Mines Mathématiques 1 PC 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Théorème de la limite centrale

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Présentation du sujet

Difficile

Une version faible du théorème de la limite centrale, via un opérateur de convolution itéré convergeant vers la fonction gaussienne

Ce problème de mathématiques I, filière PC, établit une version faible du théorème de la limite centrale pour des variables aléatoires à densité de probabilité continue et bornée. Il construit une suite de fonctionnelles obtenues par itération d'un opérateur de convolution et montre qu'elle converge faiblement vers la fonction gaussienne, en s'appuyant sur les normes sur des espaces de fonctions, le calcul intégral à une ou deux variables (théorème de Fubini) et l'algèbre de convolution.

1I. PréliminairesDéfinition du produit de convolution de fonctions et de ses premières propriétés.
2II. Une classe d'opérateurs sur C0(R)Étude d'une classe d'opérateurs construits à partir de la convolution sur les fonctions continues tendant vers 0.
3III. Lois normalesÉtude des propriétés de la fonction gaussienne et des lois normales.
4IV. Convergence faible sur P(R)Démonstration de la convergence faible de la suite de fonctionnelles itérées vers la fonction gaussienne, aboutissant à la version faible du théorème de la limite centrale.

Difficile. Le jury indique que la majorité des candidats arrive tant bien que mal à la question 14 sur 19, et que la moyenne est obtenue lorsque les candidats ont correctement répondu à seulement 7 ou 8 questions, les questions 14 à 19 ayant été très rarement abordées.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Confusion sur l'intégrabilité · Théorème de Fubini mal appliqué · Inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée hors de son cadre

Le jury relève que les notions de convergence d'intégrale et d'intégrabilité sont loin d'être acquises, avec des erreurs répandues comme l'affirmation qu'une constante non nulle serait intégrable sur R, ou que l'intégrale d'une fonction continue positive serait négative. La rédaction pêche aussi par l'invocation de théorèmes sans les citer explicitement.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion sur l'intégrabilité
L'erreur la plus répandue consiste à croire qu'une constante non nulle est intégrable sur R, et plus généralement qu'une fonction de limite nulle en l'infini est automatiquement intégrable, par fausse analogie avec les séries.
2
Théorème de Fubini mal appliquéQ3
La vérification des conditions d'application du théorème de Fubini n'est pas correctement faite, souvent à cause de confusions sur les variables, allant jusqu'à l'invention d'une formule inédite de Fubini.
3
Inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée hors de son cadreQ3, Q4
L'inégalité de Cauchy-Schwarz est appliquée à des fonctions qui ne sont pas nécessairement de carré intégrable, ou utilisée à tort avec la norme infinie.
4
Théorème de convergence dominée mal maîtriséQ13, Q14
Le théorème de convergence dominée est mal appliqué, la fonction dominante étant difficile à trouver et parfois elle-même non intégrable.
5
Récurrence réduite à une formule magiqueQ7, Q9
Plusieurs candidats se contentent d'écrire « par récurrence on a » sans amorcer ni rédiger réellement le raisonnement par récurrence attendu.

Ce qui a été bien réussi

Les copies sont en général assez bien présentées et les questions clairement indiquées.
Certaines questions du début du problème ont été convenablement traitées, voire de façon originale, notamment aux questions 6 et 7.
La récurrence est réussie pour justifier la valeur du degré d'un polynôme en question 10, quand la formule de Leibniz est correctement appliquée.
Beaucoup de candidats ont présenté leurs réponses de façon claire, avec rigueur scientifique et honnêteté intellectuelle, et ont obtenu une note méritante.

Conseils du jury

Bien vérifier toutes les conditions d'application d'un théorème (Fubini, convergence dominée, Cauchy-Schwarz) avant de l'utiliser.
Contrôler systématiquement la validité de ses calculs, par exemple en vérifiant que l'intégrale d'une fonction positive reste positive.
Rédiger explicitement chaque étape d'un raisonnement par récurrence plutôt que de se contenter d'une formule toute faite.
Citer explicitement les théorèmes utilisés et préciser les hypothèses vérifiées, sans laisser le correcteur deviner.
S'entraîner régulièrement aux techniques calculatoires de base pour pouvoir les retrouver même en cas de trou de mémoire.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2010

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : trois heures)Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Théorème de la Limite Centrale.

