Mines Mathématiques 1 PC 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne

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Inégalité de Sobolev logarithmique pour la mesure gaussienne

Le sujet établit une inégalité de Sobolev logarithmique pour la gaussienne : l'entropie d'une fonction positive d'intégrale 1 est majorée par la moitié d'une intégrale faisant intervenir f'^2/f. Il introduit les fonctions à croissance lente, puis un semi-groupe P_t défini par une intégrale à paramètre, dont on étudie la dérivée. La dernière partie étudie l'entropie de P_t(f) en fonction de t pour conclure.

1Partie 1 : résultats préliminairesdeuxième annéeFonctions à croissance lente, intégrabilité contre la densité gaussienne, définition et limite de P_t(f), formule d'intégration par parties pour l'opérateur L.
2Partie 2 : dérivée de P_t(f)deuxième annéeDérivation de P_t(f)(x) par rapport à t et à x, puis preuve de l'équation liant la dérivée en t à L(P_t(f)).
3Partie 3 : inégalité de log-Sobolev pour la gaussiennedeuxième annéeÉtude de l'entropie S(t) de P_t(f), de sa continuité, de ses limites et de sa dérivée, puis majoration par l'inégalité de Cauchy-Schwarz et intégration pour obtenir l'inégalité finale.

Accessible. Le jury juge le sujet tout à fait abordable, d'une longueur adaptée à la durée, et indique que les candidats ont eu le temps de traiter l'ensemble des questions.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,68 / 20 · écart-type 4,51 · 3 549 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,68/ 20
Écart-type: 4,51
Présents: 3 549
Coefficient: 4
Durée: 3 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 13 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Définition de la croissance lente mal comprise · Intégrabilité vérifiée d'un seul côté · Hypothèse de domination mal majorée

Le sujet demandait surtout une bonne maîtrise des inégalités élémentaires et de l'intégration : intégrales généralisées, intégrales à paramètre et convergence dominée. L'étalonnement des copies est jugé satisfaisant. Certains candidats ont traité correctement une grande part du sujet, mais beaucoup de copies montrent de fortes lacunes sur les inégalités, les théorèmes du cours et la rigueur.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Définition de la croissance lente mal compriseQ1, Q3
En Q1, certains candidats trouvent une constante sur [-1, 1] et une autre à l'extérieur, ce qui ne respecte pas la définition. D'autres écrivent à tort que x^k est inférieur à x^d dès que k est inférieur à d.
2
Intégrabilité vérifiée d'un seul côtéQ2
Pour l'intégrabilité du produit f φ, il faut majorer la valeur absolue et traiter aussi le voisinage de moins l'infini. Certains confondent le produit avec la composée.
3
Hypothèse de domination mal majoréeQ5, Q8, Q9
De nombreuses erreurs de majoration apparaissent dans les hypothèses de domination. Une domination locale en t n'a pas de sens pour une limite en plus l'infini, et la domination de Q9 ne peut pas être déclarée analogue à celle de Q8.
« l’inégalité triangulaire, très utile dans ce sujet, a été fortement malmenée ! »
4
Confusions sur la valeur absolue et les paramètresQ6
En Q6, les paramètres sont souvent confondus et les majorations fausses.
« On rappelle à ce propos que la valeur absolue n’est pas une fonction croissante ! »
5
Existence des intégrales non vérifiéeQ4, Q7
En Q4, citer l'intégrabilité de f φ ne suffit pas à justifier que P_t(f) est définie. En Q7, la plupart oublient de vérifier l'existence de l'intégrale, qui découle pourtant de Q3.
6
Calculs truqués pour atteindre le résultatQ10, Q19
En Q10, des candidats qui ne pensent pas à l'intégration par parties arrangent leurs calculs pour retrouver le résultat de l'énoncé ; en Q19, certains confondent P_t(f') et P_t(f)'. Le jury sanctionne ces pratiques.
« Cette façon de procéder donne une très mauvaise impression au correcteur. »

Ce qui a été bien réussi

La question 2 a été plutôt bien traitée.
La question 11 (variations de t ln t) a été très bien traitée dans l'ensemble.
Les questions 13, 16 et 17 ont été bien ou relativement bien traitées.
La question 19 a été assez bien traitée par les candidats arrivés jusqu'à la dernière partie.

Conseils du jury

Apprendre le cours avec précision, en particulier les hypothèses des théorèmes d'intégration, et s'entraîner à manipuler les inégalités.
Traiter et rédiger correctement moins de questions plutôt qu'aborder beaucoup de questions superficiellement.
Citer précisément le numéro de la question dont on réutilise le résultat.
Écrire lisiblement, séparer les arguments et ne jamais présenter de calcul truqué ou raccourci : un résultat erroné signalé honnêtement peut rapporter des points.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : $3$ heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations et résultats admis

