que nous allons étudier dans cette partie.

2.1 Métastabilité et cavitation

On prend de l'hélium liquide à la température

T

et à la pression

p = p_(sat)

. Lorsque

p < p_(sat)

, l'état thermodynamique le plus stable est la phase gazeuse. Cependant, il peut y avoir un retard au changement d'état, et l'hélium peut rester liquide bien que

p

soit inférieure à

p_(sat)

. Dans un tel cas, l'hélium est alors dit "métastable". La rupture de l'état métastable, c'est-à-dire la transition liquide-gaz, s'appelle "cavitation".
Pour comprendre la métastabilité, on peut considérer la situation suivante. Supposons que de l'hélium liquide soit à une pression

p

inférieure à

p_(sat)

(hélium métastable). L'énergie que l'on doit apporter au système pour créer la première bulle de gaz, de rayon

r

, est donnée par

ΔE = 4/3πr^3(p - p_(sat)) + 4πγr^2

Le premier terme, négatif, correspond au fait qu'il est énergétiquement favorable de créer une bulle de
gaz dans le milieu. Le second terme fait intervenir le coefficient de tension superficielle

γ

à l'interface liquide-gaz.
5. Quelle est l'interprétation physique du second terme qui apparaît dans l'expression de

ΔE

? Tracer l'allure de

ΔE

en fonction de

r

p

fixée. Mettre en évidence une valeur de

r

, notée

r_c

, qui rend

ΔE

maximale (on note

ΔE^*

le maximum de

ΔE

). On donnera les expressions de

r_c

et de

ΔE^*

. Quelle énergie faut-il fournir pour qu'il y ait rupture de l'état métastable (i.e. cavitation)?
6. Soit

Γ

la probabilité de cavitation par unité de volume et par unité de temps à

T

. Proposer une expression de

Γ

en fonction de

ΔE^*

, de

k_B T

et d'une constante

Γ_0

de même dimension que

Γ

.
7. La présence d'impureté a pour effet de diminuer

ΔE^*

. Pourquoi l'hélium liquide à basse température est-il intéressant pour l'étude des états métastables de la matière condensée?
8. On crée un état métastable de volume

V

. On note

Σ(t)

la probabilité que la cavitation ait eu lieu entre les instants 0 et

t.Σ(t + dt) - Σ(t)

correspond ainsi à la probabilité qu'il y ait cavitation entre un temps

t

et un temps

t + dt

. Exprimer

Σ(t + dt) - Σ(t)

en fonction de

Γ, V

Σ(t)

et en déduire une équation différentielle sur

Σ(t)

. En déduire l'expression de

Σ(t)

.
9. On définit la pression de cavitation

p_c

telle que la probabilité de cavitation

Σ(τ)

définie au bout d'un temps

τ

est égale à

1/2

: donner son expression en fonction de

γ, k_B, T, Γ_0, V

τ

. Que se passe-t-il quand

T \to 0

? Commenter le signe de

p_c

à basse température. Comment doit-on choisir

V

τ

pour maximiser

|p_c|

(avec

p_c < 0

2.2 Pression négative

Il est possible d'étudier l'hélium liquide à des pressions

p

inférieures à sa pression de vapeur saturante

p_(sat)

. Les états métastables de l'hélium sont si robustes que l'on peut même atteindre des pressions négatives (des valeurs de

- p

de l'ordre de plusieurs bars peuvent être obtenues!).
10. Quelle est l'interprétation microscopique de la pression pour un gaz parfait? Peut-elle être négative pour un gaz parfait?

Une pression négative ne peut être atteinte que dans des systèmes où il y a des interactions attractives entre les particules. Beaucoup de fluides peuvent être décrits par l'équation d'état de van der Waals :

(p + a(N^2)/(V^2))(V - Nb) = Nk_B T

où

a

b

sont deux constantes positives qui dépendent de la nature du fluide,

N

est le nombre de particules considéré et

V

le volume du fluide.
11. Pourquoi peut-on avoir

p < 0

à basse température? Donner en fonction de

a, b

k_B

la température

T^*

en-dessous de laquelle la pression peut devenir négative.

