ENS Physique C PC 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique C de l'ENS PC 2022 ?

Le sujet couvre cinq domaines largement indépendants : la mécanique, l'optique, la mécanique quantique, l'électromagnétisme et la mécanique des fluides, autour d'effets géométriques et topologiques.

Q: Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique C ENS PC 2022 ?

La moyenne est de 9,18/20 avec un écart-type de 3,66, pour 487 copies corrigées, la note la plus haute étant 20 et la plus basse 2,1.

Q: Ce sujet de physique C de l'ENS PC est-il difficile ?

Oui, le rapport souligne qu'aucun candidat n'a traité la totalité du sujet, même si presque toutes les questions ont été abordées par au moins quelques copies.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de physique C ?

Le jury relève surtout des oublis de justification, des erreurs de calcul d'aire ou de conversion d'unités, et des approximations non justifiées, notamment dans les bilans de forces et les développements limités.

Effets géométriques et topologiques en physique

5,0(1 vote)

Faisable en sup ?

Faisable en partie en PCSI : 6 questions sur 59. Autres questions faisables en PCSI

Détail par partie

Partie 1 : Pendule de Foucault3/13En partie
Partie 2 : Rotation du plan de polarisation dans une fibre optique3/9En partie
Partie 3 : Évolution temporelle en mécanique quantique0/132e année
Partie 4 : Monopole magnétique0/52e année
Partie 5 : Ondes dans l'atmosphère terrestre0/192e année

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BanqueX-ENS Année2022 FilièrePC MatièrePhysique

Annales X-ENS PC Physique X-ENS PC 2022 PC Physique Physique 2022

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Présentation du sujet

Difficile

Effets géométriques et topologiques en physique : mécanique, optique, mécanique quantique, électromagnétisme et mécanique des fluides

L'épreuve de physique C de l'ENS Paris, filière PC, session 2022, explore des effets géométriques et topologiques à travers cinq parties largement indépendantes couvrant la mécanique, l'optique, la mécanique quantique, l'électromagnétisme et la mécanique des fluides. Le sujet discute en particulier des phénomènes de non-holonomie sans introduire ce concept explicitement.

1Partie I : MécaniqueÉtude d'un système mécanique faisant intervenir un champ de forces centrales et des considérations cinématiques.
2Partie II : OptiqueQuestions de réfraction, d'angle limite et de calcul d'aire d'une portion de sphère.
3Partie III : Mécanique quantiqueManipulation de fonctions d'onde et de l'équation de Schrödinger, avec des constantes d'intégration à déterminer.
4Partie IV : ÉlectromagnétismeReprésentation d'un champ de vecteurs et utilisation de l'équation sur le flux du champ magnétique.
5Partie V : Mécanique des fluidesÉtablissement d'une équation d'onde pour une hauteur dépendant à la fois de la position et du temps.

Difficile. La moyenne de l'épreuve est de 9,18/20 avec un écart-type de 3,66, et le rapport précise qu'aucun candidat n'a traité la totalité du sujet malgré un nombre de copies en forte hausse.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,18 / 20 · écart-type 3,66 · 487 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,18/ 20
Écart-type: 3,66
Présents: 487

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Conversion d'unités oubliée · Force de tension du fil oubliée dans le bilan des forces · Aire d'une portion de sphère mal calculée

487 copies ont été corrigées, un nombre bien supérieur à la session précédente. Le jury a corrigé davantage de copies de niveau faible, mais le niveau des candidats admissibles reste satisfaisant et comparable aux années précédentes. Presque toutes les questions ont été abordées par au moins quelques candidats, mais aucun n'a traité l'intégralité du sujet. L'épreuve a permis de classer correctement les candidats, en particulier les meilleures copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Conversion d'unités oubliéeQ1
L'application numérique de la question Q1 a été sélective car de nombreux candidats oublient de convertir les kilomètres en mètres avant de calculer.
« Trop de candidats oublient de convertir les kilomètres en mètres. »
2
Force de tension du fil oubliée dans le bilan des forcesQ2
En Q2, l'omission de la tension du fil dans le bilan des forces entraîne des calculs absurdes ; ce type d'oubli est sévèrement sanctionné, de même que l'affirmation erronée que l'accélération radiale est nulle.
3
Aire d'une portion de sphère mal calculéeQ13, Q19
En Q13 et à nouveau en Q19, de nombreux candidats ne parviennent pas à calculer correctement l'aire de la portion de sphère nécessaire au raisonnement.
« De trop nombreux candidats n'ont pas calculé correctement l'aire de la portion de sphère. »
4
Justification insuffisante d'une inégalité angulaireQ14
En Q14, la simple discussion du cas limite ne suffisait pas à établir l'inégalité demandée entre les deux angles ; une justification complète était attendue.
« la simple discussion du cas limite n'était pas suffisante »
5
Développement limité non effectuéQ38
En Q38, il fallait effectuer un développement limité pour déterminer le comportement aux pôles, ce que très peu de candidats ont fait.
« il fallait effectuer un développement limité, ce que très peu de candidats ont fait »
6
Résultat donné mais non justifiéQ50
En Q50, le résultat de la question était fourni par l'énoncé, mais il fallait tout de même le justifier de manière claire ; les changements de signe non justifiés entre deux lignes ne sont pas appréciés des correcteurs.
« Comme le résultat était donné, il fallait le justifier de manière claire. »

Ce qui a été bien réussi

La question Q.47 a été réussie par la plupart des candidats.
L'épreuve a permis de classer de manière satisfaisante les meilleures copies, avec une hiérarchie cohérente avec l'épreuve de chimie B.

