Polytechnique Physique A PC 2024 - Sujet, corrigé et rapport du jury

Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Mouvements de la photosphère du Soleil : interférométrie de l'instrument MDI et oscillations acoustiques solaires

Le sujet s'intéresse à la mesure des mouvements à la surface du Soleil par l'instrument MDI du satellite SOHO. La première partie étudie le filtrage par deux interféromètres de Michelson, l'usage de la polarisation et la mesure de vitesse par effet Doppler. La seconde, indépendante, modélise les ondes acoustiques solaires dans un fluide uniforme puis dans un fluide stratifié.

1Partie I : principe du dispositif optiqueIntensité en sortie d'un puis de deux interféromètres de Michelson en série, rôle des lames quart d'onde et des polariseurs, puis cartographie de la vitesse radiale de la photosphère par effet Doppler (Q1 à Q21).
2Partie II : éléments de physique des oscillations solairesÉquation de d'Alembert pour les ondes acoustiques, modes propres dans une couche de fluide uniforme, puis propagation de rayons acoustiques dans un fluide stratifié et comparaison aux mesures (Q22 à Q39).

Difficulté moyenne. Le problème a souvent été traité jusqu'à la dernière question, mais plusieurs questions ont été peu réussies (Q19, Q20, Q27), pour une moyenne de 9,51.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,57 / 20 · écart-type 3,07 · 1 332 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,57/ 20
Écart-type: 3,07
Présents: 1 332

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Deux interféromètres en série mal combinés · Lecture de figure trop rapide · Cohérence et polarisation confondues

Un très grand nombre de questions a été traité et le problème a souvent été mené jusqu'au bout. Le jury rappelle que traiter partiellement une question à sous-questions pénalise, que des applications numériques à un chiffre significatif ne sont pas de simples ordres de grandeur, et qu'une écriture peu soignée entraîne des erreurs de calcul.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Deux interféromètres en série mal combinésQ9
Des copies additionnent les déphasages ou les intensités des deux interféromètres.
« au lieu de considérer que l’intensité en sortie du premier interféromètre est l’intensité en entrée du second. »
2
Lecture de figure trop rapideQ10
Peu d'analyses détaillées et peu d'exploitation des données numériques de la figure.
« On a souvent lu que l’on retrouvait bien une courbe de sinus cardinal, ce qui n’était pas le cas. »
3
Cohérence et polarisation confonduesQ15 à Q17
L'argument selon lequel une onde S n'interfère pas avec une onde P est mal formulé, et le rôle d'un polariseur est mal compris ; la loi de Malus est rarement évoquée.
« Des confusions entre cohérence et polarisation ont régulièrement été observées. »
4
Projection de vitesse ratéeQ20
Peu de bonnes réponses à un calcul de vitesse radiale pourtant classique en mécanique.
« Paradoxalement peu de bonnes réponses alors qu’il s’agit d’un exercice relativement standard de mécanique »
5
Conditions aux limites mal interprétéesQ27, Q28
La même justification est donnée pour la fonction et sa dérivée, et la condition sur la dérivée est mal exploitée ; rejeter une exponentielle par divergence est faux sur un intervalle borné.
« On a pu souvent lire que comme la fonction est continue, sa dérivée est nulle. »

Ce qui a été bien réussi

Les premières questions sur le spectre et le schéma du Michelson (Q1 à Q3) ont été bien traitées.
Les questions sur les trajets des ondes S et P (Q12 à Q14) ont été plutôt bien traitées.
La question Q18 sur le capteur a été traitée de manière très satisfaisante.
Les questions de cours Q22 et Q23 ont été très bien traitées.
Une fraction importante des candidats a schématisé de façon convaincante la propagation dans les deux modèles (Q34 et Q35).

