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Centrale Mathématiques 1 PC 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Marche aléatoire sur Z, chemins de Dyck et nombres de Catalan, systèmes orthogonaux de polynômes et déterminants de Hankel des nombres de Catalan
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Le sujet propose le dénombrement des chemins de Dyck, qui fait apparaître les nombres de Catalan. La partie I étudie ce dénombrement via la fonction génératrice du temps de premier retour à l'origine d'une marche aléatoire sur Z, menant au calcul explicite des nombres de Catalan et à leur équivalent asymptotique. La partie II étudie les systèmes orthogonaux de polynômes unitaires et le calcul d'un déterminant associé. La partie III applique ces résultats à un produit scalaire particulier pour calculer des déterminants de Hankel des nombres de Catalan.

  1. 1Partie I : étude d'une marche aléatoire sur ZEspérance et variance de la marche, chemins de Dyck et loi du premier retour à l'origine, expression des nombres de Catalan et équivalent asymptotique.
  2. 2Partie II : calcul d'un déterminant à l'aide d'un système orthogonalDéfinition et propriétés d'un système orthogonal de polynômes unitaires, unicité et calcul du déterminant associé.
  3. 3Partie III : déterminant de Hankel des nombres de CatalanApplication des résultats de la partie II à un produit scalaire particulier faisant apparaître les nombres de Catalan, calcul de deux déterminants de Hankel.

Difficile. Sur 3381 copies corrigées, la moyenne n'est que de 23,7% du barème pour un écart-type de 13,7%, et la meilleure copie n'a obtenu que 81,5% des points, les questions sur les déterminants en fin de sujet ayant été très peu abordées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,96 / 20 · écart-type 4,02 · 3 381 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,96/ 20
Écart-type
4,02
Présents
3 381
Coefficient
12
Durée
4 h
1er quartile
6
Médiane
8,6
3e quartile
12
moyenne 8,9605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 20 avril 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusion entre convergence normale et convergence absolue · Matrice Q_n supposée orthogonale à tort · Produit de fonctions intégrables supposé intégrable
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Le jury relève une grande diversité de parties du programme abordées, chacune traitée par plus de 90% des copies, mais les questions sur les déterminants en fin de sujet, plus difficiles, ont été très peu abordées. La différenciation entre les copies s'est faite sur la connaissance précise du cours, la rigueur de rédaction et la précision des calculs plutôt que sur le volume traité.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre convergence normale et convergence absolueQ9

    La notion de convergence normale d'une série de fonctions est globalement mal connue et souvent confondue avec la convergence absolue en tout point.

  2. 2
    Matrice Q_n supposée orthogonale à tortQ24 à Q26

    Environ la moitié des candidats considère à tort que la matrice Q_n est orthogonale, sans doute troublés par l'écriture du produit Q_n transposée fois G_n fois Q_n, alors que rien ne le laisse entendre dans le sujet.

  3. 3
    Produit de fonctions intégrables supposé intégrableQ27

    Le produit de fonctions intégrables n'est pas nécessairement intégrable, erreur sérieuse rencontrée dans beaucoup de copies lors de l'étude de la nature d'une intégrale impropre.

    « le produit de fonctions intégrables n’est pas nécessairement intégrable, erreur sérieuse rencontrée »
  4. 4
    Calculs arrangés de manière malhonnêteQ18

    À la question 18, un nombre non négligeable de candidats parvient à la bonne expression finale en partant d'une expression fausse et en effectuant des arrangements de calcul d'une intégrité douteuse.

  5. 5
    Propriétés du produit scalaire mal maîtriséesQ28

    La connaissance des propriétés à vérifier pour un produit scalaire est un point de cours mal maîtrisé, et l'adjectif linéaire employé seul est inadapté pour le qualifier.

Ce qui a été bien réussi

  • La question Q3, de compréhension immédiate des notations, a reçu de bonnes réponses.
  • La question Q10, un simple calcul, a été plutôt bien réussie.
  • La question Q13 a été globalement bien réussie par résolution d'une équation du second degré.
  • La question Q22 a été globalement réussie en utilisant la linéarité à droite du produit scalaire.

