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Mines Mathématiques 1 PC 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Marche aléatoire dans un labyrinthe : chaînes de Markov homogènes à ensemble d'états fini, convergence de Cesàro de suites de matrices et matrices stochastiques
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Le sujet porte sur la théorie des chaînes de Markov homogènes à ensemble d'états fini, à travers l'exemple du déplacement d'un rat dans un labyrinthe. Après avoir introduit une matrice stochastique sur cet exemple, il établit un résultat de convergence au sens de Cesàro pour les puissances de matrices, puis les résultats de base sur les matrices stochastiques et l'existence d'une distribution de probabilités invariante, avant de revenir à l'exemple initial.

  1. 1Partie I : premiers pasIntroduction de l'exemple du rat dans le labyrinthe et de la matrice stochastique associée à sa marche aléatoire.
  2. 2Partie II : convergence dans M_n(R)Établissement de la convergence au sens de Cesàro de la suite des puissances d'une matrice de norme d'opérateur majorée par 1.
  3. 3Partie III : matrices stochastiquesRésultats de base sur les matrices stochastiques, sous-espace propre associé à la valeur propre 1, existence et unicité d'une distribution de probabilités invariante dans le cas irréductible.
  4. 4Partie IV : application au labyrintheRéexamen de l'exemple de la partie I à la lumière de l'étude théorique des parties précédentes.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet était de longueur raisonnable, a été presque entièrement traité dans les meilleures copies et a permis un excellent étalonnage des notes, mais que le nombre de copies faibles demeurait important, notamment sur des questions très simples.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Erreurs de typage entre suites numériques et vectorielles · Oubli récurrent de la condition de positivité · Rédaction imprécise en probabilités
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Le jury note que le sujet, d'objet classique, a permis un excellent étalonnage des notes et a été presque entièrement traité dans les meilleures copies, mais regrette que des questions très simples n'aient pas été traitées correctement par de nombreux candidats, ainsi qu'un manque de maîtrise du calcul matriciel et de la notion de convergence dans un espace normé.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Erreurs de typage entre suites numériques et vectorielles6, 7

    Beaucoup de candidats écrivent u(x)^k pour u^k(x) et somment une suite géométrique de vecteurs, ce qui traduit une confusion entre objets numériques et vectoriels.

  2. 2
    Oubli récurrent de la condition de positivité12, 13, 17

    L'oubli de la condition de positivité est assez fréquent et pénalisé, notamment aux questions 12, 13 et 17.

  3. 3
    Rédaction imprécise en probabilités5

    Certains candidats persistent dans des rédactions littéraires et non convaincantes en probabilités, par exemple en se contentant de dire que la position à l'instant 1 dépend de celle à l'instant 0 sans conclure précisément sur l'indépendance.

  4. 4
    Confusion entre multiplicité et dimension du sous-espace propre22

    Une confusion fréquente est relevée entre la multiplicité d'une valeur propre et la dimension du sous-espace propre associé.

  5. 5
    Affirmation fausse sur la symétrie et la valeur propre 13

    Plusieurs candidats affirment à tort qu'une matrice est symétrique donc que 1 est valeur propre, sans justification correcte.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 2 a connu un succès honorable.
  • La question 11, très simple, a été correctement comprise dans la plupart des copies.
  • La question 17, facile, a été honorablement réussie et a permis des grappillages de points.
  • Les candidats qui traitent la question 8 réussissent en général la question 9.

Conseils du jury

  • Apprendre son cours de manière réfléchie plutôt que de manipuler aveuglément les objets mathématiques.
  • Rédiger les réponses de probabilités avec la même rigueur que dans les autres branches des mathématiques.
  • Ne pas expédier les questions faciles : des arguments et des calculs clairs convainquent rapidement le correcteur.
  • Soigner la présentation, avec une écriture lisible, l'absence de ratures et des résultats encadrés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2017

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Marche aléatoire dans un labyrinthe

