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Centrale Mathématiques 2 PC 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Approximation des fonctions continues par des polynômes : interpolation de Lagrange, polynômes de Tchebychev et phénomène de Runge
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Le problème étudie si les polynômes d'interpolation de Lagrange d'une fonction continue convergent uniformément vers elle quand les points d'interpolation se resserrent. Il établit d'abord une propriété extrémale des polynômes de Tchebychev, puis des majorations de l'erreur d'interpolation par les dérivées successives, et termine par le phénomène de Runge sur la fonction x ↦ 1/(α² + x²).

  1. 1Partie I : étude de deux familles de polynômesPolynômes de Lagrange vus comme base orthonormée pour un produit scalaire, puis polynômes de Tchebychev et leur norme de la convergence uniforme sur [-1, 1] parmi les polynômes unitaires.
  2. 2Partie II : interpolation et convergence pour une fonction de classe C∞Majoration de l'erreur d'interpolation à l'aide de la dérivée n-ième, puis convergence uniforme des polynômes interpolateurs pour l'exponentielle, une fonction rationnelle, une somme de série entière et aux points de Tchebychev.
  3. 3Partie III : phénomène de RungeÉtude d'une intégrale généralisée dépendant d'un paramètre, limite d'une somme de Riemann, puis construction d'un cas de non-convergence uniforme.

Difficile. Le jury relève de nombreux échecs en analyse : un quart seulement de réponses correctes à la question 7, moins d'un candidat sur dix à la question 33, et plusieurs questions peu abordées ou réussies par quelques dizaines de candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,99 / 20 · écart-type 4,13 · 3 417 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,99/ 20
Écart-type
4,13
Présents
3 417
Coefficient
12
Durée
4 h
1er quartile
6
Médiane
8,4
3e quartile
12
moyenne 8,9905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 6 mai 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Résultats de cours redémontrés · Indices et calculs sur les polynômes de Tchebychev · Inégalités mal manipulées
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Le sujet a permis de sonder largement les connaissances. Les candidats sont à l'aise en algèbre linéaire (espaces vectoriels, familles libres, produit scalaire), mais les faiblesses principales se situent en analyse. La gestion des familles de points (indexation, bornes) manque de soin, et des questions élémentaires autrefois classiques posent problème.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Résultats de cours redémontrésQ4, Q5

    La liberté d'une famille orthogonale de vecteurs non nuls et l'expression des coordonnées dans une base orthonormée sont redémontrées inutilement. Orthogonale et orthonormée sont parfois confondues.

    « Trop de candidats ont perdu du temps à le redémontrer. »
  2. 2
    Indices et calculs sur les polynômes de TchebychevQ7, Q8, Q9

    La gestion des indices bloque la question 7, et le coefficient dominant est confondu avec le terme de plus haut degré.

    « seul un quart des copies donnent une solution correcte, la question des indices s'avérant souvent insurmontable »
  3. 3
    Inégalités mal manipuléesQ18

    Les majorations de la question 18 contiennent des erreurs sur la borne supérieure et les valeurs absolues.

    « Trop de multiplications membre à membre d'inégalités où les signes des membres sont inconnus. »
  4. 4
    Dérivation d'une composéeQ21

    La formule demandée découlait de dérivations successives d'une composée, mais les erreurs de calcul sont nombreuses.

    « la plupart des candidats ne sachant pas dériver une composée de fonctions »
  5. 5
    Intégrabilité mal justifiéeQ30

    Certains affirment qu'une fonction continue sur [0, 1[ y est intégrable. La difficulté en la borne 1 plutôt qu'en 0 a déstabilisé.

    « On doit ici déplorer à quel point l'existence d'une intégrale impropre s'avère un problème difficile »
  6. 6
    Primitives classiques non maîtriséesQ32, Q33

    Après l'intégration par parties, la primitive de t ↦ t²/(a² + t²) pose problème. La question 33 demandait ensuite de revenir à la notion de limite.

    « Il est surprenant que si peu de candidats arrivent à calculer l'intégrale »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 2 et 3 sont les plus faciles de l'énoncé ; la question 2 était presque classique pour la plupart des candidats.
  • La question 11, difficile, a été relativement bien traitée par la moitié des candidats qui l'ont abordée.
  • La question 23 a été correctement traitée dans l'ensemble et la question 31 relativement bien réussie.

