X ENS Physique B PC 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quoi porte le sujet de physique B de l'X-ENS PC 2024 ?

Sur la propagation d'une onde acoustique dans un fluide stratifié : hypothèses de l'acoustique linéaire, puis acoustique géométrique avec trajectoires courbes des rayons et application au sonar dans l'océan.

Q: Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique B PC X-ENS 2024 ?

La moyenne est de 10,02 avec un écart-type de 3,48, pour 1464 candidats présents. 47 % des copies ont une note comprise entre 8 et 12.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique B X-ENS PC 2024 ?

Une linéarisation mal argumentée (Q3 à Q6), l'équilibre hydrostatique non identifié en Q7, la loi de Snell-Descartes invoquée au lieu d'être retrouvée en Q15 et l'intégration d'une équation différentielle non linéaire du premier ordre ratée en Q22.

Q: Le sujet de physique B X-ENS PC 2024 était-il difficile ?

Le jury le juge assez classique, ni exagérément long ni difficile, mais sélectif pour les candidats qui accumulent les imprécisions.

Propagation d'une onde acoustique dans un milieu non homogène

Pas encore noté

Faisable en Sup

Faisable en sup ?

Faisable en partie en PCSI : 18 questions sur 32. Autres questions faisables en PCSI

Détail par partie

Partie 1 : Les hypothèses de l'acoustique linéaire.1/13En partie
- Question 1
Partie 2 : Acoustique géométrique.17/19En partie

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BanqueX-ENS Année2024 FilièrePC MatièrePhysique

Annales X-ENS PC Physique X-ENS PC 2024 PC Physique Physique 2024

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Propagation d'une onde acoustique dans un milieu stratifié : acoustique linéaire, rayons acoustiques et sonar océanique

La composition de Physique B PC 2024 (X-ESPCI et ENS) étudie la propagation d'une onde sonore dans un fluide stratifié, en une trentaine de questions. Une première partie pose les hypothèses de l'acoustique linéaire ; la seconde développe l'acoustique géométrique : réfraction à une interface, trajectoires courbes des rayons dans un milieu où la célérité varie avec l'altitude, puis application au sonar en milieu océanique et à la détection d'un sous-marin.

1Partie 1 : les hypothèses de l'acoustique linéaireParticule fluide, linéarisation des équations de la mécanique des fluides, rôle de la gravité et de la diffusion, équation de d'Alembert et valeur de γ (Q1 à Q14).
2Partie 2 : acoustique géométriqueTraversée d'une interface, propagation dans un milieu stratifié discret puis continu, trajectoires paraboliques des rayons et applications au sonar et aux sous-marins (Q15 à Q32).

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet assez classique, sans être exagérément long ou difficile, tout en notant qu'il a été sélectif (moyenne de 10,02).

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,11 / 20 · écart-type 3,44 · 1 401 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,11/ 20
Écart-type: 3,44
Présents: 1 401
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 17 avril 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Linéarisation mal argumentée · Équilibre hydrostatique à l'ordre zéro · Snell-Descartes invoquée au lieu d'être démontrée

Le sujet a été largement abordé par la majorité des candidats, mais s'est révélé sélectif pour ceux qui accumulaient les imprécisions. Le jury rappelle l'importance d'une copie propre, de résultats encadrés et d'un usage réfléchi des symboles mathématiques, notamment des signes beaucoup plus petit ou plus grand et de l'équivalence. Les questions qualitatives finales ont permis de repérer les candidats ayant une vraie compréhension de la physique en jeu.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Linéarisation mal argumentéeQ3 à Q6
La sélection s'est faite sur la clarté des arguments de linéarisation ; redériver l'approximation acoustique n'était pas recevable, et la notation c pour la célérité ne signifie pas que le fluide est relativiste.
« n’implique pas que le fluide soit relativiste ! »
2
Équilibre hydrostatique à l'ordre zéroQ7
Toute la difficulté de la question était d'identifier cet équilibre ; très peu de candidats l'ont fait correctement.
3
Snell-Descartes invoquée au lieu d'être démontréeQ15 et Q16
La loi devait être retrouvée dans le contexte acoustique, par un argument de temps de parcours ou de phase ; la question suivante aurait dû alerter.
4
Lien entre propriétés mathématiques et tracéQ18 et Q20
Seule la concavité de la trajectoire est imposée, ce qui ne dit rien d'une asymptote ou d'une réflexion totale ; en Q20, un argument dimensionnel seul ne suffit pas.
« Les arguments dimensionnels ne “suffisent” pas »
5
Équation différentielle non linéaire du premier ordreQ22 à Q25
Son intégration a posé des problèmes insurmontables à beaucoup, rendant les questions suivantes caduques ; toutes les équations de la physique n'ont pas des solutions sinusoïdales ou exponentielles.
6
Trajectoires et enveloppe confonduesQ24, Q27 et Q28
Même les candidats ayant reconnu la parabole de sécurité ont souvent confondu l'ensemble des trajectoires et leur enveloppe ; en Q28, le principe du retour inverse a été remis en cause à tort.

