ENS Physique C PC 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique C de la banque PC inter-ENS 2024 ?

L'épreuve couvre l'optique avec un piège optique, la mécanique du point dans un potentiel, les systèmes de particules en interaction, et la thermodynamique, la statique et la mécanique des fluides pour un gaz unitaire.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de physique C inter-ENS PC 2024 ?

Le jury relève des erreurs élémentaires dès que la complexité des calculs augmente, des justifications insuffisantes, et des raisonnements qui compensent des erreurs entre elles pour arriver malgré tout au bon résultat.

Q: L'épreuve de physique C inter-ENS PC 2024 est-elle difficile ?

Oui, la moyenne n'est que de 9,73 sur 20 et de nombreuses questions n'ont été résolues intégralement que par une faible fraction des candidats.

Q: Combien de copies ont été corrigées pour l'épreuve de physique C inter-ENS PC 2024 ?

541 copies ont été rendues, un nombre supérieur à celui des sessions précédentes (519 en 2023, 487 en 2022, 359 en 2021).

Systèmes de particules en interaction : piège optique, force en 1/r³ et gaz unitaire

Pas encore noté

Faisable en Sup

Faisable en sup ?

Faisable en partie en PCSI : 45 questions sur 75, parties 1, 2 et 3 en entier. Autres questions faisables en PCSI

Autres premières années : MPSI 36 · PTSI 36 · MP2I 36 · TSI1 36 questions.

Détail par partie

Partie 1 : Un atome dans un piège optique8/8Faisable
Partie 2 : Une particule soumise à une force α/x³ − kx7/7Faisable
Partie 3 : N particules interagissant par une force en 1/r³17/17Faisable
Partie 4 : Propriétés macroscopiques d'un gaz unitaire13/43En partie
- Q28.a
- Q28.b
- Q28.c
- Q29.a
- Q30.a
- Q30.b
- Q31.a
- Q31.b
- Question 32
- Question 33
- +3

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Présentation du sujet

Difficile

Piège optique, particule dans un potentiel en alpha/x^3 - kx, N particules interagissant en 1/r^3 et propriétés macroscopiques d'un gaz unitaire (thermodynamique, statique et mécanique des fluides)

Le sujet comporte quatre parties. Après l'étude d'un piège optique puis d'une particule soumise à un potentiel particulier, le cœur du sujet porte sur deux systèmes aux propriétés remarquables liées à une invariance d'échelle : des particules en interaction répulsive en 1/r^3, et un gaz unitaire étudié par la thermodynamique, la statique et la dynamique des fluides. Ces deux systèmes oscillent indéfiniment dans un potentiel harmonique, sans jamais atteindre d'équilibre.

1Partie 1 : un atome dans un piège optiqueÉtude de la réalisation d'un piège optique utile pour les expériences ultérieures du sujet.
2Partie 2 : une particule soumise à une force alpha/x^3 - kxÉtude d'un problème à une particule exactement soluble, dont les résultats servent pour la suite du sujet.
3Partie 3 : N particules interagissant par une force en 1/r^3Étude d'un système de particules en interaction répulsive, sans réalisation expérimentale connue à ce jour, avec un potentiel extérieur quelconque, un potentiel harmonique et une boîte sphérique.
4Partie 4 : propriétés macroscopiques d'un gaz unitaireÉtude thermodynamique, statique et mécanique d'un fluide appelé gaz unitaire, en lien avec des expériences actuelles sur les gaz froids.

Difficile. La moyenne n'est que de 9,73 sur 20 avec un écart-type de 3,19, et le rapport signale de nombreuses questions où seule une faible fraction des candidats obtient tous les points, par exemple 4% à la question 35c, 3% à la question 44b ou 8% à la question 16.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,73 / 20 · écart-type 3,19 · 541 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,73/ 20
Écart-type: 3,19
Présents: 541
Durée: 6 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 18 avril 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Confusion entre vitesse et dérivée radiale dans l'énergie cinétique · Calcul de G double point mené par une démarche incorrecte mais compensée · Justification insuffisante sur les vitesses bornées

Le jury relève que le niveau des 20 à 30% meilleures copies est satisfaisant, mais qu'une partie importante des candidats commet des erreurs élémentaires dès que la complexité des calculs augmente, et qu'une fraction non négligeable échoue même à des questions simples posées de façon légèrement non standard. Les questions qualitatives sur les propriétés extraordinaires des systèmes étudiés ont en revanche été plutôt bien traitées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre vitesse et dérivée radiale dans l'énergie cinétique1
De trop nombreux candidats remplacent v^2 par r point au carré dans l'énergie cinétique à la question 1, ce qui conduit à une équation différentielle incorrecte.
2
Calcul de G double point mené par une démarche incorrecte mais compensée16
Une grande partie des candidats suit une démarche fausse à deux étapes qui se compensent pour retrouver malgré tout le résultat correct, sans repartir de la bonne expression de G.
3
Justification insuffisante sur les vitesses bornées21a
Dire que les vitesses ne peuvent pas dépasser la vitesse de la lumière n'est pas une justification valable dans le cadre de la mécanique non relativiste considérée.
« les vitesses ne peuvent pas dépasser la vitesse de la lumière n’est pas une »
4
Densité supposée à tort indépendante de la position42
De trop nombreux candidats multiplient la densité par le volume de la sphère comme si la densité était indépendante de la position.
5
Approximation numérique trop grossière35c
L'énoncé demandant le résultat avec un chiffre significatif, il ne fallait pas effectuer une approximation trop grossière et utiliser le fait que 27 à la puissance 1/3 vaut 3.

