Centrale Mathématiques 1 PC 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Approximation polynomiale des fonctions C∞ par les polynômes de Tchebychev et les inégalités de Markov-Bernstein

Le problème établit une extension du théorème de Weierstrass : une fonction f continue sur [-1,1] est de classe C∞ si et seulement si elle admet une approximation polynomiale uniforme à décroissance rapide. La partie I introduit les polynômes de Tchebychev par une présentation fonctionnelle originale, la partie II établit les inégalités de Bernstein et de Markov, et la partie III relie ces résultats aux séries de Fourier pour prouver le résultat annoncé.

1Partie I : Polynômes de TchebychevRetrouver les propriétés classiques des polynômes de Tchebychev à partir d'une présentation fonctionnelle atypique.
2Partie II : Inégalités de Bernstein et de MarkovÉtablir des inégalités majorant la norme infinie de la dérivée d'un polynôme par sa norme infinie, avec des outils du programme de PC.
3Partie III : Approximation polynomialedeuxième annéeDémontrer le résultat d'approximation annoncé en s'appuyant sur la théorie des séries de Fourier.

Difficile. Le rapport indique que le problème est un peu long et qu'aucun candidat ne l'a traité dans son intégralité ; de nombreuses questions, notamment en fin de partie II et dans la partie III, n'ont presque jamais été traitées correctement.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Démonstration de I.A.4 bâclée · Intégrabilité du produit supposée sans preuve · Valeurs absolues oubliées

Le problème est un peu long et aucun candidat ne l'a traité dans son intégralité. Les parties I et II font appel à la culture mathématique des candidats, tandis que la partie III, qui traite des séries de Fourier, n'est abordée que par peu de candidats, qui se contentent souvent de citer les théorèmes généraux sans vérifier leurs hypothèses. Des points importants comme la nécessité des valeurs absolues dans les majorations ou la distinction entre convergence simple, absolue et normale semblent souvent méconnus.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Démonstration de I.A.4 bâcléeI.A.4
La démonstration est très rarement correcte, beaucoup de candidats se contentant de regarder ce qui se passe en ±1, ou justifiant l'absence de démonstration par une confusion entre préciser et démontrer.
« La démonstration est très rarement correcte, beaucoup se contentant de regarder ce qui se passe en ±1 »
2
Intégrabilité du produit supposée sans preuveI.C.1
Une proportion importante de copies suppose, implicitement ou explicitement, qu'un produit de fonctions intégrables est intégrable, et la continuité de l'intégrant n'est pas mentionnée dans la majorité des cas.
« Une proportion importante de copies sous-entend (ou utilise directement) qu'un produit de fonctions intégrables est intégrable »
3
Valeurs absolues oubliéesII.A.2
Les valeurs absolues sont très mal gérées par les candidats, souvent tout simplement oubliées, et la notion de borne supérieure est mal maîtrisée.
« Les valeurs absolues sont très mal gérées par les élèves »
4
Erreurs classiques sur les sériesIII.A.1
Les erreurs les plus fréquentes sont l'oubli des valeurs absolues, l'affirmation qu'une suite bornée entraîne la convergence de la série associée, ou l'utilisation à tort de la règle de D'Alembert.
5
Théorèmes cités sans vérification des hypothèses
Les candidats qui abordent la partie III se contentent en général de citer les théorèmes généraux sans vérifier que les hypothèses sont satisfaites.
« les candidats qui abordent cette partie, peu nombreux, se contentent en général de citer les théorèmes généraux sans vérifier que les hypothèses sont satisfaites »
6
Question de programmation trop souvent ignoréeI.A.4
La question relative à la programmation en calcul formel est trop souvent ignorée, alors qu'une bonne maîtrise du logiciel est très lucrative pour les candidats.

Ce qui a été bien réussi

La question I.C.2 est abordée avec succès par une majorité des copies, même si elle donne souvent lieu à des longueurs.
Les questions I.C.3.a et I.C.3.b sont abordées avec succès par les meilleures copies.
Un argument de concavité a permis à beaucoup de candidats une démonstration rapide en II.A.1.b.
La question III.A.1 est la question la plus abordée de la partie III.
Les hypothèses du théorème concerné en III.B.2 sont en général connues des candidats.

