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Centrale Mathématiques 2 PC 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

Formules de quadrature pour le calcul approché d'intégrales

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Formules de quadrature, polynômes orthogonaux et accélération de la méthode des trapèzes
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Le sujet porte sur un thème classique d'analyse numérique : l'approximation d'une mesure par des évaluations en des points d'un intervalle, en s'appuyant sur les polynômes d'interpolation de Lagrange et les polynômes de Tchebychev. Il fait beaucoup appel à l'algèbre linéaire sur l'espace des fonctions continues, ainsi qu'aux séries entières dans la dernière partie sur l'accélération de la méthode des trapèzes. Les méthodes restent souvent élémentaires et de nombreuses questions relèvent du programme de première année.

  1. 1I. Généralités sur les formules de quadratureExemples élémentaires, construction de formules d'ordre quelconque avec les polynômes de Lagrange, noyau de Peano et méthode des trapèzes.
  2. 2II. Polynômes orthogonaux et applicationsÉtude d'un produit scalaire, polynômes orthogonaux associés à un poids et méthodes de quadrature de Gauss, illustrées par deux exemples.
  3. 3III. Accélération de la méthode des trapèzesséries entièresÉtude des nombres et polynômes de Bernoulli puis développement asymptotique de l'erreur dans la méthode des trapèzes.

Difficulté moyenne. Le rapport indique un sujet relativement long où les méthodes algébriques sont souvent bien réussies, mais où l'analyse (convergence d'intégrales, séries entières, formule de Taylor) pose globalement beaucoup de difficultés.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,8 / 20 · écart-type 3,92 · 3 316 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,8/ 20
Écart-type
3,92
Présents
3 316
Coefficient
12
Durée
4 h
1er quartile
6
Médiane
8,5
3e quartile
12
moyenne 8,805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 23 avril 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Formule de Taylor avec reste intégral mal maîtrisée · Injectivité confondue avec bijectivité · Confusion entre unicité et existence
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Le jury observe que les nombreux exemples numériques ont permis aux candidats les moins assurés de s'exprimer, mais que l'analyse pose globalement beaucoup de difficultés, notamment la justification de la convergence d'intégrales et l'utilisation des séries entières. Les méthodes algébriques sont en revanche utilisées avec une certaine efficacité et les raisonnements y sont les plus complets.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Formule de Taylor avec reste intégral mal maîtriséeQ9

    La formule de Taylor avec reste intégral, pourtant sollicitée ces dernières années, est trop rarement correcte à la question 9, la linéarité de l'opérateur d'erreur étant souvent oubliée.

  2. 2
    Injectivité confondue avec bijectivitéQ4

    Une erreur fréquente consiste à affirmer qu'une application linéaire injective en dimension finie est bijective.

    « une application linéaire injective en dimension finie est bijective »
  3. 3
    Confusion entre unicité et existenceQ5

    Certains candidats démontrent l'unicité sans l'existence ou inversement, notamment pour les polynômes de Lagrange.

  4. 4
    Structure vectorielle sous-exploitée

    Les candidats considèrent souvent le polynôme sous sa forme la plus générale sans recourir à la base canonique, malgré les rappels de l'énoncé.

  5. 5
    Majorations peu rigoureusesQ23

    À la question 23, certains candidats utilisent des majorations peu crédibles ou affirment qu'une fonction continue sur un intervalle ouvert implique la convergence de l'intégrale.

  6. 6
    Illustrations graphiques insuffisantesQ1, Q2

    Les tracés graphiques demandés aux premières questions sont trop rarement satisfaisants, parfois réduits à un simple repère ou une droite.

Ce qui a été bien réussi

  • Les polynômes de Lagrange semblent connus sous une forme ou une autre par de nombreux candidats.
  • Les méthodes algébriques sont utilisées avec une certaine efficacité et les calculs demandés, certes simples, ont été satisfaisants.
  • La question II.A sur l'étude d'un produit scalaire a été plutôt bien traitée.
  • Les défauts de présentation ont paru moins fréquents qu'auparavant.

