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Mines Mathématiques 1 PC 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Comportement asymptotique de sommes de séries entières et application à une équation différentielle
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Le problème établit un équivalent asymptotique de la somme de série entière Sr,p quand x tend vers l'infini, d'abord pour p=1 à l'aide d'une démonstration probabiliste utilisant une variable de Poisson, puis pour p supérieur ou égal à 2. Le résultat est ensuite appliqué à l'étude asymptotique de la solution développable en série entière d'une équation différentielle d'ordre 2.

  1. 1Partie I : généralités, cas particuliersJustifier que la série entière définissant Sr,p a pour rayon de convergence l'infini et calculer S0,1 et S0,2 au moyen de fonctions usuelles.
  2. 2Partie II : une démonstration probabiliste de Hr,1Utiliser une variable aléatoire de Poisson et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour montrer un équivalent de l'espérance de Xx^r.
  3. 3Partie III : démonstration de Hr,p pour p supérieur ou égal à 2Extraire de Sr,1 la somme correspondant aux multiples de p à l'aide d'une transformation d'Abel et d'estimations asymptotiques.
  4. 4Partie IV : application à une équation différentielleAppliquer le théorème obtenu à l'étude asymptotique de la solution développable en série entière de l'équation tx''(t) - x(t) = 0.

Difficile. Le rapport indique un sujet d'un intérêt mathématique soutenu qui teste les candidats sur les programmes d'analyse et probabilités des deux années, avec un contingent assez fort de copies presque vides malgré un étalonnage des notes satisfaisant.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Oubli de l'absolue convergence pour le théorème de transfert · Variables aléatoires supposées indépendantes sans justification · Inégalité de Markov mal appliquée
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Le texte a fort bien joué son rôle : les meilleurs candidats ont compris l'ensemble du problème et une partie significative a produit une copie de bon niveau. Les correcteurs déplorent cependant un contingent assez fort de copies presque vides et une quantité surprenante de copies superficielles.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Oubli de l'absolue convergence pour le théorème de transfertQ3

    Une moitié des candidats donnent une réponse correcte à la question 3, mais la plupart oublient de vérifier l'absolue convergence, nécessaire pour appliquer le théorème de transfert.

  2. 2
    Variables aléatoires supposées indépendantes sans justificationQ6

    Beaucoup de candidats décrètent des variables aléatoires indépendantes ou utilisent une version fantaisiste de la linéarité de l'espérance, certains affirmant même qu'une constante est d'espérance nulle.

  3. 3
    Inégalité de Markov mal appliquéeQ5

    Beaucoup de candidats évoquent l'inégalité de Markov mais peu l'appliquent correctement, oubliant de vérifier l'égalité d'événements ou la positivité des variables en jeu.

  4. 4
    Erreurs dans les calculs asymptotiquesQ12

    Le jury relève des erreurs du type « la partie entière de x est équivalente à la partie entière de x plus k, donc leurs factorielles sont équivalentes ».

Ce qui a été bien réussi

  • Le développement en série entière de l'exponentielle est le plus souvent connu.
  • L'espérance et la variance de la question 4 sont le plus souvent connues.
  • La question 9, qui testait la compréhension du sujet, a été réussie par une partie appréciable des candidats.

Conseils du jury

  • Rédiger correctement les premières questions d'un problème, souvent simples mais négligées.
  • Justifier les probabilités avec la même précision que le reste des mathématiques, notamment les hypothèses des théorèmes utilisés.
  • Pratiquer assidûment le calcul pour maîtriser les majorations et les estimations asymptotiques.
  • Apprendre le cours de manière réfléchie plutôt que de manipuler aveuglément les objets mathématiques.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2019

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Soit p un entier naturel non nul et r un nombre réel strictement positif. On considère la fonction
S_(r, p) : z ∈ C ↦ ∑_(n = 1)^(+ ∞)((pn)^r)/((pn)!)z^(pn)
L'objectif du problème est d'établir la validité de l'énoncé suivant :
S_(r, p)(x) ∼ _(x → + ∞)1/px^r e^x (H_(r, p))
Cet objectif sera atteint dans la partie II pour le cas particulier p = 1, et dans la partie III pour le cas p ≥ 2. Dans la partie IV, on étudie une application de ce résultat au comportement asymptotique d'une solution particulière d'une certaine équation différentielle d'ordre 2.
Dans tout le sujet, on note ⌊x⌋ la partie entière du nombre réel x, c'est-à-dire l'unique entier k tel que k ≤ x < k + 1. On rappelle que par convention 0^0 = 1, tandis que 0^r = 0 pour tout réel r > 0.

