CCINP Modélisation PC 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Thermodynamique des systèmes ouverts : premier principe industriel
Gaz parfait : énergie interne, enthalpie, capacités thermiques
Second principe et identités thermodynamiques
Calorimétrie
Méthode d'Euler et méthode de Newton
Intégration numérique par la méthode des rectangles
Programmation Python avec numpy et matplotlib
Systèmes linéaires et matrice de Vandermonde

Explorer les annales

BanqueCCINP Année2021 FilièrePC MatièreModélisation

Annales CCINP PC Modélisation CCINP PC 2021 PC Modélisation Modélisation 2021

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Difficile

Fuite de matière d'un réservoir de dioxyde de carbone gazeux : système ouvert en régime transitoire et méthodes numériques

Le sujet modélise la vidange d'un réservoir adiabatique de CO2 à travers un orifice, vu comme un système ouvert en régime transitoire. Il comporte trois parties indépendantes de poids comparables : la mise en équation thermodynamique, la résolution numérique du système différentiel par les méthodes d'Euler et de Newton en Python, puis l'ajustement de deux modèles de capacité thermique molaire du CO2 (minimisation d'une fonction objectif et polynôme d'interpolation). Un aide-mémoire numpy est fourni.

1Partie I : mise en équation de la fuiteBilans de matière et d'énergie en système ouvert, modèle du gaz parfait, débit massique à travers l'orifice et second principe.
2Partie II : traitement numériqueIntégration numérique, méthode de Newton pour la température de sortie et schéma d'Euler pour calculer température, masse et pression au cours du temps.
3Partie III : corrélations pour la capacité thermique du CO2Calorimétrie, minimisation d'une fonction objectif par la méthode de Newton avec gradient et hessienne, puis polynôme d'interpolation par inversion d'une matrice de Vandermonde.

Difficile. Le jury juge le sujet plus difficile que les sujets de modélisation des années passées, et la plupart des candidats l'ont trouvé difficile.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,81 / 20 · écart-type 3,03 · 4 367 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,81/ 20
Écart-type: 3,03
Présents: 4 367
Coefficient: 8
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 5 mai 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Premier principe industriel ignoré · Capacités thermiques confondues · Démonstrations forcées vers le résultat

Le problème est jugé bien équilibré entre physique, mathématiques et informatique, et raisonnable en longueur, mais plus difficile que d'habitude. La partie thermodynamique a été traitée avec grande difficulté, avec des erreurs de fond sur les systèmes ouverts et les capacités thermiques. Les parties numériques, abordées par moins de candidats, montrent de meilleures connaissances en programmation que les années précédentes.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Premier principe industriel ignoréQ3
Beaucoup se limitent au premier principe en système fermé et annulent la variation d'énergie interne en régime stationnaire, voire le travail et le transfert thermique.
« L'application du premier principe de la thermodynamique en système ouvert (« premier principe industriel ») est systématiquement malmenée. »
2
Capacités thermiques confonduesQ6b et Q6d
Les valeurs à pression constante et à volume constant sont interverties, et l'énergie interne est confondue avec l'enthalpie.
« Pour la grande majorité des étudiants dUm= Cpm dT. »
3
Démonstrations forcées vers le résultatQ7, Q8 et Q10
Pour retrouver les équations de l'énoncé, l'enthalpie massique sert de variable d'ajustement. La dérivée d'un produit et la variation de la masse sont mal gérées.
4
Méthode de Newton mal adaptéeQ13
Les candidats n'ont pas su adapter l'algorithme fourni, et beaucoup ont recopié la même ligne plusieurs fois.
« Les étudiants n'ont pas su adapter la méthode de Newton. »
5
Algorithme confondu avec le codeQ14 et Q15
La condition d'arrêt et le calcul de la pression sont souvent oubliés dans l'algorithme d'Euler.
« Comme l'an dernier les étudiants ont eu du mal à faire la distinction entre algorithme (ou logigramme) et code. »
6
Discussion des modèles superficielleQ20 et Q34
La compensation des erreurs est rarement invoquée pour justifier les carrés, et la comparaison finale des modèles ignore les incertitudes sur les données.
« Très peu d'élèves évoquent des incertitudes sur les données. »

Ce qui a été bien réussi

Les questions Q1, Q2 et Q4 sont bien traitées, même si la justification manque une fois sur deux pour Q2 et Q4.
La méthode des rectangles est globalement connue (Q12b) et la méthode d'Euler est mieux maîtrisée que celle de Newton (Q15).
Les questions Q19, Q21 à Q23, Q25 et Q32 sont globalement bien traitées.
Les erreurs de syntaxe de base en Python ont fortement baissé par rapport aux années précédentes.

Conseils du jury

Maîtriser le premier principe en système ouvert et la relation entre énergie interne et enthalpie.
Connaître les capacités thermiques molaires d'un gaz parfait et leur lien avec les degrés de liberté.
Justifier les hypothèses, par exemple l'uniformité qui permet de sortir des grandeurs d'une intégrale (Q9).
Commenter les codes informatiques pour en faciliter la lecture.
Utiliser des notations générales plutôt que les valeurs numériques pour écrire un système d'équations (Q30 et Q31).

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉPREUVE MUTUALISÉE AVEC E3A-POLYTECH ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MODÉLISATION DE SYSTÈMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de trois parties indépendantes.

