Mines Physique 1 PC 2022 - Sujet, corrigé et rapport du jury

Présentation du sujet

Mesures optiques de propriétés mécaniques : étoiles binaires et structure fine de la raie rouge de l'hydrogène

Le sujet étudie deux systèmes physiques dont les caractéristiques sont mesurées par interférométrie optique. La première partie établit les propriétés d'une étoile binaire puis la mesure de l'écart angulaire entre ses composantes par des trous d'Young. La seconde étudie la raie rouge de l'hydrogène avec le modèle de Bohr et une correction relativiste, puis la mesure de sa structure fine avec un interféromètre de Michelson.

1Partie I.A : structure gravitationnelle d'une étoile binaireForces gravitationnelles, période, énergie mécanique d'un système lié et référentiel barycentrique.
2Partie I.B : mesure de l'écartement angulaire des étoiles doublesDiffraction et critère de Rayleigh, différence de marche avec des trous d'Young et cohérence temporelle.
3Partie II.A : les raies d'émission de l'atome d'hydrogèneModèle de Bohr, raies de Balmer et correction relativiste faisant apparaître la constante de structure fine.
4Partie II.B : spectrométrie interférentielleInterféromètre de Michelson en lame d'air et mesure de la structure fine de la raie rouge.

L'épreuve en chiffres

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Écart-type: 4,09
Présents: 3 532
Durée: 3 h

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Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 21 avril 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Formules du cours non adaptées au sujet · Énergie mécanique et état lié · Référentiel galiléen mal maîtrisé

Le découpage en parties largement indépendantes permettait d'aborder de nombreuses questions, mais trop peu ont été traitées correctement. Les candidats maîtrisant le cours et les outils mathématiques ont pu réussir, sans que beaucoup satisfassent à l'ensemble des parties. Les applications numériques négligées et les copies brouillons ont coûté de nombreux points.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Formules du cours non adaptées au sujetQ1, Q2, Q6, Q16, Q17
Les démonstrations appliquées au cas précis du sujet ont perturbé les candidats : préfacteurs faux, signes physiquement inacceptables, loi de Kepler appliquée sans démonstration.
« des réponses où les signes ne sont pas physiquement acceptables ou les préfacteurs faux sont insuffisantes »
2
Énergie mécanique et état liéQ1, Q3
Le signe de l'énergie potentielle pose problème, et une énergie mécanique négative n'est pas reliée à un état lié.
3
Référentiel galiléen mal maîtriséQ4
Il fallait démontrer que le centre de gravité a un mouvement rectiligne uniforme, en plus de la translation du référentiel.
« La notion de référentiel galiléen n'est pas maîtrisée pour beaucoup de candidats. »
4
Différence de marche mal calculéeQ8, Q23
Le schéma optique fourni n'est pas exploité pour les trous d'Young, et le préfacteur est souvent faux en configuration lame d'air.
5
Développements limités incorrectsQ16 à Q19
Dans la partie sur l'hydrogène, les candidats se perdent dans les calculs, font des développements limités faux et identifient rarement l'énergie au repos.
« De très nombreux développements limités non corrects. »
6
Applications numériques négligéesQ7
Les applications numériques non traitées, ou non données dans l'unité demandée, ont fait perdre beaucoup de points.

Ce qui a été bien réussi

La partie sur l'étoile binaire a souvent été abordée, et les meilleurs y ont trouvé les bons préfacteurs et de bonnes applications numériques.
La question Q9 a souvent été bien traitée.
Les meilleurs candidats ont obtenu l'énergie effective sans erreur de signe en Q15.
Les candidats sachant schématiser les trajets optiques dans un Michelson ont été avantagés en Q21.

Conseils du jury

Faire un schéma juste des trajets optiques pour les questions d'interférométrie.
Réserver l'analyse dimensionnelle à la vérification et ne pas la substituer à une détermination exacte.
Justifier rigoureusement quand l'énoncé demande de « montrer », par exemple la constance du moment cinétique.
S'entraîner au calcul formel et aux ordres de grandeur.
Traiter moins de questions mais plus complètement, en s'aidant d'un brouillon.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

26 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

26 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve :

3

heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Mesures optiques de propriétés mécaniques

Ce sujet comporte deux parties indépendantes présentant des méthodes de mesures fines utilisant divers dispositifs optiques. La partie

I

décrit une structure courante de l'univers, les étoiles binaires, avant de présenter une méthode interférométrique pour mesurer leur écart angulaire. La partie II s'intéresse à la structure fine des raies d'émission de l'atome d'hydrogène et à leur mesure interférométrique. Les deux méthodes optiques présentées ici ont en commun leur premier auteur, le physicien américain Albert Michelson.