Les systèmes à pression négative ne sont pas de simples curiosités de laboratoire : il en existe dans la nature, c'est par exemple le cas de la sève dans les arbres.
12. On considère un arbre de hauteur

h

. La pression de la sève au niveau des racines est la pression
atmosphérique

p_0

. Quelle est la pression de la sève dans l'arbre à une altitude

z

? À partir de quelle altitude cette pression devient-elle négative? Faire une application numérique en assimilant la sève à de l'eau.

3 Étude expérimentale des états métastables de l'hélium

On étudie les états métastables de l'hélium en focalisant une onde ultrasonore de fréquence 1 MHz au sein du fluide à l'aide d'un "émetteur piézoélectrique". Un tel émetteur est représenté en Fig.3. Sa forme est celle d'une coquille hémisphérique. Lorsqu'une tension est appliquée entre les faces intérieure et extérieure de l'émetteur, le matériau se contracte ou se dilate (selon le signe de la tension), et permet ainsi de créer une onde sonore focalisée au sein de l'hélium.

Figure 3 - Vue en coupe de l'émetteur piézoélectrique qui crée une onde sonore au sein de l'hélium liquide. La taille typique du foyer acoustique est notée

δx

On part d'une situation à $p_(sat)$ . On s'intéresse aux variations de pression et de masse volumique au foyer acoustique. On suppose que les variations de pression au foyer sont sinusoïdales et d'amplitude $δp$ . L'hélium reste liquide pendant toute la durée de l'expérience. Représenter l'évolution temporelle de la pression $p(t)$ et repérer les instants où l'hélium est dans un état métastable. Quelle est la durée caractéristique de l'état métastable? Quelle est sa taille typique $δx$ pour l'hélium liquide à 1 K ? Que se passe-t-il si $δp > p_(sat)$ ?

L'introduction du moindre appareil de mesure au niveau de la région métastable provoquerait sa rupture (c'est-à-dire la cavitation de l'hélium). Il faut donc utiliser des méthodes d'étude non perturbatives. Des méthodes de mesure optiques s'avèrent particulièrement adaptées. Dans la suite, on s'intéresse à la mesure de masse volumique et à la mesure de la "fréquence Brillouin" au sein de l'onde acoustique.

3.1 Mesure de $ρ$ par interférométrie

On donne la relation de Clausius-Mossoti, valable dans l'hélium, qui relie l'indice optique

n

à la masse volumique

ρ

(n^2 - 1)/(n^2 + 2) = (4πα)/(3m_(He))ρ

où

α

est un coefficient appelé "polarisabilité atomique" de l'hélium. On note

δρ

la variation de masse volumique créée par le passage de l'onde sonore focalisée dans l'hélium, et on note

δn

la variation d'indice optique associée.
14. Montrer que l'on a, dans le cas de l'hélium où

n = 1 + ε

avec

ε≪1

(δn)/(n - 1) = (δρ)/ρ

Figure 4 - Schéma de l'interféromètre de Jamin.

Il est possible de mesurer l'indice optique dans l'hélium en utilisant un interféromètre, comme celui de la Fig.4, appelé interféromètre de Jamin. L'interféromètre de Jamin est un dispositif qui repose sur l'utilisation de deux lames épaisses identiques d'épaisseur

e

et parallèles entre elles. La face arrière de chaque lame est un miroir parfait. Cet interféromètre est éclairé par une source laser de longueur d'onde

λ

, assimilée à une onde plane monochromatique. Le faisceau incident est divisé en deux faisceaux par la première lame. Les faisceaux sont envoyés dans une cellule contenant l'hélium (et elle-même est placée au sein d'un cryostat, non représenté sur la figure). Un des deux faisceaux traverse l'hélium liquide soumis à l'onde sonore (bras (1)), tandis que l'autre traverse l'hélium liquide au repos (bras (2)). Les faisceaux sont ensuite recombinés par la deuxième lame.
15. L'interféromètre de Jamin est-il un interféromètre à division d'amplitude ou de front d'onde?

