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Mines Mathématiques 1 PC 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

Étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier

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Présentation du sujet

Difficile
Étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier par sa fonction génératrice
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Le problème établit une majoration asymptotique du nombre p_n de partitions d'un entier n, proche de l'équivalent de Hardy et Ramanujan. Il construit la fonction génératrice P à partir d'une série de logarithmes, étudie P près de 1 à l'aide de la formule de Stirling, montre que P est la somme de la série entière des p_n, puis contrôle P sur le disque unité pour conclure par une formule intégrale de type Cauchy.

  1. 1Partie A : fonctions L et PSérie entière du logarithme, dérivation d'une fonction auxiliaire et définition de P comme produit infini.
  2. 2Partie B : développement asymptotique en variable réelleIntégrales généralisées, formule de Stirling, permutation série-intégrale et continuité d'intégrales à paramètre pour obtenir ln P(e^-t) quand t tend vers 0.
  3. 3Partie C : développement de P en série entièreDénombrement des listes solutions, produit de Cauchy et rayon de convergence de la série des p_n.
  4. 4Partie D : contrôle de PInégalités élémentaires pour majorer |P(z)| par rapport à P(|z|) et estimer une intégrale.
  5. 5Partie E : conclusionChoix du paramètre t en fonction de n pour obtenir la majoration finale.

Difficile. Le rapport qualifie le problème de très long et de niveau soutenu, tout en le jugeant abordable.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,63 / 20 · écart-type 3,78 · 3 529 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,63/ 20
Écart-type
3,78
Présents
3 529
Durée
3 h
moyenne 8,6305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 19 avril 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Logarithme complexe utilisé sans définition · Inégalités et équivalents manipulés sans soin · Hypothèse de domination mal comprise
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Le sujet couvrait largement le programme d'analyse et demandait de bien connaître le cours, de l'appliquer avec rigueur et de mener des calculs non triviaux. Les copies sont bien étalées et les meilleures ont traité une part très importante de l'épreuve. Un lot important de copies montre toutefois une méconnaissance du cours et de grosses lacunes techniques.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Logarithme complexe utilisé sans définitionQ1, Q2, Q3

    Le programme ne définit pas de logarithme complexe : l'invoquer rend Q2 et Q3 faussement triviales. Il fallait passer par les séries entières ou le théorème de régularité des séries de fonctions.

    « pas mal de candidats utilisent, dans cette question et les suivantes, un logarithme complexe non identifié »
  2. 2
    Inégalités et équivalents manipulés sans soinQ4, Q7

    Inégalités fausses substituées à un argument asymptotique, équivalents fantaisistes ou non justifiés, oubli des valeurs absolues pour montrer une intégrabilité.

    « les indispensables valeurs absolues sont absentes de la plupart des copies »
  3. 3
    Hypothèse de domination mal compriseQ12

    Pour la continuité d'une intégrale à paramètre, la domination doit être explicitée et vérifiée, avec un soin particulier en 0.

    « Beaucoup de candidats ne semblent pas vraiment comprendre l'importance et la nature de l'hypothèse de domination. »
  4. 4
    Réponses relevant du bluffQ8, Q16

    Le jury repère les solutions qui prétendent éviter le découpage de l'intégrale ou qui enchaînent les résultats précédents sans le travail supplémentaire demandé.

    « un certain nombre de solutions prétendant éviter le découpage de l'intégrale et relevant du pur bluff »
  5. 5
    Question de dénombrement mal typéeQ17

    Seule question hors analyse, elle a reçu des réponses très inégales, avec de nombreuses erreurs de typage ; les deux derniers items ont été moins réussis.

  6. 6
    Séries entières mal justifiéesQ18, Q19

    Coefficients a_{n,N} contenant la variable z, rayon de convergence 1 annoncé sans justification suffisante.