Conseils du jury

  • Toujours justifier une réponse, y compris la reconnaissance d'une loi usuelle comme la loi binomiale.
  • Déclarer systématiquement les variables utilisées dans un raisonnement.
  • Bannir les mots comme clairement, trivialement ou évidemment, qui ne remplacent pas une justification.
  • Vérifier la totalité des hypothèses nécessaires avant d'utiliser un résultat précédemment établi.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
Ce sujet est divisé en trois parties.
  • Dans la première partie, on étudie une marche aléatoire sur ℤ qui modélise la trajectoire d'une particule. On s'intéresse en particulier au temps nécessaire pour que la particule revienne pour la première fois à son point de départ, si cela arrive. Pour cela, on introduit une suite de nombres appelés nombres de Catalan et on étudie leurs propriétés.
  • Dans la deuxième partie, entièrement indépendante de la première, on s'intéresse au calcul d'un déterminant à l'aide d'une suite de polynômes orthogonaux.
  • Dans la troisième partie enfin, on utilise les résultats des deux premières parties pour calculer deux déterminants associés aux nombres de Catalan.

I Étude d'une marche aléatoire sur ℤ

Soit (Ω, A, ℙ) un espace probabilisé et soit (X_n)_(n ∈ ℕ^∗) une suite de variables aléatoires définies sur Ω et à valeurs dans { − 1, 1}, mutuellement indépendantes, et telles que, pour tout n ∈ ℕ^∗,
ℙ(X_n = 1) = p et ℙ(X_n = − 1) = 1 − p, où p ∈ ]0, 1[.
On pose S_0 = 0 et, pour tout n ∈ ℕ^∗, S_n = ∑_(k = 1)^n X_k.
La suite (S_n)_(n ∈ ℕ) modélise la trajectoire aléatoire dans ℤ d'une particule située en S_0 = 0 à l'instant initial n = 0, et faisant à chaque instant n ∈ ℕ un saut de +1 avec une probabilité p et de -1 avec une probabilité 1 − p, les sauts étant indépendants et p appartenant à ]0, 1[.
Pour ω ∈ Ω, on représente la trajectoire de la particule par la ligne brisée joignant les points de coordonnées (n, S_n(ω))_(n ∈ ℕ).
Figure 1 Exemple de trajectoire possible

I.A - Espérance et variance de S_n

Dans cette sous-partie, n désigne un entier naturel non nul.
Soit Y_n la variable aléatoire sur Ω égale au nombre de valeurs de k ∈ [ [1, n] ] telles que X_k = 1.
Q 1. Quelle est la loi de Y_n ? En déduire l'espérance et la variance de Y_n.
Q 2. Quelle relation a-t-on entre S_n et Y_n. En déduire l'espérance et la variance de S_n. Justifier que S_n et n ont même parité.