Sujet : page 1 à page 12.
Annexe : page 13 à page 16.

Modélisation de la fuite de matière d'un réservoir rempli de dioxyde de carbone gazeux

Présentation générale

Ce sujet repose sur l'étude théorique et numérique d'une fuite de matière au sein d'une cuve contenant du dioxyde de carbone (

CO_2

) gazeux. Il est constitué de trois parties indépendantes.

La première partie est dédiée à l'établissement du modèle thermodynamique du phénomène de fuite de matière contenue dans une cuve à travers un orifice.
La seconde partie est consacrée à l'étude numérique du problème; la relation entre la capacité thermique molaire $C_(P, m)$ du $CO_2$ gaz parfait et la température $T$ est admise.
La troisième partie est consacrée à l'étude de deux modèles pour décrire la relation entre $C_(P, m)$ et $T$ dont les coefficients sont déduits de mesures expérimentales.

Traitement numérique et calcul scientifique réalisés à partir d'un programme écrit en langage Python

Les programmes demandés au candidat seront réalisés dans le langage Python.
On veillera à apporter les commentaires facilitant la compréhension du programme et à utiliser des noms de variables explicites.
Il est demandé de répondre précisément aux questions posées (par exemple, on écrira une fonction uniquement lorsque cela est explicitement demandé).
Une annexe décrivant quelques éléments de langage Python utiles pour ce sujet est fournie en page 13.

Précisions concernant les notations utilisées

Symbole	Nom	Unité
$C_(P, m)$	Capacité thermique molaire à pression constante	$J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)$
$c_P$	Capacité thermique massique à pression constante	$J \cdot K^(- 1) \cdot kg^(- 1)$
$D_m$	Débit massique	$kg \cdot s^(- 1)$
$h$	Enthalpie massique	$J \cdot kg^(- 1)$
$M$	Masse molaire	$kg \cdot mol^(- 1)$
$m$	Masse	kg
$P$	Pression	Pa
$Q˙ = δQ/dt$	Puissance thermique	W
$R$	Constante des gaz parfaits	$J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)$
$T$	Température	K
$T_c$	Température critique	K
$U$	Énergie interne	J
u	Énergie interne massique	$J \cdot kg^(- 1)$
$V$	Volume	$m^3$
$W˙ = δW/dt$	Puissance utile	W
$ω$	Vitesse des courants de matière	$m \cdot s^(- 1)$
$Ω$	Section de fuite	$m^2$

Partie I - Modélisation de la fuite d'un réservoir : mise en équation

Généralités sur les bilans de matière et d'énergie en système ouvert

On s'intéresse au système ouvert décrit par la figure 1. Ce système possède une entrée de matière (notée A), une sortie (notée B). Il reçoit du milieu extérieur une puissance thermique

Q˙_e

et une puissance de force

W˙_e

. Il fournit au milieu extérieur une puissance thermique

Q˙_s

et une puissance de force

W˙_s

. Les grandeurs

Q˙_e, Q˙_s, W˙_e, W˙_s

sont définies comme des quantités algébriques. En revanche, les débits massiques

D_(m, A)

D_(m, B)

sont définis comme des quantités positives.

Figure 1 - Représentation schématique d'un système ouvert

Q1. Donner l'unité des grandeurs

W˙, Q˙

D_m

mentionnées sur la figure 1 .
Q2. Le système considéré est supposé évoluer en régime stationnaire. Quelle est la relation entre les débits des courants de matière entrant

D_(m, A)

et sortant

D_(m, B)

? Justifier.
Q3. Appliquer le premier principe de la thermodynamique au système ouvert stationnaire de la figure 1. Montrer qu'il peut se mettre sous la forme :

é é é é ((Débit d'énergie)/(entrant)) = ((Débit d'énergie)/(sortant)).

On explicitera les termes débits d'énergie (homogènes à une puissance) en fonction des grandeurs introduites par la figure 1.
Q4. Le système étudié de la figure 1 est supposé évoluer en régime transitoire. On note

m(t)

, la fonction représentant l'évolution de sa masse

m

en fonction du temps

t

. À partir d'un bilan de matière, déduire la relation existant entre

(dm(t))/(dt), D_(m, A)

D_(m, B)

. Proposer une interprétation qualitative du bilan.
On admet dans la suite l'écriture du premier principe en système ouvert, étendue aux systèmes immobiles en régime transitoire :

é é é é (dU)/(dt) = ((Débit d'énergie)/(entrant)) - ((Débit d'énergie)/(sortant))

où

dU/dt

désigne la dérivée de l'énergie interne du système étudié par rapport au temps

t

Q5. Proposer une interprétation qualitative du bilan d'énergie traduit par l'équation (2).

Écriture d'un modèle décrivant la fuite d'un réservoir adiabatique contenant du $CO_2$

On s'intéresse à présent à un réservoir contenant un gaz supposé parfait. Ce réservoir indéformable (donc de volume

V

fixe) est le siège d'une fuite vers le milieu environnant à la température

T_(ext) = 293 K

et à la pression

P_(ext) = 1, 01

bar supposées fixes dans tout le sujet. Il n'est pas agité mécaniquement. Toutefois, les propriétés du gaz dans le réservoir sont supposées uniformes à chaque instant. Ce réservoir est décrit par la figure 2.

