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X ENS Mathématiques PC 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Matrices symétriques positives, noyau gaussien et interpolation de norme minimale
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Le sujet établit d'abord des propriétés des matrices symétriques réelles positives, en particulier la stabilité par produit coefficient par coefficient et la positivité d'une matrice à noyau gaussien. Il étudie ensuite un endomorphisme de convolution par une gaussienne sur un espace de fonctions à décroissance rapide, puis un produit scalaire défini sur un sous-espace. La dernière partie combine ces résultats pour résoudre un problème d'interpolation de norme minimale.

  1. 1Partie I : matrices symétriques positivesStabilité de l'ensemble par combinaison positive et par produit coefficient par coefficient, grâce à la décomposition spectrale.
  2. 2Partie II : fonctions appliquées coefficient par coefficientPolynômes à coefficients positifs, passage à l'exponentielle par limite, puis positivité d'une matrice de Gram et d'une matrice à noyau gaussien.
  3. 3Partie III : un endomorphisme d'un espace de fonctionsProduit scalaire intégral sur un espace de fonctions dominées par une gaussienne et endomorphisme défini par une intégrale à paramètre.
  4. 4Partie IV : un produit scalaire sur un sous-espaceSous-espace engendré par des gaussiennes translatées, liberté de la famille, inverse de l'endomorphisme et nouveau produit scalaire majorant la norme infinie.
  5. 5Partie V : interpolation de norme minimaleUnicité puis existence d'une interpolante minimisant la norme, caractérisée par orthogonalité et par un système linéaire à matrice inversible.

Difficulté moyenne. Le jury décrit une progression lente et des parties de difficulté similaire, à l'exception de la dernière, plus difficile, que seule une poignée de candidats a vraiment traitée.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,86 / 20 · écart-type 3,28 · 1 222 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,86/ 20
Écart-type
3,28
Présents
1 222
Durée
4 h
moyenne 9,8605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 20 avril 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Valeurs propres positives mal justifiées · Positivité non démontrée · Résultats donnés justifiés trop vite
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Le sujet, très découpé en questions intermédiaires, facilitait la résolution de nombreuses questions. Le jury regrette un manque de rigueur sur des calculs algébriques, matriciels et des récurrences simples, mais salue les efforts de rédaction. Environ 75 % des candidats traitent le même lot de questions ; la différence se fait sur quelques questions plus longues en plusieurs étapes.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Valeurs propres positives mal justifiées3.b

    Pour conclure que les valeurs propres sont strictement positives, il faut utiliser que la norme d'un vecteur propre est non nulle.

    « oublient de préciser que la norme du vecteur propre est strictement positive »
  2. 2
    Positivité non démontrée5.b, 6.a

    Beaucoup vérifient seulement la symétrie ou justifient mal le passage à la limite dans la positivité.

  3. 3
    Résultats donnés justifiés trop vite6.b

    Quand l'énoncé fournit la réponse, chaque étape doit être justifiée.

    « Pour ces questions pour lesquelles la réponse est donnée, il faut faire particulièrement attention à bien justifier les étapes permettant d'y aboutir. »
  4. 4
    Continuité oubliée8.a, 9.b

    Pour déduire la nullité de f d'une intégrale nulle, l'argument de continuité manque souvent. En 9.b, il faut aussi prouver que C(g) est continue par le théorème de continuité des intégrales à paramètre.

    « l'argument de continuité a été trop souvent absent »
  5. 5
    Majorations d'intégrabilité7, 8.b

    Les majorations nécessaires pour montrer l'intégrabilité ou l'appartenance à l'espace de fonctions ont posé des difficultés inattendues.

  6. 6
    Questions finales délaissées13.c, 14 à 18

    Les questions de la partie V n'étaient pas si difficiles : raisonnement par l'absurde avec l'identité du parallélogramme, dérivation d'une fonction auxiliaire, ou simple exploitation des résultats antérieurs.

    « l'inégalité demandée pouvait s'obtenir à partir d'une inégalité de Cauchy-Schwarz »

Ce qui a été bien réussi

  • La très grande majorité des candidats a réussi les questions 1 et 3.a.
  • La question 5.c et la linéarité en 9.c ont été traitées par la plupart ou une grande partie des candidats.
  • La symétrie en 6.a et la positivité en 8.a n'ont pas posé de problème.
  • Le nombre de copies très mal écrites est en diminution.