Conseils du jury

Lire attentivement la question et l'ensemble de l'énoncé pour répondre à toutes les sous-questions.
Toujours justifier les réponses, même brièvement, en citant une loi physique ou un résultat déjà établi.
Écrire les calculs intermédiaires pour les questions dont le résultat est une équation, même si ce résultat est correct.
Justifier explicitement toute approximation, y compris lorsqu'elle est suggérée par l'énoncé.
Vérifier systématiquement l'homogénéité des expressions et ne jamais égaler un vecteur à un scalaire.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

59 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question.

59 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré. Chaque question est vérifiée avant publication.

Voir les 51 autres questions

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Description

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Sujet en PDF

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMI SSI ON 2022

J EUDI 28 AVRIL 2022
08h00-14h00
FILIERE PC - Epreuve

n^\circ7

PHYSIQUE C (U)

Durée : 6 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Début de l'épreuve

Ce sujet comporte 11 pages numérotées de 1 à 11.

Effets géométriques et topologiques en physique

À la fin du XX

^e

siècle est apparue une réinterprétation en termes géométriques et topologiques de résultats physiques bien connus. Cette nouvelle vision a permis de regrouper des phénomènes très différents sous un même cadre théorique élégant, mais a aussi donné lieu à des prédictions très intéressantes.

Ce sujet a pour objectif d'introduire les problématiques de géométrie et de topologie à travers des exemples tirés de différents domaines de la physique : mécanique (partie I), optique (partie II), mécanique quantique (partie III), électromagnétisme (partie IV) et mécanique des fluides (partie V). Ces parties sont essentiellement indépendantes. Seules les questions de fin de partie nécessitent d'avoir traité les parties précédentes. Après un changement de partie, une notation utilisée dans les parties précédentes est libre d'être réaffectée à une autre grandeur physique.

Données numériques

\sqrt2 \approx 1, 4 \sqrt6 \approx 2, 4 \sqrt7 \approx 2, 6 \sqrt(11) \approx 3, 3 \sqrt(14) \approx 3, 7; Masse volumique de l'eau ρ_(eau) = 1, 0 \times 10^3 kg \cdot m^(- 3); Masse volumique de l'air ρ_(air) = 1, 3 kg \cdot m^(- 3); Rayon de la Terre R_T = 6, 4 \times 10^3 km; Masse de la Terre M_T = 6, 0 \times 10^(24) kg

Formulaire

Éléments d'analyse vectorielle en coordonnées sphériques pour un champ scalaire $f$ et un champ de vecteurs $A⃗$ :

grad^(\to-)f, = (\partialf)/(\partialr)e_r\to + 1/r(\partialf)/(\partialθ)e_θ\to + 1/(rsinθ)(\partialf)/(\partialφ)e_φ^(\to-); divA⃗, = 1/(r^2)\partial/(\partialr)(r^2 A_r) + 1/(rsinθ)\partial/(\partialθ)(sinθA_θ) + 1/(rsinθ)(\partialA_φ)/(\partialφ); rot^(\to-)A⃗, = 1/(rsinθ)(\partial/(\partialθ)(sinθA_φ) - (\partialA_θ)/(\partialφ))e_r\to + (1/(rsinθ)(\partialA_r)/(\partialφ) - 1/r\partial/(\partialr)(rA_φ))e_θ\to + 1/r(\partial/(\partialr)(rA_θ) - (\partialA_r)/(\partialθ))e_φ^(\to-)

Pour tout champ de vecteurs $A⃗$ , on a $divrot^(\to-)A⃗ = 0$ .
Symbole de Kronecker : $δ_(ij) = 1$ si $i = j$ , et 0 sinon.
Règle de la chaîne pour la dérivation d'une fonction $f$ de $n$ variables $A_i$ , dont chacune dépend du temps :

d/(dt)(f(A⃗(t))) = d/(dt)(f(A_1(t), A_2(t), \dots)) = \sum_(1 \leq i \leq n)(dA_i)/(dt)(\partialf)/(\partialA_i) = (dA⃗)/(dt) \cdot grad^(\to-)f

Développement par ligne du déterminant d'une matrice $3 \times 3$ :

|a, b, c; d, e, f; g, h, i| = a|e, f; h, i| - b|d, f; g, i| + c|d, e; g, h|

1 Pendule de Foucault

Le pendule de Foucault est un instrument historique qui a contribué à la mise en évidence de la rotation de la Terre sur elle-même. On le modélise par un fil de longueur

ℓ = 67 m

de masse négligeable, au bout duquel est accrochée une masse

m = 36 kg

La Terre est supposée en mouvement de rotation uniforme à la vitesse de rotation angulaire

Ω

. On néglige toutes les forces de frottement dans cette partie.