Réservoir adiabatique

Figure 2 - Réservoir adiabatique renfermant du gaz et soumis à une fuite de gaz vers le milieu environnant

Q6. Le modèle gaz parfait

a) Dans quelle situation limite un gaz réel s'identifie-t-il exactement à un gaz parfait?
b) Donner la valeur du rapport

C_(P, m)/R

pour un gaz parfait monoatomique. Faire de même pour un gaz parfait diatomique.
c) Pour le

CO_2

gaz parfait, le rapport

C_(P, m)/R

dépend de la température selon une loi notée par la suite

f(T)

. L'étude de la loi

f(T)

sera l'objet de la partie suivante.
Donner un argument physique expliquant pourquoi, pour le

CO_2, C_(P, m)/R

est une fonction de la température contrairement au cas des gaz parfaits mono- et di-atomiques.
d) Donner la relation unissant les variations d'énergie interne molaire

dU_m

et de température

dT

à la fonction

f(T)

. En déduire l'expression de

du/dT

où

u

désigne l'énergie interne massique d'un gaz parfait pur.
Q7. On suppose que les propriétés intensives du gaz dans le réservoir (entre autres, sa température

T

, sa pression

P

et son enthalpie massique

h

) sont uniformes. On considèrera que les propriétés intensives du gaz sortant sont les mêmes que celles du gaz dans le réservoir. On s'intéresse au système {volume contenant le gaz à

T

P

dans le réservoir, paroi non comprise} représenté par des pointillés sur la figure 2. Montrer que l'application du bilan de matière et du premier principe au système en pointillés décrit par la figure 2 amène :

{(dm(t))/(dt) = − D_(m, B); (dU(t))/(dt) = − D_(m, B) ⋅ h(t).

On supposera négligeable l'énergie cinétique massique de la matière quittant le système.

Q8. En introduisant la relation entre l'énergie interne massique

u

(en

J \cdot kg^(- 1)

) et l'énergie interne

U

(en J ) du système étudié, montrer que l'équation (3) amène :

(du)/(dt) = (R \cdot T)/(M \cdot m) \cdot (dm)/(dt)

où

R

M

désignent respectivement la constante des gaz parfaits et la masse molaire du gaz. En déduire que :

[f(T) - 1](dT)/(dt) = T/m \cdot (dm)/(dt).

On cherche à présent à estimer le débit

D_(m, B)

de gaz quittant le réservoir. Pour ce faire, on s'intéresse à la zone de l'espace dans laquelle se produit la fuite.

Figure 3 - Fuite de

CO_2

gazeux à travers l'orifice dans la paroi du réservoir

On considère le système {orifice dans la paroi du réservoir}; on supposera que :

l'écoulement de gaz à travers l'orifice est adiabatique et stationnaire;
la vitesse du gaz en entrée du système est nulle; elle est notée $ω_B$ en sortie;
la température et la pression du gaz en entrée sont notées $T$ et $P$ (ce sont celles du gaz à l'intérieur du réservoir); en sortie, elles sont notées $T_B$ et $P_B = P_(ext) = 1, 01$ bar.

Q9. Montrer que le débit massique

D_(m, B)

de fluide à travers la section de l'orifice est donné par :

D_(m, B) = (Ω \cdot ω_B \cdot M \cdot P_(ext))/(R \cdot T_B)

où la surface

Ω

désigne la section de passage du fluide à travers l'orifice.
Q10. Expression de

ω_B

en fonction de

T_B

En appliquant l'expression du premier principe en système ouvert stationnaire, donnée par l'équation (1), au système {orifice dans la paroi du réservoir} délimité par des pointillés sur la figure 3, montrer que la vitesse de sortie du

CO_2

a pour expression :

ω_B = \sqrt(2R/M\int_(T_B)^T f(T)dT).

Q11. Méthode de calcul de

T_B

a) En négligeant les frottements au sein du système considéré, on peut supposer l'écoulement réversible. Montrer, par application du second principe, que cette hypothèse amène à supposer l'écoulement isentropique massique (ou molaire) (i.e., à entropie massique - ou molaire constante).
b) Montrer que la variation d'entropie massique d'un gaz parfait pur s'écrit :

ds = R/M[(C_(P, m))/R(dT)/T - (dP)/P]

En déduire que

T_B

est solution de l'équation :

\int_T^(T_B)(f(T))/T dT + ln(P/(P_(ext))) = 0 avec P = (m \cdot R \cdot T)/(M \cdot V)

Finalement, en réunissant les équations (3), (5), (6), (7) et (9), le modèle ainsi constitué est représenté par le système suivant :

{(dT)/(dt), = T/(m[f(T) − 1]) ⋅ (dm)/(dt); (dm)/(dt), = − (ΩP_(ext)√(2∫_(T_B)^T f(T)dT))/(√(R/M)T_B)

avec

T_B

solution de :

\int_T^(T_B)(f(T))/T dT + ln((m \cdot R \cdot T)/(M \cdot V \cdot P_(ext))) = 0

Partie II - Modélisation de la fuite d'un réservoir : traitement numérique

Dans cette partie, on fera référence au modèle défini par les équations (10) et (11).

