Le sujet, spécifique à l'ENS de Paris option physique, porte sur l'énergie électromagnétique. La première partie construit l'énergie électrostatique en partant de charges ponctuelles, l'étend aux distributions continues, introduit la notion de charge nivelée pour lever les divergences, puis l'applique à des sphères concentriques chargées. La seconde partie traite l'énergie magnétique de circuits et de distributions de courants, jusqu'au lien entre énergie magnétique et énergie cinétique des charges.

1Partie 1 : énergie électrostatiqueConstruction de l'énergie électrostatique de charges ponctuelles à partir de la force électrostatique, extension aux distributions continues, charge nivelée puis étude de sphères concentriques chargées.
2Partie 2 : énergie magnétiqueÉtude énergétique de circuits rigides puis de distributions continues de courants, application aux circuits filiformes et lien entre énergie magnétique et énergie cinétique des charges.

Difficile. Le rapport indique une moyenne de 10.1 avec un écart-type de 2.8, environ 60% des candidats sous la moyenne, et une large majorité de copies qui ne traitent correctement que très peu de questions ; les questions des dernières parties n'ont été traitées avec succès que par un très faible nombre de candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,1 / 20 · écart-type 2,8 · 525 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,1/ 20
Écart-type: 2,8
Copies: 525

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Erreur de signe sur un résultat de cours · Oubli du facteur 1/2 dans l'énergie d'interaction · Trouble face à une énergie infinie

Le jury constate qu'une large majorité de copies traite correctement très peu de questions, mais que la progressivité du sujet a permis de classer correctement un nombre suffisant de copies satisfaisantes. Les questions de fin de sujet, en particulier dans la partie 2.3 et 2.4, ont été traitées avec succès par un très faible nombre de candidats. Le jury insiste sur la lecture attentive de l'énoncé, la justification systématique des réponses et le soin apporté à la présentation et aux schémas.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Erreur de signe sur un résultat de coursQ1
Le résultat attendu à la première question, pourtant classique, contient une erreur de signe fréquente et sa justification est souvent manquante ou incomplète.
2
Oubli du facteur 1/2 dans l'énergie d'interactionQ3
La moitié seulement des candidats pensent à introduire le facteur 1/2 devant la somme pour éviter de compter deux fois l'énergie d'interaction de chaque paire de charges, ce qui fausse toutes les questions suivantes de la partie.
3
Trouble face à une énergie infinieQ11
L'obtention d'une énergie infinie dans le calcul a troublé une partie des candidats.
« L'obtention d'une énergie infinie a troublé une partie des candidats. »
4
Loi physique élémentaire délaisséeQ27
La seconde partie de la question ne demandait qu'une compréhension modérée de la troisième loi de Newton, mais a été trop peu traitée.
« qui ne nécessitait qu'une compréhension modérée d'une loi physique élémentaire »
5
Application directe du théorème d'Ampère peu traitéeQ50
Peu de candidats ont répondu à cette question pourtant simple, qui n'était qu'une application directe du théorème d'Ampère.
« Peu de candidats ont répondu à cette question qui ne nécessitait qu'une compréhension modérée d'une loi physique élémentaire. »
6
Incompatibilité électromagnétisme/relativité mal justifiéeQ57
Parmi les rares candidats ayant atteint cette question de fin de sujet, seule une petite minorité l'a traitée correctement, notamment à cause du signe du vecteur vitesse de l'électron.
« Parmi les candidats qui sont allés jusqu'à cette partie, seule une petite minorité a répondu correctement à cette question. »

Ce qui a été bien réussi

La progressivité du sujet a permis de classer correctement un nombre suffisant de copies satisfaisantes malgré le grand nombre de copies de faible niveau.
Déterminer les modifications des énergies n'a pas posé de problème à la plupart des candidats.
La question 15, de raisonnement sans développement calculatoire, a été plutôt bien traitée.

Conseils du jury

Lire attentivement l'énoncé complet de chaque question pour éviter les réponses hors sujet.
Justifier systématiquement chaque réponse par un raisonnement ou une loi physique, sans pour autant écrire une justification trop longue.
Soigner la présentation, l'écriture et surtout les schémas, qui doivent être propres et de taille lisible.
S'en tenir aux notations définies par l'énoncé plutôt qu'à des notations personnelles non définies.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

62 questions

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Sujet en PDF

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2025

JEUDI 17 AVRIL 2025 08h00-14h00

FILIERE PC - Epreuve

n^\circ7

PHYSIQUE C (U)

Autour de l'énergie électromagnétique

Cette épreuve propose d'étudier l'énergie électromagnétique de distributions de charges et de courants. On essaiera notamment de déterminer l'énergie de telles distributions à partir des travaux nécessaires pour les mettre en place, et de relier les différentes formulations possibles de ces énergies. On s'interrogera également sur la signification physique de l'énergie propre de telles distributions, en lien avec les différents modèles microscopiques utilisés pour décrire ces distributions.

Le sujet est divisé en deux parties largement indépendantes l'une de l'autre, la première traitant de l'énergie de distributions de charges en électrostatique et la deuxième traitant de l'énergie de distributions de courants dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS). Ces deux parties ont cependant été pensées pour être effectuées dans l'ordre, et les candidats sont encouragés à procéder ainsi.

Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. Dans le cas où un(e) candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il (elle) le signale lisiblement sur sa copie, propose la correction et poursuit l'épreuve en conséquence.

La plus grande importance doit être accordée à la qualité de la rédaction et de la présentation. Certaines questions, marquées par une étoile (*), requièrent une réflexion plus poussée de la part des candidats, sans être nécessairement plus calculatoires. Elles seront valorisées en conséquence, même si le raisonnement est inachevé. Les réponses doivent être clairement argumentées, en s'appuyant si nécessaire sur des schémas, tout en restant aussi concises que possible.

Formulaire

Analyse vectorielle et intégrales utiles

On désigne par :
$⋆gradφ$ le gradient d'un champ scalaire $φ$ ,
$⋆divX⃗$ la divergence d'un champ vecteur $X⃗$ ,
$⋆$ rot $X⃗$ le rotationnel d'un champ vecteur $X⃗$ .
Pour $φ$ et $X⃗$ des champs scalaire et vecteur quelconques:
$⋆rot^(\to-)(grad^(\to-)φ) = 0\to$ ,
$⋆div(rotX⃗) = 0$ .
Notant $r⃗_(AB) = r⃗_B - r⃗_A$ , le gradient de $1/r_(AB)$ vaut:

grad_B(1/(r_(AB))) = - (r⃗_(AB))/(r_(AB)^3) en faisant varier r⃗_B, donnant: d(1/(r_(AB))) = grad_B(1/(r_(AB))) \cdot dr⃗_B,; grad_A(1/(r_(AB))) = (r⃗_(AB))/(r_(AB)^3) en faisant varier r⃗_A, donnant: d(1/(r_(AB))) = grad_A(1/(r_(AB))) \cdot dr⃗_A.

