Mines Mathématiques 2 PC 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

Polynômes à racines toutes réelles

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Présentation du sujet

Difficile

Polynômes réels à racines toutes réelles : log-concavité et théorème de Polya-Schur

Le sujet étudie les suites réelles qui, appliquées aux coefficients d'un polynôme à racines toutes réelles, préservent cette propriété (suites multiplicatives au sens de Polya-Schur). Il commence par la log-concavité des suites et l'usage du théorème de Rolle, parcourt des exemples issus de l'algèbre linéaire, des polynômes orthogonaux et des probabilités, établit le théorème de Hermite-Sylvester, puis aborde la caractérisation de Polya-Schur dans une dernière partie plus difficile.

1Log-concavité des suitesSuite binomiale, suites ultra log-concaves et unimodularité (Q1 à Q3).
2Polynômes réels à racines toutes réellesStabilité par dérivation grâce au théorème de Rolle, polynôme réciproque et opérateur Q(D) (Q4 à Q8).
3Quelques exemplesPolynômes caractéristiques de matrices symétriques, polynômes orthogonaux pour un produit scalaire intégral et fonction génératrice d'une somme de variables de Bernoulli (Q9 à Q16).
4Théorème de Hermite-SylvesterMatrices de Vandermonde, familles libres de formes linéaires et positivité d'une forme quadratique (Q17 à Q21).
5Suites multiplicatives et théorème de Polya-SchurPremières propriétés des suites multiplicatives, puis caractérisation par un polynôme auxiliaire et par une série entière de rayon infini (Q22 à Q31).

Difficile. Le jury qualifie le sujet de très long et la dernière partie de nettement plus difficile ; plusieurs questions de fin (Q27, Q28) n'ont pas été abordées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,03 / 20 · écart-type 3,36 · 3 350 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,03/ 20
Écart-type: 3,36
Présents: 3 350
Coefficient: 3
Durée: 3 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 26 avril 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Signes dans les inégalités · Multiplicités oubliées avec le théorème de Rolle · Degré du polynôme réciproque

Le sujet parcourait une large part du programme de PC autour des polynômes à racines toutes réelles. Les premières questions sont en général bien traitées, mais des questions simples ont donné lieu à des erreurs de négligence et les questions d'existence ont posé problème. Le jury déplore surtout les nombreux arguments longs et vides dans les questions où le résultat est donné.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Signes dans les inégalitésQ1, Q2
Multiplier une inégalité sans vérifier le signe du facteur conduit à des erreurs ; il faut aussi justifier clairement une inégalité même si l'énoncé la donne.
« il faut veiller aux signes lorsqu'on multiplie une inégalité »
2
Multiplicités oubliées avec le théorème de RolleQ4
La moitié des copies se contente des racines fournies par le théorème de Rolle sans tenir compte des racines multiples.
« Les multiplicités n'ont été étudiées que dans la moitié des copies »
3
Degré du polynôme réciproqueQ5
Le degré de X^n P(1/X) a souvent été donné égal à n par négligence ; il fallait d'abord remarquer que 0 n'est pas racine de P.
« Le jury a été désagréablement surpris par les réponses à cette question pourtant très simple. »
4
Théorème de cours redémontréQ9
Pour les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle, il suffisait de citer le théorème du cours.
« Le jury conseille aux candidats de ne pas perdre inutilement du temps à redémontrer que les valeurs propres d'une matrice symétrique sont réelles »
5
Gram-Schmidt appliqué sans préciser la baseQ13
Il faut indiquer la base de départ pour que la famille construite ait les degrés demandés.
« une proportion notable des candidats ont mentionné les polynômes de Lagrange, certainement en désespoir de cause ! »
6
Hypothèses ajoutées sur les variables de BernoulliQ15
Les variables avaient des paramètres différents ; des formules faisaient aussi intervenir un indice non défini.
« certains candidats ont pensé qu'on avait des variables de Bernouilli de même paramètre »

Ce qui a été bien réussi

La log-concavité de la suite binomiale (Q1) est généralement bien traitée, la Q2 plutôt bien.
La Q22 est souvent bien traitée par ceux qui utilisent la Q4.
Une proportion non négligeable des copies a su repérer les points faciles de la Q26.
La Q25 est bien traitée par les rares copies qui l'abordent.