Soit

(e_1\to, e_2\to, e_3\to)

une base fixe du référentiel géocentrique considéré galiléen (cf. figure 1). La position de la masse

m

est donnée par ses coordonnées dans le repère (

Oxyz

) de base (

e_x^(\to-), e_y\to, e_z\to

) fixe dans le référentiel terrestre. Cette base est dite locale. On note

α

l'angle entre le pendule et l'axe vertical dirigé par le vecteur

e_z\to

(cf. figure 1(b)). On note (

e_r\to, e_θ\to

) la base mobile suivant le mouvement de la masse dans le référentiel terrestre.

1.1 Mouvement du pendule sans effet de la force d'inertie de Coriolis

Dans un premier temps, on néglige la force d'inertie de Coriolis.

Figure 1 - (a) Définitions des repères liés aux référentiels géocentrique et terrestre. (b) Définition de l'angle

α

et de la base mobile.

Dans toute la suite on négligera la force d'inertie d'entraînement, et on considérera que le poids est parallèle à l'axe $Oz$ . Justifier ces approximations par une analyse en ordres de grandeur.
Écrire l'équation vectorielle du mouvement de la masse $m$ , puis la projeter dans la base mobile ( $e_r\to, e_α^(\to-)$ ) définie sur la Fig. 1(b) (on supposera son mouvement plan).
Dans quelle limite le pendule simple peut-il être approximé par un oscillateur harmonique? On se placera dans cette limite par la suite. Exprimer sa pulsation propre $ω_0$ . Déterminer la période d'oscillation du pendule et l'estimer numériquement pour le pendule de Foucault.
Justifier que dans l'approximation précédente le mouvement de la masse est horizontal au premier ordre en $α$ .

1.2 Effet de la force d'inertie de Coriolis

On s'intéresse maintenant à la modification du mouvement engendrée par la présence de la force d'inertie de Coriolis. Paris est située à une latitude

λ = 49^\circ

comme définie sur la figure 1(a). On considérera que le mouvement de la masse est plan dans le repère local et on négligera vitesse et
accélération selon l'axe

Oz

. On admettra que l'effet des forces autres que la force de Coriolis se met sous la forme

F⃗ = - mω_0^2 xe_x^(\to-) - mω_0^2 ye_y\to

.
5. Comparer numériquement les pulsations

Ω

ω_0

.
6. Décomposer le vecteur

e_3\to

dans la base locale et en déduire que les équations du mouvement s'écrivent :

{x¨ + ω_0^2 x = 2Ω~y˙; y¨ + ω_0^2 y = − 2Ω~x˙.

Exprimer la constante

Ω~

.
7. Pour résoudre ce système, on pose la variable complexe

u_- = x + iy

. Déterminer l'équation vérifiée par

u_-

. Résoudre cette équation et donner l'expression de

u_-(t)

en fonction de deux inconnues

A_-

B_-

.
8. On prend

x(0) = x_0, y(0) = 0

et une vitesse initiale nulle. Déterminer l'expression de

u_-

.
9. En utilisant le résultat de la question 5 , simplifier l'expression de

u_-(t)

. Interpréter l'expression obtenue.
10. Déterminer l'expression de l'angle

ψ

duquel a tourné le plan d'oscillation du pendule en 24 h à Paris dans le référentiel terrestre. L'estimer numériquement en degrés. Y a-t-il des points sur le globe où le plan d'oscillation du pendule reviendrait à sa position initiale après 24 h ?
11. Justifier brièvement les valeurs inhabituelles choisies par Foucault pour la masse

m

et la longueur

ℓ

.
12. Sur la figure 2, on voit le professeur Tournesol utiliser son pendule pour se repérer et se diriger sur Terre. Cela vous semble-t-il possible? Justifier votre réponse.

Figure 2 - Le professeur Tournesol et son pendule.

Il est possible de reformuler ce résultat d'un point de vue géométrique : considérons la position

R⃗

du point d'attache du pendule dans le référentiel géocentrique. La rotation de la Terre sur elle-même conduit

R⃗

à suivre une courbe fermée

γ

sur le globe. Mais bien que

R⃗

soit revenu à sa valeur initiale, le système dans son ensemble n'est pas revenu à son état initial : le plan d'oscillation du pendule n'est plus le même, il a tourné à cause de la présence de la force de Coriolis. On appelle ce phénomène une non-holonomie.

Soit

γ

la trajectoire fermée suivie par un point de l'hémisphère nord lors de la rotation de la planète. On définit

h(γ)

comme le rapport de la surface entourée par le contour

γ

sur la sphère terrestre et la surface totale de la sphère.
13. Faire un schéma de la situation en précisant le chemin

γ

. Exprimer

h(γ)

sous la forme d'une intégrale double et la calculer en fonction de

λ

. Mettre le résultat sous la forme

h(γ) = χ/(4π)

. Comparer la valeur trouvée pour

χ

au résultat de la question 10 .

2 Rotation du plan de polarisation dans une fibre optique

La non-holonomie décrite précédemment peut se manifester dans d'autres circonstances. On considère ici la propagation d'une onde lumineuse à l'intérieur d'une fibre optique. Cette onde de longueur d'onde

λ

est polarisée rectilignement. La fibre est placée dans l'air d'indice pris égal à 1 .