Pour $φ, X⃗$ et $Y⃗$ des champs scalaire et vecteurs quelconques:

div(φX⃗) = φ(divX⃗) + (gradφ) \cdot X⃗; div(X⃗ \land Y⃗) = Y⃗ \cdot (rotX⃗) - X⃗ \cdot (rotY⃗)

— Le produit mixte de trois vecteurs

X⃗, Y⃗

Z⃗

possède les propriétés suivantes:

(X⃗ \land Y⃗) \cdot Z⃗ = (Z⃗ \land X⃗) \cdot Y⃗ = - (X⃗ \land Z⃗) \cdot Y⃗

Dans tout le sujet, on note $dτ_(r⃗)$ les éléments de volume dans les intégrales, où l'indice $r⃗$ repère des éléments de volume $dτ$ sur lesquels l'intégration est effectuée. On repère similairement $dS⃗_(r⃗)$ et $dl⃗_(r⃗)$ les éléments de surface et de longueur, respectivement.
On rappelle les formulations des intégrales sur tout l'espace en coordonnées cartésiennes ( $x, y, z$ ), cylindriques ( $r, θ, z$ ), et sphériques ( $r, θ, φ$ ) :

∭F(r⃗)dτ_(r⃗), = ∭_(x, y, z = - \infty)^(x, y, z = + \infty)F(x, y, z)dx dy dz; = \int_(r = 0)^(+ \infty)\int_(θ = 0)^(2π)\int_(z = - \infty)^(+ \infty)F(r, θ, z)r dr dθ dz; = \int_(r = 0)^(+ \infty)\int_(θ = 0)^π\int_(φ = 0)^(2π)F(r, θ, φ)rsinθ dr dθ dφ

On a:

∭(r⃗ \cdot (r⃗ + n⃗))/(r^3|r⃗ + n⃗|^3) dτ_(r⃗) = 4π

où l'intégrale est effectuée sur tout l'espace et

n⃗

est un vecteur unitaire quelconque, et

\int_0^π sin^3 θdθ = 4/3

Symétries et propriétés à grande distance des champs $E⃗$ et $B⃗$

On rappelle quelques propriétés des champs électrique

E⃗(r⃗)

et magnétique

B⃗(r⃗)

créés par des distributions de charges

ρ(r⃗)

et de courants

j⃗(r⃗)

. On note également

V(r⃗)

le potentiel électrique.

Symétries des champs par rapport aux charges et courants :
$⋆$ les plans de symétrie de $ρ$ et $j⃗$ sont de symétrie pour $E⃗$ et d'antisymétrie pour $B⃗$ ,
$⋆$ les plans d'antisymétrie de $ρ$ et $j⃗$ sont d'antisymétrie pour $E⃗$ et de symétrie pour $B⃗$ .
Soit $z = 0$ un plan de symétrie du champ $X⃗(r⃗)$ dans un repère cartésien ( $x, y, z$ ), on a :

X⃗_N(x, y, z) = - X⃗_N(x, y, - z); X⃗_T(x, y, z) = X⃗_T(x, y, - z)

où

X⃗_N

X⃗_T

sont les composantes normale et tangentielle de

X⃗

par rapport à ce plan. Pour

z = 0

, on a

X⃗_N = 0\to

, et

X⃗(x, y, 0)

est donc contenu dans le plan de symétrie.

Soit $z = 0$ un plan d'antisymétrie du champ $X⃗(r⃗)$ dans un repère cartésien ( $x, y, z$ ), on a :

X⃗_N(x, y, z) = X⃗_N(x, y, - z); X⃗_T(x, y, z) = - X⃗_T(x, y, - z)

où

X⃗_N

X⃗_T

sont les composantes normale et tangentielle de

X⃗

par rapport à ce plan. Pour

z = 0

, on a

X⃗_T = 0\to

, et

X⃗(x, y, 0)

est donc perpendiculaire au plan de symétrie.

On considère les champs à grande distance de distributions finies de charges et de courants, de charge totale $Q$ . En électrostatique, magnétostatique, et dans l'Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS), on a :
$⋆$ si $Q \neq 0, E⃗$ et $V$ décroissent respectivement en $r^(- 2)$ et $r^(- 1)$ ,
$⋆$ si $Q = 0, E⃗$ et $V$ décroissent respectivement au moins en $r^(- 3)$ et $r^(- 2)$ ,
$⋆$ quelle que soit $Q, B⃗$ décroît au moins en $r^(- 3)$ .
Discontinuité des champs électriques et magnétiques :
$⋆$ les champs $E⃗$ ne sont pas définis sur une distribution surfacique de charges,
$⋆$ les champs $B⃗$ ne sont pas définis sur une distribution linéique de courants.

Constantes fondamentales

Vitesse de la lumière $c = 3, 0 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)$
Constante de Planck $h = 6, 6 \times 10^(- 34) J \cdot s$
Permittivité diélectrique du vide $ε_0 = 8, 9 \times 10^(- 12) F \cdot m^(- 1)$
Perméabilité magnétique du vide $μ_0 = 1, 3 \times 10^(- 6) T \cdot m \cdot A^(- 1)$
Masse de l'électron $m_e = 9, 1 \times 10^(- 31) kg$
Charge élémentaire $e = 1, 6 \times 10^(- 19)C$

On rappelle que

μ_0 ε_0 c^2 = 1

Première partie Énergie électrostatique

On étudie dans cette partie l'énergie de systèmes électrostatiques à l'équilibre, ou en déplacements quasi-statiques. On négligera donc tout effet lié aux champs magnétiques. Sauf mention contraire, on n'étudiera que des systèmes d'extension spatiale finie. Par convention, on considérera que l'énergie d'interaction électrostatique entre deux systèmes d'extension spatiale finie tend vers zéro quand la distance entre ceux-ci tend vers l'infini.

1.1 Énergie d'un système de charges ponctuelles

On rappelle que la force de Coulomb d'une charge

q_1

sur une charge

q_2

s'écrit

F_(1 \to 2)^(\to-) = (q_1 q_2)/(4πε_0)(r_(12)^(\to-))/(r_(12)^3),

où

r_(12)^(\to-)

est le vecteur repérant la position de

q_2

par rapport à celle de

q_1

.
1 - On considère un système de deux charges

q_1

q_2

. La charge

q_1

étant fixe, on déplace

q_2

de façon quasi-statique à partir de l'infini jusqu'à une distance

r_(12)

. Calculer l'énergie potentielle d'interaction électrostatique

U_(12)

associée au travail de

q_1

sur

q_2

, que l'on exprimera en fonction de

q_1, q_2, r_(12)

ε_0

2 - On considère à présent la charge

q_2

fixe, et on déplace

q_1

. Déterminer la force

F_2 \to 1^(\to-)

dérivant de l'énergie potentielle obtenue précédemment. Cette énergie potentielle décrit-elle complètement l'interaction électrostatique entre les deux charges?