Conseils du jury

  • Lire tout le sujet avant de commencer.
  • Énoncer entièrement les théorèmes et vérifier toutes leurs hypothèses.
  • Mettre en évidence les points clés d'une démonstration plutôt que le résultat final.
  • Citer explicitement les questions précédentes utilisées.
  • Traiter avec soin deux ou trois questions plus longues plutôt que survoler toutes les questions faciles.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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CONCOURS D’ADMISSION 2020
LUNDI 20 AVRIL 2020-8h00-12h00 FILIERE PC - Epreuve n^∘1
MATHEMATIQUES
(XEULC)

Notations

Dans tout le problème, pour tout (a, b) ∈ ℕ^2 tel que a ⩽ b, on notera [ [a, b] ] = {i ∈ ℕ|a ⩽ i ⩽ b} l'ensemble des entiers compris entre a et b.
Soient p, q ∈ ℕ^∗ deux entiers strictement positifs. On note M_(p, q)(ℝ) l'ensemble des matrices à coefficients réels de taille p × q ( p lignes et q colonnes). Lorsque p = q, on notera M_p(ℝ) l'ensemble des matrices carrées de taille p × p.
Pour tout A ∈ M_(p, q)(ℝ), A^T ∈ M_(q, p)(ℝ) désignera la transposée de A. Un vecteur u ∈ ℝ^p pourra être identifié à un vecteur colonne de M_(p, 1)(ℝ) et u^T sera le vecteur ligne associé de M_(1, p)(ℝ).
Pour tous A, B ∈ M_(p, q)(ℝ), on note A⊙B la matrice de M_(p, q)(ℝ) définie pour tous 1 ⩽ i ⩽ p et 1 ⩽ j ⩽ q par :
(A⊙B)_(ij) = A_(ij)B_(ij)
où pour toute matrice M ∈ M_(p, q)(ℝ), M_(ij) désigne le coefficient de la ligne i et de la colonne j.
Pour tout A ∈ M_(p, q)(ℝ), on définit A^((0)) ∈ M_(p, q)(ℝ) la matrice telle que A_(ij)^((0)) = 1 pour tous 1 ⩽ i ⩽ p et 1 ⩽ j ⩽ q puis par récurrence, A^((n + 1)) = A^((n))⊙A pour tout n ∈ ℕ.
Enfin, on dira qu'une matrice A ∈ M_p(ℝ) est symétrique positive si A^T = A et u^T Au ⩾ 0 pour tout u ∈ M_(p, 1)(ℝ). L'ensemble des matrices symétriques positives de M_p(ℝ) sera noté Sym^+(p).

Dépendances des parties

Les parties III et IV sont indépendantes des parties I et II et la partie V dépend des parties précédentes.

Partie I

(1) Montrer que pour toutes matrices A et B dans Sym^+(p) et tous réels positifs a et b, on a aA + bB ∈ Sym^+(p)
(2) Montrer que si v ∈ ℝ^p alors la matrice A = (A_(ij))_((i, j) ∈ [ [1, p] ]^2) définie par A = vv^T est dans Sym^+(p).
(3) (a) Montrer que pour tous u, v ∈ ℝ^p, on a (uu^T)⊙(vv^T) = (u⊙v)(u⊙v)^T.
(b) Soit A ∈ Sym^+(p). On note λ_1, ⋯, λ_p les valeurs propres (avec multiplicité) de A et ( u_1, ⋯, u_p ) une famille orthonormale de vecteurs propres associés. Montrer que λ_k ⩾ 0 pour tout k ∈ [ [1, p] ] et que A = ∑_(k = 1)^p λ_k u_k u_k^T.
(c) En déduire que si A, B ∈ Sym^+(p) alors A⊙B ∈ Sym^+(p).

Partie II

Pour f : ℝ → ℝ et A ∈ M_p(ℝ), on note f[A] ∈ M_p(ℝ) la matrice définie par f[A]_(ij) = f(A_(ij)) pour tout (i, j) ∈ [ [1, p] ]^2.
(4) Soient n ∈ ℕ et P : ℝ → ℝ défini par P(x) = ∑_(k = 0)^n a_k x^k où a_k ⩾ 0 pour tout k ∈ [ [0, n] ] un polynôme à coefficients positifs.
(a) Vérifier que P[A] = ∑_(k = 0)^n a_k A^((k)) pour toute matrice A ∈ M_p(ℝ).
(b) Montrer que si A ∈ Sym^+(p) alors P[A] ∈ Sym^+(p).
On pose, pour tout n ⩾ 0 et tout x ∈ ℝ, P_n(x) = ∑_(k = 0)^n(x^k)/(k!) où k! désigne la factorielle de k.
(5) Soit A ∈ Sym^+(p).
(a) Montrer que pour tout (i, j) ∈ [ [1, p] ]^2, on a
lim_(n → ∞)P_n[A]_(ij) = exp(A_(ij))
(b) Montrer que exp[A] ∈ Sym^+(p).
(c) Soit u ∈ ℝ^p. Montrer que exp[A]⊙(uu^T) ∈ Sym^+(p).
(6) Soit d ∈ ℕ^∗. On considère un p-uplet (x_i)_(1 ⩽ i ⩽ p) d'éléments de ℝ^d et la matrice
A = (⟨x_i, x_j⟩)_((i, j) ∈ [ [1, p] ]^2)
où ⟨a, b⟩ désigne le produit scalaire usuel entre deux vecteurs a et b de ℝ^d. On notera |a| = √(⟨a, a⟩) la norme de a.
(a) Montrer que A ∈ Sym^+(p).
(b) On note u ∈ ℝ^p le vecteur de coordonnées (exp(− (|x_1|^2)/2), ⋯, exp(− (|x_p|^2)/2)). Montrer que (exp[A]⊙(uu^T))_(ij) = exp(− (|x_i − x_j|^2)/2) pour tout (i, j) ∈ [ [1, p] ]^2.
(c) Soient λ > 0 et K ∈ M_p(ℝ) la matrice définie parK_(ij) = exp(− (|x_i − x_j|^2)/(2λ)) pour tout (i, j) ∈ [ [1, p] ]^2. Montrer que K ∈ Sym^+(p).