Ce qui a été bien réussi

Les questions qualitatives sur les propriétés extraordinaires ont été plutôt bien traitées (Q19, Q41).
Certaines difficultés techniques ont été surmontées par une fraction non négligeable des candidats, par exemple à la question 43.
76% des candidats sont parvenus au résultat correct à la question 8.

Conseils du jury

Justifier les réponses même brièvement, en écrivant les calculs intermédiaires pour les résultats sous forme d'équation, une absence de justification étant systématiquement sanctionnée.
Ne pas négliger les questions qualitatives, les tracés de courbes et les applications numériques, valorisés dans le barème.
Lire attentivement l'intégralité de chaque question pour ne pas perdre de points par oubli d'une partie de la réponse.
Aller moins vite et être plus soigneux et attentif plutôt que de traiter un grand nombre de questions avec des erreurs d'étourderie évitables.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

75 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

75 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Description

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Sujet en PDF

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2024

JEUDI 18 AVRIL 2024
08h00-14h00
FILIERE PC - Epreuve

n^\circ7

PHYSIQUE C (U)

Durée : 6 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Début de l'épreuve

Ce sujet comporte 13 pages numérotées de 1 à 13.

Consignes et indications générales

On néglige la gravité dans tout le sujet.
Aucune question ne fait appel à la mécanique quantique.
La justification des réponses et des étapes de raisonnement est prise en compte dans la notation.
Pour les questions ouvertes appelant une justification ou une discussion, la longueur de la réponse attendue est entre quelques mots et quelques lignes (mais les réponses plus longues ne sont pas sanctionnées).
Il est parfois demandé de vérifier que l'on retrouve une expression déjà obtenue dans une question précédente, ce qui peut aider à détecter et corriger d'éventuelles erreurs.

Notations et conventions

$(Oxyz)$ est un repère orthonormé, fixe dans le référentiel du laboratoire considéré comme un référentiel galiléen. Les vecteurs unitaires associés sont notés ( $u_x^(\to-), u_y^(\to-), u_z^(\to-)$ ).
Élément de volume : $dτ = dxdydz$ .
Norme d'un vecteur : $A = ‖A⃗‖$ .
$f˙$ désigne la dérivée temporelle $(df)/(dt)$ d'une fonction $f(t)$ , et $f¨ = (d^2 f)/(dt^2)$ .
Pour une fonction $f(r⃗)$ qui ne dépend pas de la direction de $r⃗$ , on pourra noter $f(r)$ au lieu de $f(r⃗)$ .
«Positif» signifie «supérieur ou égal à zéro ».

Formulaire

En coordonnées sphériques :

grad^(\to-)f = (\partialf)/(\partialr)u_r^(\to-) + 1/r(\partialf)/(\partialθ)u_θ^(\to-) + 1/(rsinθ)(\partialf)/(\partialφ)u_φ^(\to-); divA⃗ = 1/(r^2)\partial/(\partialr)(r^2 A_r) + 1/(rsinθ)\partial/(\partialθ)(sinθA_θ) + 1/(rsinθ)(\partialA_φ)/(\partialφ); div(fA⃗) = grad^(\to-)f \cdot A⃗ + fdivA⃗

Données numériques

Masse molaire du lithium

6 : M(^6 Li) = 6, 02 g \cdot mol^(- 1)

Nombre d'Avogadro:

𝒩_A = 6, 02 \times 10^(23) mol^(- 1)

k = 1, 02 \times 10^(- 18) kg \cdot s^(- 2)

σ = 60μ m

Introduction

On appelle «système de particules en interaction » un système composé de

N

particules interagissant entre elles. Il peut s'agir par exemple de molécules dans un gaz ou un liquide, d'électrons et d'ions dans un plasma, ou encore d'étoiles dans une galaxie.

D'ordinaire, ces systèmes ont les caractéristiques suivantes. Dès que

N > 2

, il est impossible d'obtenir des résultats exacts sur l'évolution en fonction du temps des positions des

N

particules par des calculs analytiques, c'est-à-dire sans utiliser de simulations numériques. Cependant, lorsque

N

est grand, le comportement du système devient plus simple à décrire. Au bout d'un certain temps, le système atteint un état d'équilibre, décrit par la thermodynamique ou la statique des fluides. Ceci est vrai même si le système n'échange pas de chaleur avec son environnement. Pour décrire cet état d'équilibre aux échelles macroscopiques ou mésoscopiques, il suffit de connaître quelques fonctions qui relient entre elles des grandeurs thermodynamiques telles que la pression, la température ou l'énergie interne. La détermination de ces fonctions nécessite de construire des tableaux de données à partir de mesures expérimentales ou de simulations numériques (à la différence d'un gaz parfait, pour lequel ces fonctions ont des expressions connues). De plus, l'évolution d'un fluide en fonction du temps peut être décrite par la mécanique des fluides, qui fait intervenir quelques grandeurs supplémentaires telles que la viscosité dynamique. Ces grandeurs (appelées coefficients de transport) sont des fonctions des grandeurs thermodynamiques, et la détermination de ces fonctions nécessite là encore de construire des tableaux de données à partir d'expériences ou de simulations numériques.

Certains systèmes particuliers de particules en interaction possèdent des propriétés qui font exception à une ou plusieurs des caractéristiques énoncées dans le paragraphe précédent : on qualifiera de telles propriétés de propriétés extraordinaires.