Données numériques utiles pour cette partie :

R = 8, 3144 J \cdot mol^(- 1) \cdot K^(- 1); M = 44 \cdot 10^(- 3) kg/mol; T_(ext) = 293 K; P_(ext) = 1, 01bar; V = 1 m^3; Ω = 1 cm^2

Modèle pour

C_(P, m)/R : f(T) = A_1 + (A_2)/(T + A_3)

avec

{T en K; A_1 = 8, 303; A_2 = − 2810; A_3 = 485, 6

Conditions initiales : {T(0) = 473, 15 K; m(0) = 11, 0 kg

Q12. Intégration numérique
a) Donner le code de la fonction integ1(

T1, T2

) réalisant le calcul analytique de l'intégrale

\int_(T_1)^(T_2)f(T)dT

(T1 et T2 sont des arguments d'entrée de la fonction integ1 qui désignent les bornes de l'intégrale).
b) Donner le code de la fonction integ2 (

T1, T2

) réalisant le calcul numérique de l'intégrale

\int_(T_1)^(T_2)(f(T))/T dT

(T1 et T2 sont des arguments d'entrée de la fonction integ2 qui désignent les bornes de l'intégrale).
La méthode des rectangles sera adoptée pour estimer l'intégrale; l'intervalle des températures sera divisé en 100 sous-intervalles).
Ces deux fonctions pourront être appelées autant de fois que nécessaire par la suite.
Q13. La fonction chercheTB (T,m) fournie ci-dessous renvoie, pour des valeurs connues des variables

T

m

, la valeur correspondante de

T_B

obtenue par résolution de l'équation (11) selon la méthode de Newton :

import numpy as np
A1 = 8.303; A2 = -2810.; A3 = 485.6
T0 = 473.15; m0 = 11.0
Pext = 1.01e5; Mw = 44e-3; Volume = 1.0; Text = 293.
R = 8.3144
def chercheTB(T,m):
    TB = 300.
    [instruction1]
    while residu > 1e-10:
        eq = [instruction2]
        deq = [instruction3]
        TBold = TB
        TB = TB - eq/deq
        residu = [instruction4]
    return TB

Pour compléter la portion de code ci-dessus, indiquer par quelles instructions il convient de remplacer les séquences [instruction1] à [instruction4]. Justifier.

La fonction chercheTB (T,m) pourra être appelée autant de fois que nécessaire par la suite.
Pour résoudre une équation différentielle mise sous la forme

y^'(t) = f(t, y(t))

, on peut utiliser le schéma d'Euler dont on rappelle l'expression :

y(t + Δt) = y(t) + f(t, y(t)) \times Δt

Dans le cas d'un système d'équations différentielles d'ordre 1 , de la forme

y^'(t) = f(t, y(t))

, on peut généraliser le schéma d'Euler de la manière suivante :

y(t + Δt) = y(t) + f(t, y(t)) \times Δt

où

y(t)

désigne le vecteur des fonctions inconnues évaluées à la date courante

t

Q14. Donner l'algorithme général du calcul numérique des fonctions temporelles

T

m

P

entre

t = 0

t = 10 s

, par résolution du système différentiel (10) reposant sur l'utilisation du schéma d'Euler généralisé (on choisira comme pas de temps :

Δt = 0, 10 s

).
Cet algorithme sera fourni sous la forme d'un logigramme. On veillera à mentionner les procédures d'initialisation des processus itératifs ainsi que leurs critères d'arrêt. Quand cela sera nécessaire, on fera appel à la fonction cherche

TB(T, m)

sans détailler sa structure.
Q15. Écrire le code mettant en œuvre l'algorithme proposé à la question précédente. On pourra faire appel à toutes les fonctions programmées précédemment.
Q16. Intuitivement, quand la fuite s'arrêtera-t-elle en pratique?

Partie III - Développement de corrélations pour la capacité thermique à pression constante molaire du dioxyde de carbone

On dispose d'un faible nombre de mesures expérimentales du rapport

C_(P, m)/R

CO_2

gazeux sur un large domaine de températures

T

sous pression atmosphérique (où

C_(P, m)

désigne la capacité thermique molaire à pression constante et

R

, la constante des gaz parfaits).
Ces mesures (au nombre de 6) sont consignées dans un fichier cP. txt (voir tableau 1). La première colonne donne la température en K , la seconde fournit les mesures expérimentales de la quantité

C_(P, m)/R

100.0	3.513
500.0	5.367
1000.0	6.532
2000.0	7.257
3000.0	7.475
4000.0	7.586

Tableau 1 - Contenu du fichier cP. txt

Dans cette partie, on cherche à développer une corrélation de la propriété

C_(P, m)/R

en fonction de la température. Le modèle est noté

f(T)

par la suite :

è (C_(P, m)/R)_(modèle) = f(T).

Les coefficients intervenant dans la corrélation seront déterminés de manière à reproduire efficacement les données expérimentales (

T, (C_(P, m)/R)_(exp)

) dont on dispose. Pour y parvenir, deux stratégies sont envisagées et testées :

un premier modèle de la forme :

è f_(modèle 1)(T) = A_1 + (A_2)/(T + A_3)

où

A_1, A_2

A_3

sont des constantes;

un second modèle de forme polynomiale :

è f_(modèle 2)(T) = \sum_(i = 0)^n B_i \cdot T_r^i avec T_r = T/T_c

où

T_c = 304, 21 K

désigne la température critique du

CO_2, n

, le degré du polynôme. Les

B_i

sont les coefficients réels du polynôme.

