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L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,2 / 20 · écart-type 3,97 · 4 367 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,2/ 20
Écart-type
3,97
Présents
4 367
Coefficient
14
Durée
4 h
moyenne 10,205101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 3 mai 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

Les urnes de Pólya

On fixe un couple d'entiers (b, r) ∈ ℕ^∗ × ℕ^∗. On suppose que l'on dispose d'un stock illimité de boules blanches et de boules rouges et on considère une urne contenant initialement b boules blanches et r boules rouges indiscernables au toucher. On procède à des tirages successifs dans cette urne en respectant à chaque fois le protocole suivant :
  1. si la boule tirée est de couleur blanche, on la replace dans l'urne et on ajoute une boule blanche supplémentaire;
  2. si la boule tirée est de couleur rouge, on la replace dans l'urne et on ajoute une boule rouge supplémentaire.
    Le premier objectif de cet exercice est de calculer la probabilité de tirer une boule blanche lors du n-ième tirage. Le second objectif est de déterminer la loi du nombre de boules blanches se trouvant dans l'urne à l'issue du n-ième tirage dans un cas particulier.
Pour tout n ∈ ℕ^∗, on désigne par X_n la variable aléatoire égale à 1 si la boule tirée au n-ième tirage est blanche, 0 si la boule tirée au n-ième tirage est rouge. On considère également la suite de variables aléatoires réelles (S_n)_(n ∈ ℕ) définie par :
S_0 = b et ∀n ∈ ℕ^∗, S_n = b + ∑_(k = 1)^n X_k.
On rappelle que si E et F sont deux évènements avec P(F) > 0, on définit la probabilité conditionnelle de E sachant F (notée P(E|F) ou P_F(E) ) par :
P(E|F) = P_F(E) = (P(E ∩ F))/(P(F)).

Partie I - Préliminaires

Q1. Déterminer la loi de X_1.
Q2. Déterminer la loi conditionnelle de X_2 sachant l'évènement ( X_1 = 1 ). En déduire la loi de X_2.
Q3. Soit n ∈ ℕ. Que représente la variable aléatoire S_n ? Quel est l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire S_n ?

Partie II - La loi de X_n

Dans cette partie, on considère un entier n ∈ ℕ^∗.
Q4. Pour tout k ∈ [ [b, n + b] ], calculer P(X_(n + 1) = 1|S_n = k).
Q5. À l'aide de la formule des probabilités totales, justifier que :
P(X_(n + 1) = 1) = (E(S_n))/(b + r + n).
Q6. Montrer par récurrence que X_n suit la loi de Bernoulli de paramètre b/(b + r) pour tout n ∈ ℕ^∗.

Partie III - La loi de S_n dans un cas particulier

Dans cette partie uniquement, on suppose que b = r = 1 et on considère un entier n ∈ ℕ^∗.
Q7. Exprimer l'évènement (S_n = 1) avec les évènements (X_k = 0) pour k ∈ [ [1, n] ].
Q8. Montrer que P(S_n = 1) = 1/(n + 1).
On admet dans la suite que l'on a de même P(S_n = n + 1) = 1/(n + 1).
Q9. Soit (k, ℓ) ∈ [ [1, n + 2] ] × [ [1, n + 1] ]. Calculer la probabilité P(S_(n + 1) = k|S_n = ℓ) dans chacun des trois cas suivants :
(i) ℓ ∉ {k − 1, k},
(ii) ℓ = k − 1,
(iii) ℓ = k.
Q10. Montrer que pour tout k ∈ [ [2, n + 1] ], on a la relation :
P(S_(n + 1) = k) = (k − 1)/(n + 2)P(S_n = k − 1) + (n + 2 − k)/(n + 2)P(S_n = k)
Q11. Montrer par récurrence que S_n suit la loi uniforme sur [ [1, n + 1] ].

EXERCICE 2

Résolution d'une équation fonctionnelle

Dans cet exercice, on souhaite déterminer les fonctions f : ]0, + ∞[ → ℝ vérifiant les relations :
lim_(x → + ∞)f(x) = 0 et ∀x ∈ ]0, + ∞[, f(x + 1) + f(x) = 1/(x^2)

Partie I - Existence et unicité de la solution du problème (P)

Dans cette partie, on démontre que le problème (P) admet une unique solution et on détermine une expression de celle-ci sous la forme d'une série de fonctions.