Nous serons amenés à rencontrer de telles propriétés extraordinaires dans les parties 3 et 4 . Alors que le système étudié en partie 3 n'a pas à ce jour de réalisation expérimentale, la partie 4 est reliée à des expériences actuelles avec des gaz froids. La partie 1 concerne la réalisation d'un piège optique pouvant servir dans ces expériences. Les parties suivantes sont indépendantes de la partie 1 , à l'exception de deux questions où un lien avec la partie 1 sera indiqué dans l'énoncé. La partie 2 concerne un problème à une particule dont l'étude est utile pour les parties 3 et 4 .

Partie 1 : Un atome dans un piège optique

Dans cette partie, on considère un atome de masse

m

, de vecteur position

r⃗ = xu_x^(\to-) + yu_y^(\to-) + zu_z^(\to-)

. L'atome est soumis à une force conservative

F⃗

. On note

U(r⃗)

l'énergie potentielle associée à cette force

F⃗

Dans cette question on suppose que $U$ est de la forme

U(r⃗) = U(r) = U_0 + 1/2kr^2

où

U_0

k

sont des constantes et

k > 0

. On pose

ω = \sqrt(k/m)

.
a) Montrer que chacune des fonctions

x(t), y(t)

z(t)

vérifie une équation différentielle.
b) On note

v⃗(0)

la vitesse de l'atome à

t = 0

. Exprimer

r⃗(t)

en fonction de

t, ω, r⃗(0)

v⃗(0)

Dans la suite de cette partie, on considère que la force

F⃗

est due à l'effet de faisceaux laser, et on admet que l'énergie potentielle est

U(r⃗) = - γ⟨‖E⃗(r⃗, t)‖^2⟩

où

γ

est une constante strictement positive,

E⃗(r⃗, t)

est le champ électrique, et

⟨‖E⃗(r⃗, t)‖^2⟩

désigne la moyenne temporelle (aussi appelée moyenne dans le temps) de

‖E⃗(r⃗, t)‖^2

r⃗

fixé.
On utilise simultanément trois faisceaux laser. On admet que les champs électriques associés à chacun des trois faisceaux sont :

E⃗_1(r⃗, t) = a(y, z)cos(qx - Ωt + φ_1)u_y^(\to-); E⃗_2(r⃗, t) = a(x, z)cos(qy - Ωt + φ_2)u_z^(\to-); E⃗_3(r⃗, t) = a(x, y)cos(qz - Ωt + φ_3)u_x^(\to-)

où la fonction

a

est définie par

a(X, Y) = ℰexp(- (X^2 + Y^2)/(σ^2))

et où

ℰ, σ, q, Ω, φ_1, φ_2

φ_3

sont des paramètres constants, avec

ℰ, σ, q

Ω

strictement positifs (la longueur de Rayleigh n'apparaît pas car elle peut être considérée comme infinie).
2) Pour chacun des trois faisceaux, indiquer la direction et le sens de propagation ainsi que la polarisation de la lumière correspondants.
3) Exprimer

U(r⃗)

en fonction de

x, y, z, γ, ℰ

σ

.
4) Montrer que si

r≪σ

, alors

U(r⃗) - U(0\to) \approx 1/2kr^2

où l'on exprimera

k

en fonction de

γ, ℰ

σ

.
5) On considère un atome de lithium 6 . On utilisera les données numériques figurant en bas de la page 1 , en particulier la valeur de

k

.
a) On fait l'hypothèse que pour décrire le mouvement de l'atome, on peut remplacer

U(r⃗)

par son expression approchée donnée par l'équation (2). Déterminer la valeur numérique de la période du mouvement

τ

avec un chiffre significatif.
b) En

t = 0

, l'atome se trouve à l'origine avec une vitesse

v(0) = 1 cm/s

. L'hypothèse faite à la question

5a

est-elle légitime?
6) Dans toute cette question, on considère une situation où les polarisations des faisceaux ne sont pas parfaitement contrôlées, tandis que les phases

φ_1, φ_2

φ_3

sont toujours fixées. Citer un effet qui apparaît alors et qui modifie le résultat obtenu à la question 3. Proposer une modification des caractéristiques des faisceaux permettant d'éliminer cet effet et de retrouver le résultat de la question 3. On pourra répondre brièvement et sans calculs.

Partie 2 : Une particule soumise à une force $α/x^3 - kx$

Dans cette partie, on considère une particule de masse

m

se déplaçant à une dimension le long de la demi-droite (

Ox

), de sorte que son vecteur position est

r⃗ = xu_x^(\to-)

avec

x > 0

.
La particule est soumise à une force

F⃗ = F_x u_x^(\to-)

avec

F_x = α/(x^3) - kx

, où

α

k

sont des constantes strictement positives.
7) Montrer que la force

F⃗

est conservative, et que l'énergie potentielle correspondante s'écrit

U(x) = A/(x^2) + Bx^2 + C

où

C

est une constante arbitraire et où l'on exprimera

A

B

en fonction de

α

k

.
Dans la suite on prend

C = 0

.
8) On pose

g = x^2

, et on note

E

l'énergie mécanique de la particule. Exprimer

mg¨

en fonction de

E, g

k

.
9) On pose

ω = \sqrt(k/m), g_0 = g(t = 0)

h_0 = g˙(t = 0)

