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Sujet Centrale Mathématiques 2 PC 2024

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Présentation du sujet

Difficile
Produits infinis : produit de Wallis, théorème de Borel-Cantelli, sinus comme produit infini et fonction Gamma
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Le problème introduit la notion de produit infini et l'applique à plusieurs résultats classiques. Après des préliminaires aboutissant à la limite de (1 + z/n)^n pour z complexe, il calcule le produit de Wallis et démontre le théorème de Borel-Cantelli, puis étudie la continuité et la dérivabilité de fonctions définies par des produits infinis. Il en déduit l'écriture du sinus comme produit infini, la somme des 1/n², et des propriétés de la fonction Γ.

  1. 1Partie I : résultats préliminairesInégalités sur des produits de réels, puis convergence de (1 + z/n)^n vers e^z pour un nombre complexe z.
  2. 2Partie II : exemples de calcul de produit infiniProduit télescopique, intégrales de Wallis et formule de Stirling pour calculer un produit infini, puis démonstration du théorème de Borel-Cantelli.
  3. 3Partie III : étude d'une fonction définie par un produit infiniConvergence uniforme, continuité et dérivabilité d'un produit infini de fonctions à l'aide de sa dérivée logarithmique.
  4. 4Partie IV : expression de la fonction sinus comme produit infiniPolynômes approchant le sinus, leurs racines, passage à la limite par le théorème de la double limite, puis calcul de la somme des 1/n².
  5. 5Partie V : autour de la fonction ΓContinuité de Γ, expression de Γ(x) comme limite obtenue par convergence dominée, relation Γ(x)Γ(1 − x) = π/sin(πx) et écriture de Γ comme produit infini.

Difficile. Le jury qualifie le sujet de difficile dès les premières questions : seule une dizaine de questions ont été traitées par une majorité de candidats et la première question n'a été réussie qu'à 10 %.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,2 / 20 · écart-type 4,09 · 3 570 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,2/ 20
Écart-type
4,09
Présents
3 570
Coefficient
15
Durée
4 h
1er quartile
6,3
Médiane
9,2
3e quartile
12
moyenne 9,205101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 7 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Inégalité triangulaire fausse · Raisonner comme si la variable était réelle · Récurrences et télescopages bâclés
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Seule une grosse dizaine de questions ont été traitées par une majorité de candidats et la sous-partie IV.B n'a presque pas été abordée. Le jury regrette un grand manque de rigueur : récurrences mal rédigées, inégalités de base mal maîtrisées et résultats parfois forcés. Combiner technique algébrique et intuition analytique a particulièrement gêné les candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Inégalité triangulaire fausseQ1, Q13

    Des inégalités du type |a − b| ≤ |a| − |b| apparaissent pour obtenir coûte que coûte le résultat demandé, dès la première question et encore en Q13.

    « Seulement 10% de réussite, ce qui est rare pour une première question. »
  2. 2
    Raisonner comme si la variable était réelleQ3, Q4

    La variable étant complexe, développement de Taylor et inégalité des accroissements finis ne s'appliquent pas directement. En Q4, l'identité de factorisation de a^n − b^n est trop rarement utilisée.

    « menant à une utilisation abusive du développement de Taylor »
  3. 3
    Récurrences et télescopages bâclésQ2, Q7, Q8

    Récurrences mal énoncées et sans conclusion, points de suspension en guise de preuve, rangs impairs oubliés après un télescopage.

    « Les points de suspension font office de démonstration souvent sans les valeurs initiales »
  4. 4
    Équivalents mal manipulésQ9

    La formule de Stirling est connue, mais des équivalents sont élevés à une puissance dépendant de n, ce qui contredit la question 6.

  5. 5
    Rôle de la convergence uniformeQ12, Q14, Q15, Q19

    La constante de majoration ne doit dépendre ni de n ni de x, et la continuité du produit limite ne découle pas d'un simple argument de produit de fonctions continues. Fonction et suite de fonctions sont souvent confondues.

    « De nombreux candidats ne voient pas l'utilité de la convergence uniforme pour montrer la continuité »
  6. 6
    Domination mal établieQ32, Q34

    Il faut séparer les cas t ≥ 1 et 0 < t ≤ 1, et la fonction dominante ne doit pas dépendre de n.