Conseils du jury

  • Soigner l'indexation des familles de points, les bornes et le caractère distinct et ordonné des réels considérés.
  • Utiliser directement les résultats du programme au lieu de les redémontrer.
  • Illustrer par une figure quand c'est utile, par exemple pour comparer une intégrale et une somme de Riemann.
  • Être concis mais rédiger ses arguments : la plupart des questions ne se résolvent pas par un calcul sans commentaire.
  • Rester honnête dans les calculs, surtout quand le résultat est donné par l'énoncé.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
Ce sujet en trois parties étudie la convergence des polynômes d＇interpolation de Lagrange sous différentes hypothèses et aborde le phénomène de Runge．
La partie I est consacrée à l＇étude de deux familles de polynômes，les polynômes de Lagrange et les polynômes de Tchebychev．
La partie II donne des résultats généraux de convergence des polynômes d＇interpolation de Lagrange pour des fonctions de classe C^∞ ；elle utilise également quelques résultats de la partie I．
Enfin la partie III présente le phénomène de Runge．Elle s＇appuie sur les sous－parties III．A et III．B，qui portent sur une intégrale généralisée et sont indépendantes des parties I et II．

Notations

Si k_1 et k_2 sont deux entiers tels que k_1 ⩽ k_2 ，on note [ [k_1, k_2] ] l＇ensemble des entiers k tels que k_1 ⩽ k ⩽ k_2 ． Pour tout réel x ，on note ⌊x⌋ la partie entière de x ．
Pour n ∈ ℕ ，on note ℝ_n[X] l＇espace vectoriel des polynômes à coefficients dans ℝ de degré inférieur ou égal à n ．

I Étude de deux familles de polynômes

Soit n ∈ ℕ^∗ et (a_1, …, a_n) une famille de n réels deux à deux distincts．
Pour tout i dans [ [1, n] ] ，on note L_i le polynôme de degré n − 1 défini par
L_i(X) = ∏_(j = 1; j ≠ i)^n(X − a_j)/(a_i − a_j).
On dit que L_1, …, L_n sont les polynômes de Lagrange associés à a_1, …, a_n ．

I．A－Polynômes de Lagrange

On définit l＇application
⟨ ⋅, ⋅ ⟩ : | ℝ_(n − 1)[X] × ℝ_(n − 1)[X], →, ℝ; (P, Q), ↦, ∑_(k = 1)^n P(a_k)Q(a_k)
Q 1．Montrer que ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ est un produit scalaire sur ℝ_(n − 1)[X] ．
Q 2．Montrer que，pour tout i et k dans [ [1, n] ] ，
L_i(a_k) = {1, si k = i; 0, sinon
Q 3．Montrer que，pour tout i ∈ [ [1, n] ] et tout P ∈ ℝ_(n − 1)[X] ，
⟨L_i, P⟩ = P(a_i).
Q 4．Montrer que la famille (L_1, …, L_n) est une base orthonormée de ℝ_(n − 1)[X] muni du produit scalaire ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ ．
Q 5．En déduire que，pour tout P ∈ ℝ_(n − 1)[X] ，
P = ∑_(i = 1)^n P(a_i)L_i.
Q 6．Montrer que，pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à n − 2 ，
∑_(i = 1)^n(P(a_i))/(∏_(j = 1; j ≠ i)^n(a_i − a_j)) = 0.
I.B - Polynômes de Tchebychev
Soit n ∈ ℕ^∗. On pose
T_n(X) = ∑_(p = 0)^(⌊n/2⌋)(− 1)^p(n/(2p))X^(n − 2p)(1 − X^2)^p.
Q 7. En développant (1 + x)^n pour deux réels x bien choisis, montrer que
∑_(p = 0)^(⌊n/2⌋)(n/(2p)) = 2^(n − 1)
Q 8. Montrer que T_n est un polynôme de degré n. Expliciter le coefficient dominant de T_n.
Q 9. Montrer que T_n est l'unique polynôme à coefficients réels vérifiant la relation
∀θ ∈ ℝ, T_n(cos(θ)) = cos(nθ).
Q 10. Pour k ∈ [ [1, n] ], on pose y_(k, n) = cos(((2k − 1)π)/(2n)). Montrer que
T_n(X) = 2^(n − 1)∏_(k = 1)^n(X − y_(k, n))
I. C − Soit n ∈ ℕ^∗ et W un polynôme unitaire de degré n. L'objectif de cette sous-partie est de montrer que
sup_(x ∈ [ − 1, 1])|W(x)| ⩾ 1/(2^(n − 1))
puis d'étudier dans quel cas on a égalité.
Q 11. Montrer que sup_(x ∈ [ − 1, 1])|T_n(x)| = 1. En déduire un polynôme unitaire de degré n réalisant le cas d'égalité dans (I.2).
On pose Q = 1/(2^(n − 1))T_n − W et, pour tout k ∈ [ [0, n] ], z_k = cos((kπ)/n).
Q 12. Montrer que Q est un polynôme de degré inférieur ou égal à n − 1.
Q 13. Dans cette question, on montre (I.2) par l'absurde.
  • Si on suppose que sup_(x ∈ [ − 1, 1])|W(x)| < 1/(2^(n − 1)), montrer que, pour tout k ∈ [ [0, n − 1] ], Q(z_k)Q(z_(k + 1)) < 0.
  • En déduire une contradiction et conclure.
On suppose maintenant que sup_(x ∈ [ − 1, 1])|W(x)| = 1/(2^(n − 1)).
Q 14. Montrer que, pour tout k ∈ [ [0, n] ],
(Q(z_k))/(∏_(j = 0; j ≠ k)^n(z_k − z_j)) ⩾ 0
Q 15. En déduire que Q = 0, puis que W = 1/(2^(n − 1))T_n.
On pourra considérer la somme des inégalités de la question précédente et exploiter la question 6 appliquée à des données convenables.