. En résolvant l'équation différentielle trouvée à la question précédente, exprimer

g(t)

en fonction de

t, g_0, h_0, ω

E/k

.
Dans la suite, la particule est lâchée à

t = 0

x = x_0

avec une vitesse nulle.
10) Exprimer

x(t)

en fonction de

t, ω, α/k

x_0

. Exprimer la période de

x(t)

en fonction de

ω

.
11) Commenter brièvement le fait que la période est indépendante de l'amplitude.
12) On note

x_(min)

x_(max)

les valeurs minimale et maximale de la fonction

x(t)

. À partir de l'expression de

x(t)

obtenue à la question 10, tracer l'allure de

x(t)^2

en fonction de

t

, et exprimer

x_(min)

x_(max)

en fonction de

x_0

α/k

. On distinguera entre les cas

x_0 > x_c

x_0 < x_c

, où

x_c

est une grandeur que l'on exprimera en fonction de

α/k

.
13) Tracer l'allure de

U(x)

. Par une approche énergétique, vérifier la validité des expressions de

x_c, x_(min)

x_(max)

obtenues à la question précédente.

Partie 3 : $N$ particules interagissant par une force en $1/r^3$

Dans cette partie, on considère

N

particules ponctuelles de masse

m

se déplaçant dans l'espace à trois dimensions. On note

r_i\to

le vecteur position de la particule

i

, où l'entier

i

est compris entre 1 et

N

. Les forces en jeu sont les suivantes :

Chaque particule est soumise à une force extérieure conservative. On note $U_(ext)(r⃗)$ l'énergie potentielle associée, aussi appelée potentiel extérieur. La force extérieure subie par la particule $i$ est notée $F⃗_(ext, i)$ .
Les particules interagissent entre elles. Chacune des $N$ particules exerce une force sur chacune des $N - 1$ autres particules. La force d'interaction exercée par la particule $j$ sur la particule $i$ , notée $F⃗_(j \to i)$ , est supposée telle que
sa direction est celle de la droite joignant les particules $i$ et $j$ ,
son sens correspond à une répulsion entre particules,
sa norme est inversement proportionnelle au cube de la distance entre les particules, soit $‖F⃗_(j \to i)‖ = α/(r_(ij)^3)$ , où $α$ est un paramètre constant positif, et $r_(ij)$ est la distance entre les particules $i$ et $j$ .
On note $𝒮_i$ l'ensemble des entiers différents de $i$ compris entre 1 et $N$ , soit $𝒮_i = {1; 2; …; N}∖{i}$ . Pour désigner la somme sur les entiers $i$ et $j$ compris entre 1 et $N$ tels que $i \neq j$ , on utilise la notation concise $\sum_(i \neq j)$ au lieu de $\sum_(i = 1)^N\sum_(j \in 𝒮_i)$ .

On note

E_(cin)

l'énergie cinétique totale du système constitué des

N

particules. On définit les grandeurs

E_(ext) = \sum_(i = 1)^N U_(ext)(r_i\to); E_(int) = α/4\sum_(i \neq j)1/(r_(ij)^2).

On admettra que

E = E_(cin) + E_(ext) + E_(int)

est une constante du mouvement (

E

est l'énergie mécanique totale du système des

N

particules).

3.1 Potentiel extérieur quelconque

Dans cette sous-partie, on ne fait aucune hypothèse concernant la forme du potentiel extérieur

U_(ext)(r⃗)

.
14) Écrire l'expression reliant

F⃗_(ext, i)

à la fonction

U_(ext)

.
15) Exprimer

F⃗_(j \to i)

en fonction de

r⃗_i, r⃗_j, r_(ij)

α

On pose

G = \sum_(i = 1)^N r_i^2

où

r_i^2 = ‖r_i\to‖^2

.
16) Exprimer

mG¨

en fonction de

E_(cin) + E_(int)

et de

\sum_(i = 1)^N r_i\to \cdot F_(ext, i)^(\to-)

3.2 Potentiel extérieur harmonique

Dans cette sous-partie, on considère le cas d'un potentiel extérieur de la forme

U_(ext)(r⃗) = 1/2kr^2

avec

k

une constante strictement positive. On pose

ω = \sqrt(k/m)

.
17) Montrer que

G(t)

vérifie la même équation différentielle que celle obtenue pour

g(t)

à la question 8. En déduire l'expression de

G(t)

en fonction de

t, ω, E/k

, et des grandeurs

G_0 = G(t = 0)

H_0 = G˙(t = 0)

.
18) Dans cette question on considère le cas où

α = 0

. En utilisant le résultat de la question

1b

, exprimer

G(t)

en fonction de

t

, de

ω

, des

r_i\to(0)

et des

v_i\to(0)

. Vérifier que cette expression de

G(t)

est équivalente à celle obtenue à la question 17.
19) Dans le cas où

α

est non nul, donner des raisons pour lesquelles le résultat trouvé pour

G(t)

à la question 17 est une propriété extraordinaire, dans le sens défini dans l'introduction du sujet.

3.3 Boîte sphérique

Dans cette sous-partie, on considère la situation suivante :

Les $N$ particules sont enfermées dans une boîte sphérique de rayon $ℓ$ centrée à l'origine. La paroi de la boîte est donc l'ensemble des points de vecteur position $r⃗$ tel que $r = ℓ$ (la paroi étant considérée comme infiniment fine, pour simplifier la discussion).
$F⃗_(ext, i)$ est la force exercée par la paroi de la boîte sur la particule $i$ .
Le potentiel extérieur correspondant $U_(ext)$ vérifie les propriétés suivantes (on ne s'intéresse qu'à l'intérieur de la boîte, soit $r < ℓ$ ):
(a) $U_(ext)(r⃗) = U_(ext)(r)$ ne dépend pas de la direction de $r⃗$
(b) $U_(ext)(r) = 0$ pour $ℓ - r$ supérieur à une certaine longueur $ℓ_*$ qui vérifie $ℓ_*≪ℓ$
(c) $U_(ext)(r)$ est une fonction croissante et continue de $r$
(d) $U_(ext)(r) ⟶ _(r \to ℓ) + \infty$ .