Partie III

Soit λ > 0 fixé. On considère ici l'espace 𝒞(ℝ, ℝ) des fonctions continues de ℝ dans ℝ. Dans toute la suite, on désigne par ℰ le sous-espace vectoriel de 𝒞(ℝ, ℝ ) (on ne demande pas de vérifier ce fait) défini par
ℰ = {f ∈ 𝒞(ℝ, ℝ)|∃(a, A) ∈ (ℝ_+^∗)^2 tel que ∀y ∈ ℝ|f(y)| ⩽ Aexp(− y^2/a)}
Pour tout x ∈ ℝ, on note τ_x : 𝒞(ℝ, ℝ) → 𝒞(ℝ, ℝ) l'application définie pour tout f ∈ 𝒞(ℝ, ℝ) par
τ_x(f)(y) = f(y − x)
pour tout y ∈ ℝ. Enfin on définit la fonction γ_λ : ℝ → ℝ par
γ_λ(y) = exp(− y^2/λ).
(7) Pour tout (f, g) ∈ ℰ^2, montrer que fg est intégrable sur ℝ.
Pour tous f, g ∈ ℰ, on définit
(f|g) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(y)g(y)dy
(8) (a) Montrer que pour tout f ∈ ℰ, on a (f|f) ⩾ 0 avec égalité si et seulement si f = 0.
(b) Montrer que pour tout x ∈ ℝ, τ_x(γ_λ) appartient à ℰ.
(9) (a) Soit a > 0. Montrer qu'il existe c ⩾ 0 tel que pour tout x ∈ ℝ on a
∫_(− ∞)^(+ ∞)exp(− ((y − x)^2)/λ)exp(− (y^2)/a)dy = cexp(− (x^2)/(a + λ))
Indication : On pourra montrer l'égalité
((y − x)^2)/λ + (y^2)/a = (a + λ)/(aλ)(y − (ax)/(a + λ))^2 + (x^2)/(a + λ).
(b) Soit g ∈ ℰ. On considère C(g) : ℝ → ℝ définie pour tout x ∈ ℝ par
C(g)(x) = (τ_x(γ_λ)|g).
Montrer que C(g) ∈ ℰ.
(c) Montrer que C : ℰ → ℰ définit un endomorphisme de ℰ.

