Source : document officiel du concours, épreuve du 1 juillet 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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Fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle

Soit (

Ω, A, ℙ

) un espace probabilisé, où

A

est une tribu sur

Ω

ℙ

une probabilité sur (

Ω, A

). Toutes les variables aléatoires sont discrètes, à valeurs réelles ou complexes, définies sur (

Ω, A

). Si la variable aléatoire

X : Ω \to ℝ

est d'espérance finie, on note

𝔼(X)

son espérance. Pour tout nombre complexe

z

, on note

Re(z)

sa partie réelle,

Im(z)

sa partie imaginaire et

z¯

son conjugué. On appelle sinus cardinal la fonction définie, pour tout réel

x, parsinc(x) = {(sinx)/x, si x \neq 0,; 1, si x = 0.

On admet que cette fonction est continue et que pour tout réel

x, |sinc(x)| ⩽ 1

On étend aux variables aléatoires discrètes à valeurs complexes la notion d'espérance définie pour les variables aléatoires discrètes réelles. Ainsi, on dit qu'une variable aléatoire discrète à valeurs complexes

Z : Ω \to ℂ

est d'espérance finie si les variables aléatoires réelles

Re(Z)

Im(Z)

sont d'espérance finie et on définit alors l'espérance de

Z

par

𝔼(Z) = 𝔼(Re(Z)) + i𝔼(Im(Z)).

On admettra les résultats suivants qui étendent aux variables aléatoires complexes les résultats analogues sur les variables aléatoires réelles.

Toute variable aléatoire $Z$ complexe finie est d'espérance finie. Si $Z(Ω) = {z_1, …, z_r}$ , où les $z_i$ sont deux à deux distincts, alors

𝔼(Z) = \sum_(k = 1)^r z_k ℙ(Z = z_k).

Théorème du transfert (cas $X(Ω)$ fini). Soit $X$ une variable aléatoire réelle d'image finie $X(Ω) = {x_1, …, x_r}$ où les $x_i$ sont deux à deux distincts et soit $f$ une application à valeurs complexes définie sur $X(Ω)$ . Alors $f(X)$ est d'espérance finie et

𝔼(f(X)) = \sum_(k = 1)^r ℙ(X = x_k)f(x_k).

Soit $Z$ une variable aléatoire complexe telle que $Z(Ω)$ soit dénombrable égal à ${z_n, n ∈ ℕ}$ où les $z_n$ sont deux à deux distincts. Alors $Z$ est d'espérance finie si, et seulement si, la série $\sum_(n ⩾ 0)z_n ℙ(Z = z_n)$ converge absolument. Dans ce cas,

𝔼(Z) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)z_n ℙ(Z = z_n).

Théorème du transfert (cas $X(Ω)$ dénombrable). Soit $X$ une variable aléatoire réelle d'image dénombrable $X(Ω) = {x_n, n ∈ ℕ}$ où les $x_n$ sont deux à deux distincts et soit $f$ une application à valeurs complexes définie sur $X(Ω)$ .
Alors $f(X)$ est d'espérance finie si, et seulement si, la série $\sum_(n ⩾ 0)ℙ(X = x_n)f(x_n)$ converge absolument. Dans ce cas,

𝔼(f(X)) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)ℙ(X = x_n)f(x_n).

Soit $Z$ une variable aléatoire complexe et $Z¯ : ω \in Ω \mapsto Z(ω)^-$ sa variable aléatoire conjuguée.

Z

est d'espérance finie, alors

Z¯

est d'espérance finie et

𝔼(Z¯) = 𝔼(Z)^-

Soit $Z_1$ et $Z_2$ deux variables aléatoires complexes d'espérance finie et soit $λ \in ℂ$ .