2.1 Caractéristiques d'une fibre à saut d'indice

Figure 3 - Schéma d'une fibre à saut d'indice

On s'intéresse à la propagation de rayons lumineux à l'intérieur d'une fibre optique à saut d'indice comme présentée sur la figure 3.
14. Montrer que l'angle d'entrée dans la fibre

θ_(in)

vérifie une inégalité

θ_(in) < θ_c

pour que le rayon lumineux se propage dans la fibre optique sans atténuation. On définit l'ouverture numérique

ON = sinθ_c

. Exprimer

ON

en fonction de

n_1

n_2

.
15. Afin d'avoir une propagation non atténuée dans la fibre, l'onde doit vérifier une condition supplémentaire : il faut que

k_y Δy

soit un multiple de

2π

, où

k_y

est la projection transverse (selon

Oy

) du vecteur d'onde et

Δy

la distance cumulée selon l'axe

Oy

parcourue par l'onde entre

J

K

. Montrer que l'angle d'entrée

θ_(in)

doit appartenir à un ensemble discret d'angles

θ_p

à déterminer. Donner le nombre de modes qui peuvent se propager dans la fibre en fonction de

ON, r, n_1

λ

. Enfin, montrer que si le rayon de la fibre vérifie une inégalité

r < r_c

, alors seul l'angle

θ_(in) = 0

peut se propager dans la fibre.
16. L'existence de plusieurs «modes» de propagation dans une fibre optique peut être à l'origine d'une limitation du débit d'information dans celle-ci. Soit une fibre de longueur

ℓ≫r

telle que

r > r_c

. En supposant qu'on envoie deux paquets d'onde dans la fibre avec respectivement

θ_(in) = 0

θ_(in) = θ_c

, déterminer le décalage temporel à l'arrivée entre les paquets d'onde en fonction de l'ouverture numérique. Considérant que chaque paquet d'onde encode un bit d'information, quel est le débit d'information maximal imposé par la question précédente?
On ne considérera par la suite que des fibres monomodes

(r < r_c)

2.2 Propriétés géométriques de la lumière guidée

La fibre est maintenant enroulée sur un cylindre de rayon

R

comme sur la figure 4. Elle décrit exactement un tour d'une hélice régulière de pas

p

. Lors de la propagation, la composante

k_z(Oz

étant orienté selon l'axe du cylindre) du vecteur d'onde

k⃗

reste constante, alors que

k_x

k_y

varient. On appelle

ℓ

la longueur totale de la fibre et

θ

l'angle entre l'axe du cylindre et la direction de la fibre optique.
17. Exprimer la longueur

ℓ

de la fibre ainsi que l'angle

θ

en fonction du pas

p

et du rayon

R

du cylindre.
18. Le vecteur d'onde de la lumière est noté

k⃗

. Lorsque la lumière parcourt la fibre optique, quelle est la trajectoire décrite par l'extrémité du vecteur

k⃗

? On note cette trajectoire

γ

. On n'attend pas de calcul dans cette question.
19. Représenter

γ

sur la sphère de rayon

k = ‖k⃗‖

dans l'espace à trois dimensions de coordonnées cartésiennes (

k_x, k_y, k_z

). Exprimer et calculer en fonction de

θ

l'aire

S_γ

de la portion de sphère délimitée par

γ

comprenant le pôle nord (

k_x = 0, k_y = 0, k_z = k

Figure 4 - Enroulement de la fibre optique autour d'un cylindre.

Bien que le vecteur $k⃗$ revienne à sa valeur d'origine en sortie de la fibre, on remarque que le plan de polarisation de la lumière est différent entre l'entrée et la sortie de la fibre. Sur la figure 5 est tracé l'angle de rotation $β$ du plan de polarisation de la lumière en fonction de $g_γ = S_γ/k^2$ . Quelle(s) modification(s) du système expérimental a permis de prendre ces données? Déduire de ces données une relation entre la rotation de l'axe de polarisation $β$ et l'angle $θ$ .
Lorsque $γ$ est confondue avec l'équateur de la sphère, qu'observe-t-on sur le plan de polarisation?
Dresser un tableau explicitant les quantités analogues entre ce problème et celui du pendule de Foucault.

Figure 5 - Mesures expérimentales de l'angle de rotation

β

du plan de polarisation de la lumière en fonction de

g_γ

3 Évolution temporelle en mécanique quantique

Les deux situations précédentes mettent en évidence des non-holonomies en physique classique, mais c'est un phénomène qui existe également en mécanique quantique. L'objectif de cette partie est de démontrer l'existence d'une phase supplémentaire appelée « phase de Berry » lors de l'évolution d'un système quantique contrôlé par un jeu de paramètres extérieurs.

On s'intéresse au problème unidimensionnel entre

x = 0

x = L

d'une particule dans un potentiel

V(x; λ⃗)

qui dépend des paramètres

(λ_i)_(1 \leq i \leq m)

regroupés dans un vecteur

λ⃗

m

coordonnées.

On note

φ_n(x; λ⃗)

les états stationnaires du système à

λ⃗

fixé, et

E_n(λ⃗)

les énergies propres associées avec

1 \leq n \leq N

. On se place dans une situation où les fonctions

φ_n

ne sont pas nécessairement réelles (par exemple en appliquant un champ magnétique fixe).