    « La domination n'est pas toujours bien définie. »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 6 était facile et le calcul des intégrales de Wallis (Q8) est relativement bien connu.
  • Les questions 13, 18 et 20 ont été assez bien ou correctement traitées.
  • La question 33, pourtant éloignée dans l'énoncé, a été assez bien traitée : un candidat sur trois y obtient la moyenne des points.
  • La question 35, peu abordée, a été bien réussie par ceux qui l'ont traitée.

Conseils du jury

  • Rédiger les récurrences complètement : énoncé de la proposition, hérédité et phrase de conclusion.
  • Ne pas écrire une inégalité fausse pour atteindre le résultat annoncé par l'énoncé.
  • Penser aux outils algébriques (factorisation, polynômes) et pas seulement à l'analyse.
  • Vérifier les hypothèses d'un résultat établi plus haut avant de l'appliquer, comme en Q16.
  • Persévérer sur les dernières parties, qui ont pu jouer un rôle de rattrapage.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Notations

Dans ce problème, on introduit la notion de produit infini et on l'utilise pour obtenir diverses propriétés.
  • La partie I permet d'obtenir des résultats qui seront utilisés dans tout le problème.
  • La partie II étudie quelques exemples de calcul de produit infini, dont celui de Wallis, et donne par ailleurs une illustration en probabilités.
  • La partie III permet de montrer, sous certaines conditions, la continuité ou le caractère C^1 d'une fonction définie par un produit infini de fonctions.
  • La partie IV a pour but d'exprimer la fonction sinus sous forme de produit infini et, en s'appuyant sur la partie III, d'en tirer quelques conséquences.
  • Enfin, la partie V étudie la fonction Γ. Elle utilise quelques résultats des parties I, III et IV.
Pour t ∈ ℝ, on note ⌊t⌋ la partie entière de t.
Soit p ∈ ℕ et (u_n)_(n ⩾ p) une suite de nombres réels. On pose pour tout n ∈ ℕ tel que n ⩾ p,
P_n = ∏_(k = p)^n u_k
On dit que la suite (P_n)_(n ⩾ p) est la suite des produits partiels du produit infini ∏_(n ⩾ p)u_n.
Si la suite (P_n)_(n ⩾ p) converge, on dit que sa limite est la valeur du produit infini et on pose:
∏_(k = p)^(+ ∞)u_k = lim_(n → + ∞)P_n.

I Résultats préliminaires

I.A − Soit n ∈ ℕ^∗.
Q 1. Montrer que, pour tout (x_1, …, x_n) ∈ ℝ^n,
|(∏_(k = 1)^n(1 + x_k)) − 1| ⩽ (∏_(k = 1)^n(1 + |x_k|)) − 1.
Q 2. Montrer que, pour tout (x_1, …, x_n) ∈ [ − 1, + ∞[^n,
∏_(k = 1)^n(1 + x_k) ⩽ exp(∑_(k = 1)^n x_k).
I.B − Soit z ∈ ℂ. Pour tout n ∈ ℕ^∗, on pose
u_n = (1 + z/n)^n.
Le but de cette sous-partie est de montrer que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) converge vers e^z.
Q 3. Montrer que, pour tout t ∈ ℂ,
|(1 + t) − e^t| ⩽ |t|^2 e^(|t|)
Q 4. Soit (a, b) ∈ ℂ^2 et n ∈ ℕ^∗. On note M = max{|a|, |b|}.
Montrer que |a^n − b^n| ⩽ nM^(n − 1)|a − b|.
Q 5. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗, |(1 + z/n)^n − e^z| ⩽ (|z|^2)/ne^(|z|).
Q 6. Conclure que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge vers e^z.

II Exemples de calcul de produit infini

II.A - Q 7. Calculer ∏_(n = 2)^(+ ∞)(1 − 1/(n^2)) et ∏_(n = 2)^(+ ∞)(1 + ((− 1)^(n + 1))/n).
On pourra, pour tout N ⩾ 2, établir une expression de ∏_(n = 2)^N(1 − 1/(n^2)) et de ∏_(n = 2)^(2N)(1 + ((− 1)^(n + 1))/n).
II.B - Pour tout n ∈ ℕ, on pose
W_n = ∫_0^(π/2)(cosu)^n du
Q 8. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, (n + 2)W_(n + 2) = (n + 1)W_n et en déduire que, pour tout n ∈ ℕ,
W_(2n + 1) = (2^(2n)(n!)^2)/((2n + 1)!)
Q 9. Déterminer un équivalent de la suite (W_(2n + 1))_(n ∈ ℕ) et en déduire ∏_(n = 1)^(+ ∞)(1 + 1/(4n^2 − 1)).
II. C - On considère ( Ω, A, ℙ ) un espace probabilisé et (A_n)_(n ∈ ℕ) une suite d'événements indépendants tels que la série numérique ∑_(n ⩾ 0)ℙ(A_n) diverge.
Q 10. Soit n ∈ ℕ. Montrer que ∏_(p = n)^(+ ∞)(1 − ℙ(A_p)) = 0.
On pourra utiliser l'inégalité démontrée en Q 2.
Q 11. En déduire que ℙ(⋂_(n ∈ ℕ)⋃_(p ⩾ n)A_p) = 1.