Partie IV

Soit λ > 0 fixé. On considère maintenant l'ensemble G des fonctions g s'écrivant sous la forme g = ∑_(i = 1)^n α_i τ_(x_i)(γ_λ) où n est un entier strictement positif et ((x_i, α_i))_(1 ⩽ i ⩽ n) est une famille d'éléments de ℝ^2 :
G = {∑_(i = 1)^n α_i τ_(x_i)(γ_λ)|n ∈ ℕ^∗, ∀i ∈ [ [1, n] ](x_i, α_i) ∈ ℝ × ℝ}
On notera H = C(G) l'image de G par l'endomorphisme C introduit dans la question (9b).
(10) Montrer que G est un sous-espace vectoriel de ℰ et que c'est le plus petit sous-espace vectoriel de ℰ qui contient toutes les fonctions τ_x(γ_λ) pour x ∈ ℝ arbitraire.
(11) (a) Montrer qu'il existe c_λ > 0 telle que pour tout (x, x^′) ∈ ℝ × ℝ on a
(τ_x(γ_λ)|τ_(x^′)(γ_λ)) = c_λ γ_(2λ)(x − x^′)
Indication : On pourra remarquer que 1/λ((y − x)^2 + (y − x^′)^2) = 2/λ(y − (x + x^′)/2)^2 + 1/(2λ)(x^′ − x)^2.
(b) En déduire que pour tout x ∈ ℝ
C(τ_x(γ_λ)) = c_λ τ_x(γ_(2λ))
et que
H = {∑_(i = 1)^n α_i τ_(x_i)(γ_(2λ))|n ∈ ℕ^∗, ∀i ∈ [ [1, n] ](x_i, α_i) ∈ ℝ × ℝ}.
(12) (a) Soient n ∈ ℕ^∗ et (x_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) une famille de réels telle que pour tous i, j ∈ [ [1, n] ] on a x_i ≠ x_j lorsque i ≠ j. Montrer que la fonction ∑_(i = 1)^n α_i τ_(x_i)(γ_(2λ)) est nulle si et seulement si α_i = 0 pour tout 1 ⩽ i ⩽ n (Indication : On pourra procéder par récurrence sur n ).
(b) En déduire qu'il existe une unique application linéaire D de H dans G telle que D ∘ C(g) = g pour tout g ∈ G et C ∘ D(h) = h pour tout h ∈ H.
(c) Montrer que pour tout h ∈ H, on a pour tout x ∈ ℝ que h(x) = (τ_x(γ_λ)|D(h)).
(13) Pour tout (h_1, h_2) ∈ H × H, on note (h_1|h_2)_H = c_λ(D(h_1)|D(h_2)) où c_λ est introduit dans la question (11a).
(a) Vérifier que (|)_H définit un produit scalaire sur H.
(b) Montrer que pour tous x ∈ ℝ et h ∈ H on a h(x) = (τ_x(γ_(2λ))|h)_H.
(c) Montrer que pour tout h ∈ H on a
‖h‖_∞ ⩽ ‖h‖_H
où on a posé ‖h‖_∞ = sup_(x ∈ ℝ)|h(x)| et ‖h‖_H = (h|h)_H^(1/2).

Partie V

On fixe dans cette partie deux p-uplets (x_i)_(i ∈ [ [1, p] ]) et (a_i)_(i ∈ [ [1, p] ]) de réels. On suppose que les x_i sont deux à deux distincts. On note S = {h ∈ H|h(x_i) = a_i} l'ensemble des h ∈ H qui valent a_i en x_i pour tout i ∈ [ [1, p] ] (on dira qu'une telle fonction est une interpolante). On note J : H → ℝ défini par J(h) = 1/2‖h‖_H^2 et J_∗ = inf{J(h)|h ∈ S}.
On veut montrer dans cette partie qu'il existe une unique interpolante h_∗ ∈ S qui atteint le minimum de J c'est-à-dire telle que J(h_∗) = J_∗. On notera S_∗ = {h ∈ S|J(h) = J_∗}.
(14) Montrer S_∗ a au plus un élément.
(15) Soient H_0 = {h ∈ H|h(x_i) = 0∀i ∈ [ [1, p] ]} et h~ ∈ S_∗ (on suppose ici S_∗ non vide).
Montrer que (h~|h_0)_H = 0 pour tout h_0 ∈ H_0.
(16) On note H_0^⊥ = {h ∈ H|∀h_0 ∈ H_0(h|h_0)_H = 0} le sous-espace orthogonal à H_0 dans H.
(a) Montrer que S_∗ = S ∩ H_0^⊥.
(b) Montrer que H_0^⊥ contient le sous-espace vectoriel de H engendré par les fonctions τ_(x_i)(γ_(2λ)) pour i ∈ [ [1, p] ].
(17) Soient α ∈ ℝ^p (resp. a ∈ ℝ^p ) le vecteur de coordonnées (α_i)_(i ∈ [ [1, p] ]) (resp. (a_i)_(i ∈ [ [1, p] ]) ) et h_α = ∑_(i = 1)^p α_i τ_(x_i)(γ_(2λ)).
(a) Montrer que h_α est une interpolante si et seulement si Kα = a où K est la matrice introduite dans la question (6) (ici dans le cas d = 1 ).
(b) Montrer que K est inversible.
(18) En déduire qu'il existe α_∗ ∈ ℝ^p tel que S_∗ = {h_(α_∗)} et calculer la valeur de J_∗ en fonction de K et a.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths X-ENS PC 2020 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths X-ENS PC 2020 ?

Sur les matrices symétriques positives et le théorème spectral, les intégrales à paramètre, les espaces préhilbertiens et l'orthogonalité, avec une application à l'interpolation.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths X-ENS PC 2020 ?

Un manque de rigueur sur des calculs et récurrences simples, la positivité non démontrée, l'oubli de l'argument de continuité et des justifications trop sommaires des résultats donnés.

Comment était noté le sujet de maths X PC 2020 ?

Selon le rapport, les parties valaient 1,5, 2,9, 3,3, 5,8 et 4,4 points, et la présentation et la rédaction 2,1 points.

Les parties du sujet X-ENS maths PC 2020 sont-elles indépendantes ?

L'énoncé précise que les parties III et IV sont indépendantes des parties I et II, et que la partie V dépend de toutes les précédentes.

Pas de description pour le moment