I. 1 - Existence de la solution

Pour tout k ∈ ℕ, on définit la fonction φ_k : ]0, + ∞[ → ℝ par :
∀x ∈ ]0, + ∞[, φ_k(x) = ((− 1)^k)/((x + k)^2)
Q12. Montrer que la série de fonctions ∑_(k ⩾ 0)φ_k converge simplement sur ]0, + ∞[.
Dans tout le reste de cet exercice, on note φ : ]0, + ∞[ → ℝ la somme de la série ∑_(k ⩾ 0)φ_k.
Q13. Montrer que pour tout x ∈ ]0, + ∞[, on a φ(x + 1) + φ(x) = 1/(x^2).
Q14. En utilisant le théorème spécial des séries alternées, montrer que :
∀x ∈ ]0, + ∞[, ∀n ∈ ℕ, |∑_(k = n + 1)^(+ ∞)φ_k(x)| ⩽ 1/((x + n + 1)^2)
Q15. Montrer que la fonction φ est une solution de (P).

I. 2 - Unicité de la solution

Q16. Montrer que si f : ]0, + ∞[ → ℝ est une solution de (P), alors pour tout n ∈ ℕ, on a :
∀x ∈ ]0, + ∞[, f(x) = (− 1)^(n + 1)f(x + n + 1) + ∑_(k = 0)^n((− 1)^k)/((x + k)^2)
Q17. En déduire que la fonction φ est l'unique solution de (P).

Partie II - Étude de la solution du problème (P)

Dans cette partie, on étudie quelques propriétés de l'unique solution φ : ]0, + ∞[ → ℝ du problème (P).
Q18. Soit ε > 0. Montrer que la série de fonctions ∑_(k ⩾ 0)φ_k converge uniformément sur [ε, + ∞[.
Q19. Montrer que la fonction φ est continue sur ]0, + ∞[. En utilisant le fait que φ est une solution du problème (P), en déduire un équivalent simple de φ au voisinage de 0^+.
Q20. Justifier que la fonction φ est dérivable sur ]0, + ∞[ et que l'on a :
∀x ∈ ]0, + ∞[, φ^′(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(2(− 1)^(k + 1))/((x + k)^3)
Q21. En déduire que la fonction φ est décroissante sur ]0, + ∞[.
Q22. En utilisant le résultat de la question précédente et la relation (P), montrer que :
∀x ∈ ]1, + ∞[, 1/(x^2) ⩽ 2φ(x) ⩽ 1/((x − 1)^2)
En déduire un équivalent de φ en + ∞.

Partie III - Expression intégrale de la solution du problème (P)

Dans cette partie, on détermine une expression de φ sous la forme d'une intégrale. On considère un élément x ∈ ]0, + ∞[.
Q23. Pour tout k ∈ ℕ, montrer que la fonction t ↦ t^(x + k − 1)ln(t) est intégrable sur ]0, 1] et que l'on a :
∫_0^1 t^(x + k − 1)ln(t)dt = − 1/((x + k)^2)
Q24. En déduire que la fonction t ↦ (t^(x − 1)ln(t))/(1 + t) est intégrable sur ]0, 1] et que :
φ(x) = − ∫_0^1(t^(x − 1)ln(t))/(1 + t) dt

EXERCICE 3

Approximation d'une racine carrée par la méthode de Héron

Dans tout l'exercice, on considère un entier n ∈ ℕ^∗ et on note I_n la matrice identité de M_n(ℝ). De plus, si M ∈ M_n(ℝ), on désigne par M^T la transposée de la matrice M et par Tr(M) la trace de la matrice M.

Partie I - Approximation de la racine carrée d'un réel positif

On considère la suite de fonctions (f_k)_(k ∈ ℕ) définie par :
f_0 : ℝ_+ → ℝ et ∀x ∈ ℝ_+, f_0(x) = 1
et la relation de récurrence :
∀k ∈ ℕ^∗, f_k : ℝ_+ → ℝ et ∀x ∈ ℝ_+ f_k(x) = 1/2(f_(k − 1)(x) + x/(f_(k − 1)(x)))
On admet que la suite (f_k)_(k ∈ ℕ) est correctement définie par les relations ci-dessus. Dans la suite, on pourra utiliser sans la démontrer l'inégalité :
∀k ∈ ℕ, ∀x ∈ ℝ_+, f_k(x) > 0

I. 1 - Convergence de la suite (f_k)_(k ∈ ℕ)

Q25. Soit x ∈ ℝ_+. En calculant (f_k(x))^2 − x, montrer que f_k(x) ⩾ √x pour tout k ∈ ℕ^∗.
Q26. Soit x ∈ ℝ_+. Montrer que la suite (f_k(x))_(k ∈ ℕ^∗) est décroissante.
Q27. Déduire des deux questions précédentes que la suite de fonctions (f_k)_(k ∈ ℕ) converge simplement vers la fonction f : ℝ_+ → ℝ définie par f(x) = √x pour tout x ∈ ℝ_+.