Conseils du jury

Traiter toutes les sous-questions d'une question, faute de quoi la note est mécaniquement réduite.
Donner des applications numériques exactes au chiffre significatif demandé, pas de simples ordres de grandeur.
Vérifier l'homogénéité des résultats, notamment des pulsations et des intensités.
Réaliser les graphiques demandés, qui sont notés au même titre que les calculs.
Soigner l'écriture et préférer deux dessins clairs à un seul surchargé.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

39 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

39 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

Voir les 31 autres questions

Ouvrir le corrigé détaillé Comment sont produits nos corrigés

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ECOLE POLYTECHNIQUE ESPCI

CONCOURS D'ADMISSION 2024

MARDI 16 AVRIL 2024
08h00-12h00
FILIERE PC - Epreuve nº 3
PHYSIQUE A (XE)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Mouvements de la photosphère du Soleil

On se contentera de réponses courtes, sauf lorsqu'il est demandé de justifier un résultat donné. Les applications numériques seront données avec un seul chiffre significatif.

Mesurer les mouvements de la couche superficielle du Soleil, dite photosphère, permet d'avoir des informations sur la rotation de notre étoile, ses oscillations internes, et son champ magnétique. Dans la première partie, nous allons nous intéresser à un dispositif optique qui permet la mesure de ces mouvements, l'instrument MDI (Michelson Doppler Imager) embarqué à bord du satellite SOHO (Observatoire solaire et héliosphérique), lancé en 1995. La seconde partie sera consacrée à l'utilisation de ces observations pour mesurer les oscillations internes du Soleil, et à l'interprétation de celles-ci. Les différentes parties sont dans une large mesure indépendantes.

I - Principe du dispositif optique

Figure 1 - Détail du spectre du rayonnement solaire autour de la raie du nickel. [Source : BASS2000 - Observatoire de Paris-Meudon - LESIA.]

Le principe est de mesurer la vitesse radiale (projection de la vitesse sur la direction d'observation) de chaque point de la photosphère. On utilise pour cela le fait que le spectre de la lumière issue du Soleil présente plusieurs creux très étroits (voir figure 1) résultant de l'absorption de la lumière par divers atomes présents dans le Soleil. Ces creux, nommés "raies", correspondent à des transitions électroniques entre deux niveaux d'un atome. Lorsque la photosphère est en mouvement, les positions observées des raies sont légèrement déplacées par effet Doppler.

Le choix technique de l'instrument MDI est d'utiliser une seule de ces raies, centrée sur la longueur d'onde

λ_0 = 676, 778 nm

, d'une largeur de

0, 012 nm

, correspondant à une transition électronique de l'atome de nickel, et que nous désignerons par "raie du nickel". MDI mesure l'intensité lumineuse dans cinq intervalles de longueur d'onde très étroits couvrant cette raie, repérée par le symbole Ni sur la figure 1.

Interféromètres de Michelson

Le premier défi est de ne laisser passer la lumière que dans un intervalle de longueur d'onde très petit et contrôlé. Ce filtrage se décompose en plusieurs étapes. Un premier dispositif, dit filtre de Lyot, que nous n'étudierons pas, ne laisse passer la lumière que dans une bande passante de

0, 047 nm

autour de la raie du nickel. Pour affiner encore le filtrage, on utilise un dispositif
constitué de deux interféromètres de Michelson associés en série, que nous allons étudier plus en détail.