On s'intéresse au cas où les paramètres

λ_i

évoluent dans le temps. On notera le vecteur de paramètres

λ⃗(t)

3.1 Approximation adiabatique

Dans un premier temps, nous allons nous intéresser au cas le plus général. La particule quantique est décrite par une fonction d'onde

ψ(x, t)

, et le système est initialement dans une superposition des états stationnaires

φ_n

ψ(x, 0) = \sum_(1 \leq n \leq N)c_n(0)φ_n(x; λ⃗(0))

Les états stationnaires formant une base orthonormée, on peut écrire à tout instant

t

ψ(x, t) = \sum_(1 \leq n \leq N)c_n(t)φ_n(x; λ⃗(t))

et les états vérifient

\int_0^L φ_m^⋆(x; λ⃗(t))φ_n(x; λ⃗(t))dx = δ_(nm)

où le symbole de Kronecker

δ_(nm)

est défini dans le formulaire, et

φ^⋆

est le complexe conjugué de

φ

.
On admet que l'équation de Schrödinger pour

ψ(x, t)

s'écrit

iℏ(\partialψ)/(\partialt)(x, t) = \sum_(1 \leq n \leq N)c_n(t)E_n(λ⃗(t))φ_n(x; λ⃗(t))

Pour cette question et la suivante, on suppose que $λ⃗(t) = cste^(\to-)$ . Déterminer l'équation différentielle vérifiée par les $c_n(t)$ , puis la résoudre. En déduire l'expression de la fonction d'onde $ψ(x, t)$ à tout instant.
Que peut-on dire dans le cas $c_n(0) = δ_(np)$ ? Que peut-on dire de la densité de probabilité de présence de la particule?
On suppose maintenant que les paramètres $λ⃗(t)$ évoluent lentement dans le temps.
Exprimer le membre de gauche de l'équation de Schrödinger (5). En déduire qu'un coefficient $c_p(t)$ pour $1 \leq p \leq N$ vérifie l'équation différentielle

iℏ(dc_p)/(dt) = c_p E_p - ℏ\sum_(1 \leq n \leq N)α_(pn)(t)c_n

où on exprimera les coefficients

α_(np)(t)

en fonction de

(dλ⃗)/(dt)

.
26. On pose

d_n(t) = c_n(t)e^(i/ℏ\int_0^t E_n(λ⃗(t^'))dt^')

. Dans le cas où

λ⃗(t) = cste^(\to-)

, montrer que

d_n(t)

est indépendant du temps.
27. Déterminer l'équation d'évolution temporelle vérifiée par

d_p

en fonction des

d_n

. On introduira les quantités

ω_(ij) = (E_i - E_j)/ℏ

.
Ces résultats sont très généraux puisqu'aucune approximation n'a été faite à ce stade. L'équation (6) comme l'équation trouvée à la question 27 sont des équations couplées, non solubles analytiquement dans le cas général.

Nous allons ici supposer qu'à

t = 0

la fonction d'onde

ψ(x, 0)

est initialement égale à un des états stationnaires

φ_ℓ

, c'est-à-dire

c_p(0) = δ_(pℓ)

. Pour

t > 0, ψ(x, 0)

n'est plus un état stationnaire. Nous allons chercher l'évolution temporelle de

ψ(x, t)

de façon approchée, en supposant que

|c_p|≪1 pour tout p \neq ℓ

De plus, on approximera

d_ℓ(t) \approx d_ℓ(0)

, équation exacte dans le cas où

λ⃗(t)

est constant.
28. Montrer que pour

p \neq ℓ

(dd_p)/(dt) = iα_(pℓ)(t)e^(i\int_0^t ω_(pℓ)(t^')dt^')

On pourra par exemple partir de l'équation (6) en ne conservant que le premier ordre non-nul.
29. Dans le cas où ni

α_(pℓ)

, ni

ω_(pℓ)

ne dépendent du temps, exprimer

d_p(t)

, toujours pour

p \neq ℓ

.
30. On suppose dans la suite que les

E_n(λ⃗(t))

sont deux à deux distincts à tout instant

t

. Déduire du résultat précédent les paramètres sans dimension qui permettent de contrôler l'approxima

\to-^(tion)(7)

faite dans cette partie. Donner une condition suffisante sur l'évolution des paramètres

λ⃗(t)

pour que cette approximation soit valable.
L'approximation (7) est appelée approximation adiabatique.