Notations

On introduit les trois espaces vectoriels sur

ℝ

de fonctions suivants

$C_0(ℝ)$ , l'espace des fonctions continues $u$ de $ℝ$ dans $ℝ$ telles que

lim_(x \to - \infty)u(x) = 0 = lim_(x \to + \infty)u(x).

On rappelle qu'une telle fonction

u

est nécessairement bornée sur

ℝ

$C_0^\infty(ℝ)$ , l'espace des fonctions continues et de classe $C^\infty$ (sur $ℝ$ ) $u$ de $ℝ$ dans $ℝ$ telles que

\forallk \in ℕ, lim_(x \to - \infty)u^((k))(x) = 0 = lim_(x \to + \infty)u^((k))(x)

On a noté

u^((k))

la dérivée k-ième de

u

$P(ℝ)$ , l'espace des fonctions continues positives bornées de $ℝ$ dans $ℝ$ dont l'intégrale sur $ℝ$ est égale à 1 .
On munit $C_0(ℝ)$ de la norme de la convergence uniforme $‖‖_\infty$ : plus précisément, pour toute fonction $u \in C_0(ℝ)$ , on pose

‖u‖_\infty = sup_(x \in ℝ)|u(x)|.

On pourra utiliser librement le théorème de Fubini admis ci-dessous :
Théorème 1. (Fubini) Soit (

x, y

)

\mapsto F(x, y)

une fonction continue de

ℝ \times ℝ

dans

ℝ

. On suppose que

F

vérifie les trois propriétés suivantes.

1] Pour tous réels

x, y

, les deux intégrales

\int_(- \infty)^(+ \infty)|F(v, y)|dv

\int_(- \infty)^(+ \infty)|F(x, t)|dt

convergent.
2] Les fonctions

y \mapsto \int_(- \infty)^(+ \infty)|F(x, y)|dx, x \mapsto \int_(- \infty)^(+ \infty)|F(x, y)|dy, y \mapsto \int_(- \infty)^(+ \infty)F(x, y)dx

x \mapsto \int_(- \infty)^(+ \infty)F(x, y)dy

sont toutes continues sur

ℝ

y \mapsto \int_(- \infty)^(+ \infty)|F(x, y)|dx

est intégrable sur

ℝ

, c'est à dire que l'intégrale :

\int_(- \infty)^(+ \infty)(\int_(- \infty)^(+ \infty)|F(x, y)|dx)dy

converge.
Alors dans ce cas,

y \mapsto \int_(- \infty)^(+ \infty)F(x, y)dx

x \mapsto \int_(- \infty)^(+ \infty)F(x, y)dy

sont intégrables sur

ℝ

, et leurs intégrales sur

ℝ

sont égales. Autrement dit, on peut intervertir les deux intégrales :

\int_(- \infty)^(+ \infty)(\int_(- \infty)^(+ \infty)F(x, y)dx)dy = \int_(- \infty)^(+ \infty)(\int_(- \infty)^(+ \infty)F(x, y)dy)dx

I. Préliminaires

Pour

f

g

appartenant respectivement à

P(ℝ)

C_0(ℝ)

, on définit le produit de convolution

f*g

par la formule

\forallx \in ℝ, f*g(x) = \int_(- \infty)^(+ \infty)f(t)g(x - t)dt

On définit

f*g(x)

par la même formule si

f \in C_0(ℝ)

g \in P(ℝ)

.
Q1 Soient

f \in P(ℝ)

g \in C_0(ℝ)

. Montrer que l'intégrale

\int_(- \infty)^(+ \infty)f(t)g(x - t)dt

converge pour tout réel

x

. Puis montrer que

f*g

définit une fonction continue sur

ℝ

. (On pourra utiliser le théorème de continuité sous le signe

\int

et on vérifiera avec soin que les conditions de validité sont remplies). Vérifier de plus que