Conseils du jury

  • Exploiter systématiquement la structure vectorielle de l'espace des fonctions ou des polynômes, en utilisant par exemple la base canonique.
  • Bien distinguer les démonstrations d'existence et d'unicité, en particulier pour les polynômes de Lagrange.
  • Soigner les illustrations graphiques demandées, avec bornes et hachures clairement indiquées.
  • Réviser la formule de Taylor avec reste intégral et les critères de convergence des intégrales impropres, points faibles récurrents en analyse.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
Dans tout ce sujet, I est un intervalle de ℝ d'intérieur non vide et w est une fonction continue et strictement positive de I dans ℝ; on dit que w est un poids sur I.
Étant donnée une fonction continue f : I → ℝ telle que fw est intégrable sur I, on cherche à approcher l'intégrale ∫_I f(x)w(x)dx par une expression de la forme
I_n(f) = ∑_(j = 0)^n λ_j f(x_j),
où n ∈ ℕ, (λ_0, …, λ_n) ∈ ℝ^(n + 1) et x_0 < x_1 < ⋯ < x_n sont n + 1 points distincts dans I.
Une telle expression I_n(f) est appelée formule de quadrature et on note
e(f) = ∫_I f(x)w(x)dx − ∑_(j = 0)^n λ_j f(x_j)
l'erreur de quadrature associée. On remarque que e est une forme linéaire sur l'espace vectoriel des fonctions f de I dans ℝ telles que fw est intégrable sur I.
On rappelle qu'un polynôme est dit unitaire si son coefficient dominant est 1 .
Étant donné un entier m ∈ ℕ, on note ℝ_m[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à m. On dit qu'une formule de quadrature I_n(f) est exacte sur ℝ_m[X]si,
∀P ∈ ℝ_m[X], e(P) = 0,
ce qui signifie que, pour tout polynôme P de degré inférieur ou égal à m,
∫_I P(x)w(x)dx = ∑_(j = 0)^n λ_j P(x_j).
Enfin, on appelle ordre d'une formule de quadrature I_n(f) le plus grand entier m ∈ ℕ pour lequel la formule de quadrature I_n(f) est exacte sur ℝ_m[X].
Les parties II et III s'appuient sur la partie I et sont indépendantes entre elles.

I Généralités sur les formules de quadrature

I.A - Exemples élémentaires

Dans cette sous-partie, on se place dans le cas I = [0, 1] et ∀x ∈ I, w(x) = 1. On cherche donc à approcher ∫_0^1 f(x)dx lorsque f est une fonction continue de [0, 1] dans ℝ.
Q 1. Déterminer l'ordre de la formule de quadrature I_0(f) = f(0) et représenter graphiquement l'erreur associée e(f).
Q 2. Faire de même avec la formule de quadrature I_0(f) = f(1/2).
Q 3. Déterminer les coefficients λ_0, λ_1, λ_2 pour que la formule I_2(f) = λ_0 f(0) + λ_1 f(1/2) + λ_2 f(1) soit exacte sur ℝ_2[X]. Cette formule de quadrature est-elle d'ordre 2 ?

I.B - Construction de formules d'ordre quelconque

On revient au cas général.
Soit n ∈ ℕ. On considère n + 1 points distincts dans I, notés x_0 < x_1 < ⋯ < x_n, et une fonction continue f de I dans ℝ.
Q 4. Montrer que l'application linéaire φ : | ℝ_n[X], →, ℝ^(n + 1); P, ↦, (P(x_0), P(x_1), …, P(x_n)) est un isomorphisme.
Q 5. Montrer que, pour tout i ∈ [ [0, n] ], il existe un unique polynôme L_i ∈ ℝ_n[X] tel que
∀j ∈ [ [0, n] ], L_i(x_j) = {0, si j ≠ i,; 1, si j = i.
Q 6. Montrer que (L_0, …, L_n) est une base de ℝ_n[X].
Cette base est appelée base de Lagrange associée aux points ( x_0, …, x_n ).
Q 7. On suppose que, pour tout k ∈ ℕ, x ↦ x^k w(x) est intégrable sur I. Montrer que la formule de quadrature I_n(f) = ∑_(j = 0)^n λ_j f(x_j) est exacte sur ℝ_n[X] si, et seulement si,
∀j ∈ [ [0, n] ], λ_j = ∫_I L_j(x)w(x)dx.
Q 8. On se place dans le cas I = [0, 1] et ∀x ∈ I, w(x) = 1. Déterminer la base de Lagrange associée aux points ( 0, 1/2, 1 ) et retrouver ainsi les coefficients de la formule de quadrature I_2(f) de la question 3.