Ce qui a été bien réussi

  • La convergence de la série définissant L (Q1) est correctement traitée dans beaucoup de copies.
  • Q3 est globalement bien traitée, et la seconde égalité de Q8 a souvent été établie.
  • Le lien avec la formule de Stirling (Q9) et le développement en série de ln(1-e^-t) (Q10) sont fréquemment trouvés.
  • Les solutions partielles aux questions difficiles (Q11, Q13) ont été récompensées.

Conseils du jury

  • Expliciter et vérifier les hypothèses de chaque théorème d'interversion (continuité d'intégrale à paramètre, passage à la limite, permutation somme-intégrale).
  • Travailler la technique de calcul, présentée par le jury comme un objectif essentiel des deux années.
  • Lire précisément ce qui est demandé avant de dériver formellement ou de simplifier.
  • Signaler une erreur d'énoncé repérée : en Q13, les candidats qui ont relevé l'erreur de signe ont reçu un bonus.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier

L'objectif de ce problème est l'étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier naturel n, c'est-à-dire du nombre de décompositions de n en somme d'entiers naturels non nuls (sans tenir compte de l'ordre des termes). Une définition rigoureuse de ce nombre, noté p_n, est donnée en début de partie C. Dans la partie A, on introduit une fonction P de variable complexe; dans la fin de la partie C on démontre qu'il s'agit de la somme, sur le disque unité ouvert complexe, de la série entière ∑_(n ≥ 0)p_n z^n. Dans la partie B, on étudie P au voisinage de 1 en variable réelle. Cette étude est mise à profit, dans la partie D, pour obtenir une domination de bonne qualité de la suite (p_n).
Tout au long du problème, le disque unité ouvert de C sera noté
D = {z ∈ C : |z| < 1}.
On admettra aussi l'identité classique suivante :
∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2) = (π^2)/6

A. Fonctions L et P

1▹ Soit z ∈ D. Montrer la convergence de la série ∑_(n ≥ 1)(z^n)/n. Préciser la valeur de sa somme lorsque z ∈ ] − 1, 1[. On notera
L(z):=∑_(n = 1)^(+ ∞)(z^n)/n.
2▹ Soit z ∈ D. Montrer que la fonction Φ : t ↦ L(tz) est dérivable sur un intervalle ouvert incluant [ − 1, 1] et donner une expression simple de sa dérivée sur [ − 1, 1].
3▹ Soit z ∈ D. Montrer que la fonction Ψ : t ↦ (1 − tz)e^(L(tz)) est constante sur [0, 1], et en déduire que
exp(L(z)) = 1/(1 − z)
4▹ Montrer que |L(z)| ≤ − ln(1 − |z|) pour tout z dans D.
En déduire que la série ∑_(n ≥ 1)L(z^n) est convergente pour tout z dans D.
Dans la suite, pour tout z ∈ D on note
P(z):=exp[∑_(n = 1)^(+ ∞)L(z^n)].
5▹ Soit z ∈ D. Vérifier que P(z) ≠ 0, que
P(z) = lim_(N → + ∞)∏_(n = 1)^N 1/(1 − z^n)
et que pour tout réel t > 0,
lnP(e^(− t)) = − ∑_(n = 1)^(+ ∞)ln(1 − e^(− nt)).