\forallx \in ℝ, f*g(x) = g*f(x)

Q2 Montrer que

lim_(x \to + \infty)f*g(x) = 0

. (On considèrera une suite réelle quelconque

(x_n)_(n \in ℕ)

tendant vers

+ \infty

. On vérifiera avec soin qu'on peut appliquer le théorème de convergence dominée pour étudier

lim_(n \to + \infty)f*g(x_n)

). Montrer de même que

lim_(x \to - \infty)f*g(x) = 0

Q3 Soient

f

g

appartenant à

P(ℝ)

. Montrer alors que

f*g

définit une fonction de

P(ℝ)

. Plus précisément, montrer que

f*g

définit une fonction continue sur

ℝ

, bornée, positive et d'intégrale égale à 1 . (On appliquera le théorème de Fubini à la fonction

(x, y) \mapsto f(y)g(x - y)

et on pourra se contenter de ne vérifier que les conditions 1] et 3]).

Dans la suite on admettra et utilisera librement le résultat suivant. Si

f

g

appartiennent à

P(ℝ)

u

est une fonction de

C_0(ℝ)

alors,

f*(g*u) = (f*g)*u

Soient

f_1, \dots, f_n

des fonctions de

P(ℝ)

. On définit alors le produit de convolution

f_1*\dots*f_n

par récurrence comme suit :

f_1∗…∗f_k = (f_1∗…∗f_(k − 1))∗f_k, ∀k ∈ {3, …, n}.

Il est clair que

f_1*\dots*f_n

est une fonction de

P(ℝ)

.
Dans la suite, on notera

f^(*n)

la fonction

f*\dots*f

, la fonction

f

intervenant

n

fois.

II. Une classe d'opérateurs sur $C_0(ℝ)$

Soit

f

une fonction de

P(ℝ)

. On lui associe l'opérateur

T_f

agissant sur

C_0(ℝ)

défini pour tout

u \in C_0(ℝ)

par

T_f(u) = f*u

D'après Q1 et Q2,

T_f

définit un endomorphisme de

C_0(ℝ)

.
Q4 Soit

f

une fonction de

P(ℝ)

. Prouver que pour tout

u \in C_0(ℝ)

‖T_f(u)‖_\infty \leq ‖u‖_\infty

Q5 Soient

f

g

deux fonctions de

P(ℝ)

. Prouver que pour toute fonction

u

C_0(ℝ)

T_f T_g(u) = T_g T_f(u)

où

T_f T_g

désigne la composée des opérateurs

T_f

T_g

.
Q6 Soient

f_1, f_2, g_1, g_2

des fonctions de

P(ℝ)

. Prouver que pour tout

u \in C_0(ℝ)

‖T_(f_1)T_(f_2)(u) - T_(g_1)T_(g_2)(u)‖_\infty \leq ‖T_(f_1)(u) - T_(g_1)(u)‖_\infty + ‖T_(f_2)(u) - T_(g_2)(u)‖_\infty

Q7 Soient

f

g

des fonctions de

P(ℝ)

. Prouver que si

u \in C_0(ℝ)

, alors pour tout

n \in ℕ^*

‖(T_f)^n(u) - (T_g)^n(u)‖_\infty \leq n‖T_f(u) - T_g(u)‖_\infty.

III. Lois normales

On introduit pour tout réel

h > 0

, la fonction

g_h(x) = 1/(h\sqrt(2π))e^(- (x^2)/(2h^2)), x \in ℝ

dite loi normale de paramètre

h

. On admet que

g_1

est une fonction de

P(ℝ)

.
Q8 Pour tout réel

h > 0

, montrer que

g_h

est une fonction de

P(ℝ)

, puis calculer les deux intégrales suivantes :

\int_(- \infty)^(+ \infty)xg_h(x)dx, \int_(- \infty)^(+ \infty)x^2 g_h(x)dx

Soient

h_1 > 0

h_2 > 0

deux réels strictement positifs. On admettra que:

g_(h_1)*g_(h_2) = g_h,

où

h = \sqrt(h_1^2 + h_2^2)

