Flotter sous un liquide en lévitation : statique des fluides, poussée d'Archimède et vibrations d'un récipient
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Le sujet étudie la possibilité de faire léviter un liquide et d'y faire flotter un navire la tête en bas, à partir d'un article de recherche récent. Il comporte quatre parties de difficulté comparable, portant successivement sur une bulle d'air dans un bain en vibration, la réponse mécanique du liquide en lévitation, la stabilité d'interfaces liquide-air, puis l'équilibre d'un corps flottant sur et sous le liquide.
1Partie I : comportement d'une bulle dans un bain en vibrationÉtude de la poussée d'Archimède modifiée sur une bulle d'air immergée dans un liquide mis en vibration verticale.
2Partie II : liquide en lévitation sur une couche d'airÉtude de la réponse mécanique du liquide en lévitation sur une couche d'air dans le récipient en vibration.
3Partie III : étude de la stabilité d'une interface liquide-airStabilité de la surface supérieure du liquide au repos puis sous vibration, et de la surface inférieure sous vibration.
4Partie IV : équilibre d'un corps flottantÉquilibre d'un flotteur sur le liquide au repos puis sur et sous le liquide en vibration.
Difficile. La moyenne des candidats français est de 9,33/20 avec un écart-type de 3,57, et celle des candidats étrangers de 8,11 avec un écart-type de 3,7.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevées
Confusion entre atmosphère isotherme et liquide incompressible · Poids de la bulle mal intégré dans la poussée d'Archimède · Erreur de signe sur la force d'inertie d'entraînement
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L'immense majorité des candidats a pu aborder chacune des quatre parties du problème, qui comportait des questions de cours et des questions demandant plus de réflexion. Certaines confusions récurrentes, notamment sur les forces d'inertie et la transformation thermodynamique du gaz, ont pénalisé de nombreuses copies.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Confusion entre atmosphère isotherme et liquide incompressibleQ2
Plusieurs candidats ont appliqué le modèle de l'atmosphère isotherme à de l'eau, un liquide pourtant supposé incompressible.
« ont utilisé le modèle de l'atmosphère isotherme pour déterminer cette longueur alors que le fluide considéré était de l'eau »
2
Poids de la bulle mal intégré dans la poussée d'ArchimèdeQ3
Certaines copies incluent à tort le poids de la bulle d'air dans l'expression de la poussée d'Archimède.
« englobent dans l'expression de la poussée d'Archimède le poids de la bulle d'air »
3
Erreur de signe sur la force d'inertie d'entraînementQ4
Cette erreur affecte une question de cours pourtant simple sur la force d'inertie d'entraînement.
« ont commis une erreur de signe lorsqu'il(elle)s expriment la force d'inertie d'entraînement »
4
Erreur de signe récurrente sur la force d'inertieQ5
Malgré une réponse correcte à la question précédente, l'erreur de signe réapparaît sur le terme de force d'inertie dans le calcul de pression.
« beaucoup de copies présentent une erreur de signe sur le terme relatif à la force d'inertie »
5
Confusion entre transformation isotherme et loi de LaplaceQ6
Certains candidats appliquent à tort la loi de Laplace des gaz parfaits alors que l'énoncé précisait une transformation isotherme.
« ont utilisé de manière erronée la loi de Laplace des gaz parfaits »
Ce qui a été bien réussi
La question de cours sur la poussée d'Archimède a obtenu un taux de bonnes réponses très important.
L'immense majorité des candidats a compris qu'il fallait appliquer le principe fondamental de la dynamique à un élément de fluide au repos pour déterminer la pression.
Conseils du jury
Bien identifier la nature de la transformation thermodynamique précisée par l'énoncé avant d'appliquer une loi des gaz.
Préciser systématiquement le sens et la direction des forces calculées, pas seulement leur valeur algébrique.
Vérifier la cohérence physique d'un résultat, par exemple le sens de variation de la pression avec la profondeur.
Donner l'ordre de grandeur numérique demandé même lorsque l'application numérique semble immédiate.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Corrigé détaillé
40 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.
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40 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.
Le sujet étudie la possibilité de faire léviter un liquide et d'y faire flotter un navire la tête en bas, à partir d'un article de recherche récent. Il comporte quatre parties de difficulté comparable, portant successivement sur une bulle d'air dans un bain en vibration, la réponse mécanique du liquide en lévitation, la stabilité d'interfaces liquide-air, puis l'équilibre d'un corps flottant sur et sous le liquide.
