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Mines Mathématiques 2 PC 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Approximation par des exponentielles-polynômes à l'aide des polynômes de Laguerre
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Le problème établit par des méthodes euclidiennes que les fonctions de la forme P(x)exp(-x²/2) permettent d'approcher, en moyenne quadratique, des fonctions continues paires à support compact. Une première partie de cours (fonction Gamma, série entière, projection orthogonale) prépare l'étude d'un produit scalaire à poids et des polynômes de Laguerre, puis une dernière partie plus difficile mène au théorème d'approximation.

  1. 1Partie I : résultats préliminairesFonction Gamma, rayon de convergence et somme d'une série entière par interversion série-intégrale, puis définition et expression de la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie.
  2. 2Partie II : polynômes de LaguerreEspace des fonctions de carré intégrable pour un poids, produit scalaire associé, polynômes obtenus par dérivées successives, orthogonalité et calcul de leur norme.
  3. 3Partie III : approximationProjection des exponentielles sur les polynômes de Laguerre, densité des polynômes pour la norme à poids, puis approximation d'une fonction paire à support compact par des exponentielles-polynômes.

Difficulté moyenne. Le jury décrit un sujet très progressif, avec une première partie de cours et une deuxième largement accessible concentrant les trois quarts des points, la difficulté augmentant nettement dans la dernière partie.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Justifications incomplètes pour la fonction Gamma · Interversion série-intégrale mal justifiée · Projection orthogonale mal définie
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Le sujet couvrait de nombreux chapitres et permettait d'obtenir une bonne note sans aborder la dernière partie. Le jury a lu des copies bien rédigées et autonomes, mais a corrigé sans indulgence les approximations. Les questions de cours sur la projection orthogonale ont été étonnamment peu réussies et la partie III n'a été que rarement abordée avec succès.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Justifications incomplètes pour la fonction GammaQ1

    Équivalents faux en l'infini, oubli de l'intégrabilité de la fonction dominante et stricte positivité non justifiée (continuité, positivité, fonction non identiquement nulle).

    « mais elle a été maltraitée par un nombre non négligeable de candidats »
  2. 2
    Interversion série-intégrale mal justifiéeQ4

    Il fallait utiliser la convergence absolue de la série entière sur ]-1, 1[ ; invoquer une convergence uniforme ou normale sur cet intervalle est faux et hors sujet.

    « Cette question a rarement été intégralement bien traitée. »
  3. 3
    Projection orthogonale mal définieQ5, Q6

    Peu de candidats rappellent que la dimension finie de F donne E = F ⊕ F⊥, et beaucoup confondent projeté et distance.

    « Cette question de cours n'a pas eu beaucoup de succès »
  4. 4
    Intégrales écrites avant d'être justifiéesQ9, Q10

    Beaucoup ont manipulé une intégrale sur un intervalle infini avant d'en établir la convergence, sans hypothèse de positivité ; une majoration de la valeur absolue était attendue.

  5. 5
    Récurrences lourdes au lieu de la formule de LeibnizQ13, Q15

    Pour montrer que les fonctions obtenues sont polynomiales, la formule de Leibniz suffisait ; les récurrences inachevées ont été sanctionnées.

    « La façon la plus simple de traiter cette question était d'utiliser la formule de Leibniz. »
  6. 6
    Résultats obtenus en forceQ8, Q17

    Appliquer la valeur absolue à une inégalité pour obtenir le résultat, ou faire apparaître la factorielle sans connaître le degré et le coefficient dominant, a été relevé.

    « Cette question a donné lieu à d'assez nombreuses escroqueries pour faire surgir miraculeusement la factorielle »

Ce qui a été bien réussi

  • L'intégration par parties établissant la relation fonctionnelle de Gamma a le plus souvent été bien traitée.
  • Le calcul des premiers polynômes de Laguerre a été très bien traité.
  • D'assez nombreux candidats ont réussi la preuve de l'orthogonalité par intégrations par parties successives.