Alors

Z_1 + Z_2

λZ_1

sont d'espérance finie et

𝔼(Z_1 + Z_2) = 𝔼(Z_1) + 𝔼(Z_2)

𝔼(λZ_1) = λ𝔼(Z_1)

I Fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle

À toute variable aléatoire réelle discrète

X : Ω \to ℝ

, on associe une fonction

φ_X

, appelée fonction caractéristique de

X

et définie par

\forallt \in ℝ, φ_X(t) = 𝔼(e^(itX)).

I.A - Premières propriétés

Dans cette sous-partie,

X

est une variable aléatoire réelle discrète.
Q 1. On suppose, dans cette question, que

X(Ω)

est un ensemble fini de cardinal

r \in ℕ^*

.
On note

X(Ω) = {x_1, …, x_r}

où les

x_i

sont deux à deux distincts, et, pour tout entier

k \in [ [1, r] ], a_k = ℙ(X = x_k)

.
Montrer que, pour tout réel

t, φ_X(t) = \sum_(k = 1)^r a_k e^(itx_k)

.
Q 2. On suppose dans cette question que

X(Ω)

est un ensemble dénombrable. On note

X(Ω) = {x_n, n ∈ ℕ}

où les

x_n

sont deux à deux distincts. Pour tout

n \in ℕ

, on pose

a_n = ℙ(X = x_n)

.
Montrer que

φ_X

est définie sur

ℝ

et que, pour tout réel

t, φ_X(t) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n e^(itx_n)

.
Q 3. Montrer que

φ_X

est continue sur

ℝ

.
Q 4. Soit

a

b

deux réels et

Y = aX + b

. Pour tout réel

t

, exprimer

φ_Y(t)

en fonction de

φ_X, t, a

b

.
Q 5. Soit

t \in ℝ

. Donner une expression de

φ_X(- t)

en fonction de

φ_X(t)

. En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur l'image

φ_X(ℝ)

pour que la fonction

φ_X

soit paire.

I.B - Trois exemples

Q 6. Soit

n \in ℕ^*

p \in ]0, 1[

. On suppose que

X : Ω \to ℝ

suit une loi binomiale

B(n, p)

et on note

q = 1 - p

. Montrer que, pour tout

t \in ℝ, φ_X(t) = (q + pe^(it))^n

.
Q 7. Soit

p \in ]0, 1[

. Quelle est la fonction caractéristique d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre

p

?
Q 8. Soit

λ > 0

. Quelle est la fonction caractéristique d'une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre

λ

I.C - Image de $φ_X$

On se donne ici une variable aléatoire réelle discrète

X : Ω \to ℝ

, dont on note

φ_X

la fonction caractéristique. Pour tout

(a, b) \in ℝ^2, a + bℤ

désigne l'ensemble

{a + bk, k \in ℤ}

.
Q 9. Montrer que pour tout

t \in ℝ, |φ_X(t)| ⩽ 1

.
Q 10. Montrer que, s'il existe

a \in ℝ

t_0 \in ℝ^*

tels que

X(Ω) \subset a + (2π)/(t_0)ℤ

, alors

|φ_X(t_0)| = 1

.
On suppose réciproquement qu'il existe

t_0 \in ℝ^*

tel que

|φ_X(t_0)| = 1

.
Dans la suite de cette sous-partie I.C, on suppose de plus que

X(Ω)

est dénombrable et on reprend les notations de la question 2.
Q 11. Montrer qu'il existe

a \in ℝ

tel que

\sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n exp(i(t_0 x_n - t_0 a)) = 1

.
Q 12. En déduire que

\sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n(1 - cos(t_0 x_n - t_0 a)) = 0

.
Q 13. Montrer que pour tout

n \in ℕ

, si

a_n \neq 0

, alors

x_n \in a + (2π)/(t_0)ℤ

.
Q 14. En déduire que

ℙ(X \in a + (2π)/(t_0)ℤ) = 1

II Fonction caractéristique et loi d'une variable aléatoire

L'objectif de cette partie est de montrer que la fonction caractéristique d'une variable aléatoire détermine sa loi. Deux méthodes de démonstration sont proposées.