B. Développement asymptotique en variable réelle

Dans cette partie, on introduit la fonction q qui à tout réel x associe le nombre réel q(x) = x − ⌊x⌋ − 1/2, où ⌊x⌋ désigne la partie entière de x.
6▹ Montrer que q est continue par morceaux sur R, qu'elle est 1 -périodique et que la fonction |q| est paire.
7▹ Montrer que ∫_1^(+ ∞)(q(u))/(e^(tu) − 1) du est bien définie pour tout réel t > 0.
8▹ Montrer que pour tout entier n > 1,
∫_1^n(q(u))/u du = ln(n!) + (n − 1) − nln(n) − 1/2ln(n) = ln((n!e^n)/(n^n√n)) − 1.
9▹ Montrer que ∫_(⌊x⌋)^x(q(u))/u du tend vers 0 quand x tend vers + ∞, et en déduire la convergence de l'intégrale ∫_1^(+ ∞)(q(u))/u du, ainsi que l'égalité
∫_1^(+ ∞)(q(u))/u du = (ln(2π))/2 − 1.
10▹ À l'aide d'un développement en série sous l'intégrale, montrer que
∫_0^(+ ∞)ln(1 − e^(− u))du = − (π^2)/6.
11▹ Montrer que
∫_0^1 ln((1 − e^(− tu))/t)du ⟶ _(t → 0^+) − 1.
On pourra commencer par établir que x ↦ (1 − e^(− x))/x est décroissante sur R_+^∗.
Pour k ∈ N^∗ et t ∈ R_+, on pose
u_k(t) = ∫_(k/2)^((k + 1)/2)(tq(u))/(e^(tu) − 1) du si t > 0, et u_k(t) = ∫_(k/2)^((k + 1)/2)(q(u))/u du si t = 0
12▹ Montrer que u_k est continue sur R_+pour tout k ∈ N^∗.
13▹ Soit t ∈ R_+^∗. Montrer successivement que |u_k(t)| = ∫_(k/2)^((k + 1)/2)(t|q(u)|)/(e^(tu) − 1) du puis u_k(t) = (− 1)^k|u_k(t)| pour tout entier k ≥ 1, et établir enfin que
∀n ∈ N^∗, |∑_(k = n)^(+ ∞)u_k(t)| ≤ 1/(2n)
On admettra dans la suite que cette majoration vaut encore pour t = 0.
14▹ En déduire que
∫_1^(+ ∞)(tq(u))/(e^(tu) − 1) du ⟶ _(t → 0^+)(ln(2π))/2 − 1
15▹ Montrer, pour tout réel t > 0, l'identité
∫_1^(+ ∞)(tq(u))/(e^(tu) − 1) du = − 1/2ln(1 − e^(− t)) − lnP(e^(− t)) − ∫_1^(+ ∞)ln(1 − e^(− tu))du
16▹ Conclure que
lnP(e^(− t)) = (π^2)/(6t) + (ln(t))/2 − (ln(2π))/2 + o(1) quand t tend vers 0^+

C. Développement de P en série entière

Pour (n, N) ∈ N × N^∗, on note P_(n, N) l'ensemble des listes (a_1, …, a_N) ∈ N^N telles que ∑_(k = 1)^N ka_k = n. Si cet ensemble est fini, on note p_(n, N) son cardinal.
17 ▹ Soit n ∈ N. Montrer que P_(n, N) est inclus dans [ [0, n] ]^N et non vide pour tout N ∈ N^∗, que la suite (p_(n, N))_(N ≥ 1) est croissante et qu'elle est constante à partir du rang max(n, 1).
Dans toute la suite, on notera p_n la valeur finale de (p_(n, N))_(N ≥ 1).
18▹ Soit N ∈ N^∗. Donner une suite (a_(n, N))_(n ∈ N) telle que
∀z ∈ D, 1/(1 − z^N) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_(n, N)z^n
En déduire, par récurrence, la formule
∀N ∈ N^∗, ∀z ∈ D, ∏_(k = 1)^N 1/(1 − z^k) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)p_(n, N)z^n
19▹ On fixe ℓ ∈ N et x ∈ [0, 1[. En utilisant le résultat de la question précédente, établir la majoration ∑_(n = 0)^ℓ p_n x^n ≤ P(x). En déduire le rayon de convergence de la série entière ∑_n p_n z^n.
20▹ Soit z ∈ D. En examinant la différence ∑_(n = 0)^(+ ∞)p_n z^n − ∑_(n = 0)^(+ ∞)p_(n, N)z^n, démontrer que
P(z) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)p_n z^n
21▹ Soit n ∈ N. Montrer que pour tout réel t > 0,
p_n = (e^(nt)P(e^(− t)))/(2π)∫_(− π)^π e^(− inθ)(P(e^(− t)e^(iθ)))/(P(e^(− t)))dθ
Dans le reste du problème, l'objectif est d'utiliser la formule (1) pour obtenir un contrôle assez fin du nombre p_n lorsque n tend vers + ∞.