I Généralités, cas particuliers

  1. Soit r ∈ R_+^∗ et p ∈ N^∗. Justifier que la série entière ∑_(n ≥ 1)((pn)^r)/((pn)!)z^n a pour rayon de convergence + ∞, et faire de même pour la série entière ∑_(n ≥ 1)((pn)^r)/((pn)!)z^(np).
  2. Pour x réel, expliciter S_(0, 1)(x) et S_(0, 2)(x), et en déduire la validité des énoncés H_(0, 1) et H_(0, 2).

II Une démonstration probabiliste de H_(r, 1)

On admet dans cette partie qu'il existe, sur un certain espace probabilisé ( Ω, A, P ), une famille (X_x)_(x ∈ R_+^∗) de variables aléatoires à valeurs dans N telle que X_x suive la loi de Poisson de paramètre x pour tout réel x > 0. On fixe de telles données dans l'intégralité de cette partie, et l'on fixe un réel r > 0. On pose
Z_x:=(X_x)/x
Pour N ∈ N^∗, on pose
Y_(x, N):=∏_(k = 0)^(N − 1)(X_x − k) = X_x(X_x − 1)⋯(X_x − N + 1)
  1. Soit x ∈ R_+^∗. Montrer que (Z_x)^r admet une espérance, et exprimer E((Z_x)^r) à l'aide de S_(r, 1)(x).
  2. Pour x > 0, rappeler l'espérance et la variance de X_x. Déduire alors de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev que
P(|Z_x − 1| ≥ x^(− 1/3)) ⟶ _(x → + ∞)0
  1. Montrer que pour tout réel x > 1,
(1 − x^(− 1/3))^r P(Z_x ≥ 1 − x^(− 1/3)) ≤ E((Z_x)^r)
Montrer en outre que
(1 − x^(− 1/3))^r P(Z_x ≥ 1 − x^(− 1/3)) ⟶ _(x → + ∞)1
  1. Soit N ∈ N^∗ et x ∈ R_+^∗. Montrer que Y_(x, N) admet une espérance et que
E(Y_(x, N)) = x^N
  1. Soit N ∈ N^∗. Montrer qu'il existe des réels a_1, …, a_N tels que
a_N = 1 et ∀x > 0, (X_x)^N = ∑_(k = 1)^N a_k Y_(x, k)
On pourra introduire la famille (H_j)_(j ∈ N) de polynômes à coefficients réels définie par
H_0 = 1 et ∀j ∈ N^∗, H_j = ∏_(i = 0)^(j − 1)(T − i)
où l'indéterminée est notée T.
En déduire que
E((Z_x)^N) ⟶ _(x → + ∞)1
  1. On pose N:=⌊r⌋ et s:=r − N. Montrer l'inégalité
∀t ∈ R_+, t^s ≤ s(t − 1) + 1
et en déduire
∀x > 0, (Z_x)^r ≤ (1 − s)(Z_x)^N + s(Z_x)^(N + 1)
  1. En combinant les résultats précédents, établir la convergence
E((Z_x)^r) ⟶ _(x → + ∞)1
et conclure à la validité de l'énoncé H_(r, 1).