L'indice de l'air et l'indice de l'hélium sont supposés être égaux à 1 . L'indice des lames de verre est noté

n_v

. On note

θ_i

l'angle d'incidence des faisceaux sur les lames.
16. Montrer que la distance

d

séparant les bras (1) et (2) de l'interféromètre est donnée par :

d = e(sin2θ_i)/(\sqrt(n_v^2 - sin^2 θ_i))

Quel déphasage $Φ(θ_i)$ chaque lame de Jamin induit-elle entre les faisceaux? Quel est le déphasage $δφ$ entre les deux faisceaux en sortie de l'interféromètre et en l'absence d'onde sonore?
Donner la variation du déphasage induit par le non-parallélisme des lames (écart angulaire $δθ$ entre les lames). On fera apparaître $d$ dans l'expression obtenue.

On crée une onde sonore dans l'hélium. Seul le faisceau (1) est affecté par la présence de l'onde sonore. On suppose que l'onde sonore créée a une symétrie radiale autour de l'axe

Oz

(voir Fig.5), et on note

n(r, z) = 1 + δn(r, z)

l'indice optique de l'hélium en présence de l'onde sonore (

n = 1

au repos). On suppose que la propagation du faisceau (1) reste rectiligne et que les variations d'indice

δn(r, z)

sont nulles pour

r > R

Figure 5 - La phase mesurée

δφ(x, z)

z

fixé en sortie de l'interféromètre résulte de l'intégration des déphasages optiques le long du trajet du faisceau dans la cellule. Le cercle en trait pointillé de rayon R délimite le champ acoustique de l'onde sonore créée par l'émetteur piézoélectrique.

Exprimer la différence de phase $δφ(x, z)$ entre les deux faisceaux de l'interféromètre en faisant apparaître une intégrale sur $δn(r, z)$ le long du chemin optique.

Étant donnée la symétrie radiale du problème, la mesure de

δφ(x, z)

pour tout

z

permet de remonter à la variation d'indice optique

δn(r, z)

grâce à une opération mathématique appelée "transformation d'Abel". On remonte ensuite à

δρ

, et donc à

ρ

, par l'équation (4).

3.2 Mesure de la fréquence Brillouin

Une autre méthode pour étudier les états métastables est l'étude de la diffusion Brillouin. Expérimentalement, on focalise un faisceau laser, de longueur d'onde

λ ≃ 1μ m

, au niveau du foyer de l'onde sonore créée dans l'hélium par l'émetteur piézoélectrique (voir Fig.6). La demi-ouverture angulaire du faisceau est

θ_o ≃ 7 \times 10^(- 2)rad

Figure 6 - Un laser est focalisé au niveau de la région métastable qui correspond au foyer de l'onde acoustique créée par l'émetteur piézoélectrique.

a) En supposant que les faisceaux sont gaussiens, donner le rayon typique minimal

w_(min)

des faisceaux au niveau du point de focalisation. Ce rayon typique correspond à la résolution spatiale de l'expérience. La résolution spatiale minimale est-elle suffisante pour étudier la région métastable?
b) On prend un faisceau gaussien de rayon minimal

w = 3w_(min)

. Que vaut la longueur de Rayleigh du faisceau? Comment peut-on alors décrire le faisceau au niveau de la région métastable?

De manière générale, lors de sa propagation dans un milieu uniforme, une fraction (très faible) de la lumière peut être diffusée par des fluctuations "spontanées" de densité qui se propagent dans le milieu. Dans l'expérience considérée ici on s'intéresse à la diffusion du laser par des fluctuations de densité qui se propagent à l'intérieur de la région métastable. Ces fluctuations sont d'origine thermique et ne doivent pas être confondues avec le champ acoustique produit par l'émetteur piézoélectrique pour créer la région métastable. Le faisceau diffusé par ces fluctuations est décalé en fréquence (décalage Doppler). La mesure de ce décalage permet de remonter à la vitesse du son au sein de la région métastable.