Tracer l'allure de la fonction $U_(ext)(r)$ .

Dans la suite, on note

⟨f⟩

la moyenne temporelle sur une durée infiniment longue d'une grandeur dépendante du temps

f(t)

, soit

⟨f⟩ = lim_(t_(max) \to \infty)1/(t_(max))\int_0^(t_(max))f(t)dt

Ainsi

⟨G¨⟩

désigne la moyenne temporelle sur une durée infiniment longue de

G¨(t)

.
21) a) Montrer que

|G˙(t)| ⩽ D

où

D

est une quantité indépendante de

t

dont on donnera l'expression.
b) En déduire que

⟨G¨⟩ = 0

Dans la suite, on considère une boîte de taille macroscopique contenant un grand nombre de particules. On admet que le système des

N

particules peut être considéré comme un fluide à l'équilibre, et on note

P

la pression du fluide au niveau de la paroi.
22) Justifier en quelques mots le fait que la valeur de

P

est la même en tout point de la paroi.
23) Pourquoi peut-on considérer que

ℓ_*≪ℓ

? On attend une réponse brève, sans calcul ni estimation d'ordre de grandeur.
24) On note

u_i\to

le vecteur unitaire

(r_i\to)/(r_i)

. Exprimer

F⃗_(ext, i)

en fonction de

u_i\to

et de

F_(ext, i) = ‖F_(ext, i)^(\to-)‖

.
25) On définit une surface

Σ

et un volume

R

comme suit (voir figure 1):

$Σ$ est une petite portion de la paroi. La forme de $Σ$ est approximativement un carré de côté $ℓ_Σ$ , avec $ℓ_Σ≪ℓ$ .
$R$ est l'ensemble des points $M$ dont le vecteur position est de la forme $OM^(\to-) = uOM^'^(\to-)$ avec $M^' \in Σ$ et $u$ compris entre 0 et 1 .
a) On note $F⃗_(ext, R)$ la force exercée par la paroi sur le fluide contenu dans $R$ . Donner une expression approchée simple de $F⃗_(ext, R)$ faisant apparaître $P$ . Indiquer deux conditions sur $ℓ_Σ$ (en plus de $ℓ_Σ≪ℓ$ ) pour que cette expression soit valable.

Figure 1 - Vue en coupe dans un plan passant par l'origine

O

, montrant l'intersection de ce plan avec la paroi de la boîte (cercle tireté), avec la surface

Σ

(arc de cercle en trait continu épais), et avec le volume

R

(zone hachurée).

b) On note

𝒮_R

l'ensemble des entiers

i

appartenant à

{1; 2; \dots; N}

tels que la particule

i

est située dans la région

R

. En utilisant le résultat obtenu à la question 25a, obtenir une expression approchée simple de

\sum_(i \in 𝒮_R)F_(ext, i)

faisant apparaître

P

.
c) En déduire une expression approchée simple de

\sum_(i = 1)^N F_(ext, i)

faisant apparaître

P

.
26) On identifie la moyenne temporelle

⟨E_(cin) + E_(int)⟩

avec l'énergie interne

U

du fluide. Montrer que

U \approx 3/2PV

où

V

est le volume de la boîte. On utilisera notamment les résultats des questions

16

25c

.
27) Dans le cas où

α = 0

, montrer directement que

U = 3/2PV

en utilisant des relations thermodynamiques connues et sans utiliser les résultats des questions précédentes.

Partie 4 : Propriétés macroscopiques d'un gaz unitaire

Dans cette partie, on s'intéresse aux propriétés macroscopiques d'un fluide particulier, appelé « gaz unitaire

≫

. Il s'agit d'un gaz monoatomique, dans lequel les interactions entre atomes sont généralement loin d'être négligeables (même si elles décroissent rapidement avec la distance entre atomes) ; par exemple, l'équation d'état d'un gaz unitaire est très différente de celle d'un gaz parfait. La description microscopique d'un gaz unitaire fait appel à la mécanique quantique à

N

corps, et sort du cadre de ce sujet. Nous admettrons donc certaines propriétés d'un gaz unitaire, et nous en étudierons les conséquences en utilisant la thermodynamique, la statique des fluides, et la mécanique des fluides (respectivement dans les sous-parties 4.1, 4.2 et 4.3).