MARDI 26 AVRIL 2022
08h00-12h00
FILIERE PC - Epreuve n ^∘3
PHYSIQUE A (XE)
Durée: 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Flotter sous un liquide en lévitation
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée. On se contentera de réponses courtes, sauf pour les questions 10, 17, 23, 24, 25, 28 où l'énoncé demande explicitement une justification.
Cette photographie est tirée d'un article ^1 publié par des chercheurs de l'ESPCI qui ont mené une expérience étonnante : il est possible de faire léviter un liquide et d'y faire flotter un bateau la tête en bas.
On sait que des bulles d'air dans un liquide remontent rapidement à sa surface. De même, si on place une couche de liquide au-dessus d'une couche d'air, elle est rapidement déstabilisée et s'effondre sous l'effet de la gravité, et l'air repasse au-dessus du liquide. Ces phénomènes peuvent être empêchés si on agite verticalement le récipient contenant le liquide. Dans certaines conditions, les bulles s'enfoncent au lieu de remonter, et on peut ainsi créer une poche d'air stable au-dessous du liquide. On fait donc léviter, au-dessus de cette poche, une couche de liquide dont la largeur peut atteindre vingt centimètres et le volume un demi-litre. On peut alors montrer qu'il existe une position de flottabilité stable à l'interface inférieure du liquide (voir figure cidessus) : tout se passe comme si la gravité était inversée! Dans ce problème, nous allons retracer le cheminement qui mène à cette situation exotique et contre-intuitive.
I - Comportement d'une bulle dans un bain en vibration
L'expérience utilise un récipient dans lequel on verse un liquide de masse volumique ρ_l, qu'on supposera approximativement égale à celle de l'eau. On suppose dans un premier temps que le récipient et le liquide sont immobiles. Rappeler l'expression de la pression P_1 à une profondeur D au-dessous de la surface du liquide. On notera P_0 la pression à la surface du liquide, qui est la pression atmosphérique, et g l'accélération de la pesanteur.
Exprimer P_1 en fonction de P_0, D, et d'une longueur caractéristique H dont on donnera l'expression littérale et l'ordre de grandeur.
Rappeler l'expression de la force de poussée d'Archimède F⃗_A exercée sur une petite bulle d'air de volume V.
4. On imprime au récipient un mouvement vertical d'amplitude A et de pulsation ω, Z(t) = Acosωt, où Z est la coordonnée verticale ascendante. Déterminer la force d'inertie d'entraînement F⃗_i(t) exercée sur un point matériel de masse m dans le référentiel du récipient.
5. On suppose que le liquide reste immobile dans le référentiel du récipient. On admet que les lois de l'hydrostatique s'appliquent toujours, à condition de prendre en compte la force d'inertie d'entraînement en plus de la pesanteur. En déduire l'expression de la pression P(t) à la profondeur D, qu'on exprimera en fonction de P_1, ρ_l, D et de l'accélération instantanée du récipient Z¨(t). En déduire également l'expression de la poussée d'Archimède F⃗_A(t) sur une bulle de volume V(t).
6. On note V_1 le volume de la bulle à la pression P_1. Déterminer l'expression de V(t), en traitant la bulle comme un gaz parfait isotherme. On suppose qu'à tout instant, |P(t) − P_1|≪P_1. Développer l'expression de V(t) au premier ordre en (P(t) − P_1)/P_1.
7. En déduire la valeur moyenne de F⃗_A(t) sur une période 2π/ω du mouvement du récipient. On fera apparaître la correction au résultat statique obtenu à la question 3, qui est proportionnelle à la valeur moyenne de Z¨(t)^2.
8. En faisant l'approximation P_1 ≃ P_0, déterminer la profondeur critique D^∗ au-delà de laquelle la bulle s'enfonce dans le liquide (voir figure 1 à droite). On exprimera D^∗ en fonction de H et du paramètre γ = Aω^2/g.
9. Montrer que l'approximation |P(t) − P_1|≪P_1 se traduit, à la profondeur D^∗, par une condition sur le paramètre γ. Interpréter physiquement cette condition.
Figure 1 - Variation de la profondeur critique D^∗ en fonction de l'amplitude A de l'oscillation, pour une pulsation ω fixée (à gauche). La courbe pointillée est définie par D^∗ = c/A^2, où c = 5, 5 mm^3. La figure de droite illustre la situation expérimentale.
La figure 1 donne la variation de la profondeur critique D^∗ en fonction de l'amplitude A, pour une pulsation ω fixée. Les approximations P_1 ≃ P_0 et |P(t) − P_1|≪P_1 faites plus haut sont-elles justifiées à la profondeur D^∗ ?