Conseils du jury

Pour une question d'existence (Q3, Q10, Q13), construire l'objet cherché, par exemple par un raisonnement d'analyse-synthèse, au lieu de répéter l'énoncé.
Ne pas produire d'argument artificiel pour retrouver un résultat donné : cela ne rapporte rien et nuit au jugement porté sur la suite de la copie.
Citer précisément les théorèmes du cours plutôt que les redémontrer.
Mener les calculs jusqu'au bout, par exemple le discriminant de la Q6, au lieu de simplement les suggérer.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve :

3

heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations

Pour tout $0 ⩽ k ⩽ n$ , on notera $(n/k) = (n!)/(k!(n - k)!)$ le coefficient binomial où $n! = n(n - 1)\dots2.1$ .
On note $C^\infty(R)$ les fonctions $f : R ⟶ R$ de classe $C^\infty$ . On dit que $a$ est un zéro d'ordre $m > 0$ de $f \in C^\infty(R)$ si

f(a) = f^'(a) = \dots = f^((m - 1))(a) = 0 et f^((m))(a) \neq 0

Dans la suite du texte quand on liste les zéros d'un polynôme on répètera chaque racine autant de fois que sa multiplicité : ainsi les racines de

X^3(X - 1)^2

sont

0, 0, 0, 1, 1

On note $D : C^\infty(R) ⟶ C^\infty(R)$ l'opérateur de dérivation, i.e. $D(f) = f^'$ . Pour $Q = \sum_(k = 0)^n a_k X^k \in R[X]$ , on note $Q(D)$ l'opérateur défini par

Q(D) : C^\infty(R), ⟶ C^\infty(R); f, ⟼ \sum_(k = 0)^n a_k D^k(f)

c'est-à-dire que

Q(D)f(x) = \sum_(k = 0)^n a_k f^((k))(x)

où

f^((k))

est la fonction dérivée

k

-ème.

Log-concavité des suites

Soit

(a_0, \dots, a_n)

une suite à valeurs réelles. On dira qu'elle est

unimodulaire s'il existe $0 ⩽ j ⩽ n$ tel que $a_0 ⩽ a_1 ⩽ \dots ⩽ a_j ⩾ a_(j + 1) ⩾ \dots ⩾ a_n$ ;
log-concave si pour tout $1 ⩽ j ⩽ n - 1$ , on a $a_j^2 ⩾ a_(j - 1)a_(j + 1)$ ;
ultra log-concave si $((a_k)/((n/k)))_(k = 0, \dots, n)$ est log-concave.
$1▹$ Montrer que la suite binomiale $((n/k))_(k = 0, \dots, n)$ est log-concave.
$2▹$ Montrer que si $(a_k)_(k = 0, \dots, n)$ est ultra log-concave, alors elle est log-concave.
3 - Montrer que si $(a_k)_(k = 0, \dots, n)$ est strictement positive et log-concave, alors elle est unimodulaire.

Polynômes réels à racines toutes réelles

Soit

P(X) = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n \in R[X]

avec

a_n \neq 0

. Il est dit à racines toutes réelles si toutes ses racines complexes sont en fait réelles, i.e.

P(z) = 0

implique

z \in R

. On suppose dans cette question que

P

est à racines toutes réelles.

4▹

Montrer que

P^'

est à racines toutes réelles.
Indication : on pourra utiliser le théorème de Rolle en veillant aux multiplicités des racines.

5 - Montrer que

Q(X) = X^n P(1/X)

est un polynôme à racines toutes réelles.
Indication : on commencera par préciser le degré de

Q(X)

6▹

Pour

1 ⩽ k ⩽ n - 1

, on considère

Q_1(X) = P^((k - 1))(X)

puis

Q_2(X) = X^(n - k + 1)Q_1(X^(- 1))

et enfin

Q(X) = Q_2^((n - k - 1))(X)

. Montrer que

Q(X)

est un polynôme de degré au plus 2 à racines toutes réelles et en déduire que

(a_k)_(k = 0, \dots, n)

est ultra log-concave.