4.1 Thermodynamique du gaz homogène

Dans cette sous-partie, on s'intéresse à un gaz unitaire homogène de volume

V

. On admet que les principes de la thermodynamique sont applicables. On note

N

le nombre d'atomes composant le gaz,

P

la pression du gaz,

U

son énergie interne,

S

son entropie,

T

sa température,

n = N/V

sa densité particulaire, et

s = S/N

son entropie par atome.
Dans toute la suite du sujet, on admet qu'un gaz unitaire homogène à l'équilibre vérifie les propriétés suivantes :

l'énergie interne et la pression sont liées par la relation

U = 3/2PV

la pression $P$ est une fonction de $n$ et $s$ :

P = f_P(n, s)

où la fonction

f_P

ne dépend d'aucune autre grandeur thermodynamique que

n

s

.
28) On considère la transformation suivante. Un gaz unitaire est enfermé dans une boîte de volume

V

dont l'une des parois est un piston mobile. Les parois sont parfaitement isolantes thermiquement (autrement dit, la boîte est un calorimètre idéal). Le gaz est initialement à l'équilibre. On fait varier lentement le volume

V

de la boîte en déplaçant la paroi mobile.
a) Montrer que

P^3 V^5

est constant au cours de la transformation.
b) En déduire que

f_P

est de la forme

f_P(n, s) = n^(5/3)g_P(s)

où la fonction

g_P

ne dépend que de

s

et pas de

n

.
c) Indiquer brièvement en quoi l'équation (6) peut faciliter la détermination de la fonction

f_P

par des mesures expérimentales ou des simulations numériques.
29) a) Justifier brièvement et sans calculs que la propriété (5) est habituelle.
b) Proposer une brève justification physique intuitive du fait que la propriété (6) est inhabituelle.
c) En déduire que la propriété (4) est inhabituelle. On attend un raisonnement bref.
30) On considère la transformation suivante. Un gaz unitaire, initialement à l'équilibre, est enfermé dans une boîte de volume

V

fixé. On apporte lentement une petite quantité de chaleur au gaz.
a) En utilisant le premier et le deuxième principe de la thermodynamique, établir une relation entre la variation d'énergie interne du gaz et sa variation d'entropie.
b) En déduire que pour un gaz unitaire homogène à l'équilibre, on a

T = n^(2/3)g_T(s)

où

g_T

est une fonction de

s

(indépendante de

n

) que l'on exprimera en termes de

g_P

Dans la suite, on admet que la fonction

g_T

est strictement croissante et continue. La fonction

g_T

est donc inversible. On a donc, pour un gaz unitaire homogène à l'équilibre :

s = g_s(T/(n^(2/3)))

où

g_s

est la fonction réciproque de

g_T

4.2 Statique des fluides

Dans cette sous-partie, on considère un gaz unitaire, à l'équilibre, soumis à une force extérieure indépendante du temps. On admet que le gaz peut être décrit par la statique des fluides.
Chaque atome subit une force extérieure

- kr⃗

, où

r⃗

est le vecteur position de l'atome et

k

est un paramètre constant strictement positif (on rappelle que la gravité est négligée).
On note

é à é é é é é {- n(r⃗) la densité particulaire (c'est-à-dire le nombre d'atomes par unité de volume); - P(r⃗) la pression; - f⃗(r⃗) la force extérieure par unité de volume subie par le gaz (aussi appelée; densité volumique de force); - s(r⃗) l'entropie par particule

au voisinage du point de vecteur position

r⃗

.
31) a) Donner une expression de

f⃗(r⃗)

faisant apparaître

k

n(r⃗)

.
b) En utilisant l'équation locale de la statique des fluides, en déduire une relation entre les fonctions

P(r⃗)

n(r⃗)

.
32) Justifier en quelques mots le fait que

n(r⃗), P(r⃗)

s(r⃗)

ne dépendent pas de la direction de

r⃗

.
33) Justifier en quelques mots le fait que la température

T

est uniforme dans tout le fluide.
34) Expliquer brièvement pourquoi, sous une hypothèse que l'on indiquera, on peut écrire

P(r), = n(r)^(5/3)g_P(s(r)); s(r), = g_s(T/(n(r)^(2/3)))

On admet dans la suite que

g_s(0) = 0

.
35) Dans cette question, on considère le cas où

T = 0

, et on admet que dans ce cas, il existe une distance

R

telle que :

n(r) > 0

pour

r < R

, et

n(r) = 0

pour

r ⩾ R

.
a) Exprimer

n(r)

en fonction de

r, n(0)

R

pour

r < R

; et exprimer

R

en fonction de

k

g_P(0)

n(0)

.
b) Tracer l'allure de

n(r)

.
c) On admet que

g_P(0) = ξ(ℏ^2)/m

où

m

est la masse d'un atome,

ℏ = 1, 05 \times 10^(- 34) J \cdot s

est la constante de Planck réduite, et

ξ

est une constante qui vaut

ξ \approx 0.7

d'après des expériences et des simulations numériques concordantes. Déterminer la valeur numérique de

R

avec un chiffre significatif, pour des atomes de lithium 6 avec

n(0) = 2, 7 \times 10^(19) m^(- 3)

. On utilisera

\sqrt(3, 5) \approx 2

et les données numériques figurant en bas de la page 1 .
d) Dans le cas où la force extérieure est due aux faisceaux laser considérés dans la partie 1, cette force est-elle bien approximée par

- kr⃗

pour tous les atomes du gaz?
36) En réalité,

T

n'est jamais strictement nulle. Dans cette question, on considère que la température est non nulle mais proche de 0 .
a) On admet que la fonction

g_P

est continue. Justifier en quelques lignes pourquoi

n(r)

est proche du résultat trouvé à la question 35a lorsque

r

est à la fois inférieur à

R

et pas trop proche de

R

.
b) On admet que la fonction

n(r)

est strictement positive et décroissante sur l'ensemble des

r

positifs, et que

n(r) ⟶ _(r \to \infty)0

. Tracer l'allure de

n(r)