Pour étudier ce phénomène, on considère que les faisceaux laser sont constitués de photons, d'impulsion

k⃗_1

et de pulsation

ω_1

(respectivement

k⃗_2

ω_2

) pour le faisceau incident (resp. diffusé). On assimile également une fluctuation de densité dans la région métastable à une quasi-particule (appelée "phonon") de vecteur d'onde

q⃗_B

(et d'impulsion

ℏq⃗_B

) et de pulsation

Ω_B

(et d'énergie

ℏΩ_B

). On peut voir la diffusion de la lumière par la fluctuation de densité, c'est-à-dire la diffusion d'un photon par un phonon, comme la collision : photon

1 +

phonon

\to

photon 2 (avec l'annihilation du phonon).
21.
a) Donner les relations de dispersion pour la lumière et le son dans l'hélium liquide (c'est-à-dire la relation entre

|k⃗_i|

ω_i(i = 1, 2)

d'une part, et

|q⃗_B|

Ω_B

d'autre part).
b) Écrire les équations de conservation de l'impulsion et de l'énergie lors de cette collision.
c) On note

θ

l'angle entre les vecteurs

k⃗_1

k⃗_2

, aussi appelé angle de diffusion. On fait l'hypothèse :

Ω_B≪ω_1, ω_2

. Dans le cadre de cette approximation, montrer que

Ω_B = 2ωv/csin(θ/2)

avec

ω ≃ ω_1 ≃ ω_2

. Donner la valeur de

f_B = Ω_B/2π

pour un angle de diffusion

θ ≃ π/2

. Discuter la validité de l'hypothèse utilisée.

La fraction de lumière diffusée est très faible, surtout dans un liquide à quelques Kelvin où les fluctuations thermiques (à l'origine du processus de diffusion) sont quasiment inexistantes. Cependant on peut "stimuler" la diffusion en focalisant un deuxième laser dans le milieu. Son interférence avec le premier laser va créer une force volumique qui s'exerce sur le fluide. Cette force renforce les fluctuations de densité, et renforce ainsi le processus de diffusion.

Pour le comprendre, on utilise une autre approche : on étudie la diffusion à partir des équations classiques d'évolution de la masse volumique et des champs électriques. On donne l'équation de propagation des ondes acoustiques dans un fluide de masse volumique

ρ(r⃗, t)

en présence d'une force volumique

f⃗

et en présence d'atténuation :

(\partial^2 ρ)/(\partialt^2) - Γ^' Δ(\partialρ)/(\partialt) - v^2 Δρ = divf⃗

où

Γ^'

est un paramètre d'amortissement positif et où

Δ

désigne l'opérateur laplacien.

On néglige toute force volumique

f⃗

pour le moment. On considère la propagation d'une onde plane monochromatique. On écrit ainsi

ρ(r⃗, t) = ρ_0 + ρ_1(r⃗, t)

avec

ρ_0

la masse volumique du milieu au repos et

ρ_1(r⃗, t) = Re[ρ_-_1(r⃗, t)]

avec

ρ_-_1(r⃗, t) = δρ_-e^(i(Ω_B t - Q⃗ \cdot r⃗))

où

δρ_-

est une amplitude complexe (constante) et

Q⃗

Ω_B

sont les vecteur d'onde et pulsation de l'onde sonore.
22. Donner la relation de dispersion des ondes sonores dans le milieu. On note

Q = |Q⃗|

. Développer l'expression de

Q

au premier ordre en

Γ^'

et le mettre sous la forme

Q = a - ib

avec

a

b

deux constantes réelles.

Un fluide soumis à un champ électrique

E⃗

statique subit une pression (appelée "pression strictive") donnée par :

p_(st) = - 1/2ε_0 γ_e E^2

où

E = |E⃗|

et où

γ_e

est une constante positive sans dimension.
23. Commenter le signe de

p_(st)

: comment le milieu réagit à un champ électrique? Donner la force volumique résultant de cette pression.