3 - En déduire le facteur

a

tel que l'énergie électrostatique

U_q

d'un système

S_q = {q_i}_(1 ≤ i ≤ N)

N

charges s'écrive

U_q = a\sum_(i \neq j)q_j V_(i \to j),

où la somme est prise sur toutes les paires possibles d'indices

i

j

entre 1 et

N

telles que

i \neq j

, et où l'on définira

V_(i \to j)

. Quel signe peut avoir cette énergie?

Par la suite, on parlera de l'énergie électrostatique propre U d'un système S, ou simplement de son énergie électrostatique, pour décrive l'énergie électrostatique totale de ce système. On parlera également de l'énergie d'interaction électrostatique

U^(1 \leftrightarrow 2)

entre deux systèmes

S_1

S_2

pour décrire les interactions électrostatiques entre les constituants de ces systèmes.

4 - On prend un système de quatre charges

S_q = {q_1, q_2, q_3, q_4}

que l'on décompose en deux sous-systèmes

S_q^α = {q_1, q_2}

S_q^β = {q_3, q_4}

. Décomposer l'énergie électrostatique

U_q

du système

S_q

en l'énergie propre

U_q^α

U_q^β

de chaque sous-système et l'énergie d'interaction

U_q^(α \leftrightarrow β)

entre les deux sous-systèmes. On exprimera ces énergies en fonction des charges

q_i

et des potentiels

V_(i \to j)

définis à la question précédente.

5 - On généralise à présent au cas de deux systèmes

S_q^α

S_q^β

contenant respectivement

N_α

N_β

charges

{q_i}_(1 ≤ i ≤ N_α)

{q_j}_(1 ≤ j ≤ N_β)

. En vous appuyant sur la question précédente, montrer que l'on peut écrire l'énergie d'interaction

U_q^(α \leftrightarrow β)

entre

S_q^α

S_q^β

sous la forme

U_q^(α \leftrightarrow β) = b\sum_(j \in S_q^β)q_j V_(α \to j)

avec

b

un facteur numérique à déterminer et

V_(α \to j)

un potentiel que l'on définira. Obtenir un résultat similaire écrit uniquement à partir d'un potentiel

V_(β \to i)

, que l'on définira.

1.2 Formulations intégrales de l'énergie électrostatique

Pour un système

S_ρ

composé d'une distribution continue de charges

ρ(r⃗)

, on propose la formulation intégrale suivante de l'énergie électrostatique propre :

U_ρ = 1/2∭ρ(r⃗)V_ρ(r⃗)dτ_(r⃗),

où

V_ρ(r⃗)

est le potentiel créé en

r⃗

par la distribution

S_ρ

. Cette intégrale s'étend sur le support de la distribution de

ρ

, mais peut être de façon équivalente considérée sur tout l'espace.

6 - Pour un système

S_ρ

composé de deux sous-systèmes

S_ρ^a

S_ρ^β

, de distributions de charges

ρ_a(r⃗)

ρ_β(r⃗)

, et créant respectivement des potentiels

V_a(r⃗)

V_β(r⃗)

, décomposer l'énergie électrostatique

U_ρ

du système

S_ρ

en l'énergie propre

U_ρ^α

U_ρ^β

de chaque soussystème et l'énergie d'interaction

U_ρ^(α \leftrightarrow β)

entre les deux sous-systèmes.

Dans la suite, on admettra que l'énergie d'interaction électrostatique entre deux systèmes

S_ρ^α

S_ρ^β

peut aussi s'écrire :

U_ρ^(α \leftrightarrow β) = ∭ρ_a(r⃗)V_β(r⃗)dτ_(r⃗) = ∭ρ_β(r⃗)V_a(r⃗)dτ_(r⃗)

L'égalité entre ces termes est parfois appelé le théorème de réciprocité en électrostatique.
7 - Voyez-vous une différence entre les formulations

U_q

U_q^(α \leftrightarrow β)

obtenues pour des systèmes de charges ponctuelles, et celles

U_ρ

U_ρ^(α \leftrightarrow β)

obtenues pour des distributions continues de charges?

8 - Déterminer et commenter les modifications de

U_ρ

U_ρ^(α \leftrightarrow β)

si le potentiel électrostatique est redéfini à une constante

ΔV

près. On pourra introduire les charges totales

Q, Q_α

Q_β

contenues dans les systèmes

S_ρ, S_ρ^a

S_ρ^β

9 - À partir de l'équation (11), que l'on écrira comme une intégrale sur tout l'espace, montrer que l'on peut écrire l'énergie électrostatique de tout système

S_ρ

d'extension spatiale finie sous la forme

U_(es) = ∭1/2ε_0 E⃗^2(r⃗)dτ_(r⃗),

où

E⃗(r⃗)

est le champ électrostatique créé par ce système, et où l'intégrale est prise sur tout l'espace.

10 - Commenter le signe de cette énergie. Comment expliquer la différence avec le résultat obtenu pour des charges ponctuelles? Le signe de cette énergie permet-il d'avoir une interaction attractive entre systèmes électrostatiques?

11 - Calculer l'énergie électrostatique

U_(es)

d'un système composé d'une unique charge ponctuelle q. Commenter sur la possibilité d'utiliser les formulations des équations (11) et (13) pour décrire un système de charges ponctuelles.

12 - On considère un système de deux charges ponctuelles

q_1

q_2

aux positions

r_1\to

r_2\to

par rapport à une origine

O

. En utilisant l'équation (13), décomposer l'énergie électrostatique totale

U_(es)

de ce système de charges en des termes d'énergie propre et d'énergie d'interaction. Calculer la ou les intégrales non-divergentes, pour obtenir un résultat que l'on mettra sous la forme la plus simple possible, et qui dépendra de

q_1, q_2, ε_0

r_(12) = |r_2\to - r_1\to|

. Commenter.

1.3 Énergie électrostatique et grandeurs nivelées

Pour éviter d'avoir des divergences, et pour permettre une modélisation continue, on décrit généralement les distributions de charges avec des grandeurs nivelées. Partant d'une distribution de N charges ponctuelles

{q_i}_(1 ≤ i ≤ N)

situées aux positions

{r⃗_i}_(1 ≤ i ≤ N)

, la distribution de charges nivelées est définie à l'aide d'une fonction fenêtre

f(r⃗)

ρ(r⃗) = \sum_(i = 1)^N q_i f(r⃗ - r_i\to).