4.3 Mécanique des fluides

Dans cette sous-partie, on considère un gaz unitaire soumis à une force extérieure dépendante du temps. On note

f⃗(r⃗, t)

la force extérieure par unité de volume subie par le gaz au voisinage du point de vecteur position

r⃗

au temps

t

. On admet que le gaz peut être décrit par la mécanique des fluides. On note

n(r⃗, t)

la densité particulaire au voisinage du point de vecteur position

r⃗

à l'instant

t

, et

v⃗(r⃗, t)

le champ eulérien de vitesse du fluide.
L'équation locale de conservation du nombre d'atomes s'écrit :

(\partialn)/(\partialt) + div(nv⃗) = 0

On introduit les notations :

( $x_1, x_2, x_3$ ) pour les composantes ( $x, y, z$ ) du vecteur $r⃗$ en coordonnées cartésiennes,
( $v_1, v_2, v_3$ ) pour les composantes ( $v_x, v_y, v_z$ ) du vecteur $v⃗$ en coordonnées cartésiennes,
$(f_1, f_2, f_3)$ pour les composantes $(f_x, f_y, f_z)$ du vecteur $f⃗$ en coordonnées cartésiennes.

On admet que dans le cas général d'un fluide compressible, l'équation de Navier-Stokes générale en coordonnées cartésiennes s'écrit : pour tout

i

appartenant à

{1; 2; 3}

mn((\partialv_i)/(\partialt) + v⃗ \cdot grad^(\to-)v_i) = - (\partialP)/(\partialx_i) + f_i + \sum_(j = 1)^3\partial/(\partialx_j)[η((\partialv_i)/(\partialx_j) + (\partialv_j)/(\partialx_i) - 2/3δ_(ij)divv⃗)] + \partial/(\partialx_i)(ζdivv⃗)

où le fluide est supposé monoatomique,

m

est la masse d'un atome,

P

est la pression,

δ_(ij)

est le symbole de Kronecker défini par

δ_(ij) = 1, si i = j; 0, si i \neq j,

η

est la viscosité dynamique, et

ζ

est une grandeur appelée «viscosité de dilatation».

On note

s(r⃗, t)

l'entropie par atome au voisinage du point de vecteur position

r⃗

à l'instant

t

. On admet que

s

vérifie l'équation d'évolution

nT((\partials)/(\partialt) + v⃗ \cdot grads^(\to-)) = div(κgrad^(\to-)T) + η/2\sum_(i = 1)^3\sum_(j = 1)^3((\partialv_i)/(\partialx_j) + (\partialv_j)/(\partialx_i) - 2/3δ_(ij)divv⃗)^2 + ζ \times (divv⃗)^2

où

T

est la température et

κ

est la conductivité thermique du fluide.
En général, les grandeurs

n, v⃗, P, f⃗, η, ζ, s, T

κ

dépendent toutes de

r⃗

t

.
On admet que les grandeurs

η, ζ

κ

(appelées coefficients de transport du fluide) sont positives, et sont des fonctions de

n

T

η(r⃗, t), = f_η(n(r⃗, t), T(r⃗, t)); ζ(r⃗, t), = f_ζ(n(r⃗, t), T(r⃗, t)); κ(r⃗, t), = f_κ(n(r⃗, t), T(r⃗, t))

On considère la situation suivante. Chaque atome subit une force extérieure

- k(t)r⃗

, où

r⃗

est le vecteur position de l'atome et

{k(t) = k_0, pour t ⩽ 0; k(t) = k_1, pour t > 0 avec k_0 ≠ k_1

Pour

t ⩽ 0

, le fluide est à l'équilibre, à une température non nulle (on ne fait aucune autre hypothèse concernant l'état du fluide à

t ⩽ 0)

.
On admettra que les fonctions

n(r⃗, t), v⃗(r⃗, t), s(r⃗, t), P(r⃗, t)

T(r⃗, t)

sont continues malgré la discontinuité de

k(t)

, et que

n(r⃗, t)

T(r⃗, t)

sont strictement positives pour tout

r⃗

t

.
37) Donner une expression de

f⃗(r⃗, t)

faisant apparaître

k(t)

n(r⃗, t)

.
38) Justifier en quelques mots le fait que

les fonctions $n(r⃗, t), s(r⃗, t), P(r⃗, t)$ et $T(r⃗, t)$ ne dépendent pas de la direction de $r⃗$
le champ de vitesse est de la forme $v⃗(r⃗, t) = v_r(r, t)u_r^(\to-)$ .

Vérifier que pour $t ⩽ 0$ , l'équation de Navier-Stokes générale (12) se réduit à une équation beaucoup plus simple dont on indiquera le nom.
Expliquer brièvement pourquoi, sous des hypothèses que l'on indiquera, on peut écrire

P(r, t), = n(r, t)^(5/3)g_P(s(r, t)); s(r, t), = g_s((T(r, t))/(n(r, t)^(2/3)))

On note

$B_R$ la boule de rayon $R$ centrée à l'origine
$N_B(R, t)$ le nombre d'atomes situés dans $B_R$ à l'instant $t$ .

Dans la suite on admet la propriété suivante :
il existe une fonction

λ(t)

définie pour

t ⩾ 0

telle que

éé{- pour tout R, le nombre d'atomes N_B(λ(t)R, t) est indépendant de t; - λ(t) est une fonction périodique de t; - λ(t = 0) = 1.