Pour toutes les applications numériques, on se contentera de deux chiffres significatifs. Les données nécessaires, accompagnées d'un formulaire utile à la simplification des relations trigonométriques, sont regroupées en fin d'énoncé.

I Les étoiles binaires et leur mesure

Cette partie comporte deux problèmes I.A et I.B, qui sont totalement indépendants.
En astronomie, on parle d'étoile double pour une paire d'étoiles qui apparaissent comme proches l'une de l'autre dans le ciel lorsqu'on les observe depuis la Terre. Dans certains cas il s'agit d'un système binaire d'étoiles en orbite mutuelle : elles tournent toutes les deux autour de leur barycentre commun sous la seule action des forces gravitationnelles. Dans d'autres cas, leur alignement est simplement fortuit et ce cas ne nous concerne pas dans ce qui suit.

I.A Structure gravitationnelle d'une étoile binaire

I.A. 1 Un premier modèle très simple

On étudie le système formé de deux étoiles assimilées à deux points matériels

A

et

B

, de même masse

M

, toutes les deux en orbite circulaire de rayon

r

autour de leur barycentre commun

O

, lui-même immobile dans le référentiel galiléen d'étude (Oxyz) (figure 1). On note

G

la constante de la gravitation universelle.

Figure 1 - Étoile binaire symétrique en mouvement circulaire

1. Exprimer les forces $F⃗_B$ et $F⃗_A$ exercées au sein du système en fonction notamment de $M$ et $r$ .
  Donner l'expression de l'énergie potentielle $E_p(r)$ associée à ces forces.
1. Exprimer la période $T_1$ du mouvement des deux composantes de l'étoile binaire en fonction de $r, M$ et $G$ .
  Application Numérique : Le système est formé de deux étoiles de même masse que le Soleil, distantes l'une de l'autre de la même distance que la distance moyenne TerreSoleil (dite unité astronomique UA). Calculer la valeur de la période $T_1$ associée que l'on exprimera en années terrestres.
1. Exprimer, en fonction de $G, M$ et $r$ , l'énergie mécanique totale du système.

Commenter brièvement le signe de l'expression obtenue.

I.A. 2 Généralisation partielle du modèle

On étudie maintenant, relativement au référentiel galiléen (

Ωxyz

), le mouvement du système binaire formé de deux étoiles ponctuelles

A

et

B

de masses

m_A ⩾ m_B

. On notera

R⃗ = AB^(\to-)

leur position relative et

R = ‖R⃗‖

. Le vecteur

R⃗

est a priori variable (figure 2 ); le barycentre des deux étoiles, noté

G

, est donc aussi mobile.

Figure 2 - Étoile binaire quelconque en mouvement arbitraire.

◻ - 4

. Exprimer en fonction de

m_A, m_B, G

et

R⃗

les forces

F⃗_B

et

F⃗_A

exercées sur les deux étoiles. Ces forces dépendent-elles du référentiel d'étude?

1. Montrer que le référentiel (Gxyz) est également galiléen. Toute la suite de l'étude sera menée relativement à ce nouveau référentiel.
  $◻ - 6$ . Établir les relations $GB^(\to-) = (m_A)/(m_A + m_B)R⃗$ et $GA^(\to-) = - (m_B)/(m_A + m_B)R⃗$ .
  En déduire la relation $(d^2)/(dt^2)R⃗ = - K(R⃗)/(R^n)$ et expliciter les constantes $K$ et $n$ .
  $◻ - 7$ . Si l'étoile binaire forme un système lié, justifier que son mouvement est périodique et déterminer l'expression de la période $T_2$ du mouvement en fonction notament des deux masses et d'une longueur que l'on précisera.

I.B Mesure de l'écartement angulaire des étoiles doubles

Lorsque les deux étoiles sont très proches, elles peuvent être difficiles à distinguer. L'étude menée ici sera faite dans le domaine visible et on prendra pour longueur d'onde

λ_0 = 550 nm

d'un éclairage supposé ici monochromatique, avec un télescope constitué d'un miroir parabolique (dont on admettra qu'il est équivalent à une lentille mince, unique et convergente) de distance focale

f^' = 33 m

et de diamètre d'ouverture

d = 5 m

. On rappelle l'expression

sinθ \sim λ_0/d

reliant l'échelle angulaire du phénomène de diffraction et la taille caractéristique de l'ouverture diffractante.