Dans quel domaine du spectre électromagnétique la raie du nickel est-elle située?
Le premier interféromètre de Michelson est équivalent à une lame d'air à faces parallèles d'épaisseur $d = 6 mm$ . Dessiner le schéma de l'interféromètre de Michelson, et nommer ses éléments constitutifs essentiels.
On suppose dans tout ce qui suit que les rayons frappent les miroirs de l'interféromètre sous incidence normale. Donner alors l'expression de l'ordre d'interférence $p$ en fonction de $d$ det de la longueur d'onde $λ$ du rayonnement incident.
On note $p_0$ la valeur de $p$ pour $λ = λ_0$ . Calculer sa valeur approximative.
Déterminer l'expression de l'intensité à la sortie de l'interféromètre de Michelson en fonction de $p$ , en notant $I_0$ sa valeur maximale.
On suppose $p_0$ entier. Déterminer l'expression de l'intensité transmise pour une longueur d'onde $λ_0 + δλ$ , avec $|δλ|≪λ_0$ . Quel est l'intervalle de longueur d'onde entre deux pics d'intensité, dit intervalle spectral libre?
Calculer numériquement la valeur de cet intervalle.
L'instrument MDI comprend un second interféromètre de Michelson, équivalent à une lame d'air d'épaisseur $2d$ . Quel est, pour ce second interféromètre seul, l'intervalle spectral libre?
Le deuxième interféromètre de Michelson est placé à la sortie du premier. On ne se préoccupera pas de la lumière réfléchie par le deuxième interféromètre vers le premier. Déterminer l'expression de l'intensité transmise en sortie du deuxième interféromètre, en fonction de $δλ$ . On notera de nouveau $I_0$ l'intensité maximale.

Figure 2 - Décomposition du filtrage opéré par l'instrument MDI en fonction de

δλ

. La ligne pointillée représente la raie du nickel, la ligne tiretée le coefficient de transmission du filtre de Lyot placé en entrée, et la ligne pleine le coefficient de transmission du système des deux interféromètres de Michelson qui le suit.

Vérifiez que la courbe représentée en trait plein sur la figure 2 est en accord avec le résultat de la question précédente. Vous détaillerez votre réponse et préciserez la position des points remarquables.
Quelle est l'action combinée du filtre de Lyot et des deux interféromètres de Michelson, en vous appuyant sur la figure 2?

Utilisation de la polarisation

Le second défi est de pouvoir modifier très légèrement la valeur de la longueur d'onde correspondant au pic d'intensité. On modifie pour cela les interféromètres de Michelson décrits précédemment en y ajoutant plusieurs éléments nouveaux agissant sur la polarisation de la lumière.

Dans tout ce qui suit, on ne considère, pour simplifier, qu'un seul des deux interféromètres de Michelson. On note

Π

le plan contenant la trajectoire du rayon lumineux dans l'interféromètre. Dans le cas d'une polarisation rectiligne, on désigne par

S

une onde polarisée perpendiculairement à

Π

, et par

P

une onde polarisée parallèlement à

Π

. On remplace la lame séparatrice de l'interféromètre par une lame qui réfléchit totalement les ondes

S

, et transmet totalement les ondes

P

.
12. Dessiner la trajectoire du rayon lumineux dans l'interféromètre pour une onde

S

, puis pour une onde

P

. Expliquer pourquoi un tel dispositif est sans intérêt.
13. On modifie le dispositif en collant sur chacun des deux miroirs de l'interféromètre une lame quart d'onde dont la ligne neutre fait un angle

π/4

par rapport au plan

Π

. Cette lame quart d'onde est traversée deux fois, avant et après réflexion sur le miroir, et se comporte donc comme une lame demi-onde. On rappelle que si une onde de polarisation rectiligne traverse une lame demi-onde, la polarisation en sortie est toujours rectiligne, avec une direction de polarisation symétrique de celle d'entrée par rapport à la ligne neutre. Quelle est son action sur une onde

S

? Sur une onde

P

?
14. Dessiner la trajectoire du rayon lumineux dans ce nouveau dispositif pour une onde polarisée

S

en entrée, puis pour une onde polarisée

P

en entrée. À chaque étape de la trajectoire, vous préciserez l'état de polarisation de l'onde.
15. On place devant l'entrée de l'interféromètre de Michelson un polariseur dont l'axe forme un angle de

π/4

avec le plan

Π

. Quel est alors l'état de polarisation de l'onde à la sortie de l'interféromètre? Expliquer pourquoi on n'observe pas d'interférences avec ce dispositif.
16. On place à la sortie de l'interféromètre de Michelson une lame quart d'onde dont la ligne neutre forme un angle de