I. 2 - Majoration de l'erreur

Q28. Soit x ∈ ℝ_+. Montrer que pour tout k ∈ ℕ, on a :
f_(k + 1)(x) − √x = (f_k(x) − √x)/2(1 − (√x)/(f_k(x))).
Q29. Soit x ∈ ℝ_+. En déduire que pour tout k ∈ ℕ^∗, on a :
|f_k(x) − √x| ⩽ (1 + x)/(2^k)

Partie II - Généralités sur les racines carrées d'une matrice

On dit qu'une matrice A ∈ M_n(ℝ) admet une racine carrée s'il existe B ∈ M_n(ℝ) telle que A = B^2. Dans ce cas, on dit que B est une racine carrée de A.
Q30. Soit A ∈ M_n(ℝ). Montrer que si A admet une racine carrée, alors det(A) ⩾ 0.
Q31. Étudier la réciproque de la propriété établie dans la question précédente dans le cas où n = 2. On pourra considérer la matrice :
A = (0, 1; 0, 0) ∈ M_2(ℝ)
et écrire B = (a, b; c, d) avec (a, b, c, d) ∈ ℝ^4.
Dans tout le reste de l'exercice, on considère une matrice symétrique S ∈ M_n(ℝ) dont toutes les valeurs propres sont positives.
Q32. Justifier que la matrice S est diagonalisable dans M_n(ℝ).
Dans la suite de l'exercice, on note λ_1, …, λ_n ∈ ℝ_+les valeurs propres de S comptées avec leur multiplicité. On fixe une matrice orthogonale P ∈ GL_n(ℝ) telle que S = PDP^(− 1) où :
D = (λ_1, (0); ⋱; (0), λ_n) ∈ M_n(ℝ)
On considère également la matrice R = PΔP^(− 1) avec :
Δ = (√(λ_1), (0); ⋱; (0), √(λ_n))
Q33. Vérifier que R est une matrice symétrique et une racine carrée de S.

Partie III - Approximation d'une racine carrée d'une matrice symétrique

On note D_n^+l'ensemble des matrices diagonales de M_n(ℝ) dont les coefficients diagonaux sont strictement positifs. On considère également la partie C_P de M_n(ℝ) définie par :
C_P = {M ∈ M_n(ℝ)|P^(− 1)MP ∈ D_n^+}
Q34. Vérifier que I_n ∈ C_P. Montrer que si M ∈ C_P, alors M est une matrice inversible et on a:
1/2(M + SM^(− 1)) ∈ C_P
La question précédente implique que l'on peut définir la suite (U_k)_(k ∈ ℕ) d'éléments de C_P par :
U_0 = I_n et ∀k ∈ ℕ^∗, U_k = 1/2(U_(k − 1) + SU_(k − 1)^(− 1)).
On considère également la suite (V_k)_(k ∈ ℕ) définie par V_k = P^(− 1)U_k P pour tout k ∈ ℕ.
Q35. Soit k ∈ ℕ^∗. Exprimer V_k en fonction de D et V_(k − 1). En déduire par récurrence sur k ∈ ℕ que :
V_k = (f_k(λ_1), (0); ⋱; (0), f_k(λ_n))
où f_k est la fonction définie dans la partie I de cet exercice.
On considère l'application N : M_n(ℝ) → ℝ définie par :
∀B ∈ M_n(ℝ), N(B) = √(Tr(BB^T)).
On admet que l'application N est une norme sur M_n(ℝ).
Q36. Soit k ∈ ℕ. Montrer que N(R − U_k) = N(Δ − V_k).
Q37. En déduire à l'aide de la question Q29 que pour tout k ∈ ℕ^∗, on a l'inégalité :
N(R − U_k) ⩽ (Tr(S) + n)/(2^k).
Q38. Conclure que la suite (U_k)_(k ∈ ℕ) converge vers R.

FIN

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