1. En déduire la valeur du pouvoir séparateur (ou résolution angulaire) du télescope utilisé. Montrer qu'un système binaire formé de deux étoiles distantes d'une unité astronomique ne peut pas être séparé s'il est, par rapport à l'observateur, distant de $L > L_(max)$ . Déterminer la valeur de $L_(max)$ en années-lumière.

Lorsque la distance à laquelle se trouve le système double est trop élevée pour pouvoir en offrir une image bien séparée, on peut utiliser un dispositif interférométrique comme celui installé en 1920 par Michelson et Pease devant le télescope américain Hooker (figure 3).

Figure 3 - Le dispositif interférométrique réel.

Le schéma décrivant le dispositif est proposé figure 4. On y remarquera que l'axe du télescope y est représenté horizontal pour plus de lisibilité et que ce dernier a été remplacé par une lentille équivalente.

Figure 4 - Le schéma équivalent au dispositif interférentiel.

Le faisceau parallèle issu de l'étoile

A

parvient dans la direction de l'axe optique sur le système, avant d'être réfléchi et diffracté par les miroirs

M_1

et

M_2

. Les miroirs auxiliaires

M_1^'

et

M_2^'

renvoient ces faisceaux vers le télescope avant de converger dans son plan focal image, au point

F^'

pour le faisceau non diffracté et en d'autres points

P

pour le faisceau diffracté.

1. Rappeler l'énoncé du théorème de Malus (ou de Malus et Dupin).

En déduire l'expression de la différence de marche

δ_A = (AM_1 P) - (AM_2 P)

en fonction de la géométrie du dispositif et d'une coordonnée cartésienne de

P

.
Application Numérique : On donne

a = 2, 50 m

. Calculer et commenter l'interfrange

i

.

1. Exprimer l'intensité lumineuse (ou éclairement) $I_A(P)$ observée au point $P$ en fonction de $λ_0, a, f^', x$ et de $I_(0A)$ qui désigne l' intensité totale issue de $A$ et parvenant sur l'un des miroirs $M_1$ ou $M_2$ .
  On prend en compte maintenant la lumière provenant de l'étoile $B$ , à la même longueur d'onde $λ_0$ mais décalée d'un angle $θ$ . On note $I_(0B)$ l'intensité totale issue de $B$ . Sur la figure 4 ci-dessus on supposera $θ > 0$ .
  $◻ - 11$ . Les sources $A$ et $B$ sont-elles cohérentes entre elles?
  Calculer $δ_B = (BM_1 P) - (BM_2 P)$ en fonction de $δ_A, θ$ et $b$ .
1. Exprimer l'intensité lumineuse totale $I(P)$ en utilisant la formule géométrique affirmée en annexe pour l'exprimer sous la forme :

I(P) = K[1 + cos(2π(x - x_0)/(Δx))V(θ)]

dans laquelle on explicitera uniquement les constantes

K

et

Δx

ainsi que la fonction

V(θ)

en fonction des données du problème.

◻ - 13

. Quelles sont les significations physiques de

x_0

et

Δx

? Expliquez comment l'étude des franges permet de mesurer l'écartement angulaire des deux composantes d'une étoile double à l'instant de l'observation. Comment, à votre avis, peut-on ainsi distinguer un vrai système binaire d'une étoile double par alignement fortuit?

◻ - 14

. Quelle valeur faut-il donner à la largeur commune

ℓ

des miroirs auxiliaires

M_1^'

et

M_2^'

pour pouvoir observer en tout au moins une dizaine de franges de part et d'autre de la frange centrale?

II La raie rouge de l'hydrogène

Cette partie comporte deux problèmes II.A et II.B qui sont très largement indépendants.

II.A Les raies d'émission de l'atome d'hydrogène

II.A. 1 Le modèle de Bohr et les raies de Balmer

En 1913, le physicien danois Niels Bohr propose un modèle semi-classique permettant d'estimer l'énergie de l'électron (masse

m_e

, charge

- e

) au sein de l'atome formé d'un proton (charge

+ e

fixe à l'origine

O

des coordonnées). Dans un modèle classique et non relativiste, la seule force prise en compte est la force d'attraction électrique entre les deux charges. On notera

ε_0

la permittivité diélectrique du vide.