3.2 Phase de Berry

À l'état initial, on place le système dans l'état stationnaire

φ_ℓ(x)

. L'approximation adiabatique autorise à écrire à tout instant :

ψ(x, t) \approx c_ℓ(t)φ_ℓ(x; λ⃗(t)) avec c_ℓ(0) = 1

En utilisant le résultat de la question 25 , montrer que l'équation vérifiée par $c_ℓ(t)$ se met sous la forme :

iℏ(dc_ℓ)/(dt) = (E_ℓ - (dλ⃗)/(dt) \cdot A\to_ℓ)c_ℓ(t)

avec

A\to_ℓ

un vecteur à

m

composantes qui dépend de

λ⃗(t)

et s'exprime en fonction de

φ_ℓ

et ses dérivées. Montrer que les composantes de

A\to_ℓ

sont réelles.
32. En cherchant une solution de la forme

c_ℓ(t) = e^(iF_ℓ(t))

, résoudre l'équation différentielle précédente. On fera apparaître les deux termes suivants :

Φ_(dyn)(t) = - 1/ℏ\int_0^t E_ℓ(λ⃗(t^'))dt^' et Φ_(geom)(t) = 1/ℏ\int_0^t A\to_ℓ(λ⃗(t^')) \cdot (dλ⃗)/(dt^')(t^')dt^'

On les appelle respectivement phase dynamique et phase géométrique. Cette dernière phase peut s'écrire plus simplement

Φ_(geom)(t) = 1/ℏ\int_γ A\to_ℓ \cdot dλ^(\to-)

où

γ

est le chemin reliant

λ⃗(0)

λ⃗(t)

. On appelle également

Φ_(geom)

phase de Berry.
33. Quel est l'effet de la phase géométrique sur la densité de probabilité de présence de la particule? Même question dans le cas où l'état initial est de la forme

ψ(x, 0) = 1/(\sqrt2)(φ_ℓ(x; λ⃗(0)) + φ_(ℓ^')(x; λ⃗(0)))

avec

ℓ \neq ℓ^'

.
34. Afin de fixer les idées, on prend

m = 3

par la suite, donc

λ⃗

est un vecteur de

ℝ^3

. On suppose que l'ensemble des paramètres décrit une boucle

γ

fermée entre

t = 0

t = T : λ⃗(T) = λ⃗(0)

. Exprimer alors la phase géométrique en faisant intervenir le vecteur

B\to_ℓ = rot^(\to-)A\to_ℓ

.
35. Quelles similitudes voyez-vous entre la situation étudiée dans cette partie et l'évolution du pendule de Foucault? On pourra répondre sous forme d'un tableau.

4 Monopole magnétique

S'il existe des charges électriques, il n'a jamais été découvert de charge (ou monopole) magnétique, et cette non-existence est incorporée dans les équations de Maxwell. Cependant, il existe des situations physiques qui sont analogues à un problème d'électromagnétisme avec un monopole magnétique; il est donc intéressant d'étudier l'implication de l'existence de ces monopoles.

On se place dans l'espace à trois dimensions en utilisant les coordonnées sphériques (

r, θ, φ

). On suppose qu'une «charge magnétique»

q_m

placée au centre du repère

O

crée un champ en un point M

B⃗_(mono)(M) = (μ_0)/(4π)(q_m)/(r^2)e_r\to

On notera

S_r

la sphère de rayon

r

de centre

O

.
36. Représenter graphiquement ce champ de vecteurs. En quoi ce champ magnétique n'est-il pas compatible avec les équations de Maxwell écrites sous forme globale? On justifiera la réponse par le calcul d'une quantité physique.
37. Supposons qu'il existe une fonction

A⃗(M)

telle qu'en tout point de l'espace l'équation

B⃗_(mono)(M) = rot^(\to-)A⃗(M)

est vérifiée. Montrer que cela n'est pas compatible avec l'existence d'une charge magnétique.
On définit les deux expressions suivantes :

A_N^(\to-) = (μ_0)/(4π)q_m(1 - cosθ)/(rsinθ)e_φ^(\to-) et A_S^(\to-) = (μ_0)/(4π)q_m(- 1 - cosθ)/(rsinθ)e_φ^(\to-)

Montrer que les champs de vecteurs $A⃗_N$ et $A⃗_S$ vérifient tous les deux l'équation (15) et déterminer l'ensemble des points de $S_r$ pour lesquels ces fonctions sont définies.
Montrer que le flux du champ magnétique $B⃗_(mono)$ à travers $S_r$ peut s'écrire comme la différence de deux intégrales le long de l'équateur faisant intervenir $A⃗_N$ et $A⃗_S$ .
Calculer $A⃗_(N \to) - A⃗_S$ . Avec la question précédente, vérifier que la description avec deux champs de vecteurs $A⃗_N$ et $A⃗_S$ est cohérente avec la question 36 .

5 Ondes dans l'atmosphère terrestre

On s'intéresse pour la suite du sujet à des perturbations pouvant se propager dans l'atmosphère terrestre, et en particulier à l'effet de la force de Coriolis sur celles-ci. Nous négligerons les effets de tension superficielle (importants dans le cas des ondes capillaires d'un liquide), et nous considérons l'atmosphère comme un fluide parfait, avec une masse volumique constante

ρ

5.1 Équations de Navier-Stokes en couche mince

Dans cette première partie, on s'intéresse au mouvement d'une masse de fluide de fine épaisseur, et on souhaite déterminer les équations de Navier-Stokes simplifiées dans ce cadre.