II.A - Première méthode

Soit

X

une variable aléatoire réelle et discrète et

m \in ℝ

.
Pour

T \in ℝ_+^*

, on pose

V_m(T) = 1/(2T)\int_(- T)^T φ_X(t)e^(- imt) dt

.
II.A.1) On suppose que

X(Ω)

est fini et on reprend les notations de la question 1.

Q 15. Montrer que, pour tout

T \in ℝ_+^*

, on a

V_m(T) = \sum_(n = 1)^r sinc(T(x_n - m))ℙ(X = x_n)

.
Q 16. En déduire que

V_m(T)\to-_(T \to + \infty)^ℙ(X = m)

.
II.A.2) On suppose que

X(Ω)

est dénombrable et on reprend les notations de la question 2.

Pour

n \in ℕ

h \in ℝ_+^*

, on pose

g_n(h) = sinc((x_n - m)/h)ℙ(X = x_n)

.
Q17. Montrer que pour tout

T \in ℝ_+^*

, on a

V_m(T) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)g_n(1/T)

.
Q 18. Montrer que la fonction

g_n

se prolonge en une fonction

g~_n

définie et continue sur

ℝ^+

.
Q 19. Montrer que la fonction

G = \sum_(n = 0)^(+ \infty)g~_n

est définie et continue sur

ℝ^+

.
Q 20. Établir que

V_m(T)\to-_(T \to + \infty)^ℙ(X = m)

II.A.3) Application

Q 21. Soient

X : Ω \to ℝ

Y : Ω \to ℝ

deux variables aléatoires discrètes telles que

φ_X = φ_Y

. Montrer que, pour tout

m \in ℝ, ℙ(X = m) = ℙ(Y = m)

, autrement dit que

X

Y

ont la même loi.

II.B - Deuxième méthode

a

b

sont deux réels, on note

K_(a, b)

la fonction définie pour tout réel

t

par

K_(a, b)(t) = {(e^(itb) − e^(ita))/(2it), si t ≠ 0,; (b − a)/2, si t = 0.

Q 22. À l'aide de séries entières, montrer que

K_(a, b)

est de classe

C^\infty

sur

ℝ

.
Soit

N

un entier naturel et soit

F_N

la fonction définie, pour tout réel

x, parF_N(x) = \int_(- N)^N K_(a, x)(t)dt

.
Q 23. Montrer que

F_N

est de classe

C^1

sur

ℝ

et que, pour tout réel

x, F_N^'(x) = Nsinc(Nx)

.
Q 24. Montrer que

\int_(- N)^N K_(a, b)(t)dt = \int_(Na)^(Nb)sinc(s)ds

.
Q 25. Montrer que l'intégrale

\int_0^(+ \infty)sinc(s)ds

est convergente.
On admettra dans la suite que

\int_0^(+ \infty)sinc(s)ds = π/2

.
Q 26. En déduire l'existence et la valeur de

lim_(N \to + \infty)\int_(- N)^N K_(a, b)(t)dt

dans le cas où

a < b

.
Q 27. Soit

X : Ω \to ℝ

une variable aléatoire telle que

X(Ω)

est fini. On suppose que les réels

a

b

n'appartiennent pas à

X(Ω)

. Montrer que

1/π\int_(- N)^N φ_X(- t)K_(a, b)(t)dt\to-_(N \to + \infty)^ℙ(a < X < b).

III Régularité de $φ_X$

On fixe dans cette partie une variable aléatoire réelle

X : Ω \to ℝ

, dont l'image

X(Ω)

est un ensemble dénombrable et on reprend les notations de la question 2.
On cherche à établir des liens entre des propriétés de la loi de

X

et la régularité de

φ_X

.
Pour tout

k \in ℕ^*

, on dit que

X

admet un moment d'ordre

k

si la variable aléatoire

X^k

est d'espérance finie.