II Interpolation et convergence des polynômes d'interpolation pour une fonction de classe C^∞

II.A - Interpolation d'une fonction de classe C^n

Dans cette sous-partie, n est un entier naturel non nul et I est un segment [a, b], où a < b. On considère n nombres réels distincts a_1 < ⋯ < a_n de I.
On note L_1, …, L_n les polynômes de Lagrange associés à a_1, …, a_n définis par (I.1) et on note W = ∏_(i = 1)^n(X − a_i).
Pour toute fonction f définie sur I, le polynôme
Π(f) = ∑_(i = 1)^n f(a_i)L_i
est l'unique polynôme P ∈ ℝ_(n − 1)[X] tel que P(a_i) = f(a_i) pour tout i ∈ [ [1, n] ]. On l'appelle polynôme interpolateur de Lagrange de f associé à a_1, …, a_n.
Q 16. Soit r une une fonction à valeurs réelles de classe C^n sur I et s'annulant en n + 1 points distincts de I. Montrer qu'il existe c ∈ I tel que r^((n))(c) = 0.
Q 17. Soit f une fonction à valeurs réelles de classe C^n sur I. Soit P = Π(f) le polynôme interpolateur de f associé aux réels a_1, …, a_n, comme défini en (II.1) ci-dessus. Pour tout x ∈ I, montrer qu'il existe c ∈ I tel que
f(x) − P(x) = (f^((n))(c))/(n!)W(x).
Pour x distinct des a_i, on pourra considérer la fonction r définie sur I par
r(t) = f(t) − P(t) − KW(t)
où le réel K est choisi de façon que r(x) = 0.
Q 18. En déduire que
sup_(x ∈ [a, b])|f(x) − P(x)| ⩽ (M_n(b − a)^n)/(n!)
où M_n = sup_(x ∈ [a, b])|f^((n))(x)|.

II.B - Suites de polynômes interpolateurs

On considère encore un segment I et une fonction f définie sur I.
De plus, pour tout entier naturel non nul n, on suppose donnés des réels distincts a_(1, n) < ⋯ < a_(n, n) de I et on considère P_n = Π_n(f) le polynôme interpolateur de Lagrange de f associé à ces réels a_(1, n), …, a_(n, n).
En notant L_(1, n), L_(2, n), …, L_(n, n) les polynômes de Lagrange associés à a_(1, n), …, a_(n, n), on a donc
Π_n(f) = ∑_(i = 1)^n f(a_(i, n))L_(i, n)
et Π_n(f) est l'unique polynôme P_n ∈ ℝ_(n − 1)[X] tel que P_n(a_(i, n)) = f(a_(i, n)) pour tout i ∈ [ [1, n] ].
On s'intéresse à la convergence uniforme sur I vers f de la suite de polynômes (Π_n(f)) pour divers exemples de fonctions C^∞.