Ce qui a été bien réussi

La question 2 a été plutôt bien traitée dans l'ensemble.
Les questions 9 à 12 ont été globalement bien traitées.
Tous les candidats qui ont abordé la question 19 ont donné la bonne réponse, sauf étourderie.
Les candidats ayant reconnu l'analogie avec le mirage optique ont en général bien répondu à la question 26, et le jury a apprécié les connaissances sur les sous-marins en question 32.

Conseils du jury

Rendre une copie propre et encadrer les résultats réellement démontrés, y compris les applications numériques.
Utiliser les symboles beaucoup plus petit ou beaucoup plus grand avec soin, et réserver l'équivalence aux cas où elle est vraie.
Ne pas justifier un résultat donné par l'énoncé par un simple « il est évident » : les erreurs qui retombent miraculeusement sur le résultat sont sanctionnées.
Exploiter quantitativement les figures fournies, avec une application numérique pour étayer la réponse (Q29).
Appuyer les propositions qualitatives finales sur les résultats des questions précédentes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

32 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

32 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Description

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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2024

MERCREDI 17 AVRIL 2024
08h00-12h00
FILIÈRE PC - Épreuve n

^\circ5

PHYSIQUE B (XEULS)

Durée : 4 heures

L'utilisation de calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Propagation d'une onde acoustique dans un milieu non homogène

Nous nous proposons d'étudier la propagation d'une onde acoustique dans un milieu non homogène en adoptant une approche directement inspirée de l'optique géométrique.

Cette étude comprend deux parties. La première est consacrée à l'analyse des hypothèses sur lesquelles repose l'acoustique linéaire. La seconde s'attache à caractériser la trajectoire suivie par un rayon acoustique dans un milieu inhomogène. Ces deux parties sont, dans une large mesure, indépendantes.

\to

Les applications numériques seront effectuées avec la précision qu'un calcul à la main permet aisément, et sans excéder deux chiffres significatifs. Les ordres de grandeur seront donnés avec un seul chiffre significatif.

\to

Les réponses aux questions relevant de considérations qualitatives devront être argumentées.

\to

Les références des questions abordées devront être indiquées de façon claire.

1 Les hypothèses de l'acoustique linéaire.

Nous considérons une onde acoustique se propageant dans un milieu fluide soumis au champ de pesanteur

g⃗

uniforme (seulement à ce champ de force volumique). En l'absence d'onde acoustique le traversant, ce fluide est au repos dans le référentiel d'étude

R(O, x, y, z)

supposé galiléen. Nous notons

v⃗ = v⃗(M, t), p = p(M, t)

ρ = ρ(M, t)

T = T(M, t)

les champs spatio-temporels de vitesse, de pression, de masse volumique et de température décrivant la réponse du milieu à l'onde acoustique. M désigne un point de l'espace et

t

le temps.