π/4

avec le plan

Π

. On admet qu'après cette lame, la polarisation de l'onde est rectiligne et fait un angle

πp

avec la ligne neutre de la lame, où l'expression de

p

a été obtenue à la question 3. Vérifier ce résultat dans le cas où

p

est entier.
17. On place enfin, à la suite du dispositif précédent, un polariseur linéaire. Expliquer comment, en variant l'orientation de ce polariseur, on peut obtenir le résultat cherché, et varier la longueur d'onde correspondant au pic d'intensité.

Cartographie de la vitesse de la photosphère

L'ensemble du dispositif est placé dans un télescope équivalent à une lentille mince de longueur focale $f = 1, 867 m$ . On place un capteur photographique électronique dans le plan focal. Ce capteur est formé d'un réseau carré comportant $1024 \times 1024$ pixels, dont le pas est de $21μ m$ . Le diamètre angulaire du Soleil vu du satellite est $Δ = 9 \times 10^(- 3)$ rad. Les dimensions du capteur lui permettent-elles d'observer l'intégralité de la photosphère solaire?
Chaque pixel du capteur mesure successivement l'intensité lumineuse autour de 5 longueurs d'onde $λ$ équidistantes. On note $F_1, F_3, F_0, F_2, F_4$ ces intensités, par ordre croissant de $λ$ . Le dispositif est calibré de telle sorte que $F_0$ corresponde au centre de la raie du nickel, qui est parfaitement symétrique, si la photosphère est immobile. On mesure les combinaisons suivantes :

A = F_0 + F_1 + F_2 + F_3 + F_4; B = (F_1 - F_3)^2 + (F_2 - F_4)^2; C = F_1 - F_4 + F_2 - F_3.

La photosphère est en mouvement à une vitesse radiale

v

par rapport au satellite. Identifier, parmi les combinaisons

A, B

et

C

, laquelle est susceptible d'être proportionnelle à

v

.
20. La vitesse de la photosphère vient en premier lieu de la rotation du Soleil, dont l'axe de rotation est perpendiculaire au plan de l'orbite de la Terre, dans lequel se trouve également le satellite SOHO . On choisit un système de coordonnées cartésiennes (

x, y, z

) dont l'origine

O

est le centre du Soleil, l'axe

Oy

est l'axe de rotation du Soleil, et l'axe

Oz

la droite joignant le centre du Soleil au satellite. Exprimer la vitesse radiale d'un point de la photosphère en fonction de la vitesse angulaire

Ω

du Soleil et des coordonnées, en précisant la convention choisie pour le sens de rotation.
21. Cette vitesse radiale

v

atteint la valeur

2 \times 10^3 m \cdot s^(- 1)

près de l'équateur du Soleil. Que vaut alors le déplacement

δλ

de la raie du nickel résultant de l'effet Doppler? On rappelle que la vitesse de la lumière dans le vide vaut

3 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)

. Comment

δλ

se compare-t-il à la largeur de la raie? Commenter.

II - Éléments de physique des oscillations solaires

Outre son mouvement de rotation global, le Soleil présente des mouvements internes de faible amplitude qui peuvent être modélisés comme des ondes acoustiques, à l'étude desquelles cette deuxième partie est consacrée. On effectuera d'abord une modélisation dans laquelle la vitesse du son est uniforme dans une couche d'épaisseur

H

au-dessous de la surface du Soleil. Bien que non réaliste, cette modélisation permettra de comprendre les bases du phénomène étudié. Dans un second temps, on étudiera le cas plus réaliste où la vitesse du son dépend de la distance au centre du Soleil. On négligera, dans toute cette partie, les effets liés à la rotation du Soleil.