III.A -

Soit

k \in ℕ^*

. On suppose dans cette sous-partie III.A que

X

admet un moment d'ordre

k

.
Q 28. Soit

j

un entier tel que

1 ⩽ j ⩽ k

. Montrer que pour tout réel

x, |x|^j ⩽ 1 + |x|^k

et en déduire que

X

admet un moment d'ordre

j

.
Q 29. En déduire que

φ_X

est de classe

C^k

sur

ℝ

et donner une expression de la dérivée

k

-ième de

φ_X

.
Q 30. En déduire une expression de

𝔼(X^k)

en fonction de

φ_X^((k))(0)

III.B -

On suppose dans cette sous-partie III.B que

φ_X

est de classe

C^2

sur

ℝ

.
Q 31. On note

f

la fonction qui à tout réel

h > 0

associe

f(h) = (2φ_X(0) - φ_X(2h) - φ_X(- 2h))/(4h^2)

. Quelle est la limite de

f

en 0 ?
Q 32. Montrer que pour tout

h \in ℝ^*, f(h) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n(sin^2(hx_n))/(h^2)

.
Q 33. En déduire que

X

admet un moment d'ordre 2 .

III. C -

On fixe dans cette sous-partie III.C un entier naturel

k \in ℕ

et on suppose à la fois que

φ_X

est de classe

C^(2k + 2)

sur

ℝ

et que

X

admet un moment d'ordre

2k

. On note

α = 𝔼(X^(2k))

.
Q 34. Que peut-on dire de

X

α

est nul ?
On suppose dorénavant que le réel

α

est strictement positif.
Q 35. Soit

Y : Ω \to ℝ

une variable aléatoire vérifiant

Y(Ω) = X(Ω)

et, pour tout

n \in ℕ

ℙ(Y = x_n) = (a_n x_n^(2k))/α

Montrer que

φ_Y

est de classe

C^2

sur

ℝ

.
Q 36. En déduire que

X

admet un moment d'ordre

2k + 2

.
Q 37. Soit

k \in ℕ^*

. Déduire des questions précédentes que si

φ_X

est de classe

C^(2k)

sur

ℝ

, alors

X

admet un moment d'ordre

2k

IV Développement en série entière de $φ_X$

Soit

X : Ω \to ℝ

une variable aléatoire réelle.

IV.A -

On suppose que

X(Ω)

est fini et on reprend les notations de la question 1 .
Q 38. Montrer que

φ_X

est développable en série entière sur

ℝ

et, pour tout réel

t, φ_X(t) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)((it)^n)/(n!)𝔼(X^n)

IV.B -

On suppose que

X(Ω)

est dénombrable et on reprend les notations de la question 2.
On suppose également que, pour tout entier

n \in ℕ, X

admet un moment d'ordre

n

et qu'il existe un réel

R > 0

tel que

𝔼(|X|^n) = O((n^n)/(R^n)) quand n \to + \infty.

Q 39. Montrer que pour tout

n \in ℕ

et tout

y \in ℝ, |e^(iy) - \sum_(k = 0)^n((iy)^k)/(k!)| ⩽ (|y|^(n + 1))/((n + 1)!)

.
Q 40. En déduire que pour tout réel

t \in [ - R/e, R/e]

φ_X(t) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)((it)^k)/(k!)𝔼(X^k).

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Fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle

I Fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle

I.A - Premières propriétés

I.B - Trois exemples

I.C - Image de φ_X

II Fonction caractéristique et loi d'une variable aléatoire

II.A - Première méthode

II.A.3) Application

II.B - Deuxième méthode

III Régularité de φ_X

III.A -

III.B -

III. C -

IV Développement en série entière de φ_X

IV.A -

IV.B -

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Commentaires• Centrale Mathématiques 2 PC 2020

I.C - Image de $φ_X$

III Régularité de $φ_X$

IV Développement en série entière de $φ_X$