.
Q9 Soit

h > 0

. Etablir les deux égalités suivantes entre opérateurs :

\foralln \in ℕ^*, T_(g_h) = (T_(g_(h/(\sqrtn))))^n = T_((g_(h/(\sqrtn)))^(*n))

IV. Convergence faible sur $P(ℝ)$

Définition : Soit

(f_n)_(n \in ℕ)

une suite de fonctions de

P(ℝ)

. On dira que

(f_n)

converge faiblement vers

f

f

étant une fonction de

P(ℝ)

, si pour toute fonction

u

C_0(ℝ)

lim_(n \to + \infty)‖T_(f_n)(u) - T_f(u)‖_\infty = 0

Soit

u

une fonction de

C_0(ℝ)

. On fixe un réel

h > 0

et on considère la fonction

T_(g_h)(u) : ℝ \to ℝ

définie pour

x

réel par :

(g_h*u)(x) = T_(g_h)(u)(x) = \int_(- \infty)^(+ \infty)g_h(t)u(x - t)dt = \int_(- \infty)^(+ \infty)g_h(x - t)u(t)dt

où

g_h

a été défini au début de la partie III.
Q10 Soit

h

strictement positif fixé et

k \in ℕ

. Démontrer qu'il existe un polynôme

P_(k, h)

dont on précisera le degré tel que :

\forallx \in ℝ, ((d^k)/(dx^k)g_h)(x) = P_(k, h)(x)e^(- (x^2)/(2h^2))

Q11 Soient

h, a \in ℝ^(+ *)

k

un entier positif ou nul. Prouver qu' il existe une fonction

φ_k : ℝ \to [0, + \infty[

continue par morceaux et intégrable sur

ℝ

telle que :

\forallx \in [ - a, a], \forallt \in ℝ, |P_(k, h)(x - t)e^(- ((x - t)^2)/(2h^2))| \leq φ_k(t)

La fonction

φ_k

ne dépend que de

h, a

k

. (On pourra majorer

|P_(k, h)(x - t)e^(- ((x - t)^2)/(4h^2))|

indépendamment de

(x - t)

. Ensuite on pourra majorer convenablement

e^(- ((x - t)^2)/(4h^2))

pour

|t| \geq 2a

x \in [ - a, a])

.
Q12 Soient

h

strictement positif fixé et

u \in C_0(ℝ)

. Démontrer que

T_(g_h)(u)

est une fonction de classe

C^1

sur

ℝ

. Puis montrer que

T_(g_h)(u)

est de classe

C^\infty

sur

ℝ

Q13 Pour

h

strictement positif fixé et

u \in C_0(ℝ)

, démontrer que

T_(g_h)(u)

est une fonction de

C_0^\infty(ℝ)

.
Q14 Soit

α

un réel strictement positif. Déterminer

lim_(h \to 0^+)\int_(- \infty)^(- α)g_h(t)dt

lim_(h \to 0^+)\int_α^(+ \infty)g_h(t)dt

. Q15 Soit

u \in C_0(ℝ)

. Prouver que

lim_(h \to 0^+)‖T_(g_h)(u) - u‖_\infty = 0

Pour cela on utilisera la question précédente ainsi que le résultat admis suivant, valable pour tout

u \in C_0(ℝ)

\forallε > 0, \existsα > 0, \forallx, y \in ℝ, |x - y| \leq α \Rightarrow |u(x) - u(y)| \leq ε

Q16 Soit

(f_n)_(n \in ℕ)

une suite de fonctions de

P(ℝ)

f

une fonction de

P(ℝ)

. On suppose que pour toute fonction

u

C_0^\infty(ℝ)

lim_(n \to + \infty)‖T_(f_n)(u) - T_f(u)‖_\infty = 0

Prouver alors que (

f_n

) converge faiblement vers

f

. (On pourra utiliser les questions 4 et 15).