Par la suite, on suppose que

f(r⃗)

est positive et vérifie:

∭f(r⃗)dτ_(r⃗) = 1

où l'intégrale est prise sur tout l'espace. On supposera également que

f(r⃗)

est à symétrie sphérique, et qu'elle ne prend des valeurs non-nulles que jusqu'à une distance

R

de son centre.

13 - Représenter graphiquement le passage d'une distribution de charges ponctuelles à une distribution de charges nivelées. Quelle est la charge totale contenue dans

ρ

14 - Écrire explicitement la fonction

f(r⃗)

pour une charge nivelée de manière homogène sur une boule de rayon

R

Par la suite, on notera

ρ_(q_i)

la distribution de charge nivelée associée à une charge

q_i

, que l'on repérera par la position

r⃗_i

de son centre.

15* - Montrer que le potentiel électrique créé par une distribution de charges d'extension spatiale finie, et telle qu'il existe

ρ_M

vérifiant

|ρ(r⃗)| < ρ_M

pour tout

r⃗

, est de valeur finie en tout point.

16 - En déduire que l'énergie électrostatique d'une distribution contenant une quantité finie de charges nivelées ne diverge pas.

L'utilisation de grandeurs nivelées permet donc d'éviter les divergences apparaissant avec des charges ponctuelles. Dans les questions suivantes, on étudie comment l'énergie électrostatique est modifiée en travaillant avec de telles grandeurs plutôt qu'avec des charges ponctuelles.

17 - Calculer l'énergie électrostatique propre

U_(B_R)

d'une charge ponctuelle

q

nivelée, pour une fenêtre

f(r⃗)

qui correspond à une boule homogène de rayon

R

. On exprimera cette énergie en fonction de

q, ε_0

R

18 - En relativité, on associe une énergie à toute masse, par la formule

E = mc^2

. En modélisant l'électron comme une boule homogène, et en supposant que toute la masse d'un électron est due à son énergie électrostatique, quel serait son rayon

r_e

? On tiendra compte pour cela du champ électrique à l'intérieur comme à l'extérieur de l'électron. On entend généralement que la description classique d'un électron n'est plus valide en dessous de ce rayon. À cette échelle, a-t-on déjà atteint d'autres limitations de la physique classique?

19* - On considère à présent deux charges nivelées

q_1

q_2

, séparées par une distance

r_(12) = |r⃗_2 - r⃗_1|

. Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires poussés, expliquer pourquoi l'énergie d'interaction électrostatique

U_(12)

entre ces deux charges nivelées est la même que celle obtenue sans le nivellement, tant que les deux supports nivelés de

ρ_(q_1)

ρ_(q_2)

ne se recoupent pas.

20* - On étudie à présent la situation où les deux charges nivelées s'interpénètrent. On se place dans le cas où les deux charges

q_1

q_2

sont de signes opposés, et où la fonction fenêtre correspond à une boule homogène de rayon

R

. Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires poussés, mais pouvant reposer sur des schémas, montrer que l'énergie d'interaction

U_(12)

entre les charges est une fonction décroissante de la distance

r_(12)

entre leurs centres, et que la configuration d'énergie minimum est celle où ces deux charges sont superposées. On note

U_(12)^m

la valeur absolue de l'énergie associée à cette configuration.

21 - On admet que le résultat de la question précédente est valable pour toute fenêtre vérifiant

f(r⃗) ⩾ 0

. Tracer un graphique représentatif de l'énergie d'interaction

U_(12)

entre deux charges ponctuelles ou nivelées en fonction de la distance

r_(12)

entre leurs centres, en y faisant apparaitre les grandeurs pertinentes. On considérera les cas où

q_1 q_2 < 0

q_1 q_2 > 0

22 - Expliquer pourquoi l'introduction de grandeurs nivelées revient à introduire une distance effective minimale

r_(min)

entre charges. Calculer cette distance minimale pour

|q_2| = |q_1|

, lorsque

f(r⃗)

correspond à une boule homogène.

1.4 Étude d'un système de sphères concentriques

On considère deux conducteurs sphériques

S^a

S^b

concentriques, de rayons

R^a

R^b

vérifiant

R^a < R^b

, et de charges respectives

Q^a

Q^b

. Ces charges sont réparties de façon homogène sur les sphères. Pour toute cette section, on se place en coordonnées sphériques centrées sur le centre des sphères étudiées.

On veut décomposer l'énergie électrostatique du système en la somme de l'énergie propre de chaque sphère et de l'énergie d'interaction électrostatique entre les deux sphères. Pour calculer ces énergies, on va étudier les travaux mis en jeu lorsque les deux sphères changent de rayon, avant de faire une comparaison avec les résultats obtenus en utilisant la formulation de l'énergie électrostatique introduite dans l'équation (13).

Figure 1 - Vue de coupe de l'élément

Σ

sur la sphère

S

, avec en pointillés le reste

Σ¯

de la sphère. Les points

P, P^-

P^+

ont également été représentés.

On considère pour commencer une sphère seule

S

, de rayon

R

, de densité surfacique de charges

σ

, et de charge totale

Q

. On commence par calculer directement le travail fourni par la sphère sur elle-même lorsqu'elle change de rayon. Cela est cependant rendu difficile par le fait que le champ électrique créé par une distribution surfacique de charges diverge sur cette même surface.

Pour résoudre ce problème, on considère un élément

Σ

de la sphère, de la forme d'un carré de centre

P

, de côté

b

négligeable par rapport à

R

, et que l'on peut donc considérer comme plan. On va calculer la force exercée par le reste de la sphère

Σ¯

sur cet élément, en faisant l'hypothèse que le champ
électrique

E⃗_(Σ¯)

créé par

Σ¯

est homogène sur

Σ

, et peut donc être évalué en

P

. On note également

E⃗_S

E⃗_Σ

les champs créés par

S

Σ

, respectivement.

On se place en coordonnées sphériques avec pour origine le centre de

S

, et on définit les trois points

P, P^-

P^+

, alignés sur un même rayon, et situés respectivement aux distances

r = R, r = R - ε

r = R + ε

du centre de

S

. Ces trois points sont donc respectivement dans, en dessous et au dessus de

Σ

(voir Figure 1).