Conseils du jury

Parcourir l'intégralité du sujet avant de se lancer dans la rédaction de la solution.
Ne pas sauter systématiquement les questions faisant appel à un logiciel de calcul formel, souvent très payantes.
Rédiger correctement les récurrences, y compris fortes ou doubles, plutôt que d'extrapoler ou d'invoquer des raisonnements rapides.
Vérifier les hypothèses des théorèmes avant de les appliquer, en particulier sur les séries et les intégrales.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Les calculatrices sont autorisées.

Le but de ce problème est de faire établir le résultat suivant d'approximation polynomiale.
Une fonction

f

continue sur le segment

[ - 1, 1]

y est de classe

C^\infty

si et seulement si il existe une suite

(p_n)_(n \in ℕ)

de fonctions polynomiales, où

p_n

est de degré

n

, telle que sup

|f(x) - p_n(x)|

tende vers 0 pour

n \to + \infty

plus vite que n'im-

- 1 \leq x \leq 1

porte quelle puissance de

1/n

.
L'approche proposée consiste à se ramener à des résultats connus sur l'approximation des fonctions périodiques par leurs séries de Fourier, au moyen des polynômes de Tchebychev, dont on étudiera les principales propriétés dans la partie I.
La partie II établit certaines inégalités dues à Markov et à Bernstein, permettant de majorer la norme infinie de la dérivée d'une fonction polynomiale sur un segment à l'aide de la norme infinie de la fonction polynomiale sur le même segment.
La partie III établit le résultat annoncé concernant l'approximation à l'aide, en particulier, des inégalités de Markov et de Bernstein.

On rappelle qu'une fonction polynomiale non nulle, de degré

n

, est une fonction définie sur un intervalle de

ℝ

de la forme

f : x \mapsto f(x) = \sum_(k = 0)^n a_k x^k

où

a_0, \dots, a_(n - 1)

sont des nombres réels et

a_n

un nombre réel non nul, nommé «coefficient dominant de

» f»

Partie I - Polynômes de Tchebychev

I.A - Pour tout entier

n \in ℕ

, on pose

F_n(x) = cos(narccosx)

.
I.A.1)
a) Montrer que les fonctions

F_n

sont définies sur un même domaine

D

à préciser.
b) Calculer

F_1(x), F_2(x)

F_3(x)

pour tout

x \in D

.
c) Calculer

F_n(1), F_n(0)

F_n(- 1)

pour tout

n \in ℕ

.
d) Préciser les propriétés de parité de

F_n

en fonction de

n

.
I.A.2) Calculer

F_(n + 1)(x) + F_(n - 1)(x)

pour tout

n \in ℕ^*

et tout

x \in D

.
I.A.3) Déduire de ce qui précède que

F_n

se prolonge à

ℝ

en une fonction polynomiale unique, dont on précisera le degré ainsi que le coefficient dominant.
Dans la suite, on notera toujours

F_n

la fonction prolongée.
I.A.4) Écrire une fonction tchebychev qui prend en argument un nombre entier

n

et qui renvoie l'affichage de l'expression

F_n(x)

. On utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel usuellement utilisé.

Dans toute la suite de ce problème, on posera

T_0(x) = 1

. Pour

n \in ℕ^*

, on notera

T_n

la fonction polynomiale vérifiant

T_n(x) = 2^(1 - n)F_n(x)

pour tout

x \in ℝ

.
I.A.5) Déterminer deux réels

a

b

tels que

\forallx \in ℝ, \foralln \in ℕ^*, T_(n + 2)(x) = axT_(n + 1)(x) + bT_n(x).