I.C - Noyau de Peano et évaluation de l'erreur

Dans cette sous-partie, on suppose que l'intervalle I est un segment : I = [a, b], avec a < b.
Pour tout entier naturel m, on considère la fonction φ_m : ℝ^2 → ℝ définie par
∀(x, t) ∈ ℝ^2, φ_m(x, t) = {(x − t)^m, si x ⩾ t; 0, si x < t
On observe que φ_m est continue si m ⩾ 1 et discontinue si m = 0.
On considère une formule de quadrature I_n(f) = ∑_(j = 0)^n λ_j f(x_j).
On note m ∈ ℕ l'ordre de cette formule et on cherche à évaluer l'erreur associée :
e(f) = ∫_a^b f(x)w(x)dx − ∑_(j = 0)^n λ_j f(x_j).
On suppose que f est de classe C^(m + 1) sur I.
Q 9. À l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que e(f) = e(R_m), où R_m est définie par
∀x ∈ [a, b], R_m(x) = 1/(m!)∫_a^b φ_m(x, t)f^((m + 1))(t)dt.
Q 10. En déduire que, si m ⩾ 1,
e(f) = 1/(m!)∫_a^b K_m(t)f^((m + 1))(t)dt,
où la fonction K_m : [a, b] → ℝ est définie par
∀t ∈ [a, b], K_m(t) = e(x ↦ φ_m(x, t)) = ∫_a^b φ_m(x, t)w(x)dx − ∑_(j = 0)^n λ_j φ_m(x_j, t).
On pourra utiliser le résultat admis suivant : pour toute fonction continue g : [a, b]^2 → ℝ, on a
∫_a^b(∫_a^b g(x, t)dt)dx = ∫_a^b(∫_a^b g(x, t)dx)dt.
La fonction K_m est appelée noyau de Peano associé à la formule de quadrature.
On admet que cette expression de e(f) reste valable pour m = 0.

I.D - Exemple : méthode des trapèzes

Dans cette sous-partie, on suppose que I est un segment et ∀x ∈ I, w(x) = 1.
On se place d'abord dans le cas I = [0, 1] et on considère la formule de quadrature
I_1(g) = (g(0) + g(1))/2,
qui est d'ordre m = 1 (on ne demande pas de le montrer).
Q 11. Calculer le noyau de Peano associé t ↦ K_1(t) et montrer que, pour toute fonction g de classe C^2 de [0, 1] dans ℝ, on a la majoration suivante de l'erreur de quadrature associée:
|e(g)| ⩽ 1/(12)sup_(x ∈ [0, 1])|g^(′′)(x)|
On se place maintenant dans le cas d'un segment quelconque I = [a, b] (avec a < b ), qu'on subdivise en n + 1 points a_0, …, a_n équidistants:
∀i ∈ [ [0, n] ], a_i = a + ih,
où h = (b − a)/n est le pas de la subdivision.
On considère alors la formule de quadrature
T_n(f) = (b − a)/n∑_(i = 0)^(n − 1)(f(a_i) + f(a_(i + 1)))/2
appelée méthode des trapèzes. L'erreur de quadrature associée est notée:
e_n(f) = ∫_a^b f(x)dx − T_n(f)
Q 12. Représenter graphiquement T_n(f).
Q 13. On suppose que f est une fonction de classe C^2 de [a, b] dans ℝ. Montrer que
e_n(f) = (b − a)/n∑_(i = 0)^(n − 1)e(g_i),
où e est l'erreur associée à la formule de quadrature I_1 étudiée à la question 11 et les g_i : [0, 1] → ℝ sont des fonctions à préciser.
Q 14. En déduire la majoration d'erreur
|e_n(f)| ⩽ ((b − a)^3)/(12n^2)sup_(x ∈ [a, b])|f^(′′)(x)|.