La Terre est en rotation dans le référentiel géocentrique avec le vecteur vitesse de rotation

Ω⃗

. Les équations de Navier-Stokes s'écrivent

ρ((\partialv⃗)/(\partialt) + (v⃗ \cdot grad^(\to-))v⃗) = - grad^(\to-)p + ρg⃗ + f_(ic)^(\to-)

où

f_(ic)^(\to-)

est la force de Coriolis par unité de volume qui s'exerce sur le fluide.
Comme dans la première partie, un point sur la sphère terrestre est repéré par les angles

φ

λ

et on utilise la base locale (

e_x^(\to-), e_y\to, e_z\to

) (cf. figure 1(a)). La hauteur de fluide varie suite au passage d'une onde se propageant dans le plan

xOy

, et la hauteur locale de la surface du fluide s'écrira

h(x, y)

(voir figure 6). On suppose que la vitesse du fluide dans la base locale s'écrit

v⃗ = (v_x(x, y), v_y(x, y), 0)

, autrement dit on néglige

v_z

ainsi que la variation de

v⃗

en fonction de

z

Figure 6 - La hauteur locale de la surface du fluide est notée

h(x, y)

. Les quantités

H

η

sont introduites dans la partie 5.2.

Exprimer $f_(ic)^(\to-)$ dans la base ( $e_x^(\to-), e_y\to, e_z\to$ ). Dans la suite, on admet que l'on peut négliger la composante selon $e_z\to$ de $f_(ic)^(\to-)$ .
En projetant l'équation de Navier-Stokes sur $e_z\to$ , montrer que la pression peut s'écrire $p(x, y, z) = p_1(z) + p_2(x, y)$ où $p_1$ est une fonction simple à déterminer, et $p_2$ une fonction inconnue à ce stade.
Dans la suite on considère que la pression est nulle à la surface du fluide. Montrer alors que

(\partialv⃗)/(\partialt) + (v⃗ \cdot grad^(\to-))v⃗ + f⃗ \land v⃗ = - ggrad^(\to-)h

où

f⃗ = fe_z\to

f

est un paramètre à déterminer.
Afin de compléter l'équation vectorielle précédente, nous avons besoin de déterminer une équation de conservation dans cette approximation de couche mince de fluide. Pour cela, nous allons nous placer dans le cas simple d'un problème unidimensionnel : le système est invariant selon l'axe (

Oy

) et la vitesse du fluide s'écrit

v⃗ = ve_x^(\to-)

.
44. Rappeler l'expression du vecteur densité de courant

ȷ⃗

associé au transport de la masse. À l'aide d'un bilan local de masse sur une tranche de fluide d'épaisseur

dx

, déterminer l'équation de conservation associée à ce problème unidimensionnel.
45. Généraliser sans justifier cette équation dans le cas d'un écoulement quelconque bidimensionnel sous la forme

(\partialh)/(\partialt) + divJ⃗ = 0

où

J⃗

est un champ de vecteurs à déterminer.

5.2 Ondes de Rossby

On s'intéresse particulièrement à de petites déformations de la couche de fluide. Nous allons donc considérer que la hauteur

h

varie peu autour de sa position d'équilibre :

h(x, y) = H + η(x, y)

avec

|η|≪H

(cf. figure 6). De plus, les composantes de la vitesse seront considérées comme petites par rapport aux autres vitesses du problème.
46. Linéariser les équations (18) et (19). Celles-ci feront intervenir

v⃗, f⃗, η, g

H

.
47. En l'absence de la force de Coriolis, déterminer l'équation vérifiée par

η

. On notera

c

une quantité homogène à une vitesse caractéristique, et on donnera son expression. Comment s'appelle cette équation?
48. Toujours en l'absence de force de Coriolis, exprimer et représenter graphiquement la relation de dispersion

ω(k)

associée. Que dire de la propagation d'une perturbation?
49. En présence de la force de Coriolis, les équations régissant ce problème deviennent couplées. On pose

η~ = η/H, v~_i = v_i/c

pour

i = x, y

f^' = f/c

. Écrire les équations trouvées à la question 46 avec ces nouvelles variables.
50. On s'intéresse à des solutions en ondes planes progressives harmoniques dont on écrit la représentation complexe

v~_x = v~_(x, 0)e^(i(k_x x + k_y y - ωt))

et de même pour

v~_y

η~

. Montrer que le problème peut s'écrire de façon matricielle :

ù M(η~_0; v~_(x, 0); v~_(y, 0)) = ω(η~_0; v~_(x, 0); v~_(y, 0)) où M(k_x, k_y, f^') = c(0, k_x, k_y; k_x, 0, if^'; k_y, - if^', 0)

En déduire les relations de dispersion vérifiées par $ω$ . On les notera $ω_j(k⃗, f^'), 1 \leq j \leq 3$ , de telle sorte que $ω_j < ω_(j^')$ si $j < j^'$ .
Représenter graphiquement les $ω_j$ en fonction de $‖k⃗‖$ . Mettre en relation ce résultat avec celui de la question 48. Commenter.

5.3 Ondes de Yanaï et Kelvin

Les ondes de la partie précédente, appelées ondes de Rossby, sont des ondes bien connues en géophysique. Elles s'observent en particulier sur les mouvements de masses d'air, et influencent fortement les conditions météorologiques. Ces ondes peuvent se trouver à n'importe quel endroit du globe.

En plus des ondes de Rossby, on observe expérimentalement des ondes qui se localisent uniquement à l'équateur, et dont la fréquence n'est pas accessible aux ondes de Rossby. Elles sont appelées ondes de Yanaï et Kelvin. Dans la suite, on cherche à justifier la présence de ces ondes, avec des arguments géométriques.