Nous supposons que les conditions sont telles que l'écoulement, induit par l'onde acoustique au sein du fluide, peut être considéré comme étant "parfait" (la discussion de cette hypothèse fera l'objet de la question (11)). Les équations fondamentales de l'acoustique sur lesquelles repose l'étude sont alors les suivantes:

{ρ(∂v⃗)/(∂t)_()_((a)) + ρ(v⃗ ⋅ grad^(→−))_()_((b))v⃗; (∂ρ)/(∂t) + div(ρv⃗) = 0

L'échelle spatiale de description choisie en mécanique des fluides est l'échelle mésoscopique à laquelle est définie la particule fluide. Indiquer quel critère (objectif) guide le choix de la taille d'une telle particule, dans un milieu et pour des conditions thermodynamiques donnés (aucun calcul d'application n'est demandé).
Justifier que le système d'équations (1) ne permet pas, à lui seul, d'accéder aux différents champs qu'il fait intervenir. Par ailleurs, indiquer quelle difficulté mathématique particulière soulève la résolution d'un tel système.

Le milieu fluide est excité harmoniquement à la pulsation $ω(ω =$ Cste $\geq 0)$ . Nous souhaitons définir à quelle condition l'onde acoustique générée dans ce milieu peut être assimilée à une onde plane harmonique.

Nous écrivons chacun des champs comme la somme d'un champ statique

s_0 = s_0(M)

(en l'absence d'onde acoustique) et d'un champ dynamique

δs = δs(M, t)

associé à la propagation de l'onde acoustique. Ainsi :

v⃗ = v⃗_0 + δv⃗(v⃗_0 = 0\to), p = p_0 + δp, ρ = ρ_0 + δρ

T = T_0 + δT

. Nous notons

A_s

(

A_s \geq 0

) l'amplitude de la variable dynamique

δs

Nous notons

k⃗ = k(ω)u⃗

(

‖u⃗‖ = 1

) le vecteur d'onde associé à la propagation des champs dynamiques. Dans cette partie où il s'agira de raisonner sur des grandeurs caractéristiques, nous considérerons qu'il vérifie la relation de dispersion

ω^2 = c^2 k^2

. La grandeur

c

, positive, désigne la célérité de l'onde dans le milieu considéré.

Dans la suite de cette partie (1), la grandeur

ρ_0

sera considérée comme étant uniforme dans le milieu (indépendance vis-à-vis du point M ).
3. Indiquer à quelle condition le terme (a) de la première équation du système (1) peut être "linéarisé".
4. Établir à quelle condition le terme (b) de la première équation du système (1) peut être négligé devant le terme (a).
5. Définir à quelle condition la seconde équation du système (1) tend vers une équation linéaire.
6. Nous supposons que l'évolution du milieu associée à la propagation de l'onde est isentropique. Complétons alors le système d'équations (1) en introduisant le coefficient de compressibilité isentropique

χ_S

du fluide défini par la relation suivante :

χ_S(p, T) = 1/ρ(\partialρ)/(\partialp)|_S

Définir à quelle condition cette relation permet de relier

δρ

δp

dans la limite linéaire. Sous cette condition, donner l'expression de la célérité

c

(isentropique donc) des ondes acoustiques dans le milieu en fonction de

ρ_0

χ_(S0)(χ_(S_0) = χ_S(p_0, T_0))

. Exprimer enfin, en faisant apparaître

c

, la relation liant

δp

δρ

.
7. Sous les conditions que nous venons d'établir, le système (1), auquel est adjointe l'équation décrivant la réponse en compressibilité du fluide (équation (2)), permet de relier linéairement les composantes dynamiques des champs. Nous supposons ici que la célérité

c

peut être considérée comme étant uniforme dans le milieu.

Établir alors à quelle condition, portant sur la pulsation

ω

, la célérité

c

et l'accélération de la pesanteur

g

, cette dernière peut être négligée dans ces relations.
8. Nous adoptons les valeurs suivantes :

g = 10 m \cdot s^(- 2), c_(air) = 300 m \cdot s^(- 1)

c_(eau) = 1500 m \cdot s^(- 1)

. Traduire numériquement, sur la fréquence

f = ω/(2π)

, la condition établie en réponse à la question (

7

), dans le cas où le milieu propagatif est de l'air, puis de l'eau. Commenter ces résultats.
9. Nous notons

D

(

[D] = L^2 T^(- 1)

) le coefficient de diffusion thermique du fluide. Par ailleurs, nous supposons que l'onde harmonique plane (

ω, k = ω/c

) se propage dans un milieu "infini".