1. Montrer que dans ce modèle le mouvement de l'électron est plan. On notera $r$ la distance de l'électron à $O, (dr)/(dt) = r˙$ et $σ$ l'amplitude du moment cinétique de l'électron.
1. Établir l'équation de conservation $1/2m_e r˙^2 + U_(eff)(r) =$ cte et exprimer l'énergie potentielle effective $U_(eff)(r)$ en fonction de $e, ε_0, m_e$ et $σ$ .
  $◻ - 17$ . Quelle est la signification physique d'un minimum de l'énergie potentielle effective? En déduire le rayon $r$ et l'énergie $E$ d'une trajectoire circulaire en fonction de $σ, m_e, ε_0$ et $e$ .
  La raie rouge de l'hydrogène correspond à un rayonnement visible ( $λ_0 = 656 nm$ ) émis lors de la désexcitation de l'électron depuis la trajectoire circulaire de niveau $σ = 3ℏ$ vers le niveau $σ = 2ℏ$ où $ℏ = h/2π$ , $h$ étant la constante de Planck.
  $◻ - 18$ . Expliciter l'écart $ΔE$ d'énergie entre ces deux niveaux puis $λ_0$ en fonction de $h, c$ (célérité de la lumière dans le vide), $e, m_e$ et $ε_0$ .

II.A. 2 Une correction relativiste

L'expression établie ci-dessus constitue une première approximation qui doit être corrigée si on veut rendre compte des valeurs exactes des longueurs d'onde d'émission par une lampe à vapeur d'hydrogène atomique. Une de ces corrections est de nature relativiste. Nous allons seulement en chercher un ordre de grandeur.

◻ - 19

. On appelle constante de structure fine la grandeur

α = (e^2)/(4πε_0 ℏc) = (e^2)/(2ε_0 hc)

. Préciser sa dimension puis estimer son ordre de grandeur.

Dans le cadre relativiste, l'énergie mécanique totale d'une particule de masse

m

et de vitesse

v

a pour expression :

E = (mc^2)/(\sqrt(1 - (v^2)/(c^2)))

1. Exprimer le développement limité de $E$ à l'ordre 4 en $v/c$ sous la forme $E = E_0 + κv^2 + μv^4 + o(v^4/c^4)$ en précisant les expressions de $κ$ et $μ$ .
  Proposer une interprétation simple des deux premiers termes $E_0$ et $κv^2$ .
1. La correction relativiste à l'énergie $ΔE$ d'une transition entre niveaux d'énergie s'écrit sous la forme $(ΔE_(relat) - ΔE)/(ΔE) \sim α^p$ . Déduire de ce qui précède l'entier $p$ puis conclure, numériquement.

II.B Spectrométrie interférentielle

II.B. 1 La méthode de Michelson

L'appareil utilisé est constitué (voir la figure 5) d'une lame séparatrice

S

semi-réfléchissante et d'une lame dite compensatrice

C

, parallèle à la précédente, de même épaisseur et de même indice optique. Ces deux lames sont toutes deux parallèles au plan (Ouz) où l'axe (Ou) est la première bissectrice des axes (

Oy

) et (

Ox

) qui sont orthogonaux aux miroirs plans

M_f

(fixe) et

M_m

(mobile le long de (

Ox

) à la vitesse

v⃗ = ve⃗_x

).

Figure 5 - L'interféromètre de Michelson

1. Expliquez, au moyen d'un schéma, le rôle de la lame ( $C$ ). Précisez en particulier, dans le cas de la figure 5 , si la face réfléchissante de la lame ( $S$ ) est la face supérieure (1) ou la face inférieure (2).
- 1. L'appareil est éclairé par une source de lumière étendue. Quelle est la nature des franges? Où peut-on les observer?
    $◻ - 24$ . On utilise une source monochromatique de longueur d'onde $λ_0$ . On choisit l'instant $t = 0$ au moment du contact optique et on note $I_0$ l'intensité lumineuse totale en sortie de l'appareil sur l'axe ( $Oy$ ) lorsqu'un des deux miroirs est obstrué. Exprimer, en fonction de $I_0, λ_0, v$ et $t$ , l'intensité $I(t)$ observée sur cet axe lorsque les deux miroirs sont éclairés.
    En 1892, MichelSON installe, au bureau international des poids et mesures (BIPM) de Sèvres, un interféromètre identique à celui décrit ci-dessus pour rechercher parmi les lampes spectrales connues (hydrogène, cadmium, etc.), celle qui présenterait la meilleure monochromaticité et établir ainsi un étalon de longueur optique.