III Démonstration de H_(r, p) pour p ≥ 2

On fixe dans cette partie un entier naturel p ≥ 2 et un réel r > 0, et l'on se propose de déduire la validité de H_(r, p) de celle de H_(r, 1).
Pour n ∈ N et x ∈ R_+^∗, on pose
u_n(x):=(n^r)/(n!)x^n
  1. On fixe un réel x > 0. Étudier le signe de la fonction
φ_x : t ∈ [1, + ∞[ ↦ t^(1 − r)(t − 1)^r − x.
On montrera en particulier que φ_x s'annule en un unique élément de [1, + ∞[ que l'on notera t_x. En déduire que la suite finie (u_n(x))_(0 ≤ n ≤ ⌊t_x⌋) est croissante et que la suite (u_n(x))_(n ≥ ⌊t_x⌋) est décroissante.
L'ensemble {u_n(x)|n ∈ N} admet donc un maximum valant u_(⌊t_x⌋)(x). Dans la suite de cette partie, ce maximum sera noté M_x.
11. Soit α ∈ R. Déterminer la limite de φ_x(x + α) quand x tend vers + ∞. En déduire que
t_x − x − r ⟶ _(x → + ∞)0
Pour établir ce dernier résultat, on pourra revenir à la définition d'une limite.
12. Montrer que pour tout entier relatif k,
u_(⌊x⌋ + k)(x) ∼ _(x → + ∞)u_(⌊x⌋)(x).
  1. Soit m ∈ N^∗. Montrer que
∑_(i = ⌊x⌋ − m)^(⌊x⌋)u_i(x) ≥ mu_(⌊x⌋)(x) pour x voisin de + ∞
En déduire que, pour x voisin de + ∞,
u_(⌊x⌋)(x) ≤ (x^r e^x)/m
  1. En déduire que pour tout entier relatif k,
u_(⌊x⌋ + k)(x) = o_(x → + ∞)(x^r e^x)
puis que
M_x = o_(x → + ∞)(x^r e^x)
En vue de ce dernier résultat, on pourra commencer par démontrer que, pour x assez grand, M_x = u_(⌊x⌋ + i)(x) pour un entier i compris entre ⌊r⌋ − 1 et ⌊r⌋ + 2.
15. Dans cette question et la suivante, on fixe un nombre complexe z tel que |z| = 1 et z ≠ 1. Pour n ∈ N^∗, on pose
D_n:=∑_(k = 0)^(n − 1)z^k
Montrer que
∀n ∈ N^∗, |D_n| ≤ 2/(|1 − z|)
et que les séries ∑_n D_n u_(n − 1)(x) et ∑_n D_n u_n(x) sont absolument convergentes.
16. On conserve le nombre complexe z introduit dans la question précédente. Montrer que
∀x ∈ R_+^∗, ∑_(n = 1)^(+ ∞)D_n(u_(n − 1)(x) − u_n(x)) = S_(r, 1)(zx)
puis que, pour x voisin de + ∞,
|S_(r, 1)(zx)| ≤ (4M_x)/(|1 − z|)
et conclure à la relation
S_(r, 1)(zx) = o_(x → + ∞)(x^r e^x)
  1. On pose ξ:=exp((2iπ)/p). Pour tout réel x, montrer que
∑_(k = 0)^(p − 1)S_(r, 1)(ξ^k x) = pS_(r, p)(x)
et en déduire la validité de H_(r, p).

IV Application à une équation différentielle

On s'intéresse ici à l'équation différentielle :
(E) : tx^(′′)(t) − x(t) = 0
  1. Montrer que, parmi les solutions de (E) sur R à valeurs réelles, il en existe une et une seule, notée f, qui soit la somme d'une série entière et vérifie f^′(0) = 1. Expliciter la suite (c_n)_(n ∈ N) telle que
∀t ∈ R, f(t) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)c_n t^n
  1. Démontrer que
c_n ∼ _(n → + ∞)1/(√π)(√n)/((2n)!)4^n
Pour la dernière question, on admet le résultat suivant :

Lemme de comparaison asymptotique des séries entières.

Soit (a_n)_(n ∈ N) et (b_n)_(n ∈ N) deux suites à termes réels. On suppose que :
(i) La série entière ∑_n b_n z^n a pour rayon de convergence + ∞.
(ii) Il existe un rang n_0 ∈ N tel que ∀n ≥ n_0, b_n > 0.
(iii) Les suites (a_n)_(n ∈ N) et (b_n)_(n ∈ N) sont équivalentes.
Alors la série entière ∑_n a_n z^n a pour rayon de convergence + ∞ et
∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n ∼ _(x → + ∞)∑_(n = 0)^(+ ∞)b_n x^n
  1. En exploitant la validité de H_(r, p) pour un couple ( r, p ) bien choisi, démontrer l'équivalent
f(t) ∼ _(t → + ∞)(t^(1/4))/(2√π)e^(2√t)

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Mines PC 2019 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Mines PC 2019 ?

Le sujet porte sur les séries entières, le calcul asymptotique, les probabilités (loi de Poisson, inégalité de Bienaymé-Tchebychev) et les équations différentielles.

Le sujet de maths 1 Mines PC 2019 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme un sujet exigeant qui a valorisé les candidats solides, avec un contingent assez fort de copies presque vides malgré un étalonnage des notes satisfaisant.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 Mines PC 2019 ?

Le jury signale un oubli fréquent de vérifier l'absolue convergence, des variables aléatoires supposées indépendantes sans justification, et une inégalité de Markov mal appliquée.

Faut-il bien maîtriser les probabilités pour ce sujet de maths 1 Mines PC 2019 ?

Oui, une partie entière du sujet (partie II) démontre le résultat principal à l'aide d'une variable aléatoire de Poisson, et le rapport note un travail insuffisant de ce chapitre chez de nombreux candidats.

Pas de description pour le moment