Établir à quelle condition, portant sur la pulsation

ω

, la célérité

c

et le coefficient

D

, l'évolution du fluide induite par l'onde acoustique peut être considérée comme étant adiabatique. On accompagnera le raisonnement tenu d'une argumentation claire, appuyée sur un schéma précisant de quelle manière les échanges thermiques interviennent au sein du fluide.
10. Les coefficients de diffusion thermique de l'air et de l'eau ont pour valeurs respectives

D_(air) \sim 20 \times 10^(- 6) m^2 \cdot s^(- 1)

D_(eau) \sim 0, 15 \times 10^(- 6) m^2 \cdot s^(- 1)

(autour de

p_0 = 10^5 Pa

T_0 = 300 K

). Traduire numériquement, sur la fréquence

f = ω/(2π)

, la condition établie en réponse à la question (

9

), dans le cas de l'air puis celui de l'eau. Commenter ces résultats.
11. Dans le cas d'un écoulement compressible, lorsque les effets visqueux sont pris en compte, le second membre de la première équation du système (1) comprend deux termes supplémentaires, linéaires par rapport à la vitesse (dans le cas d'un fluide newtonien). Nous leur associons, collectivement, la grandeur caractéristique

f_V

se présentant comme le produit d'un coefficient de viscosité dynamique, que nous noterons

η

, par une grandeur caractéristique construite sur une dérivée spatiale d'ordre deux de la vitesse.

En comparant

f_V

au terme (a) de la première équation différentielle du système (1), définir à quelle condition il devient acceptable de considérer l'écoulement induit par l'onde acoustique (onde plane (

ω, k = ω/c

)) comme étant parfait, comme nous l'avons supposé a priori dans le texte introduisant le système d'équations différentielles (1). On fera porter cette condition sur la pulsation

ω

, la célérité

c

et la viscosité cinématique

ν = η/ρ_0

du milieu.
12. Écrire numériquement l'inégalité que doit alors vérifier la fréquence

f = ω/(2π)

, dans le cas de l'air (

ν_(air) \sim 10^(- 5) m^2 \cdot s^(- 1)

) puis celui de l'eau (

ν_(eau) \sim 10^(- 6) m^2 \cdot s^(- 1)

). Commenter ces résultats.
13. Nous nous plaçons dans l'approximation linéaire et ne prenons pas en compte l'accélération de la pesanteur dans les équations mettant en relation les champs dynamiques.

Nous supposons que la célérité

c

des ondes acoustiques est une fonction de l'altitude

z

et qu'elle varie sur une longueur caractéristique

ℓ

. Par ailleurs, chacun des champs dynamiques

δs(s = v⃗, p, ρ

T)

varie sur une longueur caractéristique

λ

Établir à quelle condition, portant sur les longueurs

ℓ

λ

, la composante

δs

est solution d'une équation de D'Alembert dans laquelle on a simplement remplacé la célérité

c

(habituellement constante) par la fonction

c = c(z)

On ne cherchera pas à établir l'équation différentielle générale vérifiée par $δs$ , on raisonnera d'emblée sur des grandeurs caractéristiques.

2 Acoustique géométrique.

Dans cette partie nous nous plaçons dans la limite linéaire et supposons que l'évolution du milieu propagatif induite par l'onde acoustique est réversible et adiabatique. Par ailleurs, nous ne prenons pas en compte l'accélération de la pesanteur dans les équations mettant en relation les champs dynamiques (introduits dans le texte précédant la question (3)). La célérité des ondes acoustiques dans le milieu considéré est notée c.

Nous supposons disposer d'un émetteur permettant de générer une onde acoustique collimatée (c'est-à-dire qu'elle n'est pas divergente, ni convergente) et d'extension transverse limitée. Par analogie avec l'optique géométrique, cette onde sera appelée faisceau acoustique. Dans un milieu homogène, un tel faisceau est un ensemble de rayons acoustiques parallèles. Nous considérons qu'il peut être représenté par une onde plane monochromatique d'extension transverse limitée. Les surfaces isophases, ou plans d'onde, sont alors des plans perpendiculaires à la direction de propagation (définie par le vecteur d'onde).

Définition du cadre de l'acoustique géométrique.