II.B. 2 La mesure de la structure fine de la raie rouge

On éclaire maintenant l'appareil décrit ci-dessus au moyen d'une source bichromatique émettant deux raies de longueurs d'onde voisines, de longueurs d'onde

λ_1 = λ_0

et

λ_2 = λ_0 + Δλ

et d'intensités

I_1

et

I_2 < I_1

.

◻ - 25

. En admettant que

|Δλ|≪λ_0

, montrer que l'expression du contraste des franges s'écrit de la manière suivante :

C(t) = \sqrt(1 - (4I_1 I_2)/((I_1 + I_2)^2)sin^2(2πvt(Δλ)/(λ_0^2))⎷),

puis calculer les contrastes maximal et minimal en fonction de

I_2

et

I_1

.

1. Réalisant la mesure du spectre de cette raie, Michelson a observé, en déplaçant le miroir mobile d'une longueur $Δx = 8, 5 mm$ depuis le contact optique, une diminution progressive du contraste qui atteint alors sa valeur minimale $C_(min) ≃ 15%$ . En déduire $I_2/I_1$ puis la valeur de $Δλ/λ_0$ puis commenter l'ordre de grandeur obtenu au regard des développements mécaniques qui précèdent.

La structure fine ainsi observée n'a pu être expliquée qu'avec le développement ultérieur de la mécanique quantique pour le calcul du spectre détaillé des niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène.

Données numériques

é è é é é è é é é é é é é é Année-lumière, 1AL = 9, 46 \cdot 10^(15) m; Célérité de la lumière dans le vide, c = 3, 00 \cdot 10^8 m \cdot s^(- 1); Charge élémentaire, e = 1, 60 \cdot 10^(- 19)C; Constante de Planck, h = 6, 63 \cdot 10^(- 34) J \cdot Hz^(- 1); Constante de la gravitation universelle, G = 6, 67 \cdot 10^(- 11) m^3 \cdot kg^(- 1) \cdot s^(- 2); Distance Terre-Soleil (unité astronomique), d = 1UA = 1, 49 \cdot 10^(11) m; Masse de l'électron, m_e = 9, 11 \cdot 10^(- 31) kg; Masse du Soleil, M_⊙ = 1, 99 \cdot 10^(30) kg; Période du mouvement de la Terre (année), T_0 = 365, 25j = 3, 16 \cdot 10^7 s; Permittivité diélectrique du vide, ε_0 = 8, 85 \cdot 10^(- 12) F \cdot m^(- 1); \sqrt2 ≃ 1, 41, 1/(\sqrt2) ≃ 0, 71

Formulaire

Pour tous

a_1 > 0, a_2 > 0, θ_1 \in ℝ

et

θ_2 \in ℝ

, on peut écrire :

a_1 cosθ_1 + a_2 cosθ_2 = acos[(θ_1 + θ_2)/2 + φ]

avec respectivement :

a = (a_1 + a_2)\sqrt(1 - m^2 sin^2(θ_1 - θ_2)/2) et m = (2\sqrt(a_1 a_2))/(a_1 + a_2),

tandis que

φ \in ℝ

est donné par :

tanφ = (a_1 - a_2)/(a_1 + a_2)tan(θ_1 - θ_2)/2.

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines physique 1 PC 2022 ?

Selon le rapport, le sujet porte sur la mécanique céleste, la mécanique quantique, l'optique géométrique et l'optique interférentielle, au programme de PCSI et de PC.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines physique 1 PC 2022 ?

Des formules du cours mal adaptées au cas étudié, des erreurs de signe et de préfacteur, une mauvaise maîtrise du référentiel galiléen, des différences de marche fausses et des développements limités incorrects.

Les parties du sujet Mines physique 1 PC 2022 sont-elles indépendantes ?

Oui, le rapport décrit quatre parties largement indépendantes, ce qui permettait d'aborder un grand nombre de questions.

Comment réussir l'épreuve Mines physique 1 PC 2022 selon le jury ?

Maîtriser le cours et les outils mathématiques associés, mener les applications numériques à terme, faire des schémas justes et traiter moins de questions mais plus complètement.

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