Centrale Mathématiques 1 PC 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Fonction Gamma d'Euler, transformée de Fourier associée et théorème central limite sur l'exemple de la loi de Poisson

Le sujet comporte trois parties largement indépendantes. La partie I étudie des propriétés classiques de la fonction Gamma d'Euler (domaine de définition, régularité, variations). La partie II utilise cette fonction pour étudier une intégrale à paramètre assimilable à une transformée de Fourier. La partie III étudie une suite de variables suivant une loi de Poisson, démontre le théorème central limite sur cet exemple, puis en déduit un équivalent d'une somme partielle.

1Partie I : autour de la fonction Gamma d'EulerÉtudier le domaine de définition, la régularité et les variations de la fonction Gamma.
2Partie II : une transformée de FourierÉtudier une fonction F définie par une intégrale à paramètre liée à la fonction Gamma, son développement en série et une équation différentielle qu'elle vérifie.
3Partie III : autour de la loi de PoissonÉtudier la loi de Poisson et sa fonction génératrice, démontrer le théorème central limite sur cet exemple, puis en déduire un équivalent d'une somme.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet portait sur des questions très proches du cours et a été classant, avec une dispersion moins forte que les années précédentes car plus scolaire ; les deux premières parties ont été plutôt bien réussies, la troisième présentant une coupure nette de difficulté à partir de III.C.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Mauvaise généralisation de la relation fonctionnelle de Gamma · Changement de variable non justifié · Utilisation à tort de l'inégalité de Markov

Le sujet balaye une partie importante du programme d'analyse et de probabilités en PC, fortement orienté vers les intégrales à paramètre dans les parties I et II. Le début de la partie III, proche du cours, a souvent été correctement traité, mais seuls les meilleurs candidats ont pu s'exprimer au-delà de III.C. Le sujet a permis de valoriser les candidats sérieux ayant bien assimilé leur cours.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Mauvaise généralisation de la relation fonctionnelle de GammaI.A
La relation Γ(x+1) = xΓ(x) est bien connue mais son application au calcul de Γ(x+n) est souvent fausse, avec des expressions dépourvues de sens comme une « factorielle » de x+n-1.
« cette notation étant bien entendue dépourvue de sens »
2
Changement de variable non justifiéI.A
Les changements de variable dans une intégrale convergente doivent être faits avec une fonction bijective strictement monotone, condition qui devait figurer sur la copie.
3
Utilisation à tort de l'inégalité de MarkovIII.B
En partie III.B, beaucoup de candidats ont voulu utiliser l'inégalité de Markov, qui ne permettait pourtant pas de conclure.
4
Majorations avec des modules mal gérésII.A
En II.A, les défauts majeurs se situent dans les majorations et la gestion des modules, avec des termes complexes apparaissant à tort dans des fonctions majorantes réelles.
5
Hypothèses des théorèmes mal vérifiéesII.B.1
En II.B.1, l'application du théorème d'intégration terme à terme est rarement clairement évoquée et la vérification de ses hypothèses pose des problèmes.

Ce qui a été bien réussi

La partie I, très proche d'une question de cours sur les intégrales à paramètre, a rassuré les candidats qui maîtrisaient ces méthodes.
La question II.A, qui reprend les arguments de la partie I, est l'une des mieux réussies.
La question II.C, purement calculatoire, a permis d'engranger des points assez faciles.
Le début de la partie III, portant sur des questions de cours (fonction génératrice, calculs d'espérance et de variance), a été très souvent correctement traité.