Un labyrinthe est constitué de cinq salles, numérotées de 1 à 5 , qui communiquent par des tubes selon le schéma ci-dessous :
Un rat se déplace dans ce labyrinthe, et on relève sa position en des instants numérotés 0, 1, 2, ⋯, k, ⋯(k ∈ N). On admet que, si le rat se trouve à l'instant k ( k ∈ N ) dans la salle numéro i(1 ≤ i ≤ 5), alors il empruntera aléatoirement l'un des tubes de la salle i et se trouvera donc, à l'instant k + 1, avec équiprobabilité, dans l'une quelconque des salles communiquant avec la salle i. On admet que l'on peut introduire, pour tout k entier naturel, une variable aléatoire S_k donnant le numéro de la salle où se trouve le rat à l'instant k. À titre d'exemple, on aura donc
∀k ∈ N,; P(S_(k + 1) = 1|S_k = 2) = P(S_(k + 1) = 3|S_k = 2) = P(S_(k + 1) = 5|S_k = 2) = 1/3
Pour tout k ∈ N, on introduit la matrice-colonne
X_k = (P(S_k = 1); P(S_k = 2); P(S_k = 3); P(S_k = 4); P(S_k = 5)) ∈ M_(5, 1)(R)
Pour une matrice B, ^t B représente sa matrice transposée.

I Premiers pas

  1. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que P(S_(k + 1) = 1) s'écrit comme une combinaison linéaire des ( P(S_k = i), i = 1, ⋯, 5 ).
  2. Expliciter la matrice carrée B ∈ M_5(R) telle que X_(k + 1) = BX_k pour tout k entier naturel.
  3. En observant les colonnes de la matrice B, montrer que le réel 1 est valeur propre de ^t B et expliciter un vecteur propre associé.
On suppose que la loi de la variable S_0 est donnée par
X_0 = (1/4; 3/16; 3/16; 3/16; 3/16)
  1. Montrer qu'alors les variables aléatoires S_k ont toutes la même loi.
  2. Est-ce que S_0 et S_1 sont indépendantes?

II Convergence dans M_n(R)

Soit u un endomorphisme d'un R-espace vectoriel E de dimension finie. On suppose qu'il existe une norme ‖ ⋅ ‖ sur E telle que l'inégalité suivante soit satisfaite pour tout x ∈ E,
‖u(x)‖ ≤ ‖x‖.
Pour tout entier naturel k non nul, on considère l'endomorphisme
r_k = 1/k∑_(l = 0)^(k − 1)u^l = 1/k(I_E + u + u^2 + ⋯ + u^(k − 1)),
où I_E représente l'endomorphisme identité de E.
6. Soit x ∈ ker(u − I_E). Déterminer lim_(k → ∞)r_k(x).
7. Soit x ∈ Im(u − I_E). Montrer que lim_(k → ∞)r_k(x) = 0_E.
8. En déduire que E = ker(u − I_E) ⊕ Im(u − I_E).
9. Soit x ∈ E, un vecteur quelconque. Montrer que la suite (r_k(x))_(k ∈ N^∗) converge vers un vecteur de E, que l'on notera p(x). Interpréter géométriquement l'application p : E ⟶ E ainsi définie.
Soit A ∈ M_n(R) une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels. On suppose qu'il existe une norme, aussi notée ‖ ⋅ ‖, sur l'espace vectoriel M_(n, 1)(R) identifié à R^n, telle que, pour tout X ∈ M_(n, 1)(R), on ait ‖AX‖ ≤ ‖X‖. Pour tout k entier naturel non nul, on considère la matrice
R_k = 1/k∑_(l = 0)^(k − 1)A^l = 1/k(I_n + A + A^2 + ⋯ + A^(k − 1)),
où I_n est la matrice identité dans M_n(R).
10. Montrer que la suite de matrices (R_k)_(k ∈ N^∗) converge dans M_n(R) vers une matrice P, telle que P^2 = P.