Dans le cas d'une propagation dans un milieu non homogène, dans la mesure où la longueur caractéristique de variation des propriétés du milieu reste très grande comparativement à la longueur d'onde, nous admettons que la structure de l'onde reste plane, localement. Son vecteur d'onde

k⃗(M) = k(M)u⃗_k(M)(‖u⃗_k‖ = 1)

dépend alors du point M de l'espace et vérifie une relation de dispersion locale prenant la forme suivante :

ω^2 = c(M)^2 k(M)^2

La pulsation

ω

est une constante positive fixée.

c(M)

désigne la célérité du son, fonction des caractéristiques du milieu au point M.

Dans ces conditions, accéder à l'expression des grandeurs associées à la propagation d'une onde acoustique devient difficile. L'approche géométrique

^1

, dont nous allons établir le principe, offre un accès plus immédiat à la trajectoire d'un rayon acoustique.
14. Dans le cas où le milieu est de l'air, établir que le carré

c^2

est proportionnel à la température

T

de ce milieu. On exprimera la constante de proportionnalité en fonction de la constante des gaz parfaits

R

, de la masse molaire

M

du gaz et de son indice adiabatique (ou coefficient de Laplace)

γ

Indiquer quels sont les éléments à considérer pour accéder à la valeur de

γ

, dans le cas d'un gaz. Déterminer alors cette valeur dans le cas de l'air dans le voisinage des conditions normales de température et de pression.

- Traversée, par une onde sonore harmonique, d'une interface entre deux milieux.

Nous considérons deux milieux (1) et (2), supposés homogènes, en contact par l'intermédiaire d'une interface plane (immatérielle). Nous notons

c_1(c_1 > 0)

c_2(c_2 > 0)

les célérités du son dans les milieux respectifs (1) et (2). Un faisceau acoustique (

ω, k⃗_1

) se propage dans le milieu (1) en direction du milieu (2). Il est réfracté par l'interface qui en donne le faisceau (

ω, k⃗_2

) dans le milieu (2). La figure (1) illustre cette situation.

Figure 1 - Faisceau acoustique réfracté au passage de l'interface séparant deux milieux où les célérités

c_1

c_2

du son y sont différentes. Les plans

φ_1

φ_2

représentent deux plans de phase de ce faisceau.

Les rayons passant par les points

O

A

de l'interface (

O, x, y

) délimitent l'extension transversale du faisceau. Celui passant par le point I de l'interface est un rayon quelconque de ce faisceau. Nous admettons que les vecteurs d'onde

k⃗_1

k⃗_2

se situent dans le plan (

O, z, x

) (tous les rayons représentés se situent donc dans le plan de la figure).
15. En traduisant l'hypothèse que l'onde dans le milieu (2) reste une onde plane, établir que les angles

θ_1

θ_2

sont liés par la relation suivante :

(sinθ_2)/(c_2) = (sinθ_1)/(c_1)

Commenter la relation (4).

- Propagation en milieu stratifié.

Nous considérons que le milieu propagatif est de l'air et que sa température varie (de façon monotone) avec l'altitude, soit

T_0 = T_0(z)

. Nous souhaitons déterminer la trajectoire d'un faisceau acoustique qui s'y propage. Ce faisceau sera représenté par l'un de ses rayons. Ce rayon est choisi passant par l'origine du repère

R(O, z, x)

et caractérisé par son vecteur d'onde

k⃗(O)

, appartenant au plan (

O, z, x

) et associé à la pulsation

ω

Dans une première étape, nous supposons que ce milieu se présente comme une superposition de $N$ couches horizontales, de même épaisseur $e$ , la température étant uniforme dans chacune d'elles. Nous notons $c_n = c(T_n)(n ∈ {1, N})$ la célérité du son dans la couche $n$ . Dans la couche (1), le rayon est orienté par le vecteur d'onde $k⃗_1 = k⃗(O)(θ_1 \in ]0, π/2[)$ . La figure (2) illustre cette situation.

Figure 2 - Milieu stratifié formé d'un ensemble de

N

couches de même épaisseur

e

et de températures

(T_1, \dots, T_N)

(illustration pour

N = 6

k⃗_1 = k⃗(O)

représente le vecteur d'onde, dans la couche (1), du rayon acoustique passant par le point O .