II.B.1) Convergence uniforme vers la fonction exponentielle

Dans cette section, I = [a, b], où a < b, et f est la restriction à I de la fonction exponentielle :
∀x ∈ I, f(x) = exp(x).
Pour tout n ∈ ℕ^∗, on considère P_n = Π_n(f) le polynôme interpolateur comme défini par (II.2).
Q 19. Montrer que la suite (P_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge uniformément vers f sur I.
Q 20. Montrer qu'il existe une suite de polynômes (Q_n)_(n ∈ ℕ^∗) qui converge uniformément vers f sur I et telle que, pour tout n ∈ ℕ^∗, la fonction Q_n ne coïncide avec f en aucun point de I, sauf peut-être en zéro :
∀n ∈ ℕ^∗, ∀x ∈ I∖{0}, Q_n(x) ≠ exp(x)

II.B.2) Convergence uniforme vers une fonction rationnelle

Dans cette section, a est un réel strictement positif et I = [ − a, a]. Soit
f : ℝ, →, ℝ; x, ↦, 1/(1 + x^2)
Q 21. Montrer que f est de classe C^∞ et que, pour tout k dans ℕ et tout t ∈ ] − π/2, π/2[,
f^((k))(tant) = k!cos^(k + 1)(t)cos((k + 1)t + kπ/2).
Pour tout n ∈ ℕ^∗, on considère P_n = Π_n(f) le polynôme interpolateur de f sur I défini par (II.2).
Q 22. Montrer que, si a < 1/2, la suite de polynômes (P_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge uniformément vers f sur [ − a, a].
II.B.3) Cas de la somme d'une série entière
Soit ∑_(k ⩾ 0)c_k x^k une série entière de rayon de convergence R > 0. On pose,
∀x ∈ ] − R, R[, f(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)c_k x^k et ∀x ∈ ] − 1, 1[, g(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)x^k.
Q 23. Montrer que g est de classe C^∞ sur ] − 1, 1[ et que
∀j ∈ ℕ, ∀x ∈ ] − 1, 1[, g^((j))(x) = (j!)/((1 − x)^(j + 1)).
Q 24. Soit r ∈ ]0, R[. Montrer qu'il existe C ∈ ℝ tel que
∀k ∈ ℕ, |c_k| ⩽ C/(r^k).
Q 25. En déduire que pour tout x ∈ ] − r, r[ et pour tout n ∈ ℕ,
|f^((n))(x)| ⩽ (n!rC)/((r − |x|)^(n + 1))
Q 26. On suppose que a < R/3. Montrer que la suite de polynômes (P_n)_(n ∈ ℕ^∗) = (Π_n(f))_(n ∈ ℕ^∗) converge uniformément vers f sur [ − a, a].

II.B.4) Interpolation aux points de Tchebychev

Cette section reprend l'étude des deux sections précédentes dans le cas de points d'interpolation particuliers, liés aux racines des polynômes de Tchebychev. On considère a > 0 et I = [ − a, a].
Pour tout n ∈ ℕ^∗, les points de Tchebychev d'ordre n dans I sont:
a_(k, n)^∗ = acos(((2k − 1)π)/(2n)), pour k ∈ [ [1, n] ].
On pose W_n^∗(X) = ∏_(k = 1)^n(X − a_(k, n)^∗).
Si f est une fonction définie sur I et si n ∈ ℕ^∗, on définit comme au (II.2) le polynôme interpolateur P_n^∗ = Π_n^∗(f) de f aux points de Tchebychev d'ordre n.
C'est l'unique polynôme P_n^∗ ∈ ℝ_(n − 1)(X) tel que P_n^∗(a_(k, n)^∗) = f(a_(k, n)^∗) pour tout k ∈ [ [1, n] ].
Q 27. Pour tout x ∈ [ − a, a], montrer que |W_n^∗(x)| ⩽ 2(a/2)^n.
Q 28. On reprend dans cette question la fonction f étudiée dans la section II.B. 2 : f(x) = 1/(1 + x^2) pour x ∈ ℝ. Montrer que, si a < 2, la suite (Π_n^∗(f))_(n ∈ ℕ^∗) converge uniformément vers f sur [ − a, a].
Q 29. On reprend dans cette question la fonction f somme de série entière étudiée dans la section II.B.3. Montrer que, si a < 2R/3, la suite (Π_n^∗(f))_(n ∈ ℕ^∗) converge uniformément vers f sur [ − a, a].

III Phénomène de Runge

III.A - Étude d'une intégrale généralisée

Pour tout réel α > 0, on considère la fonction h_α : t ↦ ln((1 − t^2)/(α^2 + t^2)).
Q 30. Montrer que h_α est une fonction continue décroissante intégrable sur [0, 1[.
On pose J_α = ∫_0^1 h_α(t)dt.
Q 31. Justifier que J_α = ∫_0^1 ln(1 − t)dt + ∫_0^1 ln(1 + t)dt − ∫_0^1 ln(α^2 + t^2)dt = ∫_0^2 ln(u)du − ∫_0^1 ln(α^2 + t^2)dt.
Q 32. En déduire que J_α = 2ln(2) − ln(1 + α^2) − 2αarctan(1/α).
Q 33. Montrer qu'il existe γ > 0 tel que, pour tout α ∈ ]0, γ[, J_α > 0.