I.B - Chemins de Dyck et loi du premier retour à l'origine

Pour m ∈ ℕ^∗, on appelle chemin de longueur m tout m-uplet γ = (γ_1, …, γ_m) tel que ∀i ∈ [ [1, m] ], γ_i ∈ { − 1, 1}.
On pose alors s_γ(0) = 0 et, pour tout k ∈ [ [1, m] ], s_γ(k) = ∑_(i = 1)^k γ_i.
On représente le chemin γ par la ligne brisée joignant la suite des points de coordonnées (k, s_γ(k)), k ∈ [ [0, m] ].
Pour n ∈ ℕ^∗ :
  • on appelle chemin de Dyck de longueur 2n tout chemin γ = (γ_1, …, γ_(2n)) de longueur 2n tel que s_γ(2n) = 0 et ∀k ∈ [ [0, 2n] ], s_γ(k) ⩾ 0;
  • on note C_n le nombre de chemins de Dyck de longueur 2n.
On convient de plus que C_0 = 1.
La suite (C_n)_(n ∈ ℕ) est appelée suite des nombres de Catalan. On constate que C_1 = 1 et C_2 = 2.
Figure 2 Représentation des chemins de Dyck de longueurs 2 et 4
Q 3. Donner sans démonstration la valeur de C_3 et représenter tous les chemins de Dyck de longueur 6 .
Soit n ∈ ℕ et γ = (γ_1, …, γ_(2n + 2)) un chemin de Dyck de longueur 2n + 2. Soit r = max{i ∈ [ [0, n] ]|s_γ(2i) = 0}.
On suppose 0 < r < n et on considère les chemins α = (γ_1, …, γ_(2r)) et β = (γ_(2r + 2), …, γ_(2n + 1)).
Q 4. Justifier à l'aide d'une figure que γ_(2r + 1) = 1, γ_(2n + 2) = − 1 et que α et β sont des chemins de Dyck.
Soit m ∈ ℕ^∗ et soit γ = (γ_1, …, γ_m) un chemin de longueur m.
Pour t ∈ ℕ, on note A_(t, γ) l'événement: «pour tout k ∈ [ [1, m] ], X_(t + k) = γ_k »; en d'autres termes,
A_(t, γ) = ⋂_(k = 1)^m(X_(t + k) = γ_k).
Q 5. Soit n ∈ ℕ^∗ et soit γ = (γ_1, …, γ_(2n)) un chemin de Dyck de longueur 2n. Pour t ∈ ℕ, exprimer ℙ(A_(t, γ)) en fonction de n et p.
Soit T la variable aléatoire, définie sur Ω et à valeurs dans ℕ, égale au premier instant où la particule revient à l'origine, si cet instant existe, et égale à 0 si la particule ne revient jamais à l'origine :
∀ω ∈ Ω, T(ω) = {0, si ∀k ∈ ℕ^∗, S_k(ω) ≠ 0; min{k ∈ ℕ^∗|S_k(ω) = 0}, sinon
Q 6. Montrer que T prend des valeurs paires et que, pour tout n ∈ ℕ, ℙ(T = 2n + 2) = 2C_n p^(n + 1)(1 − p)^(n + 1).
I.B.1) Série génératrice des nombres de Catalan
Q 7. En utilisant la question 4, montrer
∀n ∈ ℕ, C_(n + 1) = ∑_(r = 0)^n C_r C_(n − r).
Q 8. À l'aide de la variable aléatoire T, montrer que la série ∑_(n ⩾ 0)(C_n)/(4^n) converge.
Q 9. En déduire que la série entière ∑_(n ⩾ 0)C_n t^n converge normalement sur l'intervalle I = [ − 1/4, 1/4].
On pose alors, pour tout t ∈ I,
f(t) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)C_n t^n et g(t) = 2tf(t).
On rappelle que la série génératrice de T, donnée par G_T(t) = ∑_(n = 0)^∞ℙ(T = n)t^n, est définie si t ∈ [ − 1, 1].
Q 10. À l'aide des questions précédentes, exprimer G_T à l'aide de g et de ℙ(T = 0).
Q 11. En déduire que si p ≠ 1/2, alors T admet une espérance.
Q 12. Montrer que ∀t ∈ I, g(t)^2 = 2g(t) − 4t.
Q 13. En déduire qu'il existe une fonction ε : I → { − 1, 1} telle que
∀t ∈ I, g(t) = 1 + ε(t)√(1 − 4t).
Q 14. Montrer que ε est continue sur I∖{1/4}. En déduire
∀t ∈ I, g(t) = 1 − √(1 − 4t)
Q 15. En déduire que ℙ(T ≠ 0) = 1 − √(1 − 4p(1 − p)). Interpréter ce résultat lorsque p = 1/2.
Q 16. Montrer que si p = 1/2, alors T n'admet pas d'espérance.

I. C - Expression des nombres de Catalan et équivalent

Q 17. Justifier l'existence d'une suite de réels (a_n)_(n ∈ ℕ) telle que
∀x ∈ ] − 1, 1[, √(1 + x) = 1 + ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^(n + 1)
et, pour tout n ∈ ℕ, exprimer a_n à l'aide d'un coefficient binomial.
Q 18. En déduire ∀n ∈ ℕ, C_n = 1/(n + 1)((2n)/n).
Q 19. Rappeler l'équivalent de Stirling. En déduire un équivalent de C_n lorsque n tend vers + ∞.
Q 20. À partir de la question précédente, retrouver le résultat des questions 11 et 16 .