Conseils du jury

Bien mettre en forme les théorèmes utilisés, en étiquetant clairement les hypothèses pour rendre la copie lisible.
Ne pas hésiter à initier un calcul ou un raisonnement inabouti : une idée inaboutie peut être prise en compte par le correcteur.
Ne pas masquer les difficultés : souligner un point délicat sans le démontrer entièrement est une preuve de maîtrise récompensée.
Soigner la présentation, l'orthographe et la grammaire, qui peuvent être prises en compte dans la notation.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

On utilise la fonction Gamma d'Euler

Γ

(partie I) pour calculer, en partie II, une intégrale dépendant d'un paramètre. En partie III, en liaison avec des variables aléatoires suivant une loi de Poisson, on détermine l'équivalent, quand

n \to + \infty

, de sommes dépendant d'un paramètre entier

n

. Les trois parties sont largement indépendantes.

I Autour de la fonction Gamma d'Euler

Pour

x \in ℝ

, on pose, lorsque cela a un sens,

Γ(x) = \int_0^(+ \infty)t^(x - 1)e^(- t) dt

.
I.A -
I.A.1) Quel est le domaine de définition

D

de la fonction

Γ

?
I.A.2) Pour tout

x \in D

, exprimer

Γ(x + 1)

en fonction de

x

et de

Γ(x)

En déduire, pour tout

x \in D

et tout

n \in ℕ^*

, une expression de

Γ(x + n)

en fonction de

x, n

Γ(x)

, ainsi que la valeur de

Γ(n)

pour tout

n ⩾ 1

.
I.A.3) Montrer l'existence des deux intégrales

\int_0^(+ \infty)e^(- t^2) dt

\int_0^(+ \infty)e^(- t^4) dt

et les exprimer à l'aide de

Γ

I.B -

I.B.1) Soit

a

b

deux réels tels que

0 < a < b

. Montrer que, pour tout

t > 0

et tout

x \in [a, b]

t^x ⩽ max(t^a, t^b) ⩽ t^a + t^b

I.B.2) Montrer que

Γ

est de classe

C^\infty

sur

D

Soit

k \in ℕ^*

x \in D

. Exprimer

Γ^((k))(x)

, dérivée

k

-ième de

Γ

au point

x

, sous forme d'une intégrale.
I.

C -

I.C.1) Montrer que

Γ^'

s'annule en un unique réel

ξ

dont on déterminera la partie entière.
I.C.2) En déduire les variations de

Γ

sur

D

. Préciser en particulier les limites de

Γ

en 0 et en

+ \infty

. Préciser également les limites de

Γ^'

en 0 et en

+ \infty

. Esquisser le graphe de

Γ

II Une transformée de Fourier

Pour

x \in ℝ

, on pose

F(x) = \int_0^(+ \infty)e^(- t)t^(- 3/4)e^(itx) dt

, où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument

π/2

.
II.A - Montrer que la fonction

F : ℝ \to ℂ; x \mapsto F(x)

est définie et de classe

C^\infty

sur

ℝ

Soit

k

un entier naturel non nul et soit

x

un réel. Donner une expression intégrale de

F^((k))(x)

, dérivée

k

-ième de

F

x

. Préciser

F(0)

II.B -

II.B.1) Montrer qu'au voisinage de

x = 0

, la fonction

F

peut s'écrire sous la forme

F(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)c_n((ix)^n)/(n!)

où

c_n

est la valeur de Gamma en un point à préciser. On exprimera

c_n

en fonction de

n

et de

c_0

Quel est le rayon de convergence de la série entière qui apparaît au second membre de (

S

) ?
II.B.2) On admet que

Γ(x) \sim _(x \to + \infty)\sqrt(2π)x^((x - 1/2))e^(- x)

Étudier si la série du second membre de (

S

) converge absolument lorsque

|x| = R

.
II.B.3) Soit

R(x)

la partie réelle et

I(x)

la partie imaginaire de

F(x)

Déterminer, au voisinage de 0 , le développement limité de

R(x)

à l'ordre 3 et de

I(x)

à l'ordre 4 .