Q17. Les valeurs des capacités thermiques reportées dans le tableau 1 ont été mesurées par calorimétrie. Il existe de nombreuses techniques de mesures calorimétriques. Décrire succinctement le principe d'une technique expérimentale de mesure de la capacité thermique d'un liquide ou d'un gaz par calorimétrie que vous connaissez; en particulier, fournir un schéma pour illustrer le principe de la mesure et préciser comment la valeur de la capacité thermique est déduite de la mesure.
Q18. Montrer par une analyse dimensionnelle que le rapport

C_(P, m)/R

est sans dimension.

Q19. Programme de lecture des données

Indiquer la syntaxe à utiliser pour charger le fichier CP . txt qui contient les données expérimentales et stocker celles-ci dans deux tableaux de réels temp (pour les températures) et CpR_exp (pour les valeurs expérimentales du rapport

C_(P, m)/R

).
De plus, déterminer automatiquement le nombre de points expérimentaux

N_(exp)

présents dans le fichier chargé.

III. 1 - Développement du premier modèle

On cherche à déterminer les coefficients

A_1, A_2

A_3

du modèle

n^\circ1

donné par l'équation (15).
Ces coefficients sont inconnus dans cette partie. Pour ce faire, on va utiliser une technique de minimisation. L'idée générale est la suivante :

on forme une fonction dite objectif, notée $f_(obj)$ rendant compte des écarts entre les prédictions du modèle et les valeurs expérimentales;
on va chercher à minimiser cette fonction en jouant sur les valeurs des coefficients $A_1, A_2$ et $A_3$ .

La fonction objectif choisie a pour expression :

è f_(obj)(A_1, A_2, A_3) = \sum_(i = 1)^(N_(exp))δ_i^2 avec : δ_i = f_(modèle 1)(T_(point exp. n^\circi)) - (C_(P, m)/R)_(point exp. n^\circi).

Q20. Dans l'expression de la fonction objectif, pour quelle raison les écarts ont-ils été élevés au carré?
On range les coefficients recherchés dans le vecteur

a = (A_1, A_2, A_3)

.
Q21. Écrire la syntaxe de la fonction delta(vecA, temp, CpR_exp) qui prend comme argument d'entrée un jeu quelconque de coefficients a (vecA désigne le tableau contenant les éléments du vecteur

a

), les tableaux temp et CpR_exp et renvoie en sortie le vecteur

δ

contenant les éléments

δ_i

définis par l'équation (17).
Q22. Écrire la syntaxe de la fonction fobj (vecA,temp, CpR_exp) permettant l'estimation de la fonction-objectif pour un jeu quelconque de coefficients a (vecA désigne le tableau contenant les éléments du vecteur a). On pourra utiliser la fonction delta définie à la question précédente.
Un extremum local de la fonction objectif vérifie :

(\partialf_(obj))/(\partialA_j) = 0 pour 1 \leq j \leq 3

C'est donc, en particulier, le cas d'un minimum. À présent, on a besoin d'exprimer et d'estimer les dérivées

(\partialf_(obj))/(\partialA_j)

(pour

1 \leq j \leq 3

Q23. Donner les expressions analytiques des dérivées

è è (\partialf_(modèle 1))/(\partialA_1), (\partialf_(modèle 1))/(\partialA_2)

è (\partialf_(modèle 1))/(\partialA_3)

.
Q24. Montrer que les expressions analytiques des dérivées

(\partialf_(obj))/(\partialA_j)

peuvent se mettre sous la forme :

è (\partialf_(obj))/(\partialA_j) = 2\sum_(i = 1)^(N_(exp))δ_i \times (\partialf_(modèle 1))/(\partialA_j) pour 1 \leq j \leq 3.

et fournir explicitement leurs expressions.
On note

f^'

, le gradient de

f_(obj)

, i.e., le vecteur des 3 dérivées partielles

(\partialf_(obj))/(\partialA_j)

(pour

1 \leq j \leq 3

).
Q25. Écrire la syntaxe d'une fonction deriv_fobj (vecA, temp, CpR_exp) permettant l'estimation de

f^'

. Cette fonction pourra faire appel aux fonctions programmées précédemment.
Pour résoudre l'équation (18), une méthode de type Newton est envisagée. Les valeurs de a minimisant la fonction-objectif sont obtenues à partir du schéma itératif suivant :

é é a^(itération (k + 1)) = a^(itération (k)) - H^(- 1)f^'

où

H

f^'

sont respectivement la matrice hessienne et le gradient de

f_(obj)

estimés à l'itération (

k

). La matrice hessienne

H

de la fonction

f_(obj)

désigne la matrice (symétrique) de ses dérivées partielles secondes dont l'expression est définie ci-après :

H = ((\partial^2 f_(obj))/(\partialA_1^2), (\partial^2 f_(obj))/(\partialA_1\partialA_2), (\partial^2 f_(obj))/(\partialA_1\partialA_3); (\partial^2 f_(obj))/(\partialA_2\partialA_1), (\partial^2 f_(obj))/(\partialA_2^2), (\partial^2 f_(obj))/(\partialA_2\partialA_3); (\partial^2 f_(obj))/(\partialA_3\partialA_1), (\partial^2 f_(obj))/(\partialA_3\partialA_2), (\partial^2 f_(obj))/(\partialA_3^2)) = ((\partialf_1^')/(\partialA_1), (\partialf_2^')/(\partialA_1), (\partialf_3^')/(\partialA_1); (\partialf_1^')/(\partialA_2), (\partialf_2^')/(\partialA_2), (\partialf_3^')/(\partialA_2); (\partialf_1^')/(\partialA_3), (\partialf_2^')/(\partialA_3), (\partialf_3^')/(\partialA_3)).