Estimer à partir de cette figure l'ordre de grandeur de la fréquence des oscillations.
II - Liquide en lévitation sur une couche d'air
Au moyen d'une seringue, on gonfle une bulle d'air dans le liquide en-dessous de la profondeur critique D^∗, de manière à séparer totalement le liquide du fond du récipient (voir figure 2). Une
Figure 2 - Séquence d'images montrant la formation de la couche d'air sur laquelle lévite le liquide (à gauche). Les notations utiles pour traiter de cette lévitation sont illustrées à droite.
épaisseur h_l de liquide est ainsi en lévitation sur une couche d'air. On note P_a et h_a la pression et l'épaisseur de la couche d'air lorsqu'elle est à l'équilibre sous le poids du liquide. Si le liquide se déplace verticalement, la pression de la couche d'air varie, et elle se comporte comme un ressort (voir encart de la figure 3 en haut).
12. Déterminer la variation de pression δP dans la couche d'air, assimilée à un gaz parfait isotherme, lorsque son épaisseur vaut h_a + z, avec |z|≪h_a. En déduire la force de rappel subie par le liquide sous l'effet de cette variation de pression, pour un récipient de surface S.
13. Rappeler l'expression de la pulsation propre ω_0 d'un ressort de raideur k supportant une masse m. Par analogie, en déduire l'expression de la pulsation propre ω_0 des oscillations verticales du liquide en fonction de P_a, ρ_l, h_l et h_a.
14. Comme à la question 4 , on imprime au récipient un mouvement vertical d'amplitude A et de pulsation ω. On modélise le déplacement vertical du liquide z(t) par rapport au récipient comme un oscillateur harmonique amorti de masse m, de pulsation propre ω_0 et de temps d'amortissement Q/ω_0, correspondant à un facteur de qualité Q. La force d'inertie d'entraînement soumet cet oscillateur à une excitation sinusoïdale de pulsation ω. Ecrire l'équation différentielle du mouvement. Déterminer l'amplitude complexe A_l_– du mouvement du liquide en fonction de A, Q, et x = ω/ω_0 。
15. À partir de la figure 3 , évaluer numériquement la pulsation propre et le facteur de qualité.
III - Étude de la stabilité d'une interface liquide-air
Dans cette partie, nous allons étudier la stabilité de l'interface liquide-air inférieure, et montrer que sous certaines conditions, la disposition où le liquide est au-dessus d'une couche d'air est un équilibre stable. Dans toute cette partie, le récipient est un parallélépipède dont les axes définissent un système de coordonnées cartésiennes ( x, y, z ) (voir figure 2 à droite). La base, horizontale, est un rectangle dont les dimensions suivant les axes x et y sont notées L_x et L_y. Sa surface est S = L_x L_y.
III A - Surface supérieure du liquide dans un récipient immobile
Nous commençons par étudier le cas simple où le récipient est immobile, et où le liquide le remplit jusqu'au fond. On suppose que la profondeur h_l du liquide est grande devant toutes les autres longueurs caractéristiques. Nous étudions les oscillations de sa surface supérieure. À l'équilibre, celle-ci définit le plan z = 0. On s'intéresse à un déplacement vertical de la surface
Figure 3 - La figure du haut représente l'amplitude verticale A_l (définie par A_l = |A_l_–| ) de l'oscillation de la couche liquide en unités de l'amplitude A de l'oscillation du support. La figure du bas représente le déphasage entre l'oscillation du liquide et celle du support. Les points correspondent aux mesures expérimentales, et la courbe en pointillés à une approximation de ces données par le modèle d'oscillateur harmonique forcé (question 14).
de la forme ζ(t)cos(kx).
16. Quelle condition k et ζ(t) doivent-ils vérifier pour que la surface du liquide soit, en tout point, peu inclinée par rapport au plan horizontal? On supposera cette condition vérifiée dans toute la suite du problème.
17. On néglige les phénomènes de dissipation, dus par exemple à la viscosité du liquide. Vérifier que le champ de vitesses suivant correspond à un écoulement irrotationnel et incompressible, et que sa composante verticale v_z(x, z, t) vérifie les bonnes conditions aux limites à la surface et au fond du récipient :
où ζ˙(t) = dζ(t)/dt.
18. Pour quelles valeurs de k ce champ de vitesses vérifie-t-il les bonnes conditions aux limites sur les parois verticales du récipient?