II Calcul d'un déterminant à l'aide d'un système orthogonal

Dans cette partie, on suppose que l'espace vectoriel ℝ[X] est muni d'un produit scalaire ( ⋅ | ⋅ ) et on note ‖ ⋅ ‖ la norme associée.
Pour tout n ∈ ℕ, on note G_n la matrice carrée de taille n + 1 suivante :
G_n = ((X^(i − 1)|X^(j − 1)))_(1 ⩽ i, j ⩽ n + 1) = ((1|1), (1|X), ⋯, (1|X^n); (X|1), (X|X), ⋯, (X|X^n); ⋮, ⋮, ⋮; (X^n|1), (X^n|X), ⋯, (X^n|X^n))
On cherche à obtenir une expression du déterminant de G_n à l'aide d'une suite de polynômes orthogonaux.

II.A - Définition et propriétés d'un système orthogonal

Dans ℝ[X] muni du produit scalaire (⋅ | ⋅), on appelle système orthogonal toute suite de polynômes (P_n)_(n ∈ ℕ) vérifiant les propriétés suivantes :
− (P_n)_(n ∈ ℕ) est une famille orthogonale, c'est-à-dire: ∀(i, j) ∈ ℕ^2, i ≠ j ⇒ (P_i|P_j) = 0;
  • pour tout n ∈ ℕ, P_n est unitaire et de degré n.
Dans toute la partie II, on considère un système orthogonal (V_n)_(n ∈ ℕ).
Q 21. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, la famille (V_0, V_1, …, V_n) est une base orthogonale de l'espace vectoriel ℝ_n[X] des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.
Q 22. Soit n ∈ ℕ et P ∈ ℝ[X] tels que degP < n. Montrer que (V_n|P) = 0.
Q 23. Soit (W_n)_(n ∈ ℕ) un autre système orthogonal. Montrer que ∀n ∈ ℕ, W_n = V_n.
II.B - Expression de detG_n à l'aide de la suite (V_n)_(n ∈ ℕ)
Soit n ∈ ℕ et soit G_n^′ la matrice carrée de taille n + 1 suivante :
G_n^′ = ((V_(i − 1)|V_(j − 1)))_(1 ⩽ i, j ⩽ n + 1) = ((V_0|V_0), (V_0|V_1), ⋯, (V_0|V_n); (V_1|V_0), (V_1|V_1), ⋯, (V_1|V_n); ⋮, ⋮, ⋮; (V_n|V_0), (V_n|V_1), ⋯, (V_n|V_n))
On note Q_n = (q_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n + 1) la matrice de la famille ( V_0, V_1, …, V_n ) dans la base ( 1, X, …, X^n ) de ℝ_n[X].
Q 24. Montrer que Q_n est triangulaire supérieure et que detQ_n = 1.
Q 25. Montrer que Q_n^⊤G_n Q_n = G_n^′, où Q_n^⊤ est la transposée de la matrice Q_n.
Q 26. En déduire que detG_n = ∏_(i = 0)^n‖V_i‖^2.

III Déterminant de Hankel des nombres de Catalan

Dans cette partie, on introduit un produit scalaire particulier sur ℝ[X] et une suite de polynômes. On vérifie qu'il s'agit d'un système orthogonal pour ce produit scalaire, ce qui permettra d'appliquer les résultats de la partie précédente.

III.A - Produit scalaire

Q 27. Soit P ∈ ℝ[X] et Q ∈ ℝ[X]. Montrer que la fonction x ↦ P(4x)Q(4x)(√(1 − x))/(√x) est intégrable sur ]0, 1]. Dans toute la partie III, on pose
∀(P, Q) ∈ ℝ[X] × ℝ[X], (P|Q) = 2/π∫_0^1 P(4x)Q(4x)(√(1 − x))/(√x) dx
Q 28. Montrer que ( ⋅ | ⋅ ) est un produit scalaire sur ℝ[X].