II Polynômes orthogonaux et applications

Dans la suite, on note E l'ensemble des fonctions f continues de I dans ℝ telles que f^2 w est intégrable sur I.

II.A - Étude d'un produit scalaire

Q 15. Montrer que, pour toutes fonctions f et g de E, le produit fgw est intégrable sur I. On pourra utiliser l'inégalité ∀(a, b) ∈ ℝ^2, |ab| ⩽ 1/2(a^2 + b^2), après l'avoir justifiée.
Q 16. Montrer que E est un ℝ-espace vectoriel.
Pour toutes fonctions f et g de E, on pose
⟨f, g⟩ = ∫_I f(x)g(x)w(x)dx
Q 17. Montrer qu'on définit ainsi un produit scalaire sur E.
Dans la suite, on munit E de ce produit scalaire et on note ‖ ⋅ ‖ la norme associée.

II.B - Polynômes orthogonaux associés à un poids

On suppose que, pour tout entier k ∈ ℕ, la fonction x ↦ x^k w(x) est intégrable sur I. Cela entraine par linéarité de l'intégrale que E contient toutes les fonctions polynomiales.
On admet qu'il existe une unique suite de polynômes (p_n)_(n ∈ ℕ) telle que
(a) pour tout n ∈ ℕ, p_n est unitaire,
(b) pour tout n ∈ ℕ, deg(p_n) = n,
(c) la famille (p_n)_(n ∈ ℕ) est orthogonale pour le produit scalaire ⟨ ⋅, ⋅ ⟩, autrement dit ⟨p_i, p_j⟩ = 0, pour i ≠ j ∈ ℕ.
On dit que les (p_n) sont les polynômes orthogonaux associés au poids w.
On s'intéresse aux racines des polynômes p_n.
On rappelle que I^∘ désigne l'intérieur de I, c'est-à-dire l'intervalle I privé de ses éventuelles extrémités.
On a donc I^∘ = ]a, b[, où a = inf(I) ∈ ℝ ∪ { − ∞} et b = sup(I) ∈ ℝ ∪ { + ∞}.
Soit n ∈ ℕ^∗. On note x_1, …, x_k les racines distinctes de p_n qui sont dans I^∘ et m_1, …, m_k leurs multiplicités respectives. On considère le polynôme
q(X) = ∏_(i = 1)^k(X − x_i)^(ε_i), avec ε_i = {1, si m_i est impair; 0, si m_i est pair.
Q 18. En étudiant ⟨p_n, q⟩, montrer que p_n possède n racines distinctes dans I^∘.

II.C - Applications : méthodes de quadrature de Gauss

Considérons une formule de quadrature
I_n(f) = ∑_(j = 0)^n λ_j f(x_j)
où n ∈ ℕ, λ_0, …, λ_n ∈ ℝ et x_0 < x_1 < ⋯ < x_n sont n + 1 points distincts dans I.
On suppose que les coefficients (λ_j)_(0 ⩽ j ⩽ n) sont choisis comme à la question 7 :
∀j ∈ [ [0, n] ], λ_j = ∫_I L_j(x)w(x)dx
où (L_0, …, L_n) est la base de Lagrange associée aux points (x_0, …, x_n) (définie dans la partie I).
Ainsi, la formule I_n(f) est d'ordre m ⩾ n. Nous allons montrer que dans ces conditions, il existe un seul choix des points (x_i)_(0 ⩽ i ⩽ n) qui permet d'obtenir l'ordre m le plus élevé possible.
Q 19. En raisonnant avec le polynôme ∏_(i = 0)^n(X − x_i), montrer que m ⩽ 2n + 1.
Q 20. Montrer que m = 2n + 1 si et seulement si les x_i sont les racines de p_(n + 1).