19. Calculer l'énergie cinétique E_c(t) du liquide associée à ce champ de vitesses en fonction de ρ_l, k, S et ζ˙(t).
20. Calculer la variation de l'énergie potentielle de pesanteur du liquide résultant du déplacement de sa surface. On notera E_p(t) cette variation, qu'on exprimera en fonction de ρ_l, g, S et ζ(t).
21. Calculer la variation de l'énergie de tension superficielle, due à l'augmentation de la surface du liquide résultant du déplacement vertical. On notera E_s(t) cette variation, qu'on exprimera en fonction de k, S, ζ(t), et du coefficient de tension superficielle γ_s.
22. Déduire alors des résultats des trois questions précédentes que ζ(t) varie sinusoïdalement en fonction de t avec une pulsation Ω dont on donnera l'expression en fonction de g, k, γ_s et ρ_l.
III B - Surface supérieure du liquide dans un récipient en vibration
Comme dans la première partie de ce problème, on imprime maintenant au récipient un mouvement oscillant vertical Z(t) = Acosωt très rapide. Pour étudier son effet sur le liquide contenu dans le récipient, on effectue deux simplifications. D'une part, on suppose que la force d'inertie l'emporte sur les autres forces, gravité et tension superficielle, qu'on néglige. Le mouvement du liquide est donc dû à la seule force d'inertie. D'autre part, on suppose que la surface du liquide n'a pas le temps d'évoluer significativement pendant une période d'oscillation du récipient, de telle sorte que le déplacement vertical vaut h(x) ≃ ζcos(kx), où on néglige maintenant la dépendance temporelle de ζ.
23. En utilisant les résultats de la première partie, expliquer pourquoi il est légitime de supposer que la force de gravité est beaucoup plus petite que la force d'inertie.
24. En appliquant l'équation d'Euler, dans laquelle on néglige le terme convectif, montrer qu'à la surface, la vitesse du liquide dans le référentiel du récipient vérifie l'équation
(∂v_x)/(∂t) = − Z¨(t)(dh(x))/(dx).
Justifier que le champ de vitesses dans le liquide est donné par
Calculer l'énergie cinétique E_v du liquide associée à ce champ de vitesses, moyennée sur une période d'oscillation, en fonction de ρ_l, A, ω, k, S et ζ.
Le mouvement du liquide est la superposition d'un mouvement rapide, imprimé par la vibration du récipient, et d'un mouvement lent sous l'effet des autres forces en présence, gravité et tension superficielle. Nous admettrons que le seul effet du mouvement rapide sur le mouvement lent est l'ajout d'une contribution supplémentaire à l'énergie mécanique, qui est l'énergie cinétique moyenne E_v calculée à la question précédente. On note maintenant E_v(t) cette contribution pour prendre en compte le fait que l'amplitude ζ(t) varie lentement avec le temps. En déduire comment la relation de dispersion Ω(k) déterminée à la question 22 est modifiée par le mouvement de vibration.
III C - Surface inférieure du liquide dans un récipient en vibration
On considère enfin le cas, étudié dans la partie II, où le liquide est en lévitation sur une poche d'air. Nous allons étudier les oscillations de sa surface inférieure, dont on note toujours ζ(t)coskx le déplacement vertical, en exploitant les résultats obtenus dans les questions précédentes.
28. Expliquer sans calcul pourquoi le résultat de la question 26 s'applique toujours, à condition de remplacer l'amplitude A du mouvement du récipient par l'amplitude A_l du mouvement du liquide, déterminée à la question 14 .
29. En utilisant le résultat de la question 27, écrire la relation de dispersion vérifiée par les oscillations de la surface inférieure du liquide.
30. On néglige la tension superficielle. En utilisant les résultats des questions 18 et 29, montrer que l'interface liquide-air inférieure est stable si L_x < L^∗, où L^∗ est une longueur critique qu'on exprimera en fonction de A_l, ω et g.
31. En utilisant la figure 3 , quelle valeur de ω a-t-on intérêt à choisir pour stabiliser l'interface?
IV - Équilibre d'un corps flottant
Le but de cette dernière partie est de montrer qu'on peut faire flotter un solide, appelé flotteur, à l'interface inférieure liquide-air. On considère pour simplifier un flotteur cylindrique homogène dont l'axe reste vertical à tout instant. On note h_0 sa hauteur et s la surface de sa base horizontale. Sa masse volumique, notée ρ_f, est inférieure à celle du liquide, ρ_f < ρ_l.