III Étude d'une fonction définie par un produit infini

On considère dans cette partie :
  • a et b deux réels tels que a < b et le segment S = [a, b].
    − (f_n)_(n ⩾ 1) une suite de fonctions définies sur S à valeurs dans ] − 1, + ∞[.
  • Pour tout n ∈ ℕ^∗ et x ∈ S :
    P_n(x) = ∏_(k = 1)^n(1 + f_k(x)), Q_n(x) = ∏_(k = 1)^n(1 + |f_k(x)|), et sous condition d'existence R_n(x) = ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)|f_k(x)|.
    III. A - On suppose dans cette sous-partie que (f_n)_(n ⩾ 1) est une suite de fonctions continues sur S et que la série de fonctions ∑_(n ⩾ 1)|f_n| converge uniformément sur S vers la fonction R_0.
Q 12. Montrer qu'il existe M ∈ ℝ_+^∗ tel que, pour tout x ∈ S et n ∈ ℕ^∗,
Q_(n + 1)(x) − Q_n(x) ⩽ e^M|f_(n + 1)(x)|.
Q 13. Montrer que, pour tout x ∈ S et n ∈ ℕ^∗,
|P_(n + 1)(x) − P_n(x)| ⩽ Q_(n + 1)(x) − Q_n(x)
Q 14. En déduire que la suite de fonctions (P_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge uniformément sur S vers la fonction P définie sur S par :
P : {S → ℝ; x ↦ ∏_(n = 1)^(+ ∞)(1 + f_n(x))
Q 15. Montrer que la fonction P est continue et ne s'annule pas sur S.
III.B - Pour tout x ∈ ℝ_+^∗, on pose f(x) = ∏_(n = 1)^(+ ∞)(1 − e^(− nx^2)).
Q 16. Montrer que f est définie et continue sur ℝ_+^∗.
Q 17. Dresser le tableau de variations de f sur ℝ_+^∗ puis calculer les limites de f en 0 et en + ∞.
III. C - On suppose dans cette sous-partie que (f_n)_(n ⩾ 1) est une suite de fonctions de classe C^1 sur S telle que:
  • la série de fonctions ∑_(n ⩾ 1)|f_n| converge uniformément sur S.
  • la série de fonctions ∑_(n ⩾ 1)(f_n^′)/(1 + f_n) converge uniformément sur S.
Q 18. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗ et x ∈ S,
P_n^′(x) = P_n(x)∑_(k = 1)^n(f_k^′(x))/(1 + f_k(x)).
Q 19. En déduire que la fonction
P : {S → ℝ; x ↦ ∏_(n = 1)^(+ ∞)(1 + f_n(x))
est de classe C^1 sur S et que
∀x ∈ S, (P^′(x))/(P(x)) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(f_n^′(x))/(1 + f_n(x))