Modèle de fluide uniforme

Soit un fluide homogène au repos, isolé, de pression uniforme $P_0$ , dans lequel se propage une onde acoustique dans la direction $x$ . On décompose la pression en $P(x, t) = P_0 + p(x, t)$ , où $p(x, t)$ est une surpression de faible amplitude. Établir l'équation de propagation de la surpression dans l'approximation acoustique. Dans cette partie, on notera $c$ la vitesse du son dans le fluide.
Rappelez, sans démonstration, la généralisation de cette équation à trois dimensions.

Nous allons étudier des mouvements internes cantonnés aux couches supérieures du Soleil. Nous supposons plus précisément que l'onde acoustique est cantonnée à une couche d'épaisseur

H

, beaucoup plus petite que le rayon

R

du Soleil. Par ailleurs, afin d'éviter les complexités liées à la géométrie sphérique, nous nous limitons dans tout ce qui suit à une géométrie plus simple. Nous étudions la propagation dans une bande étroite de largeur constante (très petite devant

R

), faisant tout le tour du Soleil en suivant l'équateur. On note

x

l'abscisse curviligne le long de cette bande et

z

la coordonnée verticale orientée vers le haut, qui varie entre

- H

et 0 , où

z = 0

définit la surface du Soleil. On cherche des modes d'oscillation de la forme

p(x, z, t) = Re[e^(i(k_x x - ωt))f(z)]

où nous avons introduit la représentation complexe, et

Re[Z]

désigne la partie réelle du complexe

Z

.
24. Les quantités physiques doivent être périodiques en

x

, de période

2πR

, correspondant à un tour complet autour du Soleil. Quelles sont alors les valeurs possibles de

k_x

? On les repérera par un entier

l

.
25. Les données du capteur photographique de l'instrument MDI sont traitées par ordinateur. Par analyse de Fourier, on parvient à séparer les contributions des différentes valeurs de

l

. On
parvient à reconstruire les modes jusqu'à environ

l = 200

. Expliquez pourquoi ce nombre est plausible, au vu des caractéristiques techniques du capteur indiquées question 18.
26. On néglige la gravité, de telle sorte que l'équation de propagation de la surpression déterminée plus haut s'applique. On traite les coordonnées

x

et

z

comme des coordonnées cartésiennes, ce qui est justifié par l'hypothèse d'ondes peu profondes. Écrire l'équation différentielle satisfaite par

f(z)

.
27. On postule les conditions aux limites

f^'(- H) = 0

et

f(0) = 0

. Interpréter physiquement ces conditions aux limites.
28. Résoudre l'équation différentielle avec ces conditions aux limites. En déduire les pulsations des modes propres pour

k_x

donné, que l'on classera par ordre croissant en les repérant par un entier

n

positif ou nul et qu'on notera

ω_n

.
29. Représenter sur un même graphique la variation de

ω_0, ω_1

et

ω_2

en fonction de

k_x

dans ce modèle.
30. Montrer que la famille de courbes

ω_n(k_x)

, avec

n \geq 0

, se réduit à une courbe unique si on choisit d'exprimer

Y = (n + 1/2)π/ω_n

en fonction de

X = ω_n/k_x

. Donner l'expression de

Y

en fonction de

X

et tracer

Y(X)

.

Modèle de fluide stratifié

La vitesse du son croît avec la température qui, dans le Soleil, augmente lorsqu'on se rapproche du centre. Nous affinons maintenant la modélisation en prenant en compte cette variation. Nous notons

c(z)

la vitesse du son à l'altitude

z

, avec

z \leq 0

, qui décroît en fonction de

z

. On traite la propagation de l'onde dans l'approximation de "l'acoustique géométrique", qui est analogue à l'approximation de l'optique géométrique pour la propagation des ondes électromagnétiques. Dans cette approximation, l'onde acoustique est représentée par un rayon. On note

k⃗ = (k_x, k_z)

le vecteur d'onde en un point donné du rayon. On admet que

k_x

est constant le long du rayon.
31. Écrire la relation de dispersion reliant

ω, k_x, k_z(z)

et

c(z)