23 - En procédant par étapes, calculer la valeur du champ électrique créé par

Σ¯

P

:
a) Calculer le champ

E⃗_S

créé par

S

P^-

, puis en

P^+

.
b) Sans effectuer un calcul explicite, montrer que l'on peut déterminer un facteur numérique

α

tel que

E⃗_Σ(P^-) = αE⃗_Σ(P^+)

. Quelle est la valeur du champ créé par

Σ

P

?
c) En considérant la limite

ε \to 0

, en déduire la valeur du champ

E⃗_(Σ¯)

créé par

Σ¯

P

, que l'on exprimera en fonction de

R, Q

ε_0

24 - En ne considérant pour chaque élément

Σ

S

que la force exercée par

Σ¯

sur celui-ci, en déduire que la sphère exerce sur elle-même une force qui peut être décrite comme une force de pression, qui vaut, sur un élément

dS⃗

orienté vers l'extérieur,

dF⃗ = P_(es) dS⃗,

où l'on exprimera

P_(es)

en fonction de

σ

ε_0

. Commenter le sens de cette force en fonction du signe de la charge totale

Q

25 - À partir du travail

W

fourni par la sphère sur elle-même lors d'une transformation quasi-statique l'amenant d'un rayon

R_1

à un rayon

R_2

, calculer la variation d'énergie propre

ΔU

associée. En déduire l'énergie électrostatique

U_S(R)

d'une sphère de rayon

R

, en supposant que cette énergie tend vers zéro lorsque

R \to \infty

. On écrira cette énergie en fonction de

R, Q

ε_0

26 - On revient à présent à l'étude des deux sphères

S^a

S^b

. La sphère intérieure

S^a

étant de rayon

R^a

fixé, calculer le travail

W_(a \to b)

qu'elle fournit à la sphère extérieure

S^b

lorsque cette dernière passe de façon quasi-statique d'un rayon

R_1^b

à un rayon

R_2^b

. On écrira ce travail en fonction de

Q^a, Q^b, ε_0

et des rayons en question.

27 - La sphère extérieure

S^b

étant de rayon

R^b

fixé, calculer le travail

W_(b \to a)

qu'elle fournit à la sphère intérieure

S^a

lorsque celle-ci passe de façon quasi-statique d'un rayon

R_1^a

à un rayon

R_2^a

. Ce résultat est-il en contradiction avec la troisième loi de Newton, ou principe des actions réciproques?

28 - Des résultats précédents, déduire l'énergie

U_(tot)

de l'ensemble des deux sphères conductrices pour une configuration donnée où

R^b > R^a

, que l'on exprimera en fonction de

Q^a, Q^b, ε_0

et des rayons en question. Que peut-on dire de son signe?

29 - Comparer avec le résultat obtenu en utilisant l'équation (13), pour

Q_a = Q = - Q_b

.
30* - Quelle est la limite de cette énergie quand

R_a

R_b

tendent vers l'infini? Ce résultat est-il compatible avec le fait de prendre en compte l'énergie propre des charges individuelles composant ces sphères? On pourra revenir sur une ou plusieurs des hypothèses effectuées dans cette partie. La réponse à cette question, qui pourra utiliser des résultats obtenus précédemment, ne demande pas de développements calculatoires poussés.

Deuxième partie

Énergie magnétique

On étudie dans cette partie l'énergie de distributions de courants dans des circuits conducteurs nonmagnétiques. Sauf mention contraire, on n'étudiera que des systèmes d'extension spatiale finie. Par convention, on considérera que l'énergie d'interaction magnétique entre deux systèmes d'extension spatiale finie tend vers zéro quand la distance entre ceux-ci tend vers l'infini.

Dans toute cette partie, on se place également dans l'approximation des Régimes Quasi-Stationnaire (ARQS) magnétique. Dans cette approximation, les équations de Maxwell prennent la forme suivante :

divE⃗ = ρ/(ε_0), rotE⃗ = - (\partialB⃗)/(\partialt), divB⃗ = 0, rotB⃗ ≃ μ_0 j⃗.

On a également

divj⃗ = 0,

et l'on supposera que l'on peut décomposer toute distribution volumique de courants en une somme continue de distributions filiformes à courant constant.

2.1 Travail des forces de Laplace et théorème de Maxwell

On cherche à estimer l'énergie associée à une distribution de courants dans un champ magnétique. Pour ce faire, on commence par suivre le même raisonnement que dans le début de la partie précédente, en étudiant le travail reçu par un élément de circuit parcouru par un courant lorsqu'il est déplacé dans un champ magnétique.

31 - On considère un circuit filiforme orienté

C

, parcouru par un courant constant

I

et déplacé dans un champ magnétique

B⃗

. On considère un élément

dl⃗

de ce circuit, soumis à un déplacement

du⃗

. Montrer que le travail élémentaire de la force de Laplace sur cet élément pour ce déplacement vaut

δw_L = IB⃗ \cdot (du⃗ \land dl⃗).

32 - À l'aide d'un schéma, identifier

du⃗ \land dl⃗

à un élément de surface

dS⃗

. En déduire que le travail des forces de Laplace sur le circuit

C

lors d'une translation élémentaire d

u⃗

vaut

δW_L = I dΦ_c,

où

dΦ_c

est un flux infinitésimal de champ magnétique sur une surface

dΣ_c

que l'on représentera graphiquement. Préciser explicitement sur le schéma l'orientation des vecteurs

dS⃗

33 - On suppose que le circuit

C

, parcouru par un courant constant

I

, subit un déplacement entre une position initiale à

t_(ini)

et une position finale à

t_(fin)

. Si l'on ne fixe aucune contrainte sur le champ magnétique

B⃗(r⃗, t)

:
a) L'intégration sur cette trajectoire du travail élémentaire précédent peut-elle être exprimée uniquement à partir des positions initiale et finale du circuit?
b) Peut-elle être exprimée sinon à partir de la donnée de la trajectoire géométrique du circuit entre ces deux positions?
c) Qu'en est-il si l'intensité

I

parcourant le circuit varie avec le temps?

34 - On suppose à présent que le circuit

C

effectue un déplacement à courant

I

toujours constant, mais dans un champ

B(r⃗)

stationnaire. Montrer que le travail des forces de Laplace pour un déplacement fini correspond à

W_L = ηIΔΦ,

où

ΔΦ = Φ_(fin) - Φ_(ini)

est la variation de flux de

B⃗

à travers le circuit

C

, entre ses configurations initiale et finale, notées

C_(ini)

C_(fin)

, et

η

est un facteur numérique à déterminer. On s'appuiera en particulier sur un schéma où l'on fera apparaître clairement les différentes grandeurs introduites. Ce résultat constitue le théorème de Maxwell.

35 - En déduire l'énergie potentielle d'interaction

U_I

d'un circuit

C

parcouru par un courant

I

constant dans un champ

B(r⃗)

stationnaire. Que peut-on en déduire sur les déplacements spontanés d'un circuit rigide à courant constant dans un champ magnétique stationnaire? Cette conclusion est-elle valide a priori pour des circuits non-rigides?