I.B -
I.B.1) Soit

n \in ℕ

.
a) Montrer que la fonction

F_n

est de classe

C^\infty

sur

ℝ

.
b) Pour

x \in ] - 1, 1[

, donner une expression simple de

F_n^'(x)

. On justifiera soigneusement le calcul.
I.B.2) Soit

n \in ℕ^*

.
a) Montrer que

arccos(x) \sim \sqrt(2(1 - x))

quand

x \to 1

.
b) En déduire le calcul de

F_n^'(1)

et de

F_n^'(- 1)

.
I.B.3) Montrer que, pour tout

n \in ℕ^*

et tout

x

réel, on a la relation suivante:

(1 - x^2)T_n^('')(x) - xT_n^'(x) + n^2 T_n(x) = 0

I.C - On note

E

l'espace vectoriel des fonctions polynomiales sur

ℝ

et, pour tout

n \in ℕ

, on note

E_n

le sous-espace vectoriel de

E

formé des fonctions polynomiales de degré au plus

n

.
I.C.1) Montrer que, pour tout couple

(f, g)

E \times E

, la fonction :

x \mapsto f(x)g(x)1/(\sqrt(1 - x^2))

est intégrable sur l'intervalle

] - 1, 1[

.
I.C.2) La question précédente montre que l'application

φ

suivante est bien définie :

φ : {E × E, → ℝ; (f, g), ↦ ∫_(− 1)^1 1/(√(1 − x^2))f(x)g(x)dx

Montrer que

φ

définit un produit scalaire sur

E

.
Dans la suite, on suppose que l'espace

E

est muni de ce produit scalaire, que l'on note (.|.).
I.C.3)
a) Montrer qu'il existe une suite de fonctions polynomiales

(p_n)_(n \in ℕ)

telle que, pour tout

n \in ℕ, p_n

soit de degré

n

et de coefficient dominant 1 , et que, pour tout

n \in ℕ^*, p_n

soit orthogonale à tous les éléments de

E_(n - 1)

.
b) Montrer qu'il existe une unique famille

(Q_n)_(n \in ℕ)

de fonctions polynomiales vérifiant les conditions suivantes :
i) la famille

(Q_n)_(n \in ℕ)

est orthogonale pour le produit scalaire

(\cdot | \cdot)

;
ii) pour tout

n \in ℕ, Q_n

est de degré

n

et de coefficient dominant 1 .
I.C.4) Calculer

(T_m|T_n)

pour tout

(m, n) \in ℕ \times ℕ

. Que peut-on en déduire?

Partie II - Inégalités de Bernstein et de Markov

II.A -
II.A.1) On cherche à montrer que l'inégalité

|sin(nθ)| ⩽ nsin(θ)

est satisfaite pour tout

n \in ℕ^*

et tout

θ \in [0, π/2]

.
a) Montrer que

sin(nθ) ⩽ nsin(θ)

pour tout

n \in ℕ^*

et tout

θ \in [0, π/(2n)]

.
b) Montrer que, pour tout

θ \in [0, π/2]

, on a

sin(θ) ⩾ 2/πθ

.
c) En déduire que :

\forallθ \in [π/(2n), π/2], 1 ⩽ nsin(θ)

d) Conclure.
e) Pour quelles valeurs de

θ \in [0, π/2]

a-t-on

|sin(nθ)| = nsin(θ)

?
II.A.2) Montrer que pour tout

n \in ℕ^*

sup_(x \in [ - 1, 1])|T_n^'(x)| = 2^(1 - n)n^2

Cette borne supérieure est-elle atteinte? Dans l'affirmative, préciser pour quelles valeurs de

x

.
II.A.3) Soit

n \in ℕ^*

. Montrer que la fonction polynomiale

T_n

admet exactement

n

zéros deux à deux distincts et appartenant à

] - 1, 1[

. Pour

j \in {1, 2, \dots, n}

, on notera

x_(n, j)

j

-ième zéro de

T_n

dans l'ordre croissant. Donner la valeur de

x_(n, j)

.
II.A.4) Soit

n \in ℕ^*

x ∈ ℝ∖{x_(n, j), 1 ⩽ j ⩽ n}

. Montrer que :

(T_n^'(x))/(T_n(x)) = \sum_(j = 1)^n 1/(x - x_(n, j))

