Mines Mathématiques 1 PC 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quoi porte le sujet Mines maths 1 PC 2016 ?

Sur le premier retour à l'origine d'une marche aléatoire symétrique sur Z. Des résultats taubériens établis sur les séries entières et les suites servent à obtenir un équivalent de P(T > n).

Pas encore noté

Faisable en Sup

Explorer les annales

BanqueMines Année2016 FilièrePC MatièreMathématiques

Annales Mines PC Mathématiques Mines PC 2016 PC Mathématiques Mathématiques 2016

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Corrigé 2

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Marche aléatoire symétrique sur Z : retour à l'origine et théorèmes taubériens

Le sujet étudie l'instant T de premier retour en 0 d'une marche de Bernoulli symétrique sur Z. Les parties A à C établissent deux résultats taubériens d'analyse (identité de Karamata, puis équivalent du terme général à partir des sommes partielles). La partie D calcule la fonction génératrice de T, montre que T est presque sûrement fini, donne un équivalent de P(T > n) et termine par la loi de T.

1Partie A : préliminaireDéveloppement en série entière de 1/√(1−x) (Q1).
2Partie B : identité de KaramataPassage à la limite en 1 dans des séries entières pondérées, intégrales généralisées, puis équivalent de la somme partielle des a_k (Q2 à Q7).
3Partie C : théorème taubérienPour une suite décroissante positive, encadrement par parties entières et passage à la limite pour obtenir un équivalent de a_n (Q8 à Q11).
4Partie D : marche aléatoireÉgalités en loi, indépendance, système complet d'événements, produit de Cauchy, fonction génératrice et loi de T (Q12 à Q22).

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet de longueur raisonnable et entièrement traité par les meilleures copies, tout en relevant un grand nombre de copies très faibles et des résultats décevants sur des questions simples.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Série entière confondue avec développement limité · Bluff par extrapolation des questions suivantes · Variable muette et variable parlante confondues

Le sujet parcourait largement l'analyse (suites, séries, séries entières, intégration) et les probabilités, et a permis un bon étalonnement des notes. Le jury a été surpris par le nombre de copies très faibles et par le manque de rigueur dans presque toutes les questions de probabilités. L'égalité de Karamata admise n'était pas vraie sans hypothèse supplémentaire, et une coquille figurait dans la définition de S_n en partie C : les correcteurs en ont tenu compte.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Série entière confondue avec développement limitéQ1
La question de cours Q1 est parfois mal comprise, et les calculs de factorielles pour α = 1/2 contiennent des erreurs grossières.
« certaines copies confondent développement en série entière et développement limité »
2
Bluff par extrapolation des questions suivantesQ2
À la Q2, de nombreux candidats ont tenté de déduire le résultat de la suite de l'énoncé sans le démontrer, ce qui ne rapporte rien.
« ce genre de tentative ne rapporte rien et provique la défiance du correcteur »
3
Variable muette et variable parlante confonduesQ6
Des discussions sur la valeur de x restent vides de sens, faute de distinguer l'indice de sommation et le paramètre.
« faute d'une compréhension claire de la différence entre variable muette et variable parlante »
4
Équivalents et limites manipulés sans rigueurQ9 à Q11
Les encadrements avec parties entières sont souvent faux et le passage à la limite est mal rédigé ; invoquer seulement le théorème des gendarmes ne suffit pas.
« Beaucoup de candidats manient sans aucune rigueur les équivalents et les limites. »
5
Indépendance supposée à tortQ14
Plusieurs copies traitent les S_k comme indépendantes, ce qui est faux pour une marche aléatoire.
« Cette faute révèle une incompréhension profonde de la notion d'indépendance. »
6
Justifications absentes en probabilitésQ15 à Q17
Le système complet d'événements est cité sans justification, le produit de Cauchy sans référence précise au programme, et le cas n pair de la Q17 est peu réussi.

Ce qui a été bien réussi

Le développement du binôme de la Q1 est le plus souvent connu.
L'intégrabilité aux Q3 et Q5 est en général correctement justifiée.
La Q12 est assez bien traitée dans l'ensemble et le produit de Cauchy de la Q16 est souvent reconnu.
Des candidats peu à l'aise en probabilités ont abordé les Q20 à Q22 avec sang-froid et en ont été récompensés.

Conseils du jury

Rédiger les probabilités avec la même précision que les autres domaines des mathématiques, sans appel vague à la modélisation.
S'entraîner intensivement au calcul et à l'analyse asymptotique.
Contrôler la cohérence des résultats : une intégrale de fonction positive ne peut être négative, une probabilité ne dépasse pas 1.
Déclarer les objets utilisés au lieu d'empiler des formules, y compris dans les questions faciles.
Soigner la présentation : écriture lisible, absence de ratures, résultats encadrés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

CONCOURS 2016

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle international).