On admet qu'un vecteur propre associé à la valeur propre

ω_3

peut s'écrire :

Ψ_3^(\to-) = 1/(\sqrt2)(sinθ; cosφ + icosθsinφ; sinφ - icosθcosφ)

où l'on a défini les angles

θ

φ

à partir des paramètres

k_x, k_y

f^'

cosθ = (f^')/K, sinθ = k/K, cosφ = (k_x)/k, sinφ = (k_y)/k

et avec les notations

k = \sqrt(k_x^2 + k_y^2)

K = \sqrt(k_x^2 + k_y^2 + (f^')^2)

.
Les trois paramètres (

K, θ, φ

) jouent le rôle de coordonnées sphériques dans un espace de paramètres à trois dimensions de coordonnées cartésiennes (

k_x, k_y, f^'

).
53. Représenter sur la sphère

S_K

de rayon

K

et de centre

O

la définition de

θ, φ

. On précisera les axes de la figure.
54. Sur la sphère

S_K

, on appelle pôle nord le point (

k_x = 0, k_y = 0, k_z = K

) et pôle sud le point (

k_x = 0, k_y = 0, k_z = - K

). Montrer que ces pôles sont les seuls points de

S_K

où

Ψ_3^(\to-)

n'est pas défini de façon unique. Puis montrer que

Ψ_N^(\to-) = e^(- iφ)Ψ_3^(\to-)

admet une unique valeur au pôle nord.
55. Proposer un choix de vecteur

Ψ_S^(\to-)

qui conviendrait pour le pôle sud.

Étonnamment, il n'est mathématiquement pas possible d'avoir un unique choix de vecteur propre associé à

ω_3

qui soit continu pour toutes les valeurs de

(θ, φ)

. Pour cette raison, on prendra dans l'hémisphère nord (resp. sud) de la sphère l'expression

Ψ_N^(\to-)

(resp.

Ψ_S^(\to-)

).
56. On définit le vecteur

A\to_N

(resp.

A\to_S

) associé au vecteur propre

Ψ_N^(\to-)

(resp.

Ψ_S^(\to-)

), par

A_N^(\to-) = (- i)/(Ksinθ)(Ψ_N^(\to-)* \cdot (\partialΨ_N^(\to-))/(\partialφ))e_φ^(\to-) (resp. A_S^(\to-) = (- i)/(Ksinθ)(Ψ_S^(\to-)^⋆ \cdot (\partialΨ_S^(\to-))/(\partialφ))e_φ^(\to-))

Exprimer

A_N^(\to-)

A_S^(\to-)

en fonction de

Ψ_3^(\to-)

. En déduire une expression simple de

A_N^(\to-) - A_S^(\to-)

.
57. Montrer que

rot^(\to-)A_N^(\to-) = rot^(\to-)A_S^(\to-)

. On notera

B\to

ce vecteur commun.

Enfin, on définit la quantité

∯ C = - 1/(2π)∯ _(S_K)B\to \cdot dS^(\to-)

où

S_K

est la sphère de rayon

K

de l'espace à trois dimensions (

k_x, k_y, f^'

). On peut montrer que cette grandeur est nécessairement un entier, et est égal au nombre d'ondes différentes qui peuvent se propager près de l'équateur terrestre.
58. Calculer cette grandeur, en utilisant une méthode similaire à celle utilisée dans la partie 4 . Que peut-on en déduire?
59. Cette situation est analogue à celle du monopole magnétique. Dresser un tableau explicitant les quantités correspondantes dans les deux problèmes.

Les grandeurs introduites dans ce sujet, à savoir la phase de Berry, la connexion de Berry, et l'entier

C

(appelé nombre de Chern) défini dans l'équation (24) sont des grandeurs bien connues des mathématiciens, qui ont été introduites en physique dans les années 1980. Elles ont rapidement été déclinées dans le domaine de la physique des solides et sont à l'origine de nombreux résultats comme la compréhension de l'effet Hall quantique, et la classification des isolants topologiques.

Fin du sujet

Crédits : Les figures 4 et 5 sont tirées de A. Tomita et R. Chiao, Observation of Berry's Topological Phase by Use of an Optical Fiber, Phys. Rev. Lett. 57, 937 (1986).

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique C de l'ENS PC 2022 ?

Le sujet couvre cinq domaines largement indépendants : la mécanique, l'optique, la mécanique quantique, l'électromagnétisme et la mécanique des fluides, autour d'effets géométriques et topologiques.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique C ENS PC 2022 ?

La moyenne est de 9,18/20 avec un écart-type de 3,66, pour 487 copies corrigées, la note la plus haute étant 20 et la plus basse 2,1.

Ce sujet de physique C de l'ENS PC est-il difficile ?

Oui, le rapport souligne qu'aucun candidat n'a traité la totalité du sujet, même si presque toutes les questions ont été abordées par au moins quelques copies.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de physique C ?

Le jury relève surtout des oublis de justification, des erreurs de calcul d'aire ou de conversion d'unités, et des approximations non justifiées, notamment dans les bilans de forces et les développements limités.

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