On considère comme précédemment un polynôme

P \in R[X]

de degré

n

à racines toutes réelles.

7▹

Soit

α \in R

. Montrer que

e^(αx)D(e^(- αx)P(x))

est un polynôme à racines toutes réelles.
Indication : on pourra à nouveau utiliser le théorème de Rolle en considérant en outre le comportement en

\pm \infty

8 - Soient

P(X) = \sum_(k = 0)^n a_k X^k

Q(X) = \sum_(j = 0)^m b_j X^j

des polynômes réels à racines toutes réelles. Montrer que

Q(D)P(X)

est un polynôme à racines toutes réelles.

Dans la question 27 , nous utiliserons le théorème de composition de Schur suivant, que nous admettons.

Théorème 1 Soient

P(X) = \sum_(k = 0)^n a_k X^k

Q(X) = \sum_(j = 0)^m b_j X^j

des polynômes réels à racines toutes réelles. On suppose en outre que les racines de

Q

ont toutes le même signe. Alors le polynôme

P \circ Q(X):=\sum_(k = 0)^(min(n, m))a_k b_k(k!)X^k

est à racines toutes réelles.

Quelques exemples

Soit

A

une matrice symétrique réelle de taille

n

9

- Montrer que son polynôme caractéristique

χ_A(X)

est à racines toutes réelles.

10▹

On suppose que toutes les racines de

χ_A(X)

sont positives. Montrer l'existence d'une matrice symétrique

C

telle que

A = C^2

11 - Soit

B

une matrice symétrique et on suppose comme dans la question précédente que les racines de

χ_A(X)

sont positives. Montrer que les valeurs propres de

AB

sont toutes réelles.

On considère

φ : {R[X] × R[X], ⟶, R; (P, Q), ↦, ∫_0^(+ ∞)P(x)Q(x)e^(− x)dx.

12▹

Montrer que

φ

définit un produit scalaire sur

R[X]

13▹

Justifier (on ne demande pas de les calculer) qu'il existe une famille

(L_n)_(n \in N)

R[X]

vérifiant les propriétés suivantes :

les $L_i$ sont de degré $i$ ;
pour tout $0 ⩽ i, j ⩽ n, φ(L_i, L_j) = δ_(i, j)$ i.e. nul si $i \neq j$ et égal à 1 pour $i = j$ .
$14▹$ Montrer que pour tout $n ⩾ 1$ , le polynôme $L_n$ est à racines toutes réelles.
Soit $(B_i)_(i = 1, \dots, n)$ une suite de variables aléatoires de Bernouilli $B(b_i)$ indépendantes de paramètres respectifs $b_i$ , i.e. $P(B_i = 1) = b_i$ et $P(B_i = 0) = 1 - b_i$ . Soit alors $B = \sum_(i = 1)^n B_i$ et soit

P(X) = \sum_(k = 0)^n p_k X^k

où

p_k = P(B = k)

15 - Montrer que

P(X)

est à racines toutes réelles.

16▹

Soit

P(X) = \sum_(k = 0)^n p_k X^k \in R[X]

à coefficients positifs, i.e.

p_k ⩾ 0

pour tout

k = 0, \dots, n

. On suppose en outre que

P

est à racines toutes réelles et que

P(1) = 1

. Montrer alors qu'il existe des variables de Bernouilli indépendantes

B_i

telles que pour tout

k = 0, \dots, n

, on a

p_k = P(\sum_(i = 1)^n B_i = k)

Théorème de Hermite-Sylvester

Soit

P \in R[X]

de degré

n

. On note

α_1, \dots, α_r

les racines réelles distinctes de

P

β_1, β¯_1\dots, β_s, β¯_s

ses racines complexes non réelles, où

β¯_i

désigne le conjugué de

β_i

. On note

m_i

la multiplicité de

α_i

n_j

celle de

β_j

β¯_j

.
Pour tout

k ⩾ 0

, on introduit

s_k = \sum_(i = 1)^r m_i α_i^k + \sum_(j = 1)^s n_j(β_j^k + β¯_j^k).