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

Mathématiques I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Marche aléatoire : retour à 0

A Préliminaire

Montrer que, pour tout $x \in ] - 1, 1[$ ,

1/(\sqrt(1 - x)) = \sum_(k = 0)^\infty(((2k)/k))/(4^k)x^k

B Identité de Karamata

On considère dans cette partie une suite réelle

(a_k)_(k \in N)

telle que, pour tout réel

x \in ] - 1, 1[

, la série de terme général

a_k x^k

converge absolument. Pour tout réel

x \in ] - 1, 1[

, on note

f(x)

la somme de cette série et l'on suppose que

lim_(x \to 1^-)\sqrt(1 - x)f(x) = \sqrtπ

Pour tout $p \in N$ , déterminer :

lim_(x \to 1^-)\sqrt(1 - x)\sum_(k = 0)^\inftya_k x^((p + 1)k)

Pour tout $p \in N$ , justifier la convergence de l'intégrale

\int_0^(+ \infty)(e^(- (p + 1)t))/(\sqrtt)dt

et calculer sa valeur. En déduire l'égalité :

lim_(x \to 1^-)\sqrt(1 - x)\sum_(k = 0)^\inftya_k x^((p + 1)k) = \int_0^(+ \infty)(e^(- (p + 1)t))/(\sqrtt)dt

On admettra que

\int_0^(+ \infty)(e^(- t))/(\sqrtt)dt = \sqrtπ

.
4. Montrer que, pour toute application polynomiale réelle

Q

, on a :

lim_(x \to 1^-)\sqrt(1 - x)\sum_(k = 0)^\inftya_k x^k Q(x^k) = \int_0^(+ \infty)(e^(- t)Q(e^(- t)))/(\sqrtt)dt

Soit

h

la fonction définie, pour tout

x \in [0, 1]

, par :

h(x) = {0, si x ∈ [0, e^(− 1)[; 1/x, si x ∈ [e^(− 1), 1].

Justifier la convergence de l'intégrale

\int_0^(+ \infty)(e^(- t))/(\sqrtt)h(e^(- t))dt

et donner sa valeur.
6. Soit

x \in [0, 1[

. Justifier la convergence de la série de terme général

a_k x^k h(x^k)

On admet l'égalité (dite de Karamata) :

lim_(x \to 1^-)\sqrt(1 - x)\sum_(k = 0)^\inftya_k x^k h(x^k) = \int_0^(+ \infty)(e^(- t)h(e^(- t)))/(\sqrtt)dt.

En utilisant ce résultat pour $x = e^(- 1/n)$ , en déduire que

\sum_(k = 0)^n a_k \sim _(n \to \infty)2\sqrtn.

C Théorème taubérien

On considère une suite

(a_n)_(n \in N)

décroissante de réels positifs et, pour tout entier naturel

n

, on pose :

S_n = \sum_(k = 0)^n a_n

. On fait l'hypothèse que

S_n \sim _(n \to \infty)2\sqrtn.

On va montrer qu'alors

a_n \sim _(n \to \infty)1/(\sqrtn).

On notera

[x]

la partie entière d'un réel

x

.
8. Soit

α, β

un couple de nombres réels vérifiant :

0 < α < 1 < β

. Pour tout entier naturel

n

tel que

n - [αn]

n - [βn]

soient non nuls, justifier l'encadrement :

(S_([βn]) - S_n)/([βn] - n) \leq a_n \leq (S_n - S_([αn]))/(n - [αn])

Soit $γ$ un réel strictement positif. Déterminer les limites des suites de termes généraux

n/([γn]) et (S_([γn]))/(\sqrtn).

Soit $ε$ un réel strictement positif. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ assez grand, on a :

(2(\sqrtβ - 1))/(β - 1) - ε \leq \sqrtna_n \leq (2(1 - \sqrtα))/(1 - α) + ε.

En déduire que $lim_(n \to \infty)\sqrtna_n = 1$ .

D Marche aléatoire

On considère

Ω = Z^(N^*)

l'ensemble des suites indexées par

N^*

à valeurs dans

Z

. On définit les applications coordonnées, pour tout

i \geq 1

X_i : Ω, ⟶ Z; ω = (ω_1, ω_2, \dots), ⟼ ω_i.