Conseils du jury

  • Maîtriser les questions de cours sur la projection orthogonale en dimension finie.
  • Justifier la convergence d'une intégrale avant d'utiliser sa notation.
  • Pour un produit scalaire, citer la continuité et la positivité de la fonction intégrée, puis conclure par continuité aux bords.
  • Réutiliser les questions précédentes plutôt que de rédiger des preuves longues et compliquées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 3 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Approximation par des exponentielles-polynômes

L'objectif du problème est d'établir, par des méthodes euclidiennes, des théorèmes d'approximation par des polynômes ou des exponentielles-polynômes de certaines fonctions définies sur [0, + ∞[ ou sur R.
Les parties I et II sont indépendantes. La partie III utilise les résultats des parties I et II.
Étant donné un intervalle I de R, on appelle fonction polynomiale sur I toute fonction de la forme f : I → R, x ↦ ∑_(k = 0)^n λ_k x^k, où n est un entier naturel et λ_0, …, λ_n des nombres réels.

I. Résultats préliminaires

I.1. Étude d'une série entière

Pour tout réel x strictement positif, on pose
Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− t)dt
  1. Montrer que la fonction Γ est bien définie, et à valeurs strictement positives.
  2. À l'aide d'une intégration par parties que l'on justifiera avec soin, montrer que Γ(x + 1) = xΓ(x) pour tout x > 0.
Soit α un réel strictement supérieur à -1 . Pour tout n ∈ N, on pose a_n = (Γ(n + α + 1))/(n!).
3) Déterminer le rayon de convergence R de la série entière ∑a_n x^n.
4) Montrer que
∑_(n = 0)^∞a_n x^n = (Γ(α + 1))/((1 − x)^(α + 1)) pour tout x ∈ ] − R, R[.
On pourra effectuer une permutation des symboles ∑_(n = 0)^∞ et ∫_0^(+ ∞), que l'on justifiera soigneusement.

I.2. Projections orthogonales

Dans cette partie, E désigne un R-espace vectoriel, pas nécessairement de dimension finie, muni d'un produit scalaire ⟨ ⋅, ⋅ ⟩. On note ‖ ⋅ ‖ la norme associée à ce produit scalaire, définie par ‖x‖ = ⟨x, x⟩^(1/2) pour tout x ∈ E.
Soit F un sous-espace vectoriel différent de {0} et de dimension finie de E.
5) Donner la définition de la projection orthogonale π_F sur F.
On fixe ( e_1, …, e_n ) une base orthonormale de F, et x un vecteur de E.
6) Montrer que π_F(x) = ∑_(i = 1)^n⟨x, e_i⟩e_i.
7) Montrer enfin que
‖x − π_F(x)‖^2 = ‖x‖^2 − ∑_(i = 1)^n⟨x, e_i⟩^2

II. Polynômes de Laguerre

Dans toute cette partie, on fixe un réel α > − 1, et on note E_α l'ensemble des fonctions continues f : [0, + ∞[ → R telles que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)x^α e^(− x)f(x)^2 dx est convergente.
8) Montrer que, pour tout (a, b) ∈ R^2, |ab| ≤ (a^2 + b^2)/2.
9) En déduire que, si f et g sont deux éléments de E_α, l'intégrale ∫_0^(+ ∞)x^α e^(− x)f(x)g(x)dx est convergente.
10) En déduire que E_α est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel C([0, + ∞[, R) des fonctions continues de [0, + ∞[ vers R.
11) Montrer que toute fonction polynomiale sur [0, + ∞[ est élément de E_α.
Pour tout entier naturel n, on définit les fonctions
φ_n : ]0, + ∞[ → R, x ↦ x^(n + α)e^(− x)
et
ψ_n : ]0, + ∞[ → R, x ↦ x^(− α)e^x φ_n^((n))(x)
où la notation φ_n^((n)) désigne la dérivée d'ordre n de φ_n (avec la convention φ_0^((0)) = φ_0 ).
12) Calculer ψ_0, ψ_1 et ψ_2.
13) Pour tout n ∈ N, montrer que la fonction ψ_n est polynomiale. Préciser son degré et son coefficient dominant.
Dans la suite, on identifie ψ_n à son unique prolongement continu à [0, + ∞[, qui est une fonction polynomiale sur [0, + ∞[. Cela permet de considérer ψ_n comme un élément de E_α, ce qu'on fera désormais.
Pour tout (f, g) ∈ E_α^2, on pose
⟨f, g⟩ = ∫_0^(+ ∞)x^α e^(− x)f(x)g(x)dx
  1. Montrer que ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ est un produit scalaire sur E_α.
Dans la suite, on note ‖ ⋅ ‖_α la norme associée à ce produit scalaire, définie par
‖f‖_α = (∫_0^(+ ∞)e^(− x)x^α f(x)^2 dx)^(1/2) pour tout f ∈ E_α
  1. Soit n un entier ≥ 1. Pour tout entier k ∈ [ [0, n − 1] ], établir que
φ_n^((k))(x) → 0 quand x tend vers 0 par valeurs strictement positives,
et que
φ_n^((k))(x) = o(e^(− x/2)) quand x → + ∞.
  1. Soit m et n deux entiers naturels. Montrer que
⟨ψ_m, ψ_n⟩ = (− 1)^n∫_0^(+ ∞)ψ_m^((n))(x)φ_n(x)dx
En déduire que la famille (ψ_n)_(n ∈ N) est orthogonale pour le produit scalaire ⟨ ⋅, ⋅ ⟩.
17) Montrer que, pour tout n ∈ N, ‖ψ_n‖_α^2 = n!Γ(n + α + 1) (la fonction Γ a été définie dans la partie I ).