On introduit les applications linéaires

φ_k : C^n ⟶ C

définies par

φ_k(x_1, \dots, x_n) = \sum_(i = 1)^n x_i α_k^(i - 1)

ainsi que

ψ_k(x_1, \dots, x_n) = \sum_(i = 1)^n x_i β_k^(i - 1).

On notera aussi

ψ¯_k(x_1, \dots, x_n) = \sum_(i = 1)^n x_i β¯_k^(i - 1)

17▹

Montrer que

(φ_1, \dots, φ_r, ψ_1, ψ¯_1, \dots, ψ_s, ψ¯_s)

est une famille libre.
Indication : on pourra utiliser les matrices de Vandermonde.
18 - Montrer que

q(x_1, \dots, x_n) = \sum_(k = 1)^r m_k φ_k(x_1, \dots, x_n)^2 +; \sum_(k = 1)^s n_k(ψ_k(x_1, \dots, x_n)^2 + ψ¯_k(x_1, \dots, x_n)^2),

s'écrit sous la forme

q(x_1, \dots, x_n) = \sum_(i, j = 1)^n s_(i + j - 2)x_i x_j

▹

Montrer que si

P

est à racines toutes réelles, alors

q : R^n ⟶ R

définie par

q(x_1, \dots, x_n) = \sum_(i, j = 1)^n s_(i + j - 2)x_i x_j

, est à valeurs positives.

On suppose à présent

r < n

et on écrit pour tout

i = 1, \dots, s

ψ_i^2 + ψ¯_i^2 = 2Re(ψ_i)^2 - 2Im(ψ_i)^2.

20▹

Montrer que les applications linéaires

R^n ⟶ R

suivantes sont

R

-linéairement indépendantes :

φ_1, \dots, φ_r, Re(ψ_1), Im(ψ_1), \dots, Re(ψ_s), Im(ψ_s).

21 - Conclure que

P

est à racines toutes réelles si et seulement si

q

est à valeurs positives sur

R^n

.
Indication : on pourra utiliser, sans justification, l'existence d'un vecteur

(x_1, \dots, x_n) \in R^n

qui annule toutes les formes linéaires de la question précédente sauf une au choix.

Suite multiplicative de Polya-Schur

Étant donnée une suite réelle

(γ_n)_(n \in N)

, on considère l'opérateur

Γ : R[X] ⟶ R[X]

défini par la formule

Γ(\sum_(k = 0)^n a_k X^k) = \sum_(k = 0)^n a_k γ_k X^k.

Une suite

(γ_n)_(n \in N)

est dite multiplicative au sens de Polya-Schur si l'opérateur

Γ

préserve l'ensemble des polynômes à racines toutes réelles, i.e. si

P

a toutes ses racines réelles alors

Γ(P)

aussi.

22▹

Montrer que la suite définie par

γ_n = n

est multiplicative au sens de Polya-Schur.
23 - Montrer que si

(γ_n)_(n ⩾ 0)

est multiplicative au sens de Polya-Schur alors pour tout

k ⩾ 0

, la suite

(γ_n)_(n ⩾ k) = (γ_k, γ_(k + 1), \dots)

l'est aussi.

Soit

P(X) = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n

avec

a_n \neq 0

. On suppose que

P

a toutes ses racines réelles : on les note

x_1 ⩽ x_2 ⩽ \dots ⩽ x_n

. On rappelle que

- (a_(n - 1))/(a_n) = \sum_(k = 1)^n x_k

et on admet que

(a_(n - 2))/(a_n) = \sum_(1 ⩽ i < j ⩽ n)x_i x_j

de sorte que

a_(n - 1)^2 - 2a_n a_(n - 2) = a_n^2\sum_(k = 1)^n x_k^2.