III.B - Application à une somme de Riemann

Pour tout n ∈ ℕ^∗, on considère dans ]0, 1[ les points a_(k, n) donnés, pour k ∈ [ [0, n − 1] ], par a_(k, n) = (2k + 1)/(2n) et on pose
S_n(h_α) = 1/n∑_(k = 0)^(n − 1)h_α(a_(k, n)) = 1/n(h_α(1/(2n)) + h_α(3/(2n)) + ⋯ + h_α((2n − 1)/(2n))).
Q 34. Pour tout n ∈ ℕ^∗, montrer que
∫_(1/2n)^((2n − 1)/2n)h_α(t)dt + 1/nh_α((2n − 1)/(2n)) ⩽ S_n(h_α) ⩽ 1/nh_α(1/(2n)) + ∫_(1/2n)^((2n − 1)/2n)h_α(t)dt
Q 35. En déduire que la suite (S_n(h_α))_(n ∈ ℕ^∗) converge vers J_α.
Q 36. Montrer que, pour α ∈ ]0, γ[, la suite (|∏_(k = 0)^(n − 1)(1 − a_(k, n)^2)/(α^2 + a_(k, n)^2)|)_(n ∈ ℕ^∗) diverge vers + ∞.

III.C - Le phénomène de Runge

Dans cette sous-partie I = [ − 1, 1] et α > 0. On considère
f_α : | [ − 1, 1], → ℝ; x, ↦, 1/(α^2 + x^2)
On reprend les points a_(k, n) définis dans la sous-partie III.B :
∀n ∈ ℕ^∗, ∀k ∈ [ [0, n − 1] ], a_(k, n) = (2k + 1)/(2n)
On note, pour n ∈ ℕ^∗, R_n ∈ ℝ_(2n − 1)[X] le polynôme interpolateur de f_α aux 2n réels { ± a_(k, n) ∈ I|k ∈ [ [0, n − 1] ]}. Autrement dit, R_n est l'unique polynôme de degré au plus 2n − 1 qui coïncide avec f_α aux points
− (2n − 1)/(2n), − (2n − 3)/(2n), …, − 3/(2n), − 1/(2n), 1/(2n), 3/(2n), …, (2n − 3)/(2n), (2n − 1)/(2n).
On pose Q_n(X) = 1 − (X^2 + α^2)R_n(X).
Q 37. Montrer que R_n est un polynôme pair et déterminer Q_n(αi).
Q 38. Montrer qu'il existe λ_n ∈ ℝ tel que
∀x ∈ [ − 1, 1], Q_n(x) = λ_n∏_(k = 0)^(n − 1)(x^2 − a_(k, n)^2)
Q 39. En déduire que, pour tout x ∈ [ − 1, 1],
f_α(x) − R_n(x) = ((− 1)^n)/(x^2 + α^2)∏_(k = 0)^(n − 1)(x^2 − a_(k, n)^2)/(α^2 + a_(k, n)^2).
Q 40. On suppose que α < γ. Montrer que
lim_(n → + ∞)|f_α(1) − R_n(1)| = + ∞

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 2 PC 2022 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 2 PC 2022 ?

Le sujet mobilise les polynômes et leurs racines, les fonctions trigonométriques, les primitives, les intégrales généralisées, les suites de fonctions et les séries entières, ainsi que le produit scalaire.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Maths 2 Centrale PC 2022 ?

Des résultats de cours redémontrés inutilement, des indices mal gérés, des inégalités multipliées sans contrôle des signes, des dérivées de composées fausses et l'existence d'intégrales impropres mal justifiée.

Qu'est-ce que le phénomène de Runge dans le sujet Centrale Maths 2 PC 2022 ?

La troisième partie montre que les polynômes d'interpolation de Lagrange d'une fonction continue peuvent ne pas converger uniformément vers elle, même avec des points de plus en plus denses, sur l'exemple de x ↦ 1/(α² + x²).

Quelles questions du sujet Centrale Maths 2 PC 2022 étaient les plus faciles ?

Selon le jury, les questions 2 et 3 sur les polynômes de Lagrange sont les plus faciles de l'énoncé ; la question 12 était aussi jugée facile.

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