III. Approximation

On conserve les hypothèses et notations de la partie II. Pour tout entier naturel k, on définit la fonction
f_k : [0, + ∞[ → R, x ↦ e^(− kx),
qui est élément de E_α (on ne demande pas de le vérifier).
Pour tout N ∈ N, on note V_N le sous-espace vectoriel de E_α engendré par la famille finie (ψ_n)_(0 ≤ n ≤ N), et on note π_N la projection orthogonale de E_α sur V_N.
18) Soit k ∈ N. Montrer l'existence de la somme ∑_(n = 0)^∞(⟨f_k, ψ_n⟩^2)/(‖ψ_n‖_α^2), et calculer sa valeur.
19) En déduire que, pour tout k ∈ N, ‖f_k − π_N(f_k)‖_α → 0 quand N → + ∞.
Dans la suite, on note P le sous-espace vectoriel de E_α constitué des fonctions polynomiales.
20) Montrer que, pour tout k ∈ N et tout ε > 0, il existe p ∈ P telle que ‖f_k − p‖_α ≤ ε.
Soit f : [0, + ∞[ → R une fonction continue tendant vers 0 en + ∞. Il est facile de vérifier (ce n'est pas demandé) que f ∈ E_α.
21) Montrer que, pour tout ε > 0, il existe un entier naturel n ainsi que des réels λ_0, …, λ_n tels que
‖f − ∑_(k = 0)^n λ_k f_k‖_α ≤ ε.
On pourra utiliser la fonction
g : [0, 1] → R, t ↦ {f(− lnt) si t ∈ ]0, 1]; 0 si t = 0
et le résultat admis suivant : si φ : [0, 1] → R est une fonction continue, alors, pour tout ε > 0, il existe une fonction polynomiale p : [0, 1] → R telle que |φ(t) − p(t)| ≤ ε pour tout t ∈ [0, 1].
22) Montrer que, pour tout ε > 0, il existe p ∈ P telle que ‖f − p‖_α ≤ ε.
23) Soit h : R → R une fonction continue, paire et nulle en dehors d'un segment [ − A, A ] ( A > 0 ). Montrer que, pour tout ε > 0, il existe une fonction polynomiale p : R → R telle que
∫_(− ∞)^(+ ∞)(h(x) − p(x)e^(− (x^2)/2))^2 dx ≤ ε.
On pourra appliquer le résultat de la question 22) à la fonction f : [0, + ∞[ → R, x ↦ h(√x)e^(x/2) et à un α bien choisi.
On peut montrer que le résultat de la question 23) est en réalité valable pour toute fonction h : R → R continue et de carré intégrable sur R.
Fin du problème
  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés les termes de la licence
    Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 PC 2020 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 PC 2020 ?

Il balaie les fonctions d'une variable réelle, l'intégration, les séries numériques et entières, les produits scalaires et espaces euclidiens, et les espaces normés.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 2 PC 2020 ?

Des justifications incomplètes sur les intégrales généralisées et l'interversion série-intégrale, des questions de cours sur la projection orthogonale mal traitées et des récurrences inachevées là où la formule de Leibniz suffisait.

Peut-on avoir une bonne note à Mines Maths 2 PC 2020 sans finir le sujet ?

Oui. Selon le jury, les trois quarts des points étaient concentrés sur les deux premières parties, et une bonne note était possible sans aborder la dernière.

Pas de description pour le moment