Soit la fonction $φ$ définie sur $R$ par $φ(x) = 1/(\sqrt(2π))e^(- x^2/2)$ .
Pour $k \in N \cup {\infty}$ , on pose $C^k(R)$ l'ensemble des fonctions de classe $C^k$ sur $R$ à valeurs dans $R$ .
On note $CL(R)$ l'ensemble des fonctions de $R$ dans $R$ à croissance lente, c'est-àdire :
$CL(R) = {f : R \to R, \existsC > 0, \existsk \in N$ tel que pour tout $x \in R, |f(x)| \leq C(1 + |x|^k)}$ .
On note $L^1(φ) = {f ∈ C^0(R), fφ$ intégrable sur $R}$ .
Soit $t \in R_+$ . Pour une fonction $f : R \to R$ , on définit si cela est possible la fonction $P_t(f)$ par :

\forallx \in R, P_t(f)(x) = \int_(- \infty)^(+ \infty)f(e^(- t)x + \sqrt(1 - e^(- 2t))y)φ(y)dy

Pour $f$ deux fois dérivable sur $R$ , on définit sur $R$ la fonction $L(f)$ par :

\forallx \in R, L(f)(x) = f^('')(x) - xf^'(x)

Une fonction $P : R \to R$ est dite fonction polynomiale en $|x|$ s'il existe $d \in N$ et des réels $a_0, \dots, a_d$ tels que pour tout $x \in R, P(x) = \sum_(k = 0)^d a_k|x|^k$ .
Soient $f : R_+ \to R$ une fonction et $ℓ \in R \cup { \pm \infty}$ . On admet que $lim_(t \to + \infty)f(t) = ℓsi$ , et seulement si, pour toute suite $(t_n)_(n \in N)$ de réels positifs telle que $lim_(n \to + \infty)t_n = + \infty$ , on a $lim_(n \to + \infty)f(t_n) = ℓ$ .

Partie 1 : Résultats préliminaires

1 - Montrer que toute fonction majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en

|x|

est à croissance lente.

2▹

Montrer que

C^0(R) \cap CL(R) \subset L^1(φ)

.
On admet dans toute la suite du problème que

\int_(- \infty)^(+ \infty)φ(t)dt = 1

3▹

Montrer que

CL(R)

est un espace vectoriel. Montrer aussi que

CL(R)

est stable par produit.

4▹

Soit

t \in R_+

. Vérifier que la fonction

P_t(f)

est bien définie pour

f \in C^0(R) \cap CL(R)

et vérifier que

P_t

est linéaire sur

C^0(R) \cap CL(R)

5▹

Montrer que pour tout

f \in C^0(R) \cap CL(R)

et tout

x \in R

lim_(t \to + \infty)P_t(f)(x) = \int_(- \infty)^(+ \infty)f(y)φ(y)dy

6▹

Soit

t \in R_+

. Montrer que si

f \in C^0(R) \cap CL(R)

, alors

P_t(f) \in C^0(R)

. Montrer aussi que

P_t(f)

est majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en

|x|

indépendante de

t

. En déduire que

P_t(f) \in L^1(φ)

On admettra dans toute la suite du problème que, si

f \in C^0(R) \cap CL(R)

, alors

\forallt \in R_+, \int_(- \infty)^(+ \infty)P_t(f)(x)φ(x)dx = \int_(- \infty)^(+ \infty)f(x)φ(x)dx

7▹

Montrer que pour toutes fonctions

f, g \in C^2(R)

telles que les fonctions

f, f^', f^('')

g

soient à croissance lente, on a

\int_(- \infty)^(+ \infty)L(f)(x)g(x)φ(x)dx = - \int_(- \infty)^(+ \infty)f^'(x)g^'(x)φ(x)dx

Partie 2 : Dérivée de $P_t(f)$

Pour

f : R \to R

x \in R

, on note, si cela a un sens,

(\partialP_t(f)(x))/(\partialt)

la dérivée de la fonction

t \in R_+ \mapsto P_t(f)(x)

Pour

f : R \to R

t \in R_+

fixé, on note, si cela a un sens,

P_t(f)^'

(resp.

P_t(f)^('')

) la dérivée de

x \in R \mapsto P_t(f)(x)

(resp. la dérivée seconde de

x \in R \mapsto P_t(f)(x)

8▹

Montrer que si

f \in C^1(R) \cap CL(R)

telle que

f^' \in CL(R)

x \in R

, alors

t \in R_+ \mapsto P_t(f)(x)

est de classe

C^1

sur

R_+^*

et montrer que pour tout

t > 0

, on a

(\partialP_t(f)(x))/(\partialt) = \int_(- \infty)^(+ \infty)(- xe^(- t) + (e^(- 2t))/(\sqrt(1 - e^(- 2t)))y)f^'(e^(- t)x + \sqrt(1 - e^(- 2t))y)φ(y)dy.