24▹

Soit

(γ_n)_(n ⩾ 0)

une suite non nulle, multiplicative au sens de Polya-Schur et on suppose qu'il existe

k > 0

tel que

γ_k = 0

avec

γ_(k - 1) \neq 0

. Montrer que

γ_(k + 1) = 0

puis que

γ_m = 0

pour tout

m ⩾ k

.
Indication : on pourra utiliser les expressions de

Γ((1 + X)^(k + 1))

Γ(X^(k + 1) - X^(k - 1))

, puis, pour

m ⩾ k + 2

, raisonner sur les racines de

Γ((1 + X)^m)

25 - On suppose que la suite multiplicative

(γ_n)_(n ⩾ 0)

ne s'annule jamais. Montrer alors qu'elle est soit de signe constant, soit alternée.
Indication : on pourra utiliser encore l'expression de

Γ(X^(k + 1) - X^(k - 1))

Théorème de Polya-Schur

On considère à présent une suite

(γ_n)_(n ⩾ 0)

strictement positive, i.e.

γ_n > 0

pour tout

n ⩾ 0

On suppose que

(γ_n)_(n ⩾ 0)

est multiplicative au sens de Polya-Schur.
26

▹

Montrer que

Q_n(X) = \sum_(k = 0)^n γ_k(n/k)X^k

a toutes ses racines réelles et négatives.
Réciproquement supposons que

Q_n(X) = \sum_(k = 0)^n γ_k(n/k)X^k

a toutes ses racines réelles négatives. On fait le changement de variable

x = z/n

, de sorte que

P_n(z) = \sum_(k = 0)^n(γ_k)/(k!)(1 - 1/n)\dots(1 - (k - 1)/n)z^k,

a toutes ses racines réelles et négatives.

27▹

En utilisant le théorème 1, montrer que

(γ_n)_(n ⩾ 0)

est multiplicative au sens de PolyaSchur.

On suppose que

(γ_n)_(n ⩾ 0)

est multiplicative au sens de Polya-Schur.

28▹

Montrer que

(γ_n)_(n \in N)

est

log

-concave, i.e.

γ_k^2 ⩾ γ_(k + 1)γ_(k - 1)

pour tout

k ⩾ 1

29

- En déduire que la série entière

\sum_(n ⩾ 0)γ_n x^n

a un rayon de convergence strictement positif.

30▹

En déduire que

\sum_(n ⩾ 0)(γ_n)/(n!)x^n

a un rayon de convergence infini et peut s'obtenir comme la limite uniforme sur tout intervalle fermé borné de

R

, de polynômes à racines toutes réelles et négatives.

31 - Réciproquement montrer que si

\sum_(n ⩾ 0)(γ_n)/(n!)x^n

a un rayon de convergence infini et peut s'obtenir comme la limite uniforme, sur tout intervalle fermé borné de

R

, de polynômes à racines toutes réelles et négatives, alors

(γ_n)_(n ⩾ 0)

est multiplicative au sens de Polya-Schur.
Indication : pour cette question, toute tentative de réponse, partielle ou purement qualitative, sera considérée par le Jury.

Fin du problème

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.

Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 PC 2021 ?

Sur les polynômes réels à racines toutes réelles : log-concavité, théorème de Rolle, exemples tirés des matrices symétriques, des polynômes orthogonaux et des probabilités, théorème de Hermite-Sylvester et théorème de Polya-Schur.

Le sujet de maths 2 Mines PC 2021 est-il difficile ?

Le jury le décrit comme très long, avec une dernière partie nettement plus difficile. Les questions 27 et 28 n'ont pas été abordées, ce que le jury juge peu étonnant vu la longueur.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 2 Mines PC 2021 ?

Des signes négligés dans les inégalités, des multiplicités oubliées avec le théorème de Rolle, un degré faux pour le polynôme réciproque, Gram-Schmidt mal utilisé et des hypothèses ajoutées sur les variables de Bernoulli.

Quels chapitres réviser pour Mines PC 2021 maths 2 ?

Les polynômes et le théorème de Rolle, la réduction des matrices symétriques réelles, les produits scalaires et Gram-Schmidt, les variables aléatoires de Bernoulli et les séries entières.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Mathématiques 2 PC 2021

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