On va vérifier la validité du théorème de Maxwell sur des cas simples. On considère pour cela un solénoüde

S

de longueur

L

grande devant son rayon

R

, et bobiné avec

n

spires par unité de longueur, parcourues par un courant

I_0

. On se place dans un repère cartésien

(x, y, z)

tel que l'axe

(O, e⃗_z)

est l'axe de symétrie de révolution du solénoïde. Le champ magnétique que celui-ci génère peut être approximé dans la suite, sauf mention contraire explicite, par celui d'un solénoïde infiniment long. On rappelle que le champ magnétique créé par un tel solénoïde est nul à l'extérieur de celui-ci, et vaut en son intérieur:

B_0^(\to-) = B_0 e_z\to = μ_0 nI_0 e_z\to

On commence par étudier le travail que reçoit une spire rigide carrée, de côté a, au cours de ses déplacements à l'intérieur du solénoïde. On suppose que cette spire, parcourue par un courant constant

I_s

, est disposée initialement dans le plan (

x, y

), centrée sur l'axe de symétrie du solénoïde, et de telle façon que le flux magnétique du champ du solénoïde à travers cette spire soit positif. On considère deux trajectoires, en supposant que la spire reste à l'intérieur du solénoïde :
A1 : la spire subit une translation dans le plan

(x, y)

.
A2 : la spire subit une rotation autour d'une droite passant par son centre et alignée avec l'axe

y

, jusqu'à se trouver dans le plan (

y, z

36 - Calculer le travail des forces de Laplace sur la spire dans le cas A1, et le comparer au travail prédit par le théorème de Maxwell.

37 - Calculer le travail des forces de Laplace sur la spire dans le cas A2, et le comparer au travail prédit par le théorème de Maxwell. On pourra utiliser sans la redémontrer, mais en justifiant sa validité, l'expression

Γ⃗_L = M^(\to-) \land B⃗_0

du couple subi par un dipôle magnétique

M^(\to-)

dans un champ uniforme

B⃗_0

. On pourra également accompagner les calculs d'un schéma.

On considère à présent une variation du rayon

R

du solénoïde

S

introduit précédemment, tout en gardant fixes ses paramètres

n

I_0

. On souhaite calculer le travail qu'il reçoit sous sa propre action lors de cette déformation. Cela est rendu difficile par le fait que lorsqu'on évalue le travail reçu par chaque élément de circuit sous l'action du champ magnétique, il faut exclure l'effet du champ magnétique généré par cet élément de circuit lui-même.

Pour étudier ce problème, on va procéder de façon similaire à ce qui a été fait dans la section 1.4 pour l'étude du travail d'une sphère chargée sur elle-même. On considère donc un élément

Σ

du solénoïde,
de la forme d'un carré de centre

P

, de côté

b

négligeable devant

R

, et que l'on peut considérer comme plan. On va alors calculer la force exercée par le reste du solénoïde

Σ¯

sur cet élément, en supposant que le champ magnétique

B⃗_Σ

créé par

Σ¯

est homogène sur

Σ

, et peut donc être évalué en

P

. On note

B⃗_S

B⃗_Σ

les champs créés par

S

Σ

, respectivement. On décrira les courants dans l'élément

Σ

comme ceux d'un ensemble de fils parallèles d'épaisseur négligeable.

Par la suite, on pourra utiliser un jeu de coordonnées cylindriques

(r, θ, z)

où l'axe

(O, e⃗_z)

reste l'axe de symétrie de révolution du solénoïde.

38* - En vous appuyant notamment sur des schémas clairs, faisant apparaître explicitement les différents éléments du raisonnement, calculer la valeur du champ magnétique

B⃗_Σ

créé par

Σ¯

au point

P

39 - En déduire que le solénoïde exerce sur lui-même une force qui peut être décrite comme une force de pression, qui vaut sur un élément

dS⃗

orienté vers l'extérieur :

dF⃗ = P_(ms) dS⃗,

où l'on exprimera

P_(ms)

en fonction des paramètres pertinents du système. Commenter le sens de cette force en fonction du signe du courant

I_0

40 - En déduire le travail reçu par le solénoïde sous sa propre action lorsqu'il passe de façon quasi-statique d'un rayon

R

à un rayon

2R

. Comparer ce résultat à celui obtenu par le théorème de Maxwell. Si ceux-ci ne sont pas en accord, proposer une justification.

2.2 Énergie d'une distribution volumique de courants

Pour estimer l'énergie magnétique associée à une distribution de courants dans un cadre général

d^' ARQS

, on va procéder différemment de la section précédente. Plutôt que de considérer le travail exercé sur des circuits dans lesquels circule déjà un courant, on va étudier le travail reçu par les charges mobiles de ces circuits lors de l'établissement d'une distribution de courants. Cela requiert d'effectuer un bilan énergétique précis.

41 - Une distribution de courants d'extension spatiale finie peut-elle rayonner de l'énergie dans l'ARQS magnétique?

On considère un système

D

de charge totale nulle et d'extension spatiale finie, constitué d'un ensemble de circuits conducteurs fixes, non-magnétiques, et pouvant être parcourus par un courant. On note

ρ_e

la densité de porteurs de charges mobiles, que l'on supposera être uniquement des électrons de charge

- e

. On note également

j⃗ = ρ_e v⃗_e

le vecteur densité de courant associé au déplacement de ces électrons, de vitesse moyenne

v⃗_e

. On suppose qu'à

t \leq 0

, aucun courant ne circule dans le système. Le système

D

étant plongé dans un champ électromagnétique

(E⃗, B⃗)

, on établit progressivement une distribution de courants jusqu'à atteindre un état stationnaire pour

t \geq T

, où les courants sont constants. On veut faire un bilan de l'énergie fournie à la distribution de charges entre les instants

t = 0

t = T

. À l'instant

t = 0

, où toutes les charges sont au repos, on prend comme convention une énergie totale nulle pour ces charges.

42 - Montrer que la puissance totale fournie à chaque instant à la distribution de charges par le champ électromagnétique s'écrit

P = ∭_D j⃗(r⃗) \cdot E⃗(r⃗)dτ_(r⃗).

Montrer que la contribution de la composante électrostatique du champ

E⃗

à cette puissance est nulle. Quelle autre composante du champ électrique peut avoir une contribution nonnulle?

43 - On considère un volume sphérique

V_R

fixe, de rayon

R

, délimité par la sphère

Σ_R

, de normales dirigées vers l'extérieur. Le volume

V_R

est défini de telle façon qu'il contienne le système

D

. Montrer que l'on a, à tout instant,

∯ d/(dt)∭_(V_R)(B⃗^2(r⃗))/(2μ_0) dτ_(r⃗) = - ∯ _(Σ_R)π⃗(r⃗) \cdot dS⃗_(r⃗) - ∭_D j⃗(r⃗) \cdot E⃗(r⃗)dτ_(r⃗)

où

π⃗

est le vecteur de Poynting, dont on donnera la définition.
44 - En déduire que l'énergie magnétique totale stockée dans le système de courants pour

t > T

s'écrit:

U_(ms) = ∭(B⃗^2(r⃗))/(2μ_0) dτ_(r⃗)

où l'intégrale est prise sur tout l'espace.
45 - On considère à nouveau le solénoïde introduit dans la section précédente. Calculer la variation d'énergie magnétique quand celui-ci passe d'un rayon

R

à un rayon

2R

. Commenter.