On choisit d'estimer numériquement les éléments de la matrice hessienne à partir de l'approximation suivante :

è H_(ij) = (\partialf_j^')/(\partialA_i) \approx (f_j^'(a_(après)) - f_j^'(a))/ε pour 1 \leq i, j \leq 3

où

è a_(après)

est égal à

a

excepté pour la

è i^(ème)

composante qui est augmentée de la quantité

ε

.
Par exemple, si

i = 2

, on a :

è a_(après) = (A_1; A_2 + ε; A_3)

.
Q26. Écrire la syntaxe d'une fonction hessienne_fobj (vecA,temp,CpR_exp) permettant l'estimation de la matrice hessienne de la fonction-objectif en un point a quelconque. Cette fonction pourra faire appel aux fonctions programmées précédemment. On prendra

ε = 10^(- 5)

.
Q27. On choisit comme point de départ de la procédure itérative :

a^((0)) = (5; - 1000; 500)

.
Écrire un code permettant de mettre en œuvre le calcul du a optimal (noté

a^*

) à partir d'une méthode de type Newton. On proposera en particulier un critère d'arrêt pertinent des itérations (ce choix sera justifié).

Q28. Pour s'assurer que l'extremum obtenu est un minimum, il convient de vérifier que la matrice

H

évaluée en

a^*

est semi-définie positive (i.e., que ses valeurs propres sont positives ou nulles). Pour ce faire, écrire une fonction prenant comme argument d'entrée

H(a^*)

et renvoyant en sortie 0 si la plus petite des valeurs propres de

H(a^*)

est positive ou nulle et 1 si ce n'est pas le cas. Le calcul des valeurs propres sera effectué à l'aide d'une fonction-intrinsèque adaptée (voir annexe).

III. 2 - Développement du second modèle : le modèle polynomial

Pour décrire les mesures expérimentales, on choisit d'utiliser un polynôme d'interpolation dont l'expression générale est donnée par l'équation (16). Cela signifie que le degré

n

du polynôme et ses coefficients seront déterminés de manière à ce que la courbe représentative de la fonction

è f_(modèle 2)

passe exactement par les 6 points expérimentaux.

Q29. Déduire le degré

n

du polynôme du nombre de données expérimentales. Justifier brièvement.
Q30. Écrire le système d'équations que doivent vérifier les coefficients

B_i

du polynôme de manière à reproduire exactement les données expérimentales.
Q31. Montrer que ce système est linéaire en le mettant sous la forme :

y_(exp) = Mb

où

y_(exp)

est le vecteur contenant les mesures expérimentales de

(C_(P, m)/R)_(exp)

b

le vecteur contenant les coefficients

B_i

du polynôme et

M

une matrice carrée dont les coefficients ne dépendent que des valeurs expérimentales de

T_r = T/T_c

. Donner explicitement l'expression de la matrice

M

.
Q32. Mathématiquement, quelle opération algébrique faut-il effectuer pour accéder aux valeurs des coefficients

B_i

Dans la figure 4, on a superposé dans le plan (

C_(P, m), T

) les points expérimentaux ainsi que les courbes associées aux deux modèles proposés. Les coefficients de ces modèles ont été déterminés suivant les procédures présentées précédemment.

Q33. Donner la syntaxe du code permettant de générer cette figure (la courbe du modèle 1 sera représentée par un trait pointillé tandis que celle du modèle 2 sera représentée par un trait continu). On rappelle que les coordonnées des points expérimentaux sont contenues dans les tableaux temp et CpR_exp; les 3 coefficients du modèle 1 sont stockés dans vecA; les 6 coefficients du modèle 2 sont supposés être stockés dans un vecteur vecB.
Q34. Commentez le graphe de la figure 4. Finalement, parmi les deux modèles proposés, lequel retiendriez-vous et pourquoi?
Vous pourrez prendre en considération l'influence des incertitudes expérimentales sur les valeurs des paramètres des deux modèles considérés précédemment.

Évolution de la capacité calorifique molaire (

C_(p, m)

) du

CO_2

gazeux avec la température ( T )

Figure 4 - Confrontation des points expérimentaux et des valeurs prédites par les deux modèles proposés dans le plan

C_(P, m)/R

versus

T

ANNEXE
Quelques commandes utiles en langage Python

A - Bibliothèque NUMPY de Python (gestion des tableaux, matrices, vecteurs et fichiers) 13

B

- Résolution d'une équation non linéaire à une inconnue 15
C - Bibliothèque MATPLOTLIB.PYPLOT de Python (gestion des graphes) 16

A - Bibliothèque NUMPY de Python (gestion des tableaux, matrices, vecteurs et fichiers)

Dans les exemples ci-dessous, la bibliothèque numpy a préalablement été importée à l'aide de la commande : import numpy as np. On peut alors utiliser les fonctions de la bibliothèque, dont voici quelques exemples :

np.array(liste)

Description : fonction permettant de créer une matrice (de type tableau) à partir d'une liste.
Argument d'entrée : une liste définissant un tableau à 1 dimension (vecteur) ou 2 dimensions (matrice).
Argument de sortie : un tableau (matrice).