, où nous notons

k_z(z)

la composante verticale du vecteur d'onde à l'altitude

z

.
32. On note

i

l'inclinaison du rayon par rapport à l'axe

z

. Exprimer sin

i

en fonction de

k_x, ω

et

c(z)

. Quel est l'analogue de ce résultat en optique géométrique?
33. On suppose que la vitesse du son croît indéfiniment lorsque

z

diminue. Montrer que le rayon ne peut descendre en dessous d'une altitude

z_(min)

, et écrire la relation entre

c(z_(min)), ω

et

k_x

.
34. On suppose que le rayon se réfléchit lorsqu'il atteint la surface du Soleil. Dessiner alors l'allure de la trajectoire d'un rayon partant d'un point quelconque de la surface du Soleil.
35. Dessiner, pour comparaison, l'allure de la trajectoire d'un rayon pour le modèle de fluide uniforme étudié plus haut.
36. On admet que les modes propres sont déterminés par la condition

\int_(z_(min))^0 k_z(z)dz = (n + α)π

où

n

est un entier positif ou nul, et

α

une constante indépendante de

n

. Montrer que pour un fluide uniforme, cette condition est équivalente à celle obtenue à la question

28

pour une valeur de

α

qu'on précisera.

La figure 3 représente les mesures de l'instrument MDI, où on a porté en abscisse

ω_n/k_x

et en ordonnée

(n + α)π/ω_n

. La constante

α

a été ajustée à la valeur

α = 1, 45

qui permet que les points correspondant à des valeurs de

n

différentes se retrouvent approximativement sur la même courbe.

Figure 3 - Résultats des mesures de l'instrument MDI après 144 jours d'observation, pour quelques valeurs de

n

et de

l

. [Données fournies par Jørgen Christensen-Dalsgaard.]

À quelle condition deux ondes, caractérisées par leurs pulsations $ω$ et $ω^'$ , et leurs nombres d'onde horizontaux $k_x$ et $k_x^'$ , correspondent-elles à des rayons identiques?
Montrer que l'équation (3) implique que tous les points de la figure 3 sont sur une courbe unique.
À quelles conditions sur $l$ et $n$ l'approximation géométrique, qui conduit à l'équation (3), est-elle pleinement justifiée?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de physique A X PC 2024 ?

Sur l'instrument MDI du satellite SOHO : filtrage par interféromètres de Michelson et polarisation pour mesurer la vitesse de la photosphère, puis modélisation des ondes acoustiques du Soleil.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique A X PC 2024 ?

La moyenne des 1394 candidats est de 9,51 sur 20, avec un écart-type de 3,08.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique A X PC 2024 ?

Mauvaise combinaison de deux interféromètres en série, confusion entre cohérence et polarisation, projection de vitesse ratée et conditions aux limites mal exploitées.

Les deux parties du sujet X physique A PC 2024 sont-elles indépendantes ?

Oui, la partie sur les oscillations solaires est indépendante de la partie optique.

Polytechnique Physique A PC 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

Faisable en sup ?

Explorer les annales

Téléchargements

Présentation du sujet

L'épreuve en chiffres

Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

Conseils du jury

Corrigé détaillé

Description

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

ECOLE POLYTECHNIQUE ESPCI

CONCOURS D'ADMISSION 2024

Mouvements de la photosphère du Soleil

Interféromètres de Michelson

Utilisation de la polarisation

Cartographie de la vitesse de la photosphère

II - Éléments de physique des oscillations solaires

Modèle de fluide uniforme

Modèle de fluide stratifié

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet de physique A X PC 2024 ?

Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique A X PC 2024 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique A X PC 2024 ?

Les deux parties du sujet X physique A PC 2024 sont-elles indépendantes ?

Commentaires• Polytechnique Physique A PC 2024

Commentaires• Polytechnique Physique A PC 2024