S'agit-il d'une propriété extraordinaire, dans le sens défini dans l'introduction du sujet? Justifier brièvement.
Exprimer $N_B(R, t)$ en terme du profil de densité particulaire $n(r, t)$ .
On pose $n_0(r) = n(r, 0)$ . Montrer que pour tout $r$ et tout $t ⩾ 0$ , on a

n(r, t) = (n_0(r/(λ(t))))/(λ(t)^3)

a) Obtenir une expression de $(\partialN_B)/(\partialt)(R, t)$ faisant apparaître $v_r(R, t)$ .
b) En déduire que pour tout $r$ et tout $t ⩾ 0$ , on a

v_r(r, t) = (λ˙(t))/(λ(t))r

On pose $K = \sum_(i = 1)^3\sum_(k = 1)^3((\partialv_i)/(\partialx_k) + (\partialv_k)/(\partialx_i) - 2/3δ_(ik)divv⃗)^2$ . Calculer $K$ .
On note $S(t)$ l'entropie totale du fluide. En supposant que les fonctions $nsv$ et $κgrad^(\to-)(lnT)$ tendent rapidement vers zéro pour $r \to \infty$ , montrer que

S˙(t) = \int[(κ‖grad^(\to-)T‖^2)/(T^2) + 9((λ˙)/λ)^2 ζ/T]dτ

Dans la suite on admet que pour tout

r

et pour

t

positif,

T(r, t)

est une fonction périodique de

t

, de même période que

λ(t)

.
47) En déduire que

S(t)

est constante.
48) a) Que peut-on en déduire concernant la viscosité de dilatation

ζ

d'un gaz unitaire?
b) Indiquer brièvement en quoi ce résultat est une propriété extraordinaire, dans le sens défini dans l'introduction du sujet.
c) Proposer une explication intuitive du lien entre ce résultat et la périodicité de l'évolution du gaz.
49) a) En admettant que

κ > 0

, montrer que

T(r, t)

est indépendant de

r

.
b) On note

T(r, t) = T(t)

, et

T_0 = T(t = 0)

. Montrer que pour tout

t ⩾ 0

T(t) = (T_0)/(λ(t)^2)

Indication : On pourra poser _-b(t) = T(t)λ(t)^2

et commencer par établir une expression de

S(t)

faisant apparaître

b(t)

.
50) a) On pose

s_0(r) = s(r, 0)

. Relier

s(r, t)

s_0(r)

.
b) On pose

P_0(r) = P(r, 0)

. Relier

P(r, t)

P_0(r)

On pose

ω_0 = \sqrt((k_0)/m)

ω_1 = \sqrt((k_1)/m)

.
51) a) Montrer que pour

t > 0

, l'équation (12) est bien satisfaite à condition que

λ(t)

vérifie une équation différentielle dont on exprimera les coefficients en termes de

ω_0

ω_1

.
b) En se ramenant au problème étudié dans la partie 2, en déduire l'expression de

λ(t)

en fonction de

t, ω_0

ω_1

.
52) On pose

G(t) = \sum_(i = 1)^N‖r⃗_i(t)‖^2

où

N

est le nombre total d'atomes et

r_i\to(t)

est le vecteur position de l'atome

i

à l'instant

t

.
a) On pose

G_0 = G(t = 0)

. Exprimer

G(t)

en fonction de

t, G_0, ω_0

ω_1

.
b) Vérifier que la forme du résultat obtenu est la même qu'à la question 17, sans chercher à comparer les différents coefficients constants. Pouvait-on s'y attendre?
c) Tracer l'allure de

G(t)

, en traitant séparément les cas limites

ω_0≫ω_1

ω_0≪ω_1

. Expliquer brièvement en quoi les résultats obtenus dans ces cas limites sont conformes à l'intuition physique.

Fin du sujet

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique C de la banque PC inter-ENS 2024 ?

L'épreuve couvre l'optique avec un piège optique, la mécanique du point dans un potentiel, les systèmes de particules en interaction, et la thermodynamique, la statique et la mécanique des fluides pour un gaz unitaire.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de physique C inter-ENS PC 2024 ?

Le jury relève des erreurs élémentaires dès que la complexité des calculs augmente, des justifications insuffisantes, et des raisonnements qui compensent des erreurs entre elles pour arriver malgré tout au bon résultat.

L'épreuve de physique C inter-ENS PC 2024 est-elle difficile ?

Oui, la moyenne n'est que de 9,73 sur 20 et de nombreuses questions n'ont été résolues intégralement que par une faible fraction des candidats.

Combien de copies ont été corrigées pour l'épreuve de physique C inter-ENS PC 2024 ?

541 copies ont été rendues, un nombre supérieur à celui des sessions précédentes (519 en 2023, 487 en 2022, 359 en 2021).

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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2024

Début de l'épreuve

Consignes et indications générales

Notations et conventions

Formulaire

Données numériques

Introduction

Partie 1 : Un atome dans un piège optique

Partie 2 : Une particule soumise à une force α/x^3 − kx

Partie 3 : N particules interagissant par une force en 1/r^3

3.1 Potentiel extérieur quelconque

3.2 Potentiel extérieur harmonique

3.3 Boîte sphérique

Partie 4 : Propriétés macroscopiques d'un gaz unitaire

4.1 Thermodynamique du gaz homogène

4.2 Statique des fluides

4.3 Mécanique des fluides

Fin du sujet

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique C de la banque PC inter-ENS 2024 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de physique C inter-ENS PC 2024 ?

L'épreuve de physique C inter-ENS PC 2024 est-elle difficile ?

Combien de copies ont été corrigées pour l'épreuve de physique C inter-ENS PC 2024 ?

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Partie 2 : Une particule soumise à une force $α/x^3 - kx$

Partie 3 : $N$ particules interagissant par une force en $1/r^3$