D. Contrôle de P

22▹ Soit x ∈ [0, 1[ et θ ∈ R. En utilisant la fonction L, montrer que
|(1 − x)/(1 − xe^(iθ))| ≤ exp(− (1 − cosθ)x)
En déduire que pour tout x ∈ [0, 1[ et tout réel θ,
|(P(xe^(iθ)))/(P(x))| ≤ exp(− 1/(1 − x) + Re(1/(1 − xe^(iθ))))
23▹ Soit x ∈ [0, 1[ et θ un réel. Montrer que
1/(1 − x) − Re(1/(1 − xe^(iθ))) ≥ (x(1 − cosθ))/((1 − x)((1 − x)^2 + 2x(1 − cosθ)))
En déduire que si x ≥ 1/2 alors
|(P(xe^(iθ)))/(P(x))| ≤ exp(− (1 − cosθ)/(6(1 − x)^3)) ou |(P(xe^(iθ)))/(P(x))| ≤ exp(− 1/(3(1 − x)))
Pour ce dernier résultat, on distinguera deux cas selon les valeurs relatives de x(1 − cosθ) et (1 − x)^2.
24▹ Montrer qu'il existe un réel α > 0 tel que
∀θ ∈ [ − π, π], 1 − cosθ ≥ αθ^2
En déduire qu'il existe trois réels t_0 > 0, β > 0 et γ > 0 tels que, pour tout t ∈ ]0, t_0] et tout θ ∈ [ − π, π],
|(P(e^(− t)e^(iθ)))/(P(e^(− t)))| ≤ e^(− β(t^(− 3/2)θ)^2) ou |(P(e^(− t)e^(iθ)))/(P(e^(− t)))| ≤ e^(− γ(t^(− 3/2)|θ|)^(2/3))
25▹ En déduire que
∫_(− π)^π e^(− i(π^2 θ)/(6t^2))(P(e^(− t)e^(iθ)))/(P(e^(− t)))dθ = O(t^(3/2)) quand t tend vers 0^+

E. Conclusion

26▹ En prenant t = π/(√(6n)) dans (1), conclure que
p_n = O((exp(π√((2n)/3)))/n) quand n tend vers + ∞
Épilogue. Le dernier résultat est très proche de l'optimalité. Par une analyse plus fine de l'intégrale dans la formule (1), on peut en effet établir l'équivalent
p_n ∼ (exp(π√((2n)/3)))/(4√3n) quand n → + ∞,
formule découverte par Hardy et Ramanujan en 1918.

Fin du problème

  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
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Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 PC 2022 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 PC 2022 ?

Essentiellement sur l'analyse : séries, séries entières, séries de fonctions avec convergence uniforme, intégrales généralisées, convergence dominée et intégrales à paramètre. Une seule question (Q17) relève du dénombrement.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 PC Mines-Ponts 2022 ?

L'usage d'un logarithme complexe non défini, des inégalités et équivalents manipulés sans rigueur, l'hypothèse de domination mal comprise et plusieurs tentatives de bluff.

Le sujet Mines-Ponts maths 1 PC 2022 était-il difficile ?

Le rapport le décrit comme très long et de niveau soutenu, mais abordable. Les questions à partir de Q20 n'ont reçu que peu de réponses significatives.

Quel lien entre le sujet Mines maths 1 PC 2022 et celui de la filière MP ?

Selon le rapport, le sujet de Maths I de la filière MP établit l'équivalent de Hardy et Ramanujan en admettant un développement démontré ici, par une méthode faisant intervenir les probabilités.

Pas de description pour le moment