II. C -

II.C.1) Prouver que

F

vérifie sur

ℝ

une équation différentielle de la forme

F^' + AF = 0

, où

A

est une fonction à préciser.
II.C.2) En déduire une expression de

F(x)

On pourra commencer par dériver la fonction

x \mapsto - 1/8ln(1 + x^2) + i/4arctanx

III Autour de la loi de Poisson

Dans cette partie,

λ

désigne un réel strictement positif.
On rappelle qu'une variable aléatoire

X

, à valeurs dans

ℕ

, suit la loi de Poisson

P(λ)

de paramètre

λ

si, pour tout

n \in ℕ

P(X = n) = (λ^n)/(n!)e^(- λ)

Pour tout sous-ensemble

A

ℝ, P(X \in A)

désigne la probabilité de l'événement

X^(- 1)(A)

.
On note

G_X(t) = E(t^X) = \sum_(k = 0)^\inftyP(X = k)t^k

(série génératrice de la variable aléatoire

X

).
III.A - Soit

X

une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson

P(λ)

.
III.A.1) Déterminer

G_X(t)

.
III.A.2) Calculer l'espérance

E(X)

, la variance

V(X)

et l'écart type de

X

.
III.A.3) Soit

μ

un réel strictement positif. Soit

Y

une variable aléatoire suivant la loi de Poisson

P(μ)

et telle que

X

Y

soient indépendantes. Déterminer la loi de

X + Y

.
III. B - Soit

(X_n)_(n ⩾ 1)

une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de loi

P(λ)

. On rappelle que, quels que soient les entiers

1 ⩽ i_1 < i_2 < \dots < i_k

et les intervalles

I_1, I_2, \dotsI_k

ℝ

P(X_(i_1) \in I_1, X_(i_2) \in I_2, \dots, X_(i_k) \in I_k) = \prod_(j = 1)^(j = k)P(X_(i_j) \in I_j)

III.B.1) Pour tout entier

n ⩾ 1

, déterminer la loi de

S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n

.
III.B.2) Déterminer l'espérance et l'écart type des variables aléatoires

S_n

T_n = (S_n - nλ)/(\sqrt(nλ))

.
III.B.3) Montrer que, pour tout

ε > 0

, il existe un réel

c(ε)

tel que, si

c ⩾ c(ε)

n \in ℕ^*

, on a

P(|T_n| ⩾ c) ⩽ ε

.
III.

C

- Dans cette sous-partie, on fixe deux réels

a

b

tels que

a < b

Pour tout entier

n ⩾ 1

tel que

a + \sqrt(nλ) > 0

, on pose

I_n = {k ∈ ℕ|nλ + a√(nλ) ⩽ k ⩽ nλ + b√(nλ)}

Pour

k \in ℤ

, on pose

x_(k, n) = (k - nλ)/(\sqrt(nλ))

.
On considère enfin la fonction

f : ℝ \to ℝ

définie par

f(x) = e^(- 1/2x^2)

pour tout

x \in ℝ

.
III.C.1) Montrer qu'il existe un réel

M > 0

tel que

f

soit une fonction

M

-lipschitzienne.
III.C.2)
a) Montrer que, si

x, h \in ℝ

h > 0

, alors

|hf(x) - \int_x^(x + h)f(t)dt| ⩽ M(h^2)/2

.
b) En déduire, lorsque

I_n

est non vide, une majoration de

|1/(\sqrt(nλ))\sum_(k \in I_n)f(x_(k, n)) - \int_(x_(p, n))^(x_(q + 1, n))f(t)dt|

où

p

est le plus petit élément de

I_n

q

est le plus grand.
c) Montrer que

lim_(n \to + \infty)1/(\sqrt(nλ))\sum_(k \in I_n)f(x_(k, n)) = \int_a^b f(x)dx

III.C.3) Pour tout

k \in I_n

, on note

y_(k, n) = (1 - (x_(k, n))/k\sqrt(nλ))^k exp(x_(k, n)\sqrt(nλ))