II.A.5) Soient

n ∈ ℕ^∗, x ∈ ℝ∖{x_(n, j), 1 ⩽ j ⩽ n}

P \in E_(n - 1)

.
a) Montrer que :

P(x) = \sum_(j = 1)^n(P(x_(n, j)))/(T_n^'(x_(n, j)))(T_n(x))/(x - x_(n, j))

b) En déduire que

P(x) = (2^(n - 1))/n\sum_(j = 1)^n(- 1)^(n - j)\sqrt(1 - x_(n, j)^2)P(x_(n, j))(T_n(x))/(x - x_(n, j))

II.B - Inégalité de Bernstein

II.B.1) Montrer que, pour tout

x \in [x_(n, 1), x_(n, n)]

, on a

\sqrt(1 - x^2) \geq 1/n

II.B.2)
a) Soient

n \in ℕ^*

P \in E_(n - 1)

tel que

sup_(x \in [ - 1, 1])\sqrt(1 - x^2)|P(x)| \leq 1

Montrer que

sup_(x \in [ - 1, 1])|P(x)| \leq n.

(On distinguera trois cas selon que

x

appartient à l'un des intervalles

[ - 1, x_(n, 1)[

[x_(n, 1), x_(n, n)]

]x_(n, n), 1]

).
b) En déduire que pour tout

n \in ℕ^*

et pour tout

P \in E_(n - 1)

, on a :

sup_(x \in [ - 1, 1])|P(x)| ⩽ nsup_(x \in [ - 1, 1])\sqrt(1 - x^2)|P(x)|.

II.B.3) Soit

T

un polynôme trigonométrique de la forme

T(θ) = a_0 + \sum_(k = 1)^n[a_k cos(kθ) + b_k sin(kθ)]

où

a_0, a_1, b_1, \dots, a_n, b_n \in ℝ

.
a) Soit

k \in ℕ^*

. Montrer qu'il existe une fonction polynomiale

B_k

de degré (

k - 1

) tels que :

\forallθ \in ℝ, sin(kθ) = B_k(cos(θ))sin(θ)

b) Soit

θ_0 \in ℝ

Montrer qu'il existe une fonction polynomiale

P \in E_(n - 1)

tel que, pour tout

θ \in ℝ

, on ait:

T(θ_0 + θ) - T(θ_0 - θ) = 2P(cosθ)sinθ

c) En déduire que :

sup_(x \in [ - 1, 1])|P(x)| ⩽ nsup_(θ \in ℝ)|T(θ)|.

d) Montrer que :

sup_(θ \in ℝ)|T^'(θ)| \leq nsup_(θ \in ℝ)|T(θ)|.

II.C - Inégalité de Markov

Soit

P \in E_n

.
Montrer que :

sup_(x \in [ - 1, 1])|P^'(x)| \leq n^2 sup_(x \in [ - 1, 1])|P(x)|.

(On pourra faire intervenir le polynôme trigonométrique

T(θ) = P(cos(θ))

Partie III - Approximation polynomiale

Dans toute cette partie, on note

C([ - 1, 1])

l'espace vectoriel des fonctions continues sur

[ - 1, 1]

à valeurs réelles.
On le munit de la norme infinie :

\forallf \in C([ - 1, 1]), ‖f‖_\infty = sup_(x \in [ - 1, 1])|f(x)|

On note

C^\infty([ - 1, 1])

le sous-espace de

C([ - 1, 1])

constitué des fonctions de classe

C^\infty

sur

[ - 1, 1]

.
Pour tout entier

n \in ℕ, V_n

désigne l'ensemble des restrictions à

[ - 1, 1]

des éléments de

E_n

.
Pour toute fonction

f \in C([ - 1, 1])

, on pose

d(f, V_n) = inf_(p \in V_n)‖f - p‖_\infty

On dit qu'une suite

(α_n)_(n \in ℕ)

de nombres réels est à décroissance rapide si pour tout entier

k \in ℕ

, la suite

(n^k α_n)_(n \in ℕ)

est bornée. On note

S

l'ensemble des suites de nombres réels à décroissance rapide.
III.A - Soit

(α_n)_(n \in ℕ)

une suite de

S

j \in ℕ

.
III.A.1) Montrer que la série numérique

\sum_(n \in ℕ)n^j α_n

est convergente.