Dans la suite,

f

est une fonction de

P(ℝ)

telle que

x \to x^2 f(x)

est aussi dans

P(ℝ)

. On admet que l'intégrale

\int_(- \infty)^(+ \infty)tf(t)dt

converge et on supposera que

\int_(- \infty)^(+ \infty)tf(t)dt = 0

. Pour tout

n

entier strictement positif, on introduit les deux fonctions

f_n

f_n^#

définies par:

\forallx \in ℝ, f_n(x) = \sqrtnf(\sqrtnx), f_n^#(x) = nx^2 f_n(x).

On admettra que

f_n

f_n^#

appartiennent à

P(ℝ)

.
Q17 Soit

x \in ℝ

u \in C_0^\infty(ℝ)

. Vérifier que

t \to (u(x - t) - u(x) + tu^'(x))/(t^2)

se prolonge continûment en

t = 0

. Puis montrer que pour tout

n \in ℕ^*

on a :

n(T_(f_n)(u)(x) - u(x)) - 1/2u^('')(x) = \int_(- \infty)^(+ \infty)((u(x - t) - u(x) + tu^'(x))/(t^2) - 1/2u^('')(x))f_n^#(t)dt

,
où

u^'

désigne la dérivée première de

u

u^('')

désigne la dérivée seconde de

u

.
Q18 Démontrer que pour toute fonction

u

C_0^\infty(ℝ)

lim_(n \to + \infty)‖n(T_(f_n)(u) - u) - 1/2u^('')‖_\infty = 0

(On pourra considérer les trois intégrales

\int_(- \infty)^(- α), \int_(- α)^α

\int_α^(+ \infty)

, avec

α > 0

bien choisi, dans le second membre de la formule de la question précédente).

Q19 Montrer que pour toute fonction

u

C_0^\infty(ℝ)

lim_(n \to + \infty)‖T_(f_n)^n(u) - T_(g_1)(u)‖_\infty = 0

où

g_1

a été définie au début de la partie III. (On pourra utiliser les questions 7,9 et 18). Conclure que la suite

(f_n^(*n))

converge faiblement vers

g_1

; on rappelle que la notation

f^(*n)

a été définie juste après la question 3.

FIN DU PROBLÈME.

Ce dernier résultat intervient en théorie des probabilités. Il constitue une version faible du théorème de la limite centrale dans le cas de variables aléatoires à densité de probabilité

f

continue bornée sur

ℝ

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques I des Mines PC 2010 sur le théorème de la limite centrale ?

Elle porte sur les normes sur des espaces de fonctions, le calcul intégral à une ou deux variables (théorème de Fubini) et l'algèbre de convolution, pour établir une version faible du théorème de la limite centrale.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de maths I Mines PC ?

Le jury signale une confusion fréquente sur l'intégrabilité (croire qu'une constante non nulle est intégrable sur R), une mauvaise application du théorème de Fubini et du théorème de convergence dominée, et des récurrences non réellement rédigées.

Ce sujet des Mines PC 2010 sur le théorème de la limite centrale est-il difficile ?

Oui, le jury indique que la moyenne est obtenue avec seulement 7 ou 8 bonnes réponses sur 19 questions, et que les six dernières questions ont été très rarement abordées.

Faut-il bien maîtriser le calcul intégral pour ce sujet des Mines PC sur la convolution ?

Oui, le sujet repose largement sur une bonne manipulation du calcul intégral, notamment l'interversion limite-intégrale et le théorème de Fubini, des points que le jury juge insuffisamment maîtrisés.

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Théorème de la Limite Centrale.

Notations

I. Préliminaires

II. Une classe d'opérateurs sur C_0(ℝ)

III. Lois normales

IV. Convergence faible sur P(ℝ)

FIN DU PROBLÈME.

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques I des Mines PC 2010 sur le théorème de la limite centrale ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de maths I Mines PC ?

Ce sujet des Mines PC 2010 sur le théorème de la limite centrale est-il difficile ?

Faut-il bien maîtriser le calcul intégral pour ce sujet des Mines PC sur la convolution ?

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II. Une classe d'opérateurs sur $C_0(ℝ)$

IV. Convergence faible sur $P(ℝ)$