IV A - Flotteur sur le liquide dans un récipient immobile
Nous commençons par étudier le cas simple où le récipient est immobile, et où le bas du flotteur est à la profondeur D au-dessous de la surface supérieure du liquide. Le haut du flotteur est alors à la hauteur h_0 − D au-dessus de la surface du liquide.
32. Déterminer l'expression de la valeur de D à l'équilibre, notée D_0, en fonction de h_0, ρ_f et ρ_l.
33. On élève le flotteur d'une hauteur δ au-dessus de la profondeur d'équilibre D_0, de telle sorte que le bas du flotteur soit à la profondeur D = D_0 − δ. On suppose δ < D_0 pour que le flotteur reste partiellement immergé. Calculer le travail de la force de pesanteur et de la force de poussée d'Archimède lors de ce déplacement. En déduire que la variation d'énergie potentielle est de la forme 1/2Bδ^2, où on donnera l'expression de B.
34. En déduire la pulsation ω_f des petites oscillations verticales du flotteur autour de la profondeur d'équilibre D_0. Exprimer ω_f en fonction de g et D_0.
IV B - Flotteur sur le liquide puis sous le liquide dans un récipient en vibration
On imprime maintenant au récipient un mouvement oscillant vertical Z(t) = Acosωt très rapide.
35. En reprenant le résultat de la question 5, écrire l'expression de la poussée d'Archimède instantanée exercée sur le flotteur, en notant D(t) sa profondeur à l'instant t.
36. Écrire l'équation du mouvement du flotteur dans le référentiel du récipient, sous la forme d'une équation différentielle pour D(t). Simplifier cette équation en utilisant l'expression de D_0 obtenue à la question 32.
37. Pour résoudre l'équation, on effectue des simplifications analogues à celles de la partie III B. On suppose que la force d'inertie l'emporte sur la force de gravité, qu'on néglige. On suppose de plus que D(t) varie très peu au cours d'une période du mouvement oscillant. On écrit donc D(t) = D − z(t), où D est la valeur moyenne et z(t) est une petite perturbation oscillant autour de 0 , qui vérifie à tout instant |z(t)|≪D. Simplifier l'équation du mouvement sous ces approximations. Montrer qu'elle s'intègre en z(t) = αZ(t), où α est une constante qu'on exprimera en fonction de δ et D_0. Discuter les cas limites D = 0 et D = D_0.
38. En déduire l'expression de l'énergie cinétique du flotteur, moyennée sur une période.
39. Le mouvement du flotteur est la superposition d'un mouvement rapide, imprimé par la vibration du récipient, et d'un mouvement lent sous l'effet des autres forces en présence, gravité et force de poussée d'Archimède. Comme à la question 27, nous admettrons que le seul effet du mouvement rapide sur le mouvement lent est l'ajout d'une contribution supplémentaire à l'énergie mécanique, qui est l'énergie cinétique moyenne calculée à la question précédente. En déduire comment la pulsation des petites oscillations du flotteur autour de sa position d'équilibre est modifiée par le mouvement de vibration.
40. On considère finalement le cas où le liquide est en lévitation sur une poche d'air. Déterminer à quelle condition sur la hauteur h_0 le flotteur peut être en équilibre stable sous le liquide, à une position qu'on précisera. Commenter à la lueur de ce résultat la photographie reproduite en exergue du sujet.
B. Apffel, F. Novkoski, A. Eddi & E. Fort. Floating under a levitating liquid. Nature 585, 48-52 (2020). Les figures qui suivent sont également adaptées de cet article.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quoi porte le sujet de Physique A (XE) PC 2022 ?
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Sur quoi porte le sujet de Physique A (XE) PC 2022 ?
+
Le sujet porte sur la lévitation d'un liquide et la flottaison d'un navire la tête en bas, à partir d'un article de recherche sur un liquide en lévitation sous vibration.
Ce sujet Physique A PC 2022 de l'X-ESPCI est-il difficile ?
+
La moyenne des candidats français est de 9,33/20, ce qui traduit une épreuve exigeante malgré des questions de cours bien réussies.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet du liquide en lévitation ?
+
Le jury relève des erreurs de signe récurrentes sur la force d'inertie d'entraînement et une confusion entre transformation isotherme et loi de Laplace des gaz parfaits.
Le sujet Physique A PC 2022 sur la lévitation d'un liquide est-il accessible sans connaître l'article de recherche ?
+
Oui, le sujet est précédé d'un texte introductif et d'une photo qui présentent le phénomène, et repose sur des notions classiques du programme de physique des classes préparatoires.
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Commentaires• Polytechnique Physique A PC 2022
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