Exemples :	Commande	Résultat
	np.array $([4, 3, 2])$	$[4, 3, 2]$
	np.array $([[5], [7], [1]])$	$[5]$
	$[7]$
	np.array $([[3, 4, 10], [1, 8, 7]])$	$[[3, 4, 10]$
	$[1, 8, 7]]$

A[i, j]

é é é à é Description : fonction qui retourne l'élément (i + 1, j + 1) de la matrice A. Pour accéder à l'inté- _-

gralité de la ligne

i + 1

de la matrice

A

, on écrit

A[i, : ]

. De même, pour obtenir toute la colonne

j + 1

de la matrice

A

, on utilise la syntaxe

A[ :, j]

.
Argument d'entrée : une liste contenant les coordonnées de l'élément dans le tableau

A

.
Arguments de sortie : l'élément

(i + 1, j + 1)

de la matrice

A

.
RAPPEL : en langage Python, les lignes d'un tableau

A

de taille

n \times m

sont numérotées de 0 à

n - 1

et les colonnes sont numérotées de 0 à

m - 1

Exemples :	Commande	Résultat
	$A = np.array([[3, 4, 10], [1, 8, 7]])$	10
	$A[0, 2]$	$[1, 8, 7]$
$A[1, : ]$	$[10, 7]$

np.zeros((n,m))

Description : fonction créant une matrice (tableau) de taille

n \times m

dont tous les éléments sont nuls.
Argument d'entrée : un tuple de deux entiers correspondant aux dimensions de la matrice à créer.
Argument de sortie : un tableau (matrice) d'éléments nuls.

Exemple:

Commande

Résultat

$[0, 0, 0, 0]$
np.zeros $((3, 4))$	$[0, 0, 0, 0]$
	$[0, 0, 0, 0]$

np.dot(mat1,mat2)

Description _-

: fonction calculant le produit de deux matrices mat1 et mat2.
Argument d'entrée : matrices mat1 et mat2.
Argument de sortie: la matrice produit de mat1 et mat2.

np.linalg.inv(mat)

Description : fonction calculant la matrice inverse de la matrice mat. _-

Argument d'entrée : matrice mat.
Argument de sortie: la matrice inverse de mat.

np.linalg.eig(mat)

Description _-

: fonction calculant les valeurs propres de la matrice mat.
Argument d'entrée : matrice mat.
Argument de sortie: c'est un tuple dont le premier élément correspond aux valeurs propres tandis que le second élément contient les vecteurs propres.
Pour accéder aux valeurs propres de mat, on écrira :
np.linalg.eig(mat)[0]

np.linspace(Min,Max,nbElements)

é é é è Description : fonction créant un vecteur (tableau) de nbElements nombres espacés régulièrement _-

entre Min et Max. Le premier élément est égal à Min, le dernier est égal à Max et les éléments sont espacés de (Max-Min)/(nbElements-1).
Argument d'entrée : un tuple de 3 entiers.
Argument de sortie: un tableau (vecteur).
Exemple:

(Commande)/(np.linspace (3, 25, 5))| 3, 8.5, 14, 19.5, 25]

np.loadtxt('nom_fichier',delimiter='string',usecols=[n])

Description _-

: fonction permettant de lire les données sous forme de matrice dans un fichier texte et de les stocker sous forme de vecteurs.
Argument d'entrée : le nom du fichier qui contient les données à charger, le type de caractère utilisé dans ce fichier pour séparer les données (par exemple, une espace ou une virgule) et le numéro de la colonne à charger (RAPPEL : la première colonne est affectée du numéro 0 ).
Argument de sortie: un tableau.
Exemple :
data=np.loadtxt('fichier.txt', delimiter=' ', usecols=[0])

Dans cet exemple, data est un vecteur qui correspond à la première colonne de la matrice contenue dans le fichier fichier.txt.

B - Résolution d'une équation non linéaire à une inconnue

La bibliothèque adaptée est chargée par l'instruction : from scipy import optimize.
L'équation à résoudre est mise sous la forme :

f(x) = 0

, où

x

désigne l'inconnue. La fonction

f

doit d'abord être définie à l'aide de l'instruction def.
Exemple : si l'équation à résoudre s'écrit

logx = 3

, la fonction

f

a pour expression :

f(x) = logx - 3

. Codage:

deff(x)

:
return

log10(x) - 3

.
La fonction root peut alors être utilisée pour résoudre l'équation. La variable

x

doit être initialisée à une valeur aussi proche que possible de la solution.