Une onde électromagnétique plane progressive monochromatique polarisée linéairement, de champ électrique

E⃗_1(z, t) = Re[E⃗_-_1(z, t)]

avec

E⃗_-_1(z, t) = E⃗_-_(1, 0)(z)e^(i(ω_1 t - k_1 z))

(où

E⃗_-_(1, 0)(z)

est une amplitude complexe qui ne dépend pas du temps), se propage dans le fluide dans la direction

z

. La pulsation de cette onde correspond au domaine visible. De même que précédemment, une force strictive est associée au passage de l'onde, mais la pression strictive est cette fois donnée en remplaçant

E^2

par sa moyenne temporelle

< E⃗ \cdot E⃗ >

sur un temps

τ

tel que

τ≫2π/ω_1

.
24. Exprimer la pression strictive dans un tel cas.

On considère la propagation d'une deuxième onde électromagnétique plane progressive monochromatique polarisée linéairement, se propageant en sens opposé, de champ électrique

E⃗_2(z, t) = Re[E⃗_-_2(z, t)]

avec

E⃗_-_2(z, t) = E⃗_-_(2, 0)(z)e^(i(ω_2 t + k_2 z))

(où

E⃗_-_(2, 0)(z)

est une amplitude complexe qui ne dépend pas du temps). Le champ

E⃗_2(z, t)

oscille à une pulsation proche de celle de

E⃗_1(z, t)

: en posant

ω_1 = ω_2 + Ω

on a donc

|Ω|≪ω_2

.
25. Que vaut la moyenne temporelle du carré du champ électrique total

⟨E⃗ \cdot E⃗⟩

en fonction de

z

et de

t

? On moyenne, autour de

t

, sur un temps

τ

tel que

τ≪2π/Ω

τ≫2π/ω_2

. En déduire la force strictive associée. On notera

q = k_1 + k_2

.
26. En négligeant les termes en

(\partialE_-\to_(i, 0))/(\partialz)

(avec

i = 1, 2

) devant les termes en

qE⃗_-_(i, 0)

, montrer que le terme de forçage de l'équation (7) est donné par

divf⃗ = - 1/2ε_0 γ_e q^2 Re[E⃗_-_(1, 0) \cdot E⃗_-_(2, 0)^* e^(i(Ωt - qz))]

où

E⃗_-_(2, 0)^*

est le complexe conjugué de

E⃗_-_(2, 0)

En présence de ce terme de forçage, on cherche des solutions de l'équation (7) de la forme

ρ = ρ_0 + Re[δρe^(i(Ωt - qz))_-]

, où on suppose pour simplifier que

δρ_-

est une amplitude complexe uniforme et constante.
27. Montrer que

δρ_- = 1/2ε_0 γ_e η(q, Ω)E⃗_-_(1, 0) \cdot E⃗_-_(2, 0)^*

avec

η(q, Ω)

une fonction de

q

et de

Ω

que l'on explicitera et où on fera également apparaître

Γ_B = q^2 Γ^'

Ω_B = qv

En supposant

|1/(k_i)(\partialE⃗_i)/(\partialz)|≪|E_-_i|

(avec

i = 1, 2

) on peut montrer que la propagation des champs
électriques dans le milieu soumis à la modulation de densité conduit aux équations :

(\partialE⃗_(1, 0))/(\partialz), = - (iω_1 γ_e)/(4cρ_0)E⃗_-_(2, 0)δρ_-; - (\partialE⃗_(2, 0))/(\partialz), = - (iω_2 γ_e)/(4cρ_0)E⃗_-_(1, 0)δρ_-^*

où

δρ^*_-

est le complexe conjugué de

δρ_-

. On suppose de plus que les champs électriques

E⃗_1

E⃗_2

ont la même polarisation.