II.D - Exemple 1

On se place ici dans le cas où I = [ − 1, 1] et w(x) = 1.
On est donc bien dans les conditions d'application des résultats précédemment obtenus.
Q 21. Déterminer les quatre premiers polynômes orthogonaux (p_0, p_1, p_2, p_3) associés au poids w.
Q 22. En déduire explicitement une formule de quadrature d'ordre 5 (on déterminera les points x_j et les coefficients λ_j ).

II.E - Exemple 2

Dans cette sous-partie, I = ] − 1, 1[ et w(x) = 1/(√(1 − x^2)).
Q 23. Montrer que, pour tout entier k ∈ ℕ, la fonction x ↦ x^k w(x) est intégrable sur I.
Cela entraine que E contient toutes les fonctions polynomiales.
Dans la suite, on considère, pour tout entier n ∈ ℕ, la fonction Q_n : | [ − 1, 1], →, ℝ; x, ↦, cos(narccos(x)).
Q 24. Calculer Q_0, Q_1 et pour tout n ∈ ℕ, exprimer simplement Q_(n + 2) en fonction de Q_(n + 1) et Q_n.
Q 25. En déduire que, pour tout n ∈ ℕ, Q_n est polynomiale et déterminer son degré et son coefficient dominant.
Dans la suite, on notera également Q_n le polynôme de ℝ[X] qui coïncide avec x ↦ Q_n(x) sur [ − 1, 1].
Q 26. On note (p_n)_(n ∈ ℕ) la suite de polynômes orthogonaux associés au poids w. Montrer que
{p_0 = Q_0; ∀n ∈ ℕ^∗, p_n = 1/(2^(n − 1))Q_n
Q 27. Pour n ∈ ℕ, déterminer explicitement les points (x_j)_(0 ⩽ j ⩽ n) de I telle que la formule de quadrature I_n(f) = ∑_(j = 0)^n λ_j f(x_j) soit d'ordre maximal.

III Accélération de la méthode des trapèzes

On dit qu'une fonction S définie sur une partie de ℂ est développable en série entière au voisinage de 0 s'il existe un disque ouvert D non vide de centre 0 et une suite complexe (α_n)_(n ∈ ℕ) telle que ∀z ∈ D, S(z) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)α_n z^n.

III.A - Nombres b_m et polynômes B_m

On considère une série entière ∑_(n ⩾ 0)α_n z^n, de rayon de convergence R ≠ 0 et avec α_0 = 1. On note S la somme de cette série entière sur son disque de convergence : pour tout z ∈ ℂ vérifiant |z| < R, on a
S(z) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)α_n z^n
Q 28. Montrer qu'il existe un réel q > 0 tel que ∀n ∈ ℕ, |α_n| ⩽ q^n.
Q 29. On suppose que 1/S est développable en série entière au voisinage de 0 et on note ∑_(n ⩾ 0)β_n z^n son développement. Calculer β_0 et, pour tout n ∈ ℕ^∗, exprimer β_n en fonction de α_1, …, α_n, β_1, …, β_(n − 1).
En déduire que
∀n ∈ ℕ, |β_n| ⩽ (2q)^n
Q 30. Montrer que 1/S est développable en série entière au voisinage de 0 .
Q 31. En utilisant ce qui précède, montrer qu'il existe une unique suite complexe (b_n)_(n ∈ ℕ) et un réel r > 0 tels que, pour tout z ∈ ℂ,
0 < |z| < r ⇒ z/(e^z − 1) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(b_n)/(n!)z^n
Q 32. En effectuant un produit de Cauchy, montrer que b_0 = 1 et, pour tout entier n ⩾ 2,
∑_(p = 0)^(n − 1)(n/p)b_p = 0
Q 33. En déduire la valeur de b_1, b_2, b_3 et b_4.
Q 34. En utilisant un argument de parité, montrer que b_(2p + 1) = 0 pour tout entier p ⩾ 1.
Dans la suite du problème, on considère les polynômes B_m définis par
∀m ∈ ℕ, B_m(x) = ∑_(k = 0)^m(m/k)b_k x^(m − k)
On remarque que chaque polynôme B_m est unitaire de degré m et que, pour tout m ∈ ℕ, B_m(0) = b_m.
Q 35. Déterminer B_0, B_1, B_2 et B_3.
Q 36. Montrer que, pour tout entier m ⩾ 2, B_m(1) = b_m, puis que, pour tout entier m ⩾ 1, B_m^′ = mB_(m − 1).