Indiquer à quelle condition, portant sur l'épaisseur $e$ des couches, cette étude entre dans le cadre de l'acoustique géométrique. Dans la suite, nous supposerons cette condition satisfaite.
Représenter, sur la base d'une argumentation, l'allure de la trajectoire du rayon acoustique de vecteur d'onde $k⃗_1 = k⃗(O)$ . On envisagera le cas où $T_(n + 1) > T_n$ et celui où $T_(n + 1) < T_n$ (pour tout $n$ ). Le nombre de couches n'est pas limité.
Écrire la relation permettant de déterminer $θ_n$ , pour tout $n$ accessible par le rayon considéré, connaissant $θ_1$ .

Nous supposons à présent que la température de l'air varie continûment avec l'altitude $z$ (de façon monotone). Nous notons $c(z)$ la célérité du son à l'altitude $z$ et définissons un indice acoustique par le rapport $n(z) = 1/c(z)$ (cette grandeur possède une dimension).

Nous nous intéressons au rayon acoustique ayant pour vecteur d'onde

k⃗_0 = k⃗(O)

à l'origine du repère

R(O, z, x)(θ_0 \neq 0[π])

. Nous notons

n_0 = n(z = 0)

. Il s'agit de déterminer la trajectoire de ce rayon que nous caractériserons par son équation cartésienne

Z = Z(x)

. Cette situation est illustrée sur la figure (3) (

k⃗_0

joue le rôle que jouait

k⃗_1

dans la situation décrite par la figure (2)).

Figure 3 - Milieu continûment stratifié où la célérité du son dépend de l'altitude

z

(de façon monotone). La trajectoire du rayon acoustique de vecteur d'onde

k⃗_0 = k⃗(O)

et passant le point O est décrite par son équation cartésienne

Z = Z(x)

Indiquer à quelle condition, portant sur la pulsation $ω$ et la fonction $c = c(z)$ , cette étude entre dans le cadre de l'acoustique géométrique. Dans la suite, nous supposerons cette condition satisfaite.
Établir que l'équation différentielle vérifiée par la fonction $Z = Z(x)$ prend la forme suivante :

((n(Z))^2)/(A^2) = 1 + ((dZ)/(dx))^2

où

A

est une constante que l'on exprimera en fonction des paramètres

n_0

θ_0

Nous supposons que la dépendance spatiale de la température de l'air peut s'exprimer, sur le domaine d'étude considéré, par le développement suivant, restreint au premier ordre vis-à-vis du produit $αz$ :

ù T_0(z) = T_0(0)(1 + 2αz) où |αz|≪1 (α = Cste \in ℝ^⋆)

Dans le cadre de cette approximation, déterminer la solution $Z = Z(x)$ de l'équation différentielle (5).
Établir que l'équation cartésienne de la trajectoire peut s'écrire sous la forme suivante:

ù W(X) = B(θ_0)X^2 + C(θ_0)X où X = αx et W = αZ

On donnera l'expression de chacune des constantes

B(θ_0)(B < 0)

C(θ_0)

◻

Par la suite, nous supposerons que

α > 0

.
24. Étudier la famille de fonctions

W = W(X)

afin de caractériser le réseau de trajectoires, dans le cas où

θ_0 \in ]0, π/2]

. Représenter l'allure de quelques trajectoires.
25. Nous supposons qu'un émetteur acoustique très directionnel est placé à l'origine du repère

R(O, z, x)

. Sa direction d'émission est fixée par l'angle

θ_0(θ_0 \neq 0[π])

. Les tracés effectués en réponse à la question (24) font apparaître deux domaines : un (désigné par

D_1

) dont chacun des points peut être atteint par l'onde sonore émise (pour une orientation

θ_0

adaptée), un autre (désigné par

D_0

) dont tous les points restent hors d'atteinte (quelle que soit la valeur de

θ_0

). Déterminer l'équation cartésienne

W_f = W_f(X)

de la frontière délimitant ces deux domaines.