III.B - Système orthogonal

Soit (U_n)_(n ∈ ℕ) la suite de polynômes définie par U_0 = 1, U_1 = X − 1 et ∀n ∈ ℕ, U_(n + 2) = (X − 2)U_(n + 1) − U_n.
Q 29. Pour tout n ∈ ℕ, montrer que U_n est unitaire de degré n, et déterminer la valeur de U_n(0).
Q 30. Soit θ ∈ ℝ. Montrer que ∀n ∈ ℕ, U_n(4cos^2 θ)sinθ = sin((2n + 1)θ).
Q 31. Soit (m, n) ∈ ℕ^2. Calculer ∫_0^(π/2)sin((2m + 1)θ)sin((2n + 1)θ)dθ.
Q 32. En déduire que (U_n)_(n ∈ ℕ) est un système orthogonal et que, pour tout n ∈ ℕ, ‖U_n‖ = 1.
Pour calculer la valeur de ( U_m|U_n ), on pourra effectuer le changement de variable x = cos^2 θ.

III.C - Application

Pour tout n ∈ ℕ, on pose μ_n = (X^n|1).
Q 33. À l'aide d'une intégration par parties, montrer
∀n ∈ ℕ^∗, 4μ_(n − 1) − μ_n = (2 × 4^n)/π∫_0^1 x^(n − 3/2)(1 − x)^(3/2) dx = 3/(2n − 1)μ_n
Q 34. En déduire ∀n ∈ ℕ, μ_n = C_n.
Q 35. Soit n ∈ ℕ. Déduire des parties précédentes la valeur du déterminant
H_n = det(C_(i + j − 2))_(1 ⩽ i, j ⩽ n + 1) = |C_0, C_1, C_2, …, C_(n − 1), C_n; C_1, ∴, ∴, ∴, C_(n + 1); C_2, ∴, ∴, ∴, ⋮; ⋮, ∴, ∴, ∴, C_(2n − 2); C_(n − 1), ∴, ∴, ∴, C_(2n − 1); C_n, C_(n + 1), ⋯, C_(2n − 2), C_(2n − 1), C_(2n)|

III.D - Un autre déterminant de Hankel

Dans cette sous-partie, on pose, pour tout n ∈ ℕ,
D_n(X) = |C_0, C_1, C_2, …, C_(n − 1), C_n; C_1, ∴, ∴, ∴, C_(n + 1); C_2, ∴, ∴, ∴, ⋮; ⋮, ∴, ∴, ∴, C_(2n − 2); C_(n − 1), C_n, C_(n + 1), …, C_(2n − 2), C_(2n − 1); 1, X, …, X^(n − 2), X^(n − 1), X^n| et H_n^′ = |C_1, C_2, C_3, …, C_(n − 1), C_n; C_2, ∴, ∴, ∴, C_(n + 1); C_3, ⋱, ∴, ∴, ⋮; ⋮, ⋱, ∴, ⋱, C_(2n − 3); C_(n − 1), ∴, ∴, ⋱, C_(2n − 2); C_n, C_(n + 1), ⋯, C_(2n − 3), C_(2n − 2), C_(2n − 1)|
Q 36. Soit (n, k) ∈ ℕ^2 tel que k < n. Montrer (D_n|X^k) = 0.
Q 37. En déduire que ∀n ∈ ℕ, D_n = U_n, puis déterminer, pour tout n ∈ ℕ^∗, la valeur du déterminant H_n^′.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Centrale PC 2021 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Centrale PC 2021 ?

Le sujet porte sur les probabilités et les marches aléatoires, les séries entières, le dénombrement avec les nombres de Catalan, l'algèbre bilinéaire avec les systèmes orthogonaux de polynômes, et les intégrales impropres.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de mathématiques 1 Centrale PC 2021 ?

Le jury relève une confusion entre convergence normale et convergence absolue, une matrice supposée orthogonale à tort, l'idée fausse qu'un produit de fonctions intégrables est intégrable, et des calculs parfois arrangés de manière malhonnête.

L'épreuve de mathématiques 1 Centrale PC 2021 est-elle difficile ?

Oui, sur 3381 copies corrigées la moyenne n'atteint que 23,7% du barème, avec un écart-type de 13,7%, et même la meilleure copie n'a obtenu que 81,5% des points.

Le sujet de mathématiques 1 Centrale PC 2021 couvre-t-il une large partie du programme ?

Oui, le rapport souligne une grande diversité dans les parties du programme concernées, probabilités, séries entières, algèbre bilinéaire et intégrales généralisées, chacune abordée par plus de 90% des copies.

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