III.B - Développement asymptotique de l'erreur dans la méthode des trapèzes

Dans cette sous-partie, on utilise les nombres b_m et les polynômes B_m définis dans la sous-partie III.A pour établir un développement asymptotique à tout ordre de l'erreur de quadrature associée à la méthode des trapèzes (déjà étudiée dans la partie I), pour une fonction suffisamment régulière.
Pour tout réel x, on note ⌊x⌋ sa partie entière.
On fixe un entier n ∈ ℕ^∗ et on considère une fonction g : [0, n] → ℝ de classe C^∞.
Q 37. Montrer que
∫_0^n g(x)dx = ∑_(k = 0)^(n − 1)(g(k) + g(k + 1))/2 − ∫_0^n B_1(x − ⌊x⌋)g^′(x)dx.
Q 38. En déduire que pour tout entier m ⩾ 2,
∫_0^n g(x)dx = ∑_(k = 0)^(n − 1)(g(k) + g(k + 1))/2 + ∑_(p = 2)^m((− 1)^(p − 1)b_p)/(p!)(g^((p − 1))(n) − g^((p − 1))(0)) + ((− 1)^m)/(m!)∫_0^n B_m(x − ⌊x⌋)g^((m))(x)dx.
On considère maintenant une fonction f : [a, b] → ℝ de classe C^∞ et la formule de quadrature déjà étudiée à la partie I :
T_n(f) = h∑_(i = 0)^(n − 1)(f(a_i) + f(a_(i + 1)))/2,
(méthode des trapèzes), où h = (b − a)/n et ∀i ∈ [ [0, n − 1] ], a_i = a + ih.
Q 39. Montrer que, pour tout entier m ⩾ 1,
∫_a^b f(x)dx = T_n(f) − ∑_(p = 1)^m(γ_(2p))/(n^(2p)) + ρ_(2m)(n),
où les coefficients γ_(2p) sont donnés par
γ_(2p) = ((b − a)^(2p)b_(2p))/((2p)!)(f^((2p − 1))(b) − f^((2p − 1))(a))
et ρ_(2m)(n) est un reste intégral vérifiant la majoration
|ρ_(2m)(n)| ⩽ (C_(2m))/(n^(2m))
où C_(2m) est une constante à préciser ne dépendant que de m, a et b.
On a donc établi, pour tout entier m ⩾ 1, le développement asymptotique
T_n(f) = ∫_a^b f(x)dx + (γ_2)/(n^2) + (γ_4)/(n^4) + ⋯ + (γ_(2m))/(n^(2m)) + O_(n → + ∞)(1/(n^(2(m + 1)))),
où les coefficients γ_(2p) sont indépendants de n.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Centrale PC 2021 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Centrale PC 2021 ?

Le sujet porte sur l'analyse numérique (formules de quadrature, polynômes de Lagrange et de Tchebychev), l'algèbre linéaire sur les espaces de fonctions et les séries entières pour la partie sur l'accélération de la méthode des trapèzes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 Centrale PC 2021 ?

Le jury relève surtout des difficultés en analyse : formule de Taylor avec reste intégral mal maîtrisée, confusions entre existence et unicité, et majorations peu rigoureuses sur les intégrales impropres.

Ce sujet de maths 2 Centrale PC 2021 est-il faisable en première année ?

Le rapport précise que les méthodes sont souvent élémentaires et que beaucoup de questions peuvent être traitées avec les connaissances de première année.

Ce sujet de maths 2 Centrale PC 2021 est-il plutôt orienté algèbre ou analyse ?

Le sujet mêle les deux, mais le rapport souligne que c'est en algèbre que les raisonnements sont les plus complets, alors que l'analyse reste le domaine le plus faible des candidats.

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