IV Expression de la fonction sinus comme produit infini

IV.A - Pour tout n ∈ ℕ, on pose
P_n(X) = 1/(2i)((1 + (iX)/(2n + 1))^(2n + 1) − (1 − (iX)/(2n + 1))^(2n + 1))
Dans les questions Q20 à Q23, on fixe un entier naturel n.
Q 20. Montrer que P_n est un polynôme de degré 2n + 1.
Q 21. Pour tout k ∈ [ [0, 2n] ], on note x_k = (2n + 1)tan((kπ)/(2n + 1)). Montrer que l'ensemble des racines de P_n est {x_k|k ∈ [ [0, 2n] ]}.
Q 22. En déduire qu'il existe λ ∈ ℂ tel que
P_n(X) = λX∏_(j = 1)^n(1 − (X^2)/(x_j^2))
Q 23. En calculant P_n^′(0), montrer que :
P_n(X) = X∏_(j = 1)^n(1 − (X^2)/(x_j^2)).
Q 24. Montrer que la suite de fonctions (P_n)_(n ∈ ℕ) converge simplement sur ℝ vers la fonction sinus.
IV.B - Dans cette sous-partie, on fixe un réel x et on considère la suite de fonctions (v_k)_(k ∈ ℕ^∗) de ℝ_+dans ℝ définie par:
∀k ∈ ℕ^∗, v_k : {ℝ_+ → ℝ, t ↦ {x∏_(j = 1)^k(1 − (x^2)/((tan((jπ)/(2⌊t⌋ + 1))(2⌊t⌋ + 1))^2)), si t ⩾ k; P_(⌊t⌋)(x), si t < k
Q 25. Montrer que, pour tout t ∈ ℝ_+et k ∈ ℕ tel que k ⩾ 2,
|v_k(t) − v_(k − 1)(t)| ⩽ (x^2)/(k^2 π^2)|v_(k − 1)(t)|
Q 26. Montrer que, pour tout t ∈ ℝ_+et k ∈ ℕ^∗,
|v_k(t)| ⩽ |x|exp(∑_(j = 1)^k(x^2)/((jπ)^2))
Q 27. En déduire que la série de fonctions ∑_(k ⩾ 2)(v_k − v_(k − 1)) converge uniformément sur ℝ_+.
Q 28. Calculer, pour tout k ∈ ℕ^∗, lim_(t → + ∞)v_k(t) et, pour tout t ∈ ℝ_+, lim_(k → + ∞)v_k(t).
Q 29. En déduire que :
sin(x) = x∏_(j = 1)^(+ ∞)(1 − (x^2)/((jπ)^2))

IV.C -

Q 30. Montrer que, pour tout x ∈ [ − π/2, π/2] − {0},
(cos(x))/(sin(x)) = 1/x − ∑_(j = 1)^(+ ∞)(2x)/((jπ)^2 − x^2)
Q 31. En déduire que ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2) = (π^2)/6.
On pourra dans un premier temps déterminer lim_(x → 0)(xcos(x) − sin(x))/(x^2 sin(x)).

V Autour de la fonction Γ

V.A − Pour tout x ∈ ℝ_+^∗, on pose
Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− t) dt
Q 32. Montrer que Γ est une fonction définie et continue sur ℝ_+^∗.
Pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ ℝ_+^∗, on pose
g_n(x) = ∫_0^1 u^(x − 1)(1 − u)^n du
Q 33. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ ℝ_+^∗,
g_n(x) = (n!)/(∏_(k = 0)^n(x + k))
Q 34. Montrer que, pour tout x ∈ ℝ_+^∗,
lim_(n → + ∞)∫_0^n t^(x − 1)(1 − t/n)^n dt = Γ(x)
Q 35. En déduire que, pour tout x ∈ ℝ_+^∗, Γ(x) = lim_(n → + ∞)(n^x n!)/(∏_(k = 0)^n(x + k)).
V.B − Q36. Soit x ∈ ]0, 1[. Montrer que Γ(x)Γ(1 − x) = π/(sin(πx)).
V. C − Q 37. Montrer qu'il existe γ ∈ ℝ tel que
∑_(k = 1)^n 1/k = _(n → + ∞)lnn + γ + o(1)
Q 38. En déduire que, pour tout x ∈ ℝ_+^∗,
Γ(x) = (e^(− γx))/x∏_(n = 1)^(+ ∞)e^(x/n)(1 + x/n)^(− 1)

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Centrale Maths 2 PC 2024 ?
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Sur quoi porte le sujet Centrale Maths 2 PC 2024 ?

Sur les produits infinis : produit de Wallis, théorème de Borel-Cantelli, fonctions définies par un produit infini, écriture du sinus comme produit infini, somme des 1/n² et fonction Γ.

Le sujet Centrale Maths 2 PC 2024 était-il difficile ?

Oui : le jury le décrit comme difficile dès les premières questions. Seule une dizaine de questions ont été traitées par une majorité de candidats et la première n'a été réussie qu'à 10 %.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Maths 2 Centrale PC 2024 ?

Des inégalités triangulaires fausses, des méthodes réelles appliquées à des complexes, des récurrences mal rédigées, des équivalents mal manipulés et une convergence uniforme mal comprise.

Quelles parties du sujet Centrale Maths 2 PC 2024 ont été les moins abordées ?

Les sous-parties IV.B et IV.C ont été très peu abordées ; le théorème de la double limite de la question 29 n'a été utilisé que par une poignée de candidats.

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