On admet que l'on peut construire une tribu

B

et une mesure de probabilité

P

sur

Ω

, de sorte que les

X_i

soient des variables aléatoires, indépendantes et de même loi donnée par

P(X_1 = 1) = P(X_1 = - 1) = 1/2

On définit la suite de variables aléatoires (

S_n, n \geq 0

) par

S_0(ω) = 0, S_n(ω) = \sum_(i = 1)^n X_i(ω)

On définit enfin la variable aléatoire

T

par

T : Ω, ⟶ N^∗^– = N^∗ ∪ { + ∞}; ω, ⟼ {+ ∞, si S_n(ω) ≠ 0, ∀n ≥ 1,; inf{n ≥ 1, S_n(ω) = 0}, s'il existe n ≥ 1 tel que S_n(ω) = 0.

Pour tout entier naturel

n

, on note

E_n = {T > n}

, pour

n ≥ 1, A_n^n = {S_n = 0}

et pour

k \in {0, \dots, n - 1}

A_k^n = {S_k = 0} ∩ ⋂_(i = k + 1)^n{S_i ≠ 0}.

Figure 1 - Notations. Ici

ω

commence par (

1, 1, - 1, 1, - 1, - 1, - 1, 1, 1, - 1, 1

ω

appartient à

A_6^6

A_8^8

, ainsi qu'à

A_0^1, A_0^2, \dots, A_0^5, A_6^7

, etc.

Montrer pour tout $1 \leq k < n$ , pour tout $(i_1, ⋯, i_(n − k)) ∈ { − 1, 1}^(n − k)$ ,

P(X_(k + 1) = i_1, \dots, X_n = i_(n - k)) = P(X_1 = i_1, \dots, X_(n - k) = i_(n - k)).

Montrer pour tout $1 \leq k < n$ , pour tout $(j_1, \dots, j_(n - k)) \in Z^(n - k)$ que

P(S_(k + 1) - S_k = j_1, \dots, S_n - S_k = j_(n - k)) = P(S_1 = j_1, \dots, S_(n - k) = j_(n - k)).

Indication : on pourra considérer l'application

θ : Z^(n - k), ⟶ Z^(n - k); (z_1, \dots, z_(n - k)), ⟼ (z_1, z_1 + z_2, \dots, \sum_(j = 1)^(n - k)z_j).

En déduire que pour tout $k \in {0, \dots, n}$

P(A_k^n) = P(S_k = 0)P(E_(n - k)).

Montrer l'égalité :

1 = \sum_(k = 0)^n P(S_k = 0)P(E_(n - k))

Pour tout réel $x$ de $]0, 1[$ , établir l'égalité :

1/(1 - x) = (\sum_(n = 0)^\inftyP(S_n = 0)x^n)(\sum_(n = 0)^\inftyP(E_n)x^n)

Pour tout entier naturel $n$ , calculer $P(S_n = 0)$ .

Indication : on discutera suivant la parité de

n

.
18. En déduire que, pour tout

x \in ]0, 1[

, on a :

\sum_(n = 0)^\inftyP(E_n)x^n = \sqrt((1 + x)/(1 - x))

À l'aide des résultats obtenus dans les parties précédentes déterminer, quand l'entier naturel $n$ tend vers l'infini, un équivalent de $P(E_n)$ .
Montrer que l'on a: $P(T = + \infty) = 0$ .
Pour tout réel $x \in [0, 1]$ , prouver l'égalité :

1 - \sqrt(1 - x^2) = \sum_(n = 1)^\inftyP(T = n)x^n

En déduire que, pour tout $n \in N^*$ ,

P(T = 2n) = 1/(2n - 1)(((2n)/n))/(4^n)

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet Mines maths 1 PC 2016 ?

Sur le premier retour à l'origine d'une marche aléatoire symétrique sur Z. Des résultats taubériens établis sur les séries entières et les suites servent à obtenir un équivalent de P(T > n).

Quels chapitres réviser pour le sujet Mines PC 2016 maths 1 ?

Les séries entières, les suites et séries numériques, les intégrales généralisées, les équivalents, ainsi que les variables aléatoires discrètes, l'indépendance et les fonctions génératrices.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 Mines PC 2016 ?

Des tentatives de bluff, la confusion entre variable muette et variable parlante, des équivalents manipulés sans rigueur et une indépendance des S_k supposée à tort. Le jury note aussi des résultats absurdes, comme des probabilités supérieures à 1.

Le sujet Mines maths 1 PC 2016 contenait-il des erreurs d'énoncé ?

Oui : l'égalité de Karamata admise n'était pas vraie sans hypothèse supplémentaire, et une coquille figurait dans la définition de S_n en partie C. Le jury indique que cela n'a pas pénalisé les candidats.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Mathématiques 1 PC 2016

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...