46 - On considère à présent un système

S_j

constitué d'un ensemble

S_j^a

de distributions de courants. Identifier dans l'énergie magnétique

U_(ms)

S_j

les contributions

U_j^a

d'énergies propres de chaque distribution, et les contributions

U_j^(a \leftrightarrow b)

d'énergies d'interaction entre distributions. Commenter le signe de chaque énergie.

2.3 Énergie d'un ensemble de circuits filiformes

On considère à présent un ensemble de circuits filiformes fermés

C_a

, modélisés par des contours orientés

Γ_a

parcourus par des courants

I_a

. On veut exprimer l'énergie magnétique de ce système à partir des courants parcourant ces circuits, et de leurs flux magnétiques. Le flux magnétique

Φ_a

à travers un circuit

C_a

est défini sur une surface

Σ_a

reposant sur le contour

Γ_a

, non-nécessairement plane, et d'orientation compatible avec celle de

Γ_a

Φ_a = \iint_(Σ_a)B⃗(r⃗) \cdot dS⃗_(r⃗)

où

B⃗(r⃗)

est le champ magnétique total. On définit similairement le flux magnétique créé par un circuit au travers d'un autre :

Φ_(a \to b) = \iint_(Σ_b)B_a^(\to-)(r⃗) \cdot dS⃗_(r⃗)

où

B⃗_a

désigne le champ magnétique créé par le circuit

C_a

. On souligne que

Φ_(a \to a)

ne correspond pas forcément à

Φ_a

47 - Montrer que le flux magnétique

Φ_a

à travers le circuit

C_a

ne dépend pas de la surface

Σ_a

choisie, tant que celle-ci repose sur

Γ_a

et est d'orientation compatible avec celle de

Γ_a

Pour tout champ magnétique

B⃗

, on peut définir des tubes de champ, dont les surfaces latérales sont en tout point tangentes aux lignes de champ magnétique. On définit un tube de champ élémentaire comme un tube de champ de section suffisamment petite pour que le champ magnétique

B⃗

dans toute
coupe transverse puisse être considéré comme uniforme. Par la suite, on note

t_α

ces tubes de champ élémentaires, que l'on décrit par leur élément de longueur dl্র

(r⃗)

et de surface transverse

ds⃗_α(r⃗)

(voir Figure 2). Dans ces tubes de champ élémentaires, les vecteurs

B⃗(r⃗)

dl⃗_a(r⃗)

ds⃗_a(r⃗)

sont colinéaires et de même sens, et le volume d'un élément de tube de champ de longueur

dl⃗_a

est

dτ_(r⃗) = dl⃗_a(r⃗) \cdot ds⃗_a(r⃗)

. On note que le champ

B⃗(r⃗)

ainsi que les éléments di

l⃗_α(r⃗)

ds⃗_α(r⃗)

peuvent varier le long des tubes de champ élémentaires.

Figure 2 - Tube de champ magnétique élémentaire.

48 - Montrer que le flux magnétique transverse est conservé le long d'un tube de champ.
49 - Justifier que les tubes de champ sont soit refermés sur eux-mêmes, soit vont à l'infini.
Par la suite, on considérera que l'on peut négliger la contribution des tubes qui vont à l'infini.
50 - Montrer que les tubes de champ qui se referment sur eux-mêmes entourent forcément des branches de circuits dans lesquelles circulent des courants.

51*

- On considère un unique circuit filiforme fermé

C_a

. En décomposant tout l'espace où le champ magnétique

B⃗_a

est non-nul en tubes de champ élémentaires, montrer à partir de la formulation donnée équation (27) que l'énergie magnétique propre de ce circuit s'écrit :

U_C^a = β_1 I_a Φ_(a \to a),

avec

β_1

un facteur numérique à déterminer. On expliquera avec soin, en s'aidant si possible de schémas, les différentes étapes du raisonnement effectué.

52* - Par un raisonnement similaire, obtenir la forme de l'énergie magnétique d'interaction

U_C^(a \leftrightarrow b)

entre les circuits

C_a

C_b

, que l'on exprimera en fonction de

I_b

Φ_(a \to b)

. On supposera pour simplifier la démonstration que l'on travaille avec des circuits simples non-bobinés, et que les lignes de champ de

B⃗_a

B⃗_b

ne passent au maximum qu'une seule fois à travers ces deux circuits. On effectuera également la décomposition de

B⃗_a

B⃗_b

en tubes de champ élémentaires qui ont tous le même flux transverse

dφ

. Sous quelle condition cette énergie d'interaction est-elle maximale?

53 - En déduire que l'énergie magnétique totale d'un système de circuits

C_a

parcourus par des courants

I_a

s'écrit

U_C = β_2\sum_(a, b)I_a Φ_(b \to a),

avec

β_2

un facteur numérique à déterminer, et où la somme inclut les cas où

a = b

. Formuler le théorème de réciprocité en magnétostatique.

54 - Préciser si les énergies magnétiques propre et d'interaction entre circuits changent de signe si le courant d'un des circuits en jeu change de signe. Quels signes peuvent avoir chacune de ces énergies? Ces résultats étaient-ils attendus pour l'énergie d'interaction entre circuits magnétiques?

55 - On reprend l'exemple A2 décrit dans la section 2.1. Effectuer à nouveau le calcul de l'énergie magnétique de la configuration finale, mais en utilisant cette fois le flux de la spire sur le solénoïde.

On étudie à présent un dernier exemple, nommé A3, où l'on prend en compte la longueur finie du solénoüde, et où l'on l'étudie la translation, à courants constants, de la spire précédente sur l'axe du solénoïde. La spire reste orientée parallèlement au plan (

x, y

), mais se déplace du milieu du solénoïde (

z = L/2

) à son extrémité (

z = 0

), tout en restant centrée sur l'axe de symétrie du solénoïde. On suppose par ailleurs que le solénoïde est suffisamment long pour que:
a) le champ d'un solénoïde infini y règne à

z = L/2

,
b) le flux du champ créé par la spire à travers les extrémités du solénoïde est négligeable lorsque la spire est située en

z = L/2

56* - Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires poussés, mais pouvant reposer sur des schémas, calculer le travail quasi-statique nécessaire pour effectuer le déplacement de l'exemple A3.