Soit

ε > 0

. Démontrer l'existence d'un entier

N(ε)

tel que, pour tout

n ⩾ N(ε)

et tout

k \in I_n

, les inégalités suivantes soient satisfaites :
а)

(1 - ε)/(\sqrt(2π))1/(\sqrt(nλ))y_(k, n) ⩽ e^(- nλ)((nλ)^k)/(k!) ⩽ (1 + ε)/(\sqrt(2π))1/(\sqrt(nλ))y_(k, n)

;

On utilisera la formule de Stirling

n! \sim _(n \to + \infty)\sqrt(2πn)(n/e)^n

.
b)

(1 - ε)f(x_(k, n)) ⩽ y_(k, n) ⩽ (1 + ε)f(x_(k, n))

.
III.C.4) Exprimer, sous forme d'intégrale,

lim_(n \to + \infty)\sum_(k \in I_n)((nλ)^k)/(k!)e^(- λ)

.
III.C.5) Comparer

P(a ⩽ T_n ⩽ b)

\sum_(k \in I_n)P(S_n = k)

, où

S_n

T_n

sont définies en III.B.
III.C.6) Déterminer les limites, quand

n \to + \infty

, de

P(T_n ⩾ a), P(T_n = a), P(T_n > a) et P(T_n ⩽ b)

III.D -

III.D.1) Déduire de la question III.C.6) la valeur de

\int_(- \infty)^(+ \infty)f(x)dx

.
III.D.2) Déterminer un équivalent, lorsque

n \to + \infty

, de

A_n = \sum_(k = 0)^(⌊nλ⌋)((nλ)^k)/(k!) et B_n = \sum_(⌊nλ⌋)^(+ \infty)((nλ)^k)/(k!)

où

⌊t⌋

désigne la partie entière du réel

t

.
On interprétera

e^(- nλ)A_n

comme la probabilité d'un événement lié à

S_n

et donc à

T_n

.
III.D.3) Pour

λ \neq 1

, on note

C_n = \sum_(k = 0)^n((nλ)^k)/(k!)

D_n = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)((nλ)^k)/(k!)

Déterminer

lim_(n \to + \infty)e^(- nλ)C_n

λ < 1

lim_(n \to + \infty)e^(- nλ)D_n

λ > 1

.
III.

E

- On suppose

λ < 1

.
III.E.1) Déterminer

lim_(n \to + \infty)((nλ)^(- n)\int_0^(nλ)(nλ - t)^n e^t dt)

.
III.E.2) En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, en déduire un équivalent de

D_n

quand

n \to + \infty

.
III.

F -

λ > 1

, déterminer un équivalent de

C_n

lorsque

n \to + \infty

Considérer l'intégrale

1/(n!)\int_(- \infty)^0(r - t)^n e^t dt

et choisir convenablement le réel

r

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Centrale PC 2016 ?

Le sujet porte sur les intégrales à paramètre et les séries entières à travers l'étude de la fonction Gamma d'Euler, ainsi que sur les probabilités discrètes avec la loi de Poisson et le théorème central limite.

Le sujet de mathématiques 1 Centrale PC 2016 est-il difficile ?

Le rapport indique un sujet proche du cours dans ses deux premières parties, plutôt bien réussi, mais avec une coupure nette de difficulté en fin de partie III que seuls les meilleurs candidats ont franchie.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale PC 2016 ?

Le jury relève une mauvaise généralisation de la relation fonctionnelle de la fonction Gamma, des changements de variable non justifiés, une utilisation erronée de l'inégalité de Markov et des majorations mal conduites avec des modules.

Ce sujet Centrale PC maths 1 2016 est-il faisable avec seulement le programme de PCSI ?

Le rapport signale que les questions III.C.1 et III.C.2, portant sur le programme de PCSI, ont permis aux meilleurs candidats de s'exprimer, ce qui montre qu'une partie du sujet reste accessible avec des connaissances de première année.

Pas de description pour le moment

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