On pose, pour

n \in ℕ

R_n(j) = \sum_(p = n + 1)^(+ \infty)p^j α_p

III.A.2) Montrer que la suite

(R_n(j))_(n \in ℕ)

est à décroissance rapide.
III.B - Soit

(α_n)_(n \in ℕ)

une suite de

S

.
III.B.1) Montrer que, pour tout

x \in [ - 1, 1]

, la série

\sum_(n ⩾ 0)α_n F_n(x)

est convergente.
Dans la suite de cette question III.B, on définit la fonction

f

sur le segment

[ - 1, 1]

par:

\forallx \in [ - 1, 1], f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)α_n F_n(x)

III.B.2) Montrer que

f

est de classe

C^\infty

sur

[ - 1, 1]

.
III.B.3) Montrer que la suite

(d(f, V_n))_(n \in ℕ)

est à décroissance rapide.

Les notations suivantes seront valables jusqu'à la fin du sujet.
Pour une fonction

h \in C([ - 1, 1])

, on note

h˜

la fonction

2π

-périodique suivante :

h~ : {ℝ \to ℝ; θ \mapsto h(cos(θ))

On rappelle que les coefficients de Fourier de

h˜

sont donnés par les formules suivantes, pour tout entier

n \in ℕ^*

a_0(h˜) = 1/(2π)\int_(- π)^π h˜(t)dt; a_n(h˜) = 1/π\int_(- π)^π h˜(t)cos(nt)dt; b_n(h˜) = 1/π\int_(- π)^π h˜(t)sin(nt)dt

III.C - Soit

f \in C^\infty([ - 1, 1])

.
III.C.1) Montrer que la suite

(a_n(f˜))_(n \in ℕ)

est à décroissance rapide. Que vaut

b_n(f˜)

?
III.C.2) Montrer que la série de Fourier de

f˜

converge normalement vers

f˜

.
III.C.3) Montrer qu'il existe une suite

(α_n(f))_(n \in ℕ)

à décroissance rapide telle que

f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)α_n(f)F_n(x)

pour tout

x \in [ - 1, 1]

. Donner une expression de

α_n(f)

en fonction de

f

et de

n

.
III.D - Soit

f \in C([ - 1, 1])

On suppose que la suite

(d(f, V_n))_(n \in ℕ)

est à décroissance rapide.
III.D.1) Montrer qu'on peut construire une suite

(p_n)_(n \in ℕ)

de fonctions polynomiales telle que :

pour tout entier $n, deg(p_n) ⩽ n$
$(‖f - p_n‖_\infty)_(n \in ℕ)$ est à décroissance rapide.
III.D.2) Le but de cette question est de montrer que la fonction $f$ est de classe $C^\infty$ .
a) Soit $k \in ℕ^*$ . Montrer que, pour $P \in E_(k - 1), a_k(f˜) = a_k(f - P˜)$ .
b) En déduire que la suite $(a_n(f˜))_(n \in ℕ)$ des coefficients de Fourier de la fonction $f˜$ est à décroissance rapide.
c) Conclure.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 1 PC 2010 ?

Il porte sur les polynômes de Tchebychev, les inégalités de Markov et de Bernstein, et l'approximation polynomiale par les séries de Fourier.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Des valeurs absolues oubliées dans les majorations, des hypothèses de théorèmes non vérifiées, et une confusion sur l'intégrabilité d'un produit de fonctions intégrables.

Ce sujet Centrale maths 1 PC 2010 est-il faisable en prépa PC ?

Le rapport le juge un peu long, puisqu'aucun candidat ne l'a traité en intégralité, et de nombreuses questions, notamment en partie III, sont rarement réussies.

Faut-il connaître les séries de Fourier pour ce sujet ?

Oui, la partie III mobilise fortement le programme de seconde année sur les séries de Fourier et les séries numériques.

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