9▹

Soient

f \in C^2(R) \cap CL(R)

telle que

f^'

f^('')

soient à croissance lente et

t \in R_+

. Montrer que

x \in R \mapsto P_t(f)(x)

est de classe

C^2

sur

R

. Montrer aussi que

\forallx \in R, P_t(f)^'(x) = e^(- t)\int_(- \infty)^(+ \infty)f^'(e^(- t)x + \sqrt(1 - e^(- 2t))y)φ(y)dy

\forallx \in R, P_t(f)^('')(x) = e^(- 2t)\int_(- \infty)^(+ \infty)f^('')(e^(- t)x + \sqrt(1 - e^(- 2t))y)φ(y)dy

10▹

En déduire que pour

f \in C^2(R) \cap CL(R)

telle que

f^'

f^('')

soient à croissance lente, on a

\forallt \in R_+^*, \forallx \in R, (\partialP_t(f)(x))/(\partialt) = L(P_t(f))(x).

Partie 3 : Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne

Pour

f \in C^0(R) \cap CL(R)

à valeurs strictement positives telle que

\int_(- \infty)^(+ \infty)f(x)φ(x)dx = 1

on définit l'entropie de

f

par rapport à

φ

par :

Ent_φ(f) = \int_(- \infty)^(+ \infty)ln(f(x))f(x)φ(x)dx

Dans la suite de cette partie,

f

est un élément de

C^2(R)

à valeurs strictement positives tel que les fonctions

f, f^', f^('')

(f^('2))/f

soient à croissance lente. On suppose aussi que

\int_(- \infty)^(+ \infty)f(x)φ(x)dx = 1

11▹

Étudier les variations de la fonction

t \mapsto tln(t)

sur

R_+^*

. On vérifiera que l'on peut prolonger par continuité la fonction en 0 .

12▹

Justifier que la quantité

Ent_φ(g)

est bien définie pour tout

g \in C^0(R) \cap CL(R)

à valeurs strictement positives telle que

\int_(- \infty)^(+ \infty)g(x)φ(x)dx = 1

Indication : On pourra utiliser la question 11.

13▹

Pour

t \in R_+

, on pose

S(t) = Ent_φ(P_t(f))

. Justifier que

S(t)

est bien définie.

14▹

Montrer que

S

est continue sur

R_+

.
Indication : On pourra au préalable montrer que, si

x \in R, t \mapsto P_t(f)(x)

est continue sur

R_+

15▹

Vérifier que l'on a

S(0) = Ent_φ(f)

lim_(t \to + \infty)S(t) = 0

16▹

On admet que

S

est de classe

C^1

sur

R_+^*

et que

\forallt \in R_+^*, S^'(t) = \int_(- \infty)^(+ \infty)(\partialP_t(f)(x))/(\partialt)(1 + ln(P_t(f)(x)))φ(x)dx.

Montrer que

\forallt \in R_+^*, S^'(t) = \int_(- \infty)^(+ \infty)L(P_t(f))(x)(1 + ln(P_t(f)(x)))φ(x)dx.

17▹

En admettant que le résultat de la question 7 est valable pour les fonctions

P_t(f)

1 + ln(P_t(f))

, montrer que

\forallt \in R_+^*, - S^'(t) = e^(- 2t)\int_(- \infty)^(+ \infty)(P_t(f^')(x)^2)/(P_t(f)(x))φ(x)dx.

18 - En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que

\forallt \in R_+^*, - S^'(t) \leq e^(- 2t)\int_(- \infty)^(+ \infty)P_t((f^('2))/f)(x)φ(x)dx.

19▹

En déduire que l'on a:

\forallt \in R_+^*, - S^'(t) \leq e^(- 2t)\int_(- \infty)^(+ \infty)(f^('2)(x))/(f(x))φ(x)dx.

20▹

Établir l'inégalité suivante

Ent_φ(f) \leq 1/2\int_(- \infty)^(+ \infty)(f^('2)(x))/(f(x))φ(x)dx.

Fin du problème

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Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 1 PC 2024 ?

Il porte sur les intégrales généralisées, les intégrales à paramètre, le théorème de convergence dominée, l'intégration par parties et l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Le fil conducteur est la preuve d'une inégalité de Sobolev logarithmique pour la gaussienne.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 1 PC 2024 ?

Surtout des erreurs de majoration dans les hypothèses de domination, une mauvaise compréhension de la croissance lente et l'oubli de vérifier l'existence des intégrales. Le jury signale aussi des calculs truqués pour retrouver les résultats de l'énoncé.

Le sujet Mines Maths 1 PC 2024 est-il difficile ?

Le jury le juge tout à fait abordable et d'une longueur adaptée à l'épreuve. Il demande toutefois une bonne connaissance du cours et beaucoup de rigueur dans les inégalités.

Quelles questions ont été les moins réussies en Mines Maths 1 PC 2024 ?

La question 12 a été très rarement réussie, la question 14 rarement bien traitée et la question 18 rarement abordée. La question 1 a été très discriminante.

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Notations et résultats admis

Partie 1 : Résultats préliminaires

Partie 2 : Dérivée de P_t(f)

Partie 3 : Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne

Fin du problème

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 1 PC 2024 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 1 PC 2024 ?

Le sujet Mines Maths 1 PC 2024 est-il difficile ?

Quelles questions ont été les moins réussies en Mines Maths 1 PC 2024 ?

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Partie 2 : Dérivée de $P_t(f)$