On pose

I_1 = ε_0 c|E⃗_-_(1, 0)|^2/2

I_2 = ε_0 c|E⃗_-_(2, 0)|^2/2

les intensités des champs électriques 1 et 2 (qui s'expriment en W.m

^(- 2)

). On se placera désormais dans le cas où

Ω^2 Γ_B^2 ≃ Ω_B^2 Γ_B^2

Ω^2 - Ω_B^2 ≃ 2Ω_B ΔΩavecΔΩ = Ω - Ω_B

.
28. Montrer que

(dI_2)/(dz) = - g_\infty((Γ_B/2)^2)/((Γ_B/2)^2 + ΔΩ^2)I_1 I_2

où l'on n'explicitera pas la constante positive

g_\infty

.
29. On s'intéresse au cas où l'intensité du champ électrique 1 est beaucoup plus grande que celle du champ électrique 2. Dans un tel cas, on peut supposer que

I_1

reste constante. En déduire la dépendance de

I_2

z

. La pulsation

ω_1

est fixée, mais on peut faire varier

ω_2

dans l'expérience. Que se passe-t-il "à résonance", i.e. lorsque

ΔΩ = 0

? Que se passe-t-il "hors résonance", c'est-à-dire lorsque

|ΔΩ|≫Γ_B

? On mesure l'intensité

I_2

en sortie de la cellule contenant l'hélium. Proposer une méthode pour déterminer précisément

Ω_B

.
30. Dans l'hélium,

g_\infty ≃ 10^(- 9) m.W^(- 1)

. En déduire l'ordre de grandeur de

I_1

pour avoir une amplification de

I_2

à la résonance de l'ordre de

1%

sur une échelle typique de

10μ m

. Commenter ce résultat.

On cherche à appliquer cette méthode à l'étude de l'hélium métastable. Pour avoir une amplification significative,

I_1

doit être important. On utilise donc pour le champ 1 un laser qui émet des impulsions lumineuses de durée

τ_l

. Ceci permet d'obtenir des puissances instantanées très importantes. La longueur d'onde des lasers est

λ ≃ 1μ m

.
31. Comment doit-on choisir

τ_l

pour sonder les états métastables? Quelle est la conséquence sur la largeur spectrale du laser? En déduire la résolution spectrale de l'expérience.
32. Détermination expérimentale de l'équation d'état. Comment, à partir des mesures de

ρ

et de

f_B(ρ) = Ω_B(ρ)/2π

, peut-on remonter à l'équation d'état

p(ρ)

? On exprimera

p(ρ)

en faisant apparaître une intégrale d'une fonction qui dépend de la masse volumique

ρ

. On note par ailleurs

ρ_(sat)

la masse volumique pour

p = p_(sat)

. On rappelle que la vitesse du son est donnée par

v = 1/(\sqrt(ρχ_S))

où

χ_S = 1/ρ((\partialρ)/(\partialp))_S

est la compressibilité isentropique. On fera également apparaître

λ

dans l'expression de

p(ρ)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de physique B X-ENS PC 2022 ?

Sur l'hélium 4 superfluide métastable : diagramme de phase, cavitation, pression négative, mesure de la masse volumique par interférométrie et mesure de la fréquence Brillouin.

Quelle est la moyenne de physique B X-ENS PC 2022 ?

Le rapport indique une moyenne de 9,53 et un écart-type de 3,54 sur 1404 copies.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique B XEULS PC 2022 ?

Une définition confuse du fluide parfait, l'oubli du facteur de Boltzmann, des interféromètres mal identifiés, des racines carrées complexes ratées et des difficultés avec la notation complexe.

Le sujet de physique B Polytechnique PC 2022 est-il difficile ?

Le jury le juge particulièrement discriminant : il ne comportait pas de calcul insurmontable, mais seul un quart des candidats a su relier les nombreux chapitres mobilisés.

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ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2022

PHYSIQUE B (XEULS)

Étude de l'hélium superfluide métastable

Introduction

Indications

Constantes fondamentales

Notations et grandeurs liées à l'hélium liquide

1 L'hélium liquide à basse température

2 États métastables de l'hélium liquide

2.1 Métastabilité et cavitation

2.2 Pression négative

3 Étude expérimentale des états métastables de l'hélium

3.1 Mesure de ρ par interférométrie

3.2 Mesure de la fréquence Brillouin

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet de physique B X-ENS PC 2022 ?

Quelle est la moyenne de physique B X-ENS PC 2022 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique B XEULS PC 2022 ?

Le sujet de physique B Polytechnique PC 2022 est-il difficile ?

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3.1 Mesure de $ρ$ par interférométrie