# Valeur initiale de x :
Xinit = 1.
# jac = None signifie que la dérivée de f (dont se sert
# la fonction root pour effectuer la résolution)
# n'est pas fournie par l'utilisateur mais estimée
# numériquement par Python.
Xsol = root(f,Xinit,jac=None)

La solution de l'équation est rangée dans le premier élément du vecteur Xsol. x, c'est-à-dire:
Xsol.x[0]

C - Bibliothèque MATPLOTLIB.PYPLOT de Python (gestion des graphes)

Cette bibliothèque permet de tracer des graphiques. Dans les exemples ci-dessous, la bibliothèque matplotlib.pyplot a préalablement été importée à l'aide de la commande :
import matplotlib.pyplot as plt

On peut alors utiliser les fonctions de la bibliothèque, dont voici quelques exemples :
plt.plot(

x, y

, '

SC^'

)

Description _-

: fonction permettant de tracer un graphique de

n

points dont les abscisses sont contenues dans le vecteur

x

et les ordonnées dans le vecteur

y

. Cette fonction doit être suivie de la fonction plt.show() pour que le graphique soit affiché.

é é é é Argument d'entrée : un vecteur d'abscisses x (tableau de n éléments) et un vecteur d'ordonnées y_-

(tableau de

n

éléments).
La chaîne de caractères 'SC' précise le style et la couleur de la courbe tracée. Des valeurs possibles pour ces deux critères sont :

Valeurs possibles pour S (style) :

Description	Ligne continue	Ligne traitillée	Marqueur rond	Marqueur plus
Symbole S	-	--	o	+

Valeurs possibles pour C (couleur) :
Description	bleu	rouge	vert	noir
Symbole C	b	r	g	k

Argument de sortie: un graphique.

Exemple: x= np.linspace(3,25,5)
    y=sin(x)
    plt.plot(x,y,'-b') # tracé d'une ligne bleue continue
    plt.title('titre_graphique') # titre du graphe
    plt.xlabel('x') # titre de l'axe des abscisses
    plt.ylabel('y') # titre de l'axe des ordonnées
    plt.show()

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de modélisation CCINP PC 2021 ?

Sur la fuite d'un réservoir de CO2 gazeux : bilans thermodynamiques en système ouvert, résolution numérique par les méthodes d'Euler et de Newton en Python, puis ajustement de modèles de capacité thermique du CO2.

L'épreuve de modélisation CCINP PC 2021 était-elle difficile ?

Oui : le jury la juge plus difficile que les sujets des années passées, tout en la trouvant équilibrée et raisonnable en longueur. La partie de thermodynamique a posé le plus de problèmes.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en modélisation CCINP PC 2021 ?

Le premier principe en système ouvert mal appliqué, la confusion entre capacités thermiques à pression et à volume constants, des démonstrations forcées vers le résultat, la méthode de Newton mal adaptée et des algorithmes confondus avec du code.

Comment réussir la partie Python de modélisation CCINP PC 2021 ?

Selon le rapport, penser à importer les bibliothèques et à affecter les variables, distinguer algorithme et code, ne pas oublier la condition d'arrêt et commenter les programmes.

Pas de description pour le moment

Commentaires• CCINP Modélisation PC 2021

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Présentation du sujet

L'épreuve en chiffres

Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

Conseils du jury

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

ÉPREUVE MUTUALISÉE AVEC E3A-POLYTECH ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MODÉLISATION DE SYSTÈMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES

RAPPEL DES CONSIGNES

Les calculatrices sont autorisées.

Modélisation de la fuite de matière d'un réservoir rempli de dioxyde de carbone gazeux

Présentation générale

Traitement numérique et calcul scientifique réalisés à partir d'un programme écrit en langage Python

Partie I - Modélisation de la fuite d'un réservoir : mise en équation

Généralités sur les bilans de matière et d'énergie en système ouvert

Écriture d'un modèle décrivant la fuite d'un réservoir adiabatique contenant du CO_2

Réservoir adiabatique

Q6. Le modèle gaz parfait

Partie II - Modélisation de la fuite d'un réservoir : traitement numérique

Données numériques utiles pour cette partie :

Partie III - Développement de corrélations pour la capacité thermique à pression constante molaire du dioxyde de carbone

Q19. Programme de lecture des données

III. 1 - Développement du premier modèle

III. 2 - Développement du second modèle : le modèle polynomial

ANNEXE Quelques commandes utiles en langage Python

A - Bibliothèque NUMPY de Python (gestion des tableaux, matrices, vecteurs et fichiers)

np.array(liste)

np.zeros((n,m))

np.dot(mat1,mat2)

np.linalg.inv(mat)

np.linalg.eig(mat)

np.linspace(Min,Max,nbElements)

np.loadtxt('nom_fichier',delimiter='string',usecols=[n])

B - Résolution d'une équation non linéaire à une inconnue

C - Bibliothèque MATPLOTLIB.PYPLOT de Python (gestion des graphes)

FIN

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet de modélisation CCINP PC 2021 ?

L'épreuve de modélisation CCINP PC 2021 était-elle difficile ?

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en modélisation CCINP PC 2021 ?

Comment réussir la partie Python de modélisation CCINP PC 2021 ?

Commentaires• CCINP Modélisation PC 2021

Commentaires• CCINP Modélisation PC 2021

Écriture d'un modèle décrivant la fuite d'un réservoir adiabatique contenant du $CO_2$

ANNEXE
Quelques commandes utiles en langage Python