III Matrices stochastiques

On fixe dans cette partie, un entier n ≥ 2.
Définition 1 On notera U ∈ M_(n, 1)(R), la matrice-colonne dont tous les coefficients sont égaux à 1 .
Définition 2 Une matrice carrée A = (a_(i, j)) ∈ M_n(R) est dite stochastique si elle vérifie les conditions suivantes :
∀(i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, a_(i, j) ≥ 0;; ∀i ∈ [ [1, n] ], ∑_(j = 1)^n a_(i, j) = 1.
Nous dirons aussi qu'une matrice-ligne L = (λ_1, ⋯, λ_n) ∈ M_(1, n)(R) est stochastique lorsque ses coefficients λ_i sont tous positifs ou nuls, et de somme égale à 1.
11. Vérifier que la condition (4) équivaut à la condition AU = U.
12. En déduire que l'ensemble E des matrices stochastiques (carrées d'ordre n ) est stable par le produit matriciel.
13. Montrer que cet ensemble E est une partie fermée et convexe de l'espace vectoriel M_n(R).
On munit l'espace M_(n, 1)(R) de la norme ‖ ⋅ ‖_∞ définie par ‖X‖_∞ = max_(1 ≤ i ≤ n)|x_i| si X = (x_1; ⋮; x_n).
14. Montrer que, si A ∈ M_n(R) est stochastique, alors on a ‖AX‖_∞ ≤ ‖X‖_∞ pour tout X ∈ M_(n, 1)(R).
Dans les questions 15 à 22 , on note A ∈ M_n(R) une matrice stochastique, et on suppose qu'il existe un entier naturel non nul p tel que la matrice A^p ait tous ses coefficients strictement positifs. Pour tout k entier naturel non nul, on posera
R_k = 1/k∑_(l = 0)^(k − 1)A^l
  1. Montrer que ker(A^p − I_n) est de dimension 1.
Indication : soit X = (x_1; ⋮; x_n) ∈ ker(A^p − I_n), soit s ∈ [ [1, n] ] un indice tel que x_s = max_(1 ≤ j ≤ n)x_j, on montrera que x_j = x_s pour tout j ∈ [ [1, n] ].
16. En déduire que ker(A − I_n) = Vect(U).
17. Montrer que, pour tout k ∈ N^∗, la matrice R_k est stochastique.
18. Montrer que la suite (R_k)_(k ∈ N^∗) converge dans M_n(R) vers une matrice P, stochastique, de rang 1 .
19. En déduire que l'on peut écrire P = UL, où L = (λ_1, ⋯, λ_n) ∈ M_(1, n)(R) est une matrice-ligne stochastique.
20. Montrer que PA = P. En déduire que L est la seule matrice-ligne stochastique vérifiant LA = L.
21. Montrer que les coefficients de la matrice-ligne L sont tous strictement positifs.
22. Montrer que le réel 1 est valeur propre simple de la matrice A.
On pourra utiliser le résultat de la question 8.

IV Application au labyrinthe

On approfondit l'étude commencée dans la partie I en exploitant les résultats de la partie III.
On pose A = ^t B où B est la matrice construite dans la partie I.
Un calcul qui n'est pas demandé, montre que les coefficients de la matrice A^2 sont tous strictement positifs.
23. Expliciter la limite P de la suite de matrices (R_k)_(k ∈ N^∗) définie en (2) ?
24. Montrer qu'il existe une unique loi de probabilité sur l'ensemble [ [1, 5] ] telle que, si la variable aléatoire S_0 suit cette loi, alors les variables S_k suivent toutes la même loi (autrement dit, telle que la probabilité de présence du rat dans une salle soit la même à tous les instants k, k ∈ N ).

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Mines-Ponts PC 2017 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Mines-Ponts PC 2017 ?

Le sujet porte sur les chaînes de Markov homogènes à ensemble d'états fini, les matrices stochastiques, la convergence de suites de matrices au sens de Cesàro et les espaces vectoriels normés de dimension finie.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de mathématiques 1 Mines-Ponts PC 2017 ?

Le jury relève des erreurs de typage entre objets numériques et vectoriels, l'oubli récurrent de la condition de positivité, une rédaction imprécise en probabilités, et une confusion entre multiplicité d'une valeur propre et dimension du sous-espace propre.

Le sujet de mathématiques 1 Mines-Ponts PC 2017 est-il difficile ?

Le rapport le juge de longueur raisonnable et classique dans son objet, mais souligne qu'il a permis un excellent étalonnage des notes malgré un nombre important de copies faibles sur des questions pourtant très simples.

Ce sujet de mathématiques Mines-Ponts PC 2017 est-il faisable en première année ?

Le rapport ne donne pas d'indication explicite sur ce point ; les sources ne permettent pas de répondre avec certitude.

Pas de description pour le moment