2.4 Énergie propre des circuits magnétiques

Dans cette section, on cherche à faire le lien entre l'énergie magnétique propre d'une distribution de courant, et l'énergie cinétique des électrons qui composent ce courant. En effet, on a vu dans la première partie que l'on pouvait associer l'énergie de masse

m_e c^2

d'un électron à son énergie propre électrostatique. En considérant uniquement le champ électrique à l'extérieur d'un électron de rayon

r_e

, on a:

m_e = (e^2)/(8πε_0)1/(r_e c^2).

Pour déterminer l'énergie magnétique propre d'un électron, on a besoin de calculer le champ magnétique créé par celui-ci quand il est en mouvement, ce que l'on souhaite faire à partir d'un changement de référentiel. On note pour cela

E⃗

B⃗

les champs électrique et magnétique dans un référentiel Galiléen

R

, et

E^'^(\to-)

B^'^(\to-)

ces champs dans le référentiel

R^'

se déplaçant en translation rectiligne uniforme à vitesse

V⃗

par rapport à

R

57 - En mécanique Newtonienne, la force subie par un point matériel ne doit pas changer lorsqu'on passe d'un référentiel Galiléen à un autre par une translation rectiligne uniforme. Déduire dans ce cadre le champ magnétique créé par un électron, que l'on suppose ponctuel, se déplaçant à la vitesse

v⃗_e

. Commenter ce résultat.

On se place à présent dans le cadre d'une transformation relativiste des champs électromagnétiques. En prenant les notations décrites plus haut, les champs

E^'^(\to-)

B^'^(\to-)

dans le référentiel

R^'

, se déplaçant en translation rectiligne uniforme à la vitesse

V⃗

par rapport à

R

, s'écrivent :

{E⃗_‖^′ = E⃗_‖,; B⃗_‖^′ = B⃗_‖,; E⃗_⊥^′ = γ(E⃗_⊥ + V⃗ ∧ B⃗),; B⃗_⊥^′ = γ(B⃗_⊥ − 1/(c^2)V⃗ ∧ E⃗),

où l'on a distingué avec les notations

‖

⊥

les composantes des champs respectivement parallèles et perpendiculaires au vecteur

V⃗

, et où:

γ = 1/(\sqrt(1 - V^2/c^2)).

58 - En déduire l'expression des champs électrique et magnétique créés par un électron se déplaçant à la vitesse

v⃗_e

, que l'on écrira en fonction de

ε_0, μ_0, e, v_e\to

et du vecteur

r⃗

repérant le point où le champ est considéré par rapport à la position de l'électron. On supposera que l'électron se déplace à une vitesse

v_e≪c

et on ne gardera que les termes dominants en

v_e/c

59 - On considère un électron de rayon

r_e

, se déplaçant à la vitesse

v⃗_e

. Justifier qu'à un facteur numérique

λ

près, proche de l'unité, on peut interpréter l'énergie magnétique

U_m^e

associée au champ créé par l'électron comme l'énergie cinétique de celui-ci. On utilisera l'équation (27) en ne considérant que la contribution liée au champ à l'extérieur de l'électron. Dans le cadre de cette interprétation, à quoi correspond la masse de l'électron? Dans la suite, on omettra le facteur

λ

60 - On considère à présent un solénoїde de longueur

L

, composé de

N

spires circulaires de rayon

R

parcourues par un courant

I

. On suppose que les fils de ce solénoïde sont de section circulaire, de rayon

a

, et contiennent

n_e

électrons de conduction par unité de volume. Calculer l'énergie cinétique totale

E_c^(tot)

des électrons de conduction dans ce solénoïde, que l'on exprimera en fonction de

e, m_e, n_e

et des paramètres du circuit.

61 - En effectuant une application numérique, comparer cette énergie cinétique à l'énergie magnétique propre du solénoïde. On pourra utiliser le champ créé par un solénoïde infini, et ne calculer que la contribution à l'énergie magnétique du champ à l'intérieur du solénoïde. On prendra

n_e = 8, 5 \times 10^(28) m^(- 3)

(densité typique des électrons de conduction pour le cuivre),

I = 1, 0 A, N = 5000, R = 2 cm, L = 20 cm, a = 1, 0 mm

62* - D'où vient la différence constatée à la question précédente? En vous appuyant sur un exemple simple, déterminer une borne supérieure absolue

U_(ms)^(max)

de l'énergie magnétique du solénoïde en fonction de l'énergie cinétique des électrons de conduction. En donner une estimation numérique. Quelle taille devrait avoir le solénoïde pour que son énergie magnétique approche cette borne?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique C option physique ENS Paris 2025 ?

Le sujet porte sur l'énergie électromagnétique : énergie électrostatique de charges ponctuelles et continues (avec la notion de charge nivelée) dans la première partie, puis énergie magnétique de circuits et de distributions de courants dans la seconde.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique C ENS Paris 2025 et est-elle sélective ?

La moyenne s'élève à 10.1 sur 20 avec un écart-type de 2.8, pour 525 copies rendues. Environ 60% des candidats ont obtenu une note inférieure à la moyenne.

Quelles parties du sujet ont été les moins bien traitées ?

Les questions de fin de sujet, notamment dans les parties 2.3 et 2.4, ont été traitées avec succès par un très faible nombre de candidats, tout comme plusieurs questions de raisonnement s'appuyant sur une loi physique simple mais peu mobilisée.

Ce sujet est-il difficile, y compris pour les bons candidats de PC ?

Oui, le rapport le décrit comme difficile au vu de la moyenne et de l'écart-type obtenus, mais sa progressivité a permis de bien classer les copies les plus solides malgré le grand nombre de copies de faible niveau.

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ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2025

PHYSIQUE C (U)

Autour de l'énergie électromagnétique

Formulaire

Analyse vectorielle et intégrales utiles

Symétries et propriétés à grande distance des champs E⃗ et B⃗

Constantes fondamentales

Première partie Énergie électrostatique

1.1 Énergie d'un système de charges ponctuelles

1.2 Formulations intégrales de l'énergie électrostatique

1.3 Énergie électrostatique et grandeurs nivelées

1.4 Étude d'un système de sphères concentriques

Deuxième partie

Énergie magnétique

2.1 Travail des forces de Laplace et théorème de Maxwell

2.2 Énergie d'une distribution volumique de courants

2.3 Énergie d'un ensemble de circuits filiformes

2.4 Énergie propre des circuits magnétiques

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique C option physique ENS Paris 2025 ?

Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique C ENS Paris 2025 et est-elle sélective ?

Quelles parties du sujet ont été les moins bien traitées ?

Ce sujet est-il difficile, y compris pour les bons candidats de PC ?

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Commentaires• ENS Physique C PC 2025

Symétries et propriétés à grande distance des champs $E⃗$ et $B⃗$