◻

Indication : On recherchera à quelle condition un point M du plan

R(O, αz, αx)

peut se situer sur la trajectoire

W = W(X)

d'un rayon acoustique. Par ailleurs, on adoptera, comme seul paramètre de l'équation cartésienne

W = W(X)

de la trajectoire,

u_0 = 1/tanθ_0

Représenter cette frontière sur le réseau de trajectoires tracé en réponse à la question (24).
26. Nous supposons que la source sonore placée à l'origine du repère

R(O, z, x)

émet des rayons acoustiques, simultanément dans toutes les directions. Avec l'appui des tracés effectués en réponse à la question (24), indiquer comment est perçue acoustiquement cette source depuis un point du domaine

D_1

.
27. Indiquer quelle analogie peut suggérer l'équation (7) (ou les trajectoires qui la représentent).

Les résultats généraux établis pour un gaz restent applicables à un liquide. Nous nous intéressons ici à la propagation de rayons acoustiques en milieu océanique. La célérité des ondes sonores y varie selon la profondeur $z^'(z^' = - z)$ , sous l'effet des variations de température, de pression et de salinité.

Un sonar (sound navigation and ranging) est un dispositif acoustique permettant de localiser (distance et situation) des objets réflecteurs. Un sonar dit actif émet (mode émission) des rayons acoustiques dans un certain intervalle de directions puis détecte (mode réception ou d'écoute) l'écho renvoyé par les obstacles rencontrés. Sur la base du réseau de trajectoires tracé en réponse à la question (24), indiquer quels problèmes posent cette technique de localisation dans un milieu stratifié.

La célérité du son en milieu océanique ne varie pas de façon monotone avec la profondeur $z^'(z^' = - z)$ . La figure (4) présente l'aspect de son profil $c = c(z^')$ dans l'océan Atlantique nord.

du profil, selon la profondeur, de la célérité du son dans l'océan Atlantique nord
FIGURE 4 - Aspect du profil, selon prondeu, de la

Le sonar, situé sous un bateau de pêche, permet de localiser les bancs de poissons. Le profil de célérité représenté sur la figure (4) permet-il aux rayons acoustiques émis de se propager au-delà du chenal de surface? On s'appuiera, en particulier, sur l'étude conduite en réponse à la question (24) afin d'estimer la "portée" maximale en profondeur d'un rayon acoustique, correspondant à une valeur donnée du coefficient $α$ (introduit dans l'équation (6)).
Sans effectuer de calcul, représenter l'allure des rayons acoustiques émis par un sous-marin (bruit) situé à une profondeur $z^' = 500 m$ . On supposera que le sous-marin émet dans toutes les directions.
Indiquer quel est l'analogue de cette situation en optique.

類
32. Préciser quel avantage procure à un sous-marin de se placer à la profondeur

z^' = 500 m

. situé à une profondeur

z^' = 500 m

.
31. Indiquer quel est l'analogue de cette situation en optique.
32. Préciser quel avantage procure à un sous-marin de se placer à la profondeur

z^' = 500 m

1. Il faut toutefois retenir que cette approche est développée dans un cadre qui restreint sa portée (comparativement à celle de l'acoustique ondulatoire).

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de physique B de l'X-ENS PC 2024 ?

Sur la propagation d'une onde acoustique dans un fluide stratifié : hypothèses de l'acoustique linéaire, puis acoustique géométrique avec trajectoires courbes des rayons et application au sonar dans l'océan.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique B PC X-ENS 2024 ?

La moyenne est de 10,02 avec un écart-type de 3,48, pour 1464 candidats présents. 47 % des copies ont une note comprise entre 8 et 12.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique B X-ENS PC 2024 ?

Une linéarisation mal argumentée (Q3 à Q6), l'équilibre hydrostatique non identifié en Q7, la loi de Snell-Descartes invoquée au lieu d'être retrouvée en Q15 et l'intégration d'une équation différentielle non linéaire du premier ordre ratée en Q22.

Le sujet de physique B X-ENS PC 2024 était-il difficile ?

Le jury le juge assez classique, ni exagérément long ni difficile, mais sélectif pour les candidats qui accumulent les imprécisions.

Pas de description pour le